Aufgaben
Welche Werte kann der Parameter t annehmen, so dass die folgenden Aussagen richtig sind?
Der Graph der Funktion f mit f(x)=x2+tx+1f\left(x\right)=x^2+tx+1 verläuft vollständig oberhalb der x-Achse.

Quadratische Funktionen

Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
Es werden zwei mögliche Lösungswege vorgestellt.

1.Lösungsweg: Betrachtung der Diskriminanten

x2+tx+1=0\displaystyle x^2+tx+1=0
Diskriminante: D=t24D=t^2-4.
Als Bedingung dafür, dass keine Nullstelle existiert, ergibt sich nun D=t24<0D=t^2-4<0.
t24<0    t  ]2;2[\displaystyle t^2-4<0\;\Leftrightarrow\;t\in\;]{-2};2[
Daher liegt tt im Intervall ]2;2[]{-2};2[.

2.Lösungsweg: Scheitelpunkt ermitteln

Gegeben ist die Funktion:
f(x)=x2+tx+1;  xRf(x)=x^2+tx+1;\;x\in R
Der Graph der Funktion f(x)f(x)  soll oberhalb der xx- Achse verlaufen.
Daraus folgt für alle Werte  f(x)>0f(x)>0.
Der Scheitelpunkt der Parabel muss also auch oberhalb der xx-Achse liegen.
f(x)=x2+tx+(t2)2(t2)2+1          =(x+t2)2+1(t2)2                      =(x+t2)2+1t24            S(  t2  1t24)\begin{array}{l}f(x)=x^2+tx+(\frac t2)^2-(\frac t2)^2+1\\\\\;\;\;\;\;=(x+\frac t2)^2+1-(\frac t2)^2\;\\\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;=(x+\frac t2)^2+1-\frac{t^2}4\;\;\;\;\;\;S(\;-\frac t{2\;}|1-\frac{t^2}4)\end{array}
Bilde die quadratische Ergänzung
 
Bilde das Binom
 
 
Bestimme die Scheitelpunktsform und den Scheitel.
1t24>0  t2<41-\frac{t^2}4>0\;\Leftrightarrow t^2<4
Die yy-Koordinate des Scheitels muss oberhalb der xx-Achse liegen  also  f(t)>0f(t)>0 . Daraus folgt die Ungleichung:
t  ]2;2[\displaystyle \Leftrightarrow t\in\;]{-2};2[
Lösen der Ungleichung:
Wurzel ziehen und beachten, dass sowohl negative als auch
positive Werte auftreten können.
Ergebnis:
Der Paramter tt liegt im Intervall ]2;2[]{-2};2[ .
Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit f(x)=x2tx2f\left(x\right)=-x^2-tx-2 liegt auf der x-Achse.

Quadratische Funktion


Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
f(x)=x2tx2f(x)=-x^2-tx-2


1.Lösungsmöglichkeit: Diskriminante

Da der Scheitel der zugehörigen Parabel auf der x-Achse liegen soll, hat die quadratische Gleichung x2tx2=0-x^2-tx-2=0 genau eine Lösung.
Für die Diskriminante muss also D=0D=0 gelten.
Es folgt: D=t24(2)(1)=t28=0D=t^2-4\cdot(-2)\cdot(-1)=t^2-8=0, also t=8t=\sqrt8 oder t=8t=-\sqrt8.

2.Lösungsmöglichkeit: Scheitelform

Mit der Scheitelform einer quadratischen Funktion kann der Scheitelpunkt abgelesen werden.
f(x)=x2tx2=[x2+tx+t24t24]2=[(x+t2)2t24]2==(x+t2)2+t242\begin{array}{l}f(x)=-x^2-tx-2=-\lbrack x^2+tx+\frac{t^2}4-\frac{t^2}4\rbrack-2=-\lbrack(x+\frac t2)^2-\frac{t^2}4\rbrack-2=\\=(x+\frac t2)^2+\frac{t^2}4-2\end{array}
Der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt also bei (t2t242)(-\frac t2\vert\frac{t^2}4-2).
Da der Scheitel auf der x-Achse liegen soll und dessen y-Koordinate damit 00 ist, muss t242=0\frac{t^2}4-2=0 gelten.
Also: t2=8t^2=8 und damit t=8t=\sqrt8 oder t=8t=-\sqrt8.

Quadratische Funktionen


Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
f(x)=x2tx2f\left(x\right)=-x^2-tx-2


1.Lösungsweg: Achsensymmetrie

Da der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegen soll, muss f(x)=f(x)f(x)=f(-x) für alle xRx\in\mathbb{R} gelten.
Damit: (x)2tx2=(x)2t(x)2-(x)^2-tx-2=-(-x)^2-t(-x)-2, also tx=tx-tx=tx 2tx=0\Rightarrow2tx=0 t=0\Rightarrow t=0.

2.Lösungsweg: Scheitelform

Mit der Scheitelform einer quadratischen Funktion kann der Scheitelpunkt abgelesen werden.
f(x)=x2tx2f(x)=-x^2-tx-2
[x2+tx+t24t24]2-\lbrack x^2+tx+\frac{t^2}4-\frac{t^2}4\rbrack-2
Verwende die binomische Formel.
[(x+t2)2t24]2-\lbrack(x+\frac t2)^2-\frac{t^2}4\rbrack-2
Löse die Klammern auf.
(x+t2)2+t242-(x+\frac t2)^2+\frac{t^2}4-2
Lese nun den Scheitelpunkt ab.
Der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt also bei (t2t242)(-\frac t2\vert\frac{t^2}4-2).
Da der Scheitel auf der y-Achse liegen soll und dessen x-Koordinate dafür 00 sein muss, muss t2=0-\frac t2=0 gelten, also t=0t=0.

Gegeben sind die quadratischen Funktionen %%f(x)%% und %%g(x)%% mit %%f(x)=-x^2-3x;\;x\in\mathbb{R}%% und %%g(x)=0,5x(x+3);\;x\in\mathbb{R}%%

Zeichne die Graphen von %%f(x)%% und %%g(x)%% in ein Koordinatensystem. Begründe ohne Rechnung, warum sich %%f(x)%% und %%g(x)%% auf der x-Achse schneiden.

%%S\left(-1,5|2,25\right)%% ist der Scheitel von %%f(x)%%.

Gib den Scheitel von %%g(x)%% an.

%%\begin{array}{l}f\left(x\right)=-x^2-3x\\g\left(x\right)=0,5x\left(x+3\right)\end{array}%%

Damit die Graphen die x-Achse schneiden/berühren können, muss der y-Wert gleich 0 sein. %%\rightarrow%% Nullstelle . Man sieht sofort, dass bei beiden Funktionen, wenn für x 0 eingesetzt wird, der y-Wert auch 0 wird. Daraus folgt, dass sich die Funktionen in diesem Punkt schneiden müssen.

%%\rightarrow%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(0\vert0\right)%%

Die zweite Nullstelle muss berechnet werden, man kann sie nicht einfach ablesen.

%%f\left(x\right)=-x^2-3x%%

%%f\left(x\right)%% gleich 0 setzen.

%%0=-x^2-3x%%

| %%+x^2%%

%%x^2=-3x%%

| : %%x%%

%%x=-3%%

%%\rightarrow%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(0\vert-3\right)%%

%%g\left(x\right)=0,5x\left(x+3\right)%%

%%g\left(x\right)%% gleich 0 setzen.

%%0=0,5x\left(x+3\right)%%

Nur einer der Faktoren muss Null ergeben, um die ganze Funktion gleich 0 werden zu lassen. %%\rightarrow%%

%%0=x+3%%

%%x=-3%%

%%\rightarrow%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(0\vert-3\right)%%

Die beiden Graphen haben zwei gleiche Nullstellen, schneiden sich also zweimal auf der x-Achse.

 

%%g\left(x\right)=0,5x\left(x+3\right)%%

Scheitelform bestimmen. Dafür erst das x in die Klammer multiplizieren. %%\rightarrow%% Distributivgesetz

%%=0,5\left(x^2+3x\right)=%%

%%=0,5\left(x^2+3x+\left(\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2\right)=%%

In eine Binomische Formel umformen.

%%=0,5\left(\left(x+\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2\right)=%%

%%\left(\frac32\right)^2=\frac94%%

%%=0,5\left(\left(x+\frac32\right)^2-\frac94\right)=%%

%%=0,5\left(x+\frac32\right)^2-\frac94\cdot0,5=%%

%%0,5=\frac12%%. Multiplikation.

%%=0,5\left(x+\frac32\right)^2-\frac98%%

%%\rightarrow%% %%\mathrm S\left(-\frac32\vert-\frac98\right)%%

Anmerkung: Auf die x-Koordinate des Scheitels hätte man auch sofort schließen können, da sich diese aufgrund der Symmetrie der Parabel als arithmetisches Mittel der Nullstellen ergibt.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5788_0f4JrcVc16.xml

Die Gerade %%x=u%% schneidet den Graphen von %%f(x)%% im Punkt %%P%% und den Graphen von %%g(x)%% im Punkt %%Q%%. Gib %%P%% und %%Q%% an.

Einsetzen von %%\mathrm x=\mathrm u%% in  %%f(x)%% :

%%\mathrm f(\mathrm u)=-\mathrm u^2-3\mathrm u%%

Ablesen der Koordinaten.

  %%\rightarrow%%   %%\mathrm P\left(\mathrm u\vert-\mathrm u^2-3\mathrm u\right)%%

Einsetzen von %%\mathrm x=\mathrm u%% in %%g(x)%% :

%%g(\mathrm u)=0,5\mathrm u\left(\mathrm u+3\right)%%

  %%\rightarrow%%   %%\mathrm Q\left(\mathrm u\vert0,5\mathrm u\left(\mathrm u+3\right)\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6989_0tITfhWCYy.xml

Für %%u\in\;\rbrack-3;0\lbrack%% ist die Strecke [PQ] eine Seite eines Rechtecks, das den beiden Parabeln einbeschrieben ist. Bestimme den Inhalt des Rechtecks für %%u=-1%% und den Umfang %%U%% in Abhängigkeit von %%u%%.

Im Bild ist %%u=-2,5%%:

Image Title

Es gilt: %%\overline{PQ}=\vert y_P-y_Q\vert=\vert-u^2-3u-0,5u(u+3)\vert=\vert-1,5u^2-4,5u\vert%%

Wegen der Achsensymmetrie der beiden Parabeln zur Geraden %%x=-1,5%%, gilt für die x-Koordinate der Punkte %%R%% und %%S%%:

%%x_R=x_S=-u-3%%

Damit folgt: %%\overline{PS}=\vert x_P-x_S\vert=\vert2u+3\vert%% und für %%u=-1%% ergibt sich: %%{\overline{PS}}_{u=-1}=\vert2\cdot(-1)+3\vert=1%%

Da für %%x\in\;\rbrack-3;0\lbrack%% die Funktion %%f(x)%% oberhalb von %%g(x)%% verläuft, können die Betragsstriche auch weggelassen werden, also %%\overline{PQ}=-1,5u^2-4,5u%%.

Für %%u=-1%% gilt somit für den Flächeninhalt %%A%% des Rechtecks PQRS: %%A_{u=-1}={\overline{PQ}}_{u=-1}\;\cdot\;{\overline{PS}}_{u=-1}=-1,5+4,5=3%%

Der Umfang beträgt allgemein: %%U=2(\vert2u+3\vert-1,5u^2-4,5u)%%

Verschiebe die Parabel %%g(x)%% in y-Richtung so, dass die verschobene Parabel den Graphen von %%f(x)%% berührt. Bestimme die Koordinaten des Berührpunktes %%B%%.

Damit sich die Graphen der Funktion %%f(x)%% und der verschobenen Funktion %%g(x)+c%% an der Stelle %%x%% berühren, muss zunächst %%f(x)=g(x)+c%% gelten. Um sicherzustellen, dass ein Berührpunkt vorliegt, musst du zeigen, dass die Funktion %%f(x)−(g(x)+c)%% bei %%x%% eine doppelte Nullstelle besitzt.

%%f(x)=g(x)+c%%

%%\Leftrightarrow\;-x^2-3x=0,5x(x+3)+c%%

%%\Leftrightarrow\;-1,5x^2-4,5x-c=0%%

Damit sich eine doppelte Nullstelle ergibt, muss für die Diskriminante %%D=0%% gelten.

Die x-Koordinate des Berührpunkts ergibt sich dann als %%\frac{-(-4,5)\pm\sqrt D}{2\cdot(-1,5)}=-1,5%%.

Da dies auch die x-Koordinate des Scheitels des Graphen von %%f%% ist, gilt: %%B=S=(-1,5|2,25)%%.

Zeigen Sie, dass es keinen Wert von a gibt, sodass der Graph von %%f(x)%% die Normalparabel berührt.

%%f(x)=ax^2+1%%

Eine Parabel mit der Funktionsgleichung %%f(x)%% hat ihren Scheitel in %%S\left(0/6\right)%% und schneidet die x-Achse im Punkt %%P_x(2\sqrt3/0)%%

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung und zeichnen Sie den Graphen.

geg.: %%S\left(0|6\right)%%%%P_x(2\sqrt3|0)%%

Mit Hilfe des Scheitelpunkts die Scheitelform aufstellen.

%%f(x)=\mathrm ax^2+6%%

Den Punkt %%P_x(2\sqrt3/0)%% in die Gleichung einsetzen:

%%0=\mathrm a\cdot\left(2\sqrt3\right)^2+6%%

%%\left(2\sqrt3\right)^2=12%%

%%0=\mathrm a\cdot12+6%%

| -6

%%12\mathrm a=-6%%

| :12

%%\mathrm a=-\frac6{12}=-\frac12%%

%%\mathrm a=-\frac12%% in %%f(x)=\mathrm ax^2+6%% einsetzen.

%%\;\Rightarrow\;f(x)=-\frac12\mathrm x^2+6%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5796_7Y7XsfBZDy.xml

Gegeben sind die Funktionsgleichungen folgender Parabeln:

1.Bestimme die Scheitelform und den Scheitelpunkt.

2.Berechne die Achsenschnittpunkte.

3.Beschreibe schrittweise, wie f(x) aus der Normalparabel entsteht und wie sie geöffnet ist.

4.Zeichne den Graphen von f(x) in ein geeignetes Koordinatensystem.

%%f\left(x\right)=x^2-4x+2%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=x^2-4x+2%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=x^2-4x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+2=%%

Umformen in eine Binomische Formel .

%%=\left(x-\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+2=%%

%%=\left(x-2\right)^2-2^2+2=%%

%%=\left(x-2\right)^2-4+2=%%

%%=\left(x-2\right)^2-2%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(2\;\vert-2\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=x^2-4x+2%%

Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%x^2-4x+2=0%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=16-4\cdot1\cdot2%%

%%\mathrm D=16-8=8%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{4+\sqrt8}2=2+\sqrt2%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(2+\sqrt2\vert0\right)%%

%%x_2=\frac{4-\sqrt8}2=2-\sqrt2\approx0,586%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(2-\sqrt2\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=x^2-4x+2%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0-0+2%%

%%f\left(0\right)=2%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert2\right)%%

 

3.Verschiebung

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%f\left(x\right)=\left(x-2\right)^2-2%%

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 2 LE nach rechts.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 2 LE nach unten.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6003_ThS3ww7qch.xml

%%f\left(x\right)=x^2+4x+2%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=x^2+4x+2%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=x^2+4x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+2=%%

Umformen in eine Binomische Formel.

%%=\left(x+\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+2=%%

%%=\left(x+2\right)^2-2^2+2=%%

%%=\left(x+2\right)^2-4+2=%%

%%=\left(x+2\right)^2-2%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(-2\;\vert-2\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=x^2+4x+2%%

Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%x^2+4x+2=0%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=16-4\cdot1\cdot2%%

%%\mathrm D=16-8=8%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{-4+\sqrt8}2=-2+\sqrt2\approx-0,586%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2+\sqrt2\vert0\right)%%

%%x_2=\frac{-4-\sqrt8}2=-2-\sqrt2\approx-3,414%%

%%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-2-\sqrt2\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=x^2+4x+2%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0+0+2%%

%%f\left(0\right)=2%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert2\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%f\left(x\right)=\left(x+2\right)^2-2%%

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 2 LE nach links.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 2 LE nach unten.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6007_6MLWielxmo.xml

%%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert2\right)%%

%%f\left(x\right)=-x^2-4x+3%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=-x^2-4x+3%%

Minus ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz.

%%=-\left(x^2+4x-3\right)=%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=-\left(x^2+4x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-3\right)=%%

Umformen in eine Binomische Formel.

%%=-\left(\left(x+\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-3\right)=%%

%%=-\left(\left(x+2\right)^2-2^2-3\right)=%%

%%=-\left(\left(x+2\right)^2-4-3\right)=%%

%%=-\left(\left(x+2\right)^2-7\right)=%%

%%=-\left(x+2\right)^2+7%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(-2\;\vert\;7\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=-x^2-4x+3%%

Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%-x^2-4x+3=0%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=16-4\cdot\left(-1\right)\cdot3%%

%%\mathrm D=16+12=28%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{4+\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=-2-\sqrt7\approx-4,64%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2-\sqrt7\vert0\right)%%

%%x_2=\frac{-4-\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=-2+\sqrt7\approx0,65%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-2+\sqrt7\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=-x^2-4x+3%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0-0+3%%

%%f\left(0\right)=3%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert3\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebunge n lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%f\left(x\right)=-\left(x+2\right)^2+7%%

%%\;\rightarrow\;%% Nach unten geöffnet.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 2 LE nach links.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 7 LE nach oben.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6168_C6ZWhyHZpj.xml

%%f\left(x\right)=-x^2+8x-9%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=-x^2+8x-9%%

Minus ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz.

%%=-\left(x^2-8x+9\right)=%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=-\left(x^2-8x+\left(\frac82\right)^2-\left(\frac82\right)^2+9\right)=%%

Umformen in eine Binomische Formel .

%%=-\left(\left(x-\frac82\right)^2-\left(\frac82\right)^2+9\right)=%%

%%=-\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-4^2+9\right)=%%

%%=-\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-16+9\right)=%%

%%=-\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-7\right)=%%

%%=-\left(x-\textstyle4\right)^2+7%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(4\;\vert\;7\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=-x^2+8x-9%%

Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%-x^2+8x-9=0%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=64-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-9\right)%%

%%\mathrm D=64-36=28%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{-8+\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=4-\sqrt7\approx1,35%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(4-\sqrt7\vert0\right)%%

%%x_2=\frac{-8-\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=4+\sqrt7\approx6,65%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(4+\sqrt7\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=-x^2+8x-9%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0+0-9%%

%%f\left(0\right)=-9%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert-9\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%f\left(x\right)=-\left(x-\textstyle4\right)^2+7%%

%%\;\rightarrow\;%% Nach unten geöffnet.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 4 LE nach rechts.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 7 LE nach oben.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6174_H2EV6KOQmh.xml

%%f\left(x\right)=\frac12x^2-4x+5%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=\frac12x^2-4x+5%%

%%\frac12%% ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz .

%%=\frac12\left(x^2-8x+10\right)=%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=\frac12\left(x^2-8x+\left(\frac82\right)^2-\left(\frac82\right)^2+10\right)=%%

Umformen in eine Binomische Formel .

%%=\frac12\left(\left(x-\frac82\right)^2-\left(\frac82\right)^2+10\right)=%%

%%=\frac12\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-4^2+10\right)=%%

%%=\frac12\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-16+10\right)=%%

%%=\frac12\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-6\right)=%%

%%=\frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-6\cdot\frac12=%%

%%=\frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-\frac62=%%

%%=\frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-3%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(4\;\vert\;-3\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=\frac12x^2-4x+5%%

Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%\frac12x^2-4x+5=0%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=16-4\cdot\frac12\cdot5%%

%%\mathrm D=16-10=6%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{4+\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=4+\sqrt6\approx6,45%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(4+\sqrt6\vert0\right)%%

%%x_2=\frac{4-\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=4-\sqrt6\approx1,55%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(4-\sqrt6\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=\frac12x^2-4x+5%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0-0+5%%

%%f\left(0\right)=5%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert5\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%f\left(x\right)=\frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-3%%

%%\;\rightarrow\;%% Gestaucht mit %%\frac12%% .

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 4 LE nach rechts.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 3 LE nach unten.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6196_kEw79OrGZY.xml

%%f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6%%

%%-\frac12%% ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz .

%%=-\frac12\left(x^2{\textstyle+}{\textstyle4}x-12\right)=%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=-\frac12\left(x^2{\textstyle+}{\textstyle4}x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-12\right)=%%

Umformen in eine Binomische Formel .

%%=-\frac12\left(\left(x+\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-12\right)=%%

%%=-\frac12\left(\left(x+\textstyle2\right)^2-2^2-12\right)=%%

%%=-\frac12\left(\left(x+\textstyle2\right)^2-4-12\right)=%%

%%=-\frac12\left(\left(x+\textstyle2\right)^2-16\right)=%%

%%=-\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2-16\cdot\left(-\frac12\right)=%%

%%=-\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2+\frac{16}2=%%

%%=-\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2+\textstyle8%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(-2\;\vert\;8\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6%%

Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6=0%%

%%-\frac12%% ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz .

%%=-\frac12\left(x^2{\textstyle+}{\textstyle4}x-12\right)=%%

Satz von Vieta anwenden.

%%=-\frac12\left(x+6\right)\left(x-2\right)%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-6\vert0\right)%% ; %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(2\vert\;0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0-0+6%%

%%f\left(0\right)=6%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert6\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%=-\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2+\textstyle8%%

%%\;\rightarrow\;%% Nach unten geöffnet.

%%\;\rightarrow\;%% Gestaucht mit %%\frac12%% .

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 2 LE nach links.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 8 LE nach oben.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6200_F8aMieCOLH.xml

%%f\left(x\right)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

%%\frac12%% ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz.

%%=\frac13\left(x^2-2x-\textstyle6\right)=%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=\frac13\left(x^2-2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-\textstyle6\right)=%%

Umformen in eine Binomische Formel.

%%=\frac13\left(\left(x-\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-\textstyle6\right)=%%

%%=\frac13\left(\left(x-\textstyle1\right)^2-1^2-\textstyle6\right)=%%

%%=\frac13\left(\left(x-\textstyle1\right)^2-1-\textstyle6\right)=%%

%%=\frac13\left(\left(x-\textstyle1\right)^2-\textstyle7\right)=%%

%%=\frac13\left(x-\textstyle1\right)^2-{\textstyle7}{\textstyle\cdot}\frac13=%%

%%=\frac13\left(x-\textstyle1\right)^2-\frac73%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(1\;\vert\;-\frac73\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%\frac13x^2-\frac23x-2=0%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=\left(-\frac23\right)^2-4\cdot\frac13\cdot\left(-2\right)%%

%%\left(-\frac23\right)^2=\frac49%%

%%\mathrm D=\frac49-4\cdot\frac13\cdot\left(-2\right)%%

%%\mathrm D=\frac49+\frac83%%

%%\mathrm D=\frac49+\frac{24}9=\frac{28}9%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{{\displaystyle\frac23}+\sqrt{\displaystyle\frac{28}9}}{2\cdot\displaystyle\frac13}=1+\sqrt7\approx3,65%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(1+\sqrt7\vert0\right)%%

%%x_2=\frac{{\displaystyle\frac23}-\sqrt{\displaystyle\frac{28}9}}{2\cdot\displaystyle\frac13}=1-\sqrt7\approx-1,65%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(1-\sqrt7\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0-0-2%%

%%f\left(0\right)=-2%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert-2\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%=\frac13\left(x-\textstyle1\right)^2-\frac73%%

%%\;\rightarrow\;%% Gestaucht mit %%\frac13%% .

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 1 LE nach rechts.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um  %%\frac73%% LE nach unten.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6202_qRo8RL1xPz.xml

%%f\left(x\right)=-\frac23x^2+\frac34x+6%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=-\frac23x^2+\frac34x+6%%

%%-\frac23%% ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz.

%%=-\frac23\left(x^2-\frac98x-\frac{18}2\right)=%%

Kürzen mit 2.

%%=-\frac23\left(x^2-\frac98x-\textstyle9\right)=%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=-\frac23\left(\left(x-\frac98\cdot\frac12\right)^2-\left(\frac98\cdot\frac12\right)^2-\textstyle9\right)=%%

%%=-\frac23\left(\left(x-\frac9{16}\right)^2-\left(\frac9{16}\right)^2-\textstyle9\right)=%%

%%\left(\frac9{16}\right)^2=\frac{81}{256}%%

%%=-\frac23\left(\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{81}{256}-\textstyle9\right)=%%

Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern .

%%=-\frac23\left(\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{81}{256}-\frac{2304}{256}\right)=%%

%%=-\frac23\left(\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{2385}{256}\right)=%%

%%=-\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{2385}{256}\cdot\left(-\frac23\right)=%%

Kürzen der Faktoren mit 2.

%%=-\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{2385}{128}\cdot\left(-\frac13\right)=%%

Kürzen der Faktoren mit 3.

%%=-\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{795}{128}\cdot\left(-\frac11\right)=%%

%%=-\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2+\frac{795}{128}%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(\frac9{16}\;\vert\;\frac{795}{128}\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=-\frac23x^2+\frac34x+6%%

Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%\mathrm D=\left(\frac34\right)^2-4\cdot{\textstyle\left(-\displaystyle\frac23\right)}\cdot6=%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%=\left(\frac34\right)^2-4\cdot{\textstyle\left(-\displaystyle\frac{12}3\right)}=%%

%%=\left(\frac34\right)^2-4\cdot{\textstyle\left(-4\right)}=%%

%%=\left(\frac34\right)^2+16=%%

%%\left(\frac34\right)^2=\frac9{16}%%

%%=\frac9{16}+16=%%

Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern .

%%=\frac9{16}+\frac{256}{16}=%%

%%=\frac{265}{16}%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{-{\displaystyle\frac34}+\sqrt{\displaystyle\frac{265}{16}}}{2\cdot\left(-\displaystyle\frac23\right)}\approx-2,49%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2,49\vert0\right)%%

%%x_1=\frac{-{\displaystyle\frac34}-\sqrt{\displaystyle\frac{265}{16}}}{2\cdot\left(-\displaystyle\frac23\right)}\approx3,61%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(3,61\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=-\frac23x^2+\frac34x+6%%

x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0+0+6%%

%%f\left(0\right)=6%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert6\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%=-\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2+\frac{795}{128}%%

%%\;\rightarrow\;%% Nach unten geöffnet.

%%\;\rightarrow\;%% Gestaucht mit %%\frac23%% .

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um  %%\frac9{16}%% LE nach rechts.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um %%\frac{795}{128}%% LE nach oben.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6204_lAkLh1rsyi.xml

Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Parabel mit: %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\frac12x^2+2x+1%% .

1.Berechne den Scheitelpunkt mit Hilfe der Scheitelform.

2.Berechne die Achsenschnittpunkte.

3.Die Parabel soll so verschoben werden, dass der Punkt der Parabel, der auf der y-Achse liegt durch den Punkt P (-3| -1) verläuft. Wie lautet die Funktionsgleichung g(x) der verschobenen Parabel?

4.Wo schneiden sich beide Parabeln?

5.Zeichne beide Parabeln in ein geeignetes Koordinatensystem.

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(\mathrm x\right)=-\frac12x^2+2x+1%%

Distributivgesetz anwenden.  %%-\frac12%% ausklammern.

%%=-\frac12\left(x^2-4x-2\right)=%%

%%=-\frac12\left(x^2-4x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-2\right)=%%

Schreibe in eine Binomische Formel um.

%%=-\frac12\left(\left(x-\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-2\right)=%%

%%=-\frac12\left(\left(x-\textstyle2\right)^2-{\textstyle2}^2-2\right)=%%

%%=-\frac12\left(\left(x-\textstyle2\right)^2-{\textstyle4}-2\right)=%%

%%=-\frac12\left(\left(x-\textstyle2\right)^2-6\right)=%%

Wende das Distributivgesetz an.

%%=-\frac12\left(x-\textstyle2\right)^2-6\cdot\left(-\frac12\right)=%%

%%=-\frac12\left(x-\textstyle2\right)^2\textstyle+\textstyle3%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(2\;\left|\;3\right.\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmen: Nullstelle berechnen

%%\ f\left(\mathrm x\right)=-\frac12x^2+2x+1%%

Wende die Mitternachtsformel an. Dazu erst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=2^2-4\cdot\left(-\frac12\right)\cdot1=%%

%%=4-4\cdot\left(-\frac12\right)=%%

%%=4+2=6%%

%%\rightarrow\;%% 2 Lösungen. Wende die Mitternachtsformel an.

$$x_1=\frac{-2+\sqrt D}{2\cdot(-0,5)}=2-\sqrt6$$

%%\rightarrow\;%% %%P_{x_1}\left(2-\sqrt6\vert\;0\right)%%

%%x_2=\frac{-2-\sqrt D}{2\cdot(-0,5)}=\textstyle2\textstyle+\textstyle\sqrt6%%

%%\rightarrow\;%% %%P_{x_1}\left(2+\sqrt6\vert\;0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(\mathrm x\right)=-\frac12x^2+2x+1%%

Setze x gleich 0.

%%f\left(0\right)=-\frac120^2+2\cdot0+1=1%%

%%\rightarrow\;%% %%P_y\left(0\vert\;1\right)%%

3.Verschieben der Parabel

%%P`\left(-3\vert\;-1\right)%% ; %%P_y\left(0\vert\;1\right)%%

0 %%\rightarrow\;%% 3

Verschiebung um 3 Einheiten nach links.

-1 %%\rightarrow\;%% 1

Verschiebung um 2 Einheiten nach unten.

Um eine Parabel zu verschieben, muss die Scheitelform nach vorherig gemachten Angaben verändert werden.

%%f\left(\mathrm x\right)=-\frac12\left(x-\textstyle2\right)^2\textstyle+\textstyle3%% %%\rightarrow\;%% %%g\left(\mathrm x\right)=-\frac12\left(x\textstyle+\textstyle1\right)^2\textstyle+\textstyle1%%

Multipliziere die Funktion aus. Binomische Formel.

%%=-\frac12{\textstyle\left(x^2+2x+1\right)}+1\textstyle=%%

%%=-\frac12x^2-x-\frac12+1=%%

%%=-\frac12x^2-x+\frac12%%

4.Schnittpunkte berechnen

Ansatz: %%f(x)=g(x)%%

%%f\left(x\right)=-\frac12x^2+2x+1%% ; %%g\left(x\right)=-\frac12x^2-x+\frac12%%

%%-\frac12x^2+2x+1=-\frac12x^2-x+\frac12%%

Nach x auflösen.

%%\Leftrightarrow%% %%2x+1=-x+\frac12%%

%%\Leftrightarrow%% %%3x=-\frac12%%

%%\Leftrightarrow%% %%x=-\frac16%%

Setze den gefundenen x-Wert in eine der Anfangsgleichungen, um den zugehörigen y-Wert zu berechnen.

%%f\left(-\frac16\right)=-\frac12\cdot\left(-\frac16\right)^2+\frac16+\frac12=%%

%%=-\frac12\cdot\frac1{36}+\frac16+\frac12=%%

%%=-\frac1{72}+\frac16+\frac12=%%

Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern . %%\rightarrow\;%% 6

%%=-\frac1{72}+\frac16+\frac36=%%

%%=-\frac1{72}+\frac46=%%

Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern . %%\rightarrow\;%% 72

%%=-\frac1{72}+\frac{48}{72}=%%

%%=\frac{47}{72}%%

%%\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(-\frac16\vert\;\frac{47}{72}\right)%%

5.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7639_3PLhUDrTWy.xml

Bestimme die Scheitelform der Parabeln und zeichne sie.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform



f(x)=3(x4)21,5f(x)=3(x-4)^2-1,5
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9101_z6SZA8MZBM.xml
Die Normalparabel wird um  12\frac12 gestaucht, um  54\frac54 nach links und um 1 nach unten verschoben. Die Parabel ist nach oben geöffnet.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform

f(x)=12(x+54)21f(x)=\frac12(x+\frac54)^2-1
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9103_EpA6A35AGZ.xml
Die Normalparabel wird um 1.75 gestreckt, um 2 nach links und um 5,25 nach oben verschoben. Die Parabel ist nach unten geöffnet.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform



f(x)=1,75(x+2)2+5,25f(x)=-1,75(x+2)^2+5,25
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9107_3IyV6sNMRo.xml

Berechne für folgende Parabeln die Nullstellen, den Scheitelpunkt mit Hilfe der quadratischen Ergänzung und die Achsenschnittpunkte. Zeichnen Sie den Graphen unter zu Hilfenahme des Scheitelpunkts.

%%f(x)=x^2+4x-5%%

%%f(x)=x^2+4x-5%%

%%=x^2+4x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-5=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\left(x+\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-5=%%

%%=\left(x+2\right)^2-\left({\textstyle2}\right)^2-5=%%

%%=\left(x+2\right)^2-4-5=%%

%%=\left(x+2\right)^2-9%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-2\left|-9\right.\right)%%

 

%%f(x)=x^2+4x-5%%

Setze f(x)=0. Satz von Vieta anwenden.

%%0=\left(\mathrm x-1\right)\left(x+5\right)%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm x}_1=-5\;;\;{\mathrm x}_2=1%%

 

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%{\mathrm x}_1=-5\;;\;{\mathrm x}_2=1%%

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-5\;\mathrm l\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(1\;\mathrm l\;0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=x^2+4x-5%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=0^2+4\cdot0-5%%

%%f(0)=-5%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l\;-5\right)\;%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5531_SHO41eQlTS.xml

%%f(x)=-x^2-x+6%%

%%f(x)=-x^2-x+6%%

Minus ausklammern. Distributivgesetz.

%%=-\left(x^2+x-6\right)=%%

%%=-\left(x^2+x+\left(\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2-6\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=-\left(\left(x+\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2-6\right)=%%

%%\left(\frac12\right)^2=\frac14%%

%%=-\left(\left(x+\frac12\right)^2-\frac14-6\right)=%%

Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern .

%%=-\left(\left(x+\frac12\right)^2-\frac14-\frac{24}4\right)=%%

%%=-\left(\left(x+\frac12\right)^2-\frac{25}4\right)=%%

%%=-\left(x+\frac12\right)^2+\frac{25}4%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-\frac12\left|\frac{25}4\right.\right)%%

 

%%f(x)=-x^2-x+6%%

Setze f(x)=0. Minus ausklammern. Distributivgesetz.

%%0=-\left(x^2+x-6\right)=%%

Satz von Vieta anwenden.

%%0=-\left(\mathrm x-2\right)\left(\mathrm x+3\right)%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm x}_1=2\;;\;{\mathrm x}_2=-3%%

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%{\mathrm x}_1=2\;;\;{\mathrm x}_2=-3%%

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

%%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(2\;\mathrm l\;0\right)\;\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-3\mathrm l\;0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=-x^2-x+6%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=0^2-0+6%%

%%f(0)=6%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l\;6\right)\;%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5547_YnjoPj6b6H.xml

%%f(x)=-x^2-4x-4%%

%%f(x)=-x^2-4x-4%%

Minus ausklammern. Distributivgesetz.

%%=-\left(x^2+4x+4\right)=%%

%%=-\left(x^2+4x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+4\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=-\left(\left(x+\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+4\right)=%%

%%=-\left(\left(x+2\right)^2-2^2+4\right)=%%

%%=-\left(\left(x+2\right)^2-4+4\right)=%%

%%=-\left(x+2\right)^2%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-{\textstyle2}\left|\textstyle0\right.\right)%%

 

[Nullstellen berechnen]()

%%f(x)=-x^2-4x-4%%

Setze f(x)=0. Minus ausklammern. Distributivgesetz.

%%0=-\left(x^2+4x+4\right)%%

Satz von Vieta anwenden.

%%0=-\left(\left(x+2\right)\left(x+2\right)\right)%%

%%\rightarrow\;%% %%\mathrm x=-2%%   %%\rightarrow\;%% Doppelte Nullstelle

 

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%\mathrm x=-2%%

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

%%{\mathrm P}_\mathrm x\left(-2\;\mathrm l\;0\right)\;%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=-x^2-4x-4%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=0^2-4\cdot0-4%%

%%f(0)=-4%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l\;-4\right)\;%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5535_C4WBe0q6fW.xml

%%f(x)=\frac12x^2+\frac12x-6%%

%%f(x)=\frac12x^2+\frac12x-6%%

%%\frac12%% ausklammern. Distributivgesetz.

%%=\frac12\left(x^2+x-6\cdot\frac21\right)=%%

%%=\frac12\left(x^2+x-12\right)=%%

%%=\frac12\left(x^2+x+\left(\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2-12\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\frac12\left(\left(x+\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2-12\right)=%%

%%\left(\frac12\right)^2=\frac14%%

%%=\frac12\left(\left(x+\frac12\right)^2-\frac14-12\right)=%%

Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern .

%%=\frac12\left(\left(x+\frac12\right)^2-\frac14-\frac{48}4\right)=%%

%%=\frac12\left(\left(x+\frac12\right)^2-\frac{49}4\right)=%%

%%=\frac12\left(x+\frac12\right)^2-\frac{49}4\cdot\frac12=%%

%%=\frac12\left(x+\frac12\right)^2-\frac{49}8%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-\frac12\left|-\frac{49}8\right.\right)%%

 

%%f(x)=\frac12x^2+\frac12x-6%%

Setze f(x)=0. %%\frac12%% ausklammern. Distributivgesetz.

%%0=\frac12\left(x^2+x-6\cdot\frac21\right)%%

%%0=\frac12\left(x^2+x-12\right)%%

%%0=\frac12\left(\left(x+4\right)\left(x-3\right)\right)%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm x}_1=-4\;;\;{\mathrm x}_2=3%%

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%{\mathrm x}_1=-4\;;\;{\mathrm x}_2=3%%

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

%%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-4\;\mathrm l\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(3\;\mathrm l\;0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=\frac12x^2+\frac12x-6%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=\frac120^2+\frac12\cdot0-6%%

%%f(0)=-6%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l-\;6\right)\;%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5539_jpXD0wn36C.xml

%%f(x)=\frac12x^2-4x+5%%

%%f(x)=\frac12x^2-4x+5%%

%%\frac12%% ausklammern. Distributivgesetz.

%%=\frac12\left(x^2-4\cdot\frac21x+5\cdot\frac21\right)=%%

%%=\frac12\left(x^2-8x+10\right)=%%

%%=\frac12\left(x^2-8x+\left(\frac82\right)^2-\left(\frac82\right)^2+10\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\frac12\left(\left(x-\frac82\right)^2-\left(\frac82\right)^2+10\right)=%%

%%=\frac12\left(\left(x-4\right)^2-4^2+10\right)=%%

%%=\frac12\left(\left(x-4\right)^2-16+10\right)=%%

%%=\frac12\left(\left(x-4\right)^2-6\right)=%%

%%=\frac12\left(x-4\right)^2-6\cdot\frac12=%%

%%=\frac12\left(x-4\right)^2-3%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(4\left|\textstyle-3\right.\right)%%

 

%%f(x)=\frac12x^2-4x+5%%

Setze f(x)=0. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=16-4\cdot\frac12\cdot5=%%

%%\mathrm D=16-10=6%%

%%\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{4+\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=%%

%%x_1=\textstyle4\textstyle+\textstyle\sqrt6%%

%%x_2=\frac{4-\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=%%

%%x_2=\textstyle4\textstyle-\textstyle\sqrt6%%

 

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%x_1=\textstyle4\textstyle+\textstyle\sqrt6%% ; %%x_2=\textstyle4\textstyle-\textstyle\sqrt6%%

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

%%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(4+\sqrt6\;\mathrm l\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(4-\sqrt6\;\mathrm l\;0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=\frac12x^2-4x+5%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=\frac12\cdot0^2-4\cdot0+5%%

%%f(0)=5%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l5\right)\;%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5543_nTgy3Dbztn.xml

%%f(x)=x^2-4x+5%%

%%f(x)=x^2-4x+5%%

%%=x^2-4x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+5=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\left(x-\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+5=%%

%%=\left(x-2\right)^2-2^2+5=%%

%%=\left(x-2\right)^2-4+5=%%

%%=\left(x-2\right)^2+1%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left({\textstyle2}\left|\textstyle1\right.\right)%%

 

%%f(x)=x^2-4x+5%%

Setze f(x)=0. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=16-4\cdot5=%%

%%\mathrm D=16-20=-4%%

%%\rightarrow\;%% keine Lösung

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%\rightarrow\;%% keine Lösung. Da es keine Nullstelle gibt, kann es auch keinen Schnittpunkt mit der x-Achse geben.

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=x^2-4x+5%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=0^2-4\cdot0+5%%

%%f(0)=5%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l5\right)\;%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5541_BU20O7WOHa.xml

%%f(x)=\frac14x^2+x-1%%

%%f(x)=\frac14x^2+x-1%%

%%\frac14%% ausklammern. Distributivgesetz.

%%=\frac14\left(x^2+{\textstyle x}{\textstyle\cdot}\frac41-{\textstyle1}{\textstyle\cdot}\frac41\right)=%%

%%=\frac14\left(x^2+{\textstyle4}{\textstyle x}-\textstyle4\right)=%%

%%=\frac14(x^2+4x+(\frac42)^2-(\frac42)^2-4)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\frac14\left({\textstyle\left(x+2\right)}^2{\textstyle-}{\textstyle4}-\textstyle4\right)=%%

%%=\frac14\left({\textstyle\left(x+2\right)}^2\textstyle-\textstyle8\right)=%%

%%=\frac14{\textstyle\left(x+2\right)}^2{\textstyle-}{\textstyle8}{\textstyle\cdot}\frac14=%%

%%=\frac14{\textstyle\left(x+2\right)}^2{\textstyle-}\frac84=%%

%%=\frac14{\textstyle\left(x+2\right)}^2\textstyle-\textstyle2%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-2\left|\textstyle-2\right.\right)%%

%%f(x)=\frac14x^2+x-1%%

Setze f(x)=0. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=1-4\cdot\frac14\cdot\left(-1\right)=%%

%%\mathrm D=1-{\textstyle1}\cdot\left(-1\right)=%%

%%\mathrm D=1+1=2%%

%%\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{-1+\sqrt2}{2\cdot\displaystyle\frac14}=%%

%%x_1=\frac{-1+\sqrt2}{\displaystyle\frac12}=%%

%%x_1={\textstyle-}{\textstyle2}{\textstyle+}{\textstyle2}{\textstyle\sqrt2}=%%

%%2\sqrt2=\sqrt8%%

%%x_1=\textstyle-\textstyle2\textstyle+\textstyle\sqrt8%%

%%x_2=\frac{-1-\sqrt2}{2\cdot\displaystyle\frac14}=%%

%%x_2=\frac{-1-\sqrt2}{\displaystyle\frac12}=%%

%%x_2=\textstyle-\textstyle2\textstyle-\textstyle2\textstyle\sqrt2%%

%%2\sqrt2=\sqrt8%%

%%x_2=\textstyle-\textstyle2\textstyle-\textstyle\sqrt8%%

 

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%x_1=\textstyle-\textstyle2\textstyle+\textstyle\sqrt8%% ; %%x_2=\textstyle-\textstyle2\textstyle-\textstyle\sqrt8%%

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

%%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2+\sqrt8\;\mathrm l\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-2-\sqrt8\;\mathrm l\;0\right)%%

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=\frac14x^2+x-1%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=\frac140^2+0-1%%

%%f(0)=-1%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l\;-1\right)\;%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5545_7S9JkTjCqP.xml

%%f(x)=4x^2+x-5%%

%%f(x)=4x^2+x-5%%

4 ausklammern. Distributivgesetz.

%%=4\left(x^2+\frac x4-\frac54\right)=%%

%%=4\left(x^2+\frac x4+\left(\frac{\frac14}2\right)^2-\left(\frac{\frac14}2\right)^2-\textstyle\frac54\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=4\left(\left(x+\frac{\frac14}2\right)^2-\left(\frac{\frac14}2\right)^2-\frac54\right)=%%

%%\frac{\frac14}2=\frac18%%

%%=4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\left(\frac18\right)^2-\frac54\right)=%%

%%\left(\frac18\right)^2=\frac1{64}%%

%%=4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\frac1{64}-\frac54\right)=%%

Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern .

%%=4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\frac1{64}-\frac{80}{64}\right)=%%

%%=4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\frac{81}{64}\right)=%%

  %%=4\left(x+\frac18\right)^2-\frac{81}{64}\cdot4=%%

%%=4\left(x+\frac18\right)^2-\frac{81}{16}%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-\frac18\left|\textstyle-\right.\frac{81}{16}\right)%%

 

%%f(x)=4x^2+x-5%%

Setze f(x)=0. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=1-4\cdot4\cdot(-5)%%

%%\mathrm D=1+80=81%%

%%\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{-1+\sqrt{81}}{2\cdot4}=%%

%%x_1=\frac{-1+9}8=\frac88=1%%

%%x_2=\frac{-1-\sqrt{81}}{2\cdot4}=%%

%%x_2=\frac{-1-9}8=\frac{-10}8=-\frac54%%

 

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%x_1=1;%% %%x_2=-\frac54%%

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=4x^2+x-5%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=0^2+0-5%%

%%f(0)=-5%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l-5\right)\;%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5557_YVCU70iXFn.xml

%%f(x)=-4x^2-x+5%%

%%f(x)=-4x^2-x+5%%

-4 ausklammern. Distributivgesetz.

%%=-4\left(x^2-\frac x{-4}+\frac5{-4}\right)=%%

%%=-4\left(x^2+\frac x4-\frac54\right)=%%

%%=-4\left(x^2+\frac x4+\left(\frac{\frac14}2\right)^2-\left(\frac{\frac14}2\right)^2-\frac54\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=-4\left(\left(x+\frac{\frac14}2\right)^2-\left(\frac{\frac14}2\right)^2-\frac54\right)=%%

%%\frac{\frac14}2=\frac18%%

%%=-4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\left(\frac18\right)^2-\frac54\right)=%%

%%\left(\frac18\right)^2=\frac1{64}%%

%%=-4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\frac1{64}-\frac54\right)=%%

Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern .

%%=-4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\frac1{64}-\frac{80}{64}\right)=%%

%%=-4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\frac{81}{64}\right)=%%

%%=-4\left(x+\frac18\right)^2-\frac{81}{64}\cdot\left(-4\right)=%%

%%=-4\left(x+\frac18\right)^2+\frac{81}{16}%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-\frac18\left|\frac{81}{16}\right.\right)%%

 

%%f(x)=-4x^2-x+5%%

Setze f(x)=0. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=\left(-1\right)^2-4\cdot\left(-4\right)\cdot5%%

%%\mathrm D=1-\left(-80\right)=1+80=81%%

%%\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{1+\sqrt{81}}{2\cdot\left(-4\right)}=%%

%%x_1=\frac{1+9}{-8}=\frac{10}{-8}=-\frac54%%

%%x_2=\frac{1-\sqrt{81}}{2\cdot\left(-4\right)}=%%

%%x_2=\frac{1-9}{-8}=\frac{-8}{-8}=1%%

 

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%x_1=-\frac54\;\;;%% %%x_2=1%%

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

%%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-\frac54\;\mathrm l\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(1\;\mathrm l\;0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=-4x^2-x+5%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=0^2-0+5%%

%%f(0)=5%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l5\right)\;%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5660_vd3lnkQsnG.xml

%%f(x)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

%%f(x)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

%%\frac13%% ausklammern. Distributivgesetz.

%%=\frac13\left(x^2-\frac23\cdot\frac31x-2\cdot\frac31\right)=%%

%%=\frac13\left(x^2-2x-6\right)=%%

%%=\frac13\left(x^2-2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-6\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\frac13\left(\left(x-\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-6\right)=%%

%%=\frac13\left(\left(x-1\right)^2-1^2-6\right)=%%

%%=\frac13\left(\left(x-1\right)^2-1-6\right)=%%

%%=\frac13\left(\left(x-1\right)^2-7\right)=%%

%%=\frac13\left(x-1\right)^2-7\cdot\frac13=%%

%%=\frac13\left(x-1\right)^2-\frac73%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(1\left|-\frac73\right.\right)%%

 

%%f(x)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

Setze f(x)=0. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=\frac23\cdot\frac23-4\cdot\frac13\cdot(-2)=%%

%%\mathrm D=\frac49+\frac83=%%

Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern.

%%\mathrm D=\frac49+\frac{24}9=\frac{28}9%%

%%\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{{\displaystyle\frac23}+\sqrt{\displaystyle\frac{28}9}}{2\cdot\displaystyle\frac13}=%%

%%\rightarrow\;%% Taschenrechner

%%x_1=\frac{{\displaystyle\frac23}+\sqrt{\displaystyle\frac{28}9}}{\displaystyle\frac23}=1+\textstyle\sqrt7%%

%%x_2=\frac{{\displaystyle\frac23}-\sqrt{\displaystyle\frac{28}9}}{2\cdot\displaystyle\frac23}=%%

%%\rightarrow\;%% Taschenrechner

%%x_2=\frac{{\displaystyle\frac23}-\sqrt{\displaystyle\frac{28}9}}{\displaystyle\frac23}=1-\textstyle\sqrt7%%

 

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%x_1=1+{\textstyle\sqrt7}\;\;;%% %%x_2=1-\textstyle\sqrt7%%

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

%%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(1+\sqrt7\;\mathrm l\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(1-\sqrt7\;\mathrm l\;0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=0^2-0-2%%

%%f(0)=-2%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l-2\right)\;%%

Bestimme die Schnittpunkte der Geraden y=x1,5y=x-1{,}5 mit der Parabel y=x24x+2,5y=x^2-4x+2{,}5 rechnerisch.
Kontrolliere dein Ergebnis graphisch.

Gegeben sind zwei Funktionen mit den Gleichungen %%y=x+1%% und %%y=\frac1{2x}%% .

  1. Zeichne die Graphen der beiden Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem und lies die Koordinaten der Schnittpunkte näherungsweise ab.

  2. Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte exakt.

1.Teilaufgabe:

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2299_2rzyUTGdiv.xml

 

2.Teilaufgabe:

Schnittpunkte bestimmen

%%y=x+1%%

%%y=\frac1{2x}%%

Funktionen gleichsetzen

%%x+1=\frac1{2x}%%

  %%\left|{\cdot2x}\right.%%

  %%2x^2+2x=1%%

  %%\left|{-1}\right.%%

%%2x^2+2x-1=0%%

Diskriminante berechnen.

%%\begin{array}{l}D=4-4\cdot2\cdot(-1)\\\;=12>0\;\;\;\Rightarrow\;\;2\;\mathrm{Lösungen}\end{array}%%

Diskriminante in Mitternachtsformel einsetzen.

%%x_1=\;\frac{-2+\sqrt{12}}{2\cdot2}\approx\;\frac{56}{153}%%

%%x_1%% in die Gleichung einsetzten, um %%y_1%% zu berechnen.

%%y_1=\frac{56}{153}+1=\;1\frac{56}{153}%%

 

$$\Rightarrow S_1(\frac{56}{153}\vert1\frac{56}{153})$$

 

 

 

%%x_2=\frac{-2-\sqrt{12}}{2\cdot2}\approx-1\frac{56}{153}%%

%%x_2%% in Gleichung einsetzen, um %%y_2%% auszurechnen.

%%y_2=\;-1\frac{56}{153}+1=\frac{56}{153}%%

 

%%S_2\left(-1\frac{56}{153}\left|\frac{56}{153}\right.\right)%%

 

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform

y=3x218x+27y=3x^2-18x+27
y=3[x26x+9]y=3\left[x^2-6x+9\right]
y=3(x3)2y=3\left(x-3\right)^2
Scheitelform ablesen.
S(3/0)S\left(3/0\right)

y=13x22x+3y=\frac13x^2-2x+3
y=13[x26x+9]y=\frac13\left[x^2-6x+9\right]
y=13(x3)2y=\frac13\left(x-3\right)^2
Scheitelform ablesen.
S(3/0)S\left(3/0\right)

Sie haben den gleichen Scheitel, sind nach oben geöffnet;
Die erste ist jedoch enger und die zweite weiter.

Bestimme jeweils die maximale Definitionsmenge und untersuche, ob die Terme %%\frac{a-2}{8-8a+2a^2}%% und %%\frac1{2a-4}%% äquivalent sind.

Der Nenner darf nicht Null werden:

%%\frac{a-2}{8-8a+2a^2}=%%

%%=\frac{a-2}{2(4-4a+a^2)}=%%

%%=\frac{a-2}{2(a^2-4a+4)}=%%

%%=\frac{a-2}{2(a-2)^2}%%

%%\Rightarrow D_1=\mathbb{R}\backslash\left\{2\right\}%%

%%\frac1{2a-4}%%

%%D_2=\mathbb{R}\setminus\left\{2\right\}%%

 

Äquivalenz überprüfen

%%\frac{a-2}{2(a-2)^2}=%%

Mit (a-2) kürzen.

%%=\frac1{2a-4}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die beiden Terme sind äquivalent

Christian, Manfred und Peter sollten als Hausaufgabe die Gleichung %%x^2-2x-2=0%% graphisch lösen. Sie sind dabei unterschiedlich vorgegangen, aber alle auf die gleichen Näherungslösungen %%x_1\approx-0,7%% und %%x_2\approx2,7%% gekommen.

 

a. Überprüfe die Näherungslösungen rechnerisch.

b. Erläutere die Vorgehensweisen von Christian, Manfred und Peter.

c. Ermittle mit jedem Verfahren die Lösungen der Gleichung %%x^2+3x+2=0%%.

d. Manfred und Peter sind von Christians Methode begeistert und versuchen, damit die Gleichung %%2x^2-x-6=0%% zu lösen.

Sie gehen dabei aber unterschiedlich vor (siehe nachstehende Abbildungen). Welche Ergebnisse erhalten sie? Überprüfe rechnerisch. Wer von beiden ist deiner Meinung nach geschickter vorgegangen? Begründe.

Teilaufgabe a

Quadratische Gleichung

 

%%x^2-2x-2=0%%

Mitternachsformel anwenden. %%\;\;\rightarrow\;%% Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)=12%%

%%\;\;\Rightarrow\;%% 2 Lösungen.

%%x_1=\frac{2+\sqrt{12}}2=1+\sqrt3\approx2,7%%

 

%%x_2=\frac{2-\sqrt{12}}2=1-\sqrt3\approx0,7%%

 

 

 

Teilaufgabe b

Christian:

 

%%x^2-2x-2=0%%

Klammerschreibweise.

%%x^2-\left(2x+2\right)=0%%

%%\vert\;\;+\left(2x+2\right)%%

%%x^2=2x+2%%

 

Christian setzt die Normalparabel einer Geraden gleich, um so den Schnittpunkt zu berechnen.

 

 

Manfred:

 

%%x^2-2x-2=0%%

%%x^2-2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-2=0%%

%%\left(x-1\right)^2-\left(\frac22\right)^2-2=0%%

%%\vert\;\;+2%%

%%\left(x-1\right)^2-1=2%%

 

Manfred setzt die Normalparabel einer Geraden gleich, um so den Schnittpunkt zu berechnen.

 

 

Peter:

 

%%x^2-2x-2=0%%

%%x^2-2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-2=0%%

%%\left(x-1\right)^2-1-2=0%%

 

%%\left(x-1\right)^2-3=0%%

 

Mit der Scheitelform kann jede Verschiebung der Normalparabel direkt abgelesen werden. %%\;\rightarrow\;\;%% Um 1 LE nach rechts an der x-Achse entlang. Um 3 LE nach unten an der y-Achse entlang.

 

 

Teilaufgabe c

Christians Methode:

 

%%x^2+3x+2=0%%

%%\vert\;-3x-2%%

%%x^2=-3x-2%%

 

Christian setzt die  Normalparabel einer Geraden gleich, um so den Schnittpunkt zu berechnen.

 Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2889_2zFJap9pxo.xml

 

 

Manfreds Methode:

 

%%x^2+3x+2=0%%

%%x^2+3x+\left(\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2+2=0%%

 

%%\left(x+\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2+2=0%%

%%\left(x+\frac32\right)^2-\frac94+2=0%%

%%\vert\;\;-2%%

%%\left(x+\frac32\right)^2-\frac94=-2%%

 

Manfred setzt die Normalparabel einer Geraden gleich, um so den Schnittpunkt zu berechnen.

 

 

Image Title

 

Peters Lösung:

 

%%x^2+3x+2=0%%

%%x^2+3x+\left(\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2+2=0%%

 

%%\left(x+\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2+2=0%%

%%\left(x+\frac32\right)^2-\frac94+2=0%%

Hauptnenner bilden. %%\;\;\rightarrow\;\;4%%

%%\left(x+\frac32\right)^2-\frac94+\frac84=0%%

 

%%\left(x+\frac32\right)^2-\frac{1}4=0%%

 

Mit der Scheitelform kann jede Verschiebung der Normalparabel direkt abgelesen werden. %%\;\rightarrow\;\;%% Um %%\frac32%% LE nach rechts an der x-Achse entlang. Um %%\frac{1}4%% LE nach oben an der y-Achse entlang.

 

Image Title

 

 

Teilaufgabe d

Manfred:

 

%%2x^2-x-6=0%%

%%\vert\;\;+x+6%%

%%2x^2=x+6%%

%%\vert\;\;:\;2%%

%%x^2=-\frac12x-3%%

 

Manfred teilt durch 2, um die Normalparabel zu erhalten und damit die Gerade zu schneiden.

 

Peter:

 

%%2x^2-x-6=0%%

%%\vert\;\;+x+6%%

%%2x^2=x+6%%

 

Peter macht dies nicht, sondern zeichnet die Parabel gleich mit der Stauchung um 2. Genauso wie Manfred findet er durch das Schneiden mit der Gerade die Lösung der Gleichung.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Manfreds Methode ist praktischer, da sich eine Normalparabel einfacher zeichnen lässt als eine mit Stauchung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion

Teilaufgabe a)

Den Scheitel der Prabel kannst du im Koordinatensystem ablesen. Er liegt bei S(34)S(3|4).
Bestimme nun den Öffnungsfaktor a. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, hat a ein negatives Vorzeichen.
Allgemein hat eine Parabel in Scheitelpunktsform die Form:
f(x)=a(xxs)2+ysf(x)=a(x-x_s)^2+y_s
Setze den Scheitel ein:
f(x)=a(x3)2+4f(x)=a(x-3)^2+4
Der Punkt (1|0) liegt auf dem Graphen. Setze den Punkt ein, um aa zu bestimmen:
0=a(13)2+40=a(1-3)^2+4
a=1\Rightarrow a=-1
Gib die vollständige Parabelgleichung an:
f(x)=(x3)2+4f(x)=-(x-3)^2+4

Teilaufgabe b)

Bestimme die Definitionsmenge der Funktion:
f(x)=(x3)2+4f(x)=-(x-3)^2+4
Es existiert keine Einschränkung der Defintionsmenge, also:
Df=RD_f=\mathbb{R}

Teilaufgabe c)

Bestimme den maximalen Wert in der Wertemenge der Funktion.
f(x)=(x3)2+4f(x)=-(x-3)^2+4
Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist der höchste Punkt der Parabel die y-Koordinate des Scheitelpunktes .
ymax=4y_{max}=4

Teilaufgabe d)

Berechne die Nullstellen von f(x)=(x3)2+4f(x)=-(x-3)^2+4.
Bestimme die Nullstellen anhand der Zeichnung.
x1=1x_1=1 und x2=5x_2=5
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/3474_NH9Hx5QnYJ.xml

Teilaufgabe e)

Gib die Wertemenge der Funktion an.
Aus Teilaufgabe c) weißt du bereits, dass ymax=4y_{max}=4 ist.
Die Wertemenge der Funktion muss also kleiner als y=4 sein, da die Parabel nach unten geöffnet ist und der Scheitel den höchsten Punkt darstellt.
Die y-Werte werden für unendlich große Zahlen und unendlich kleine Zahlen unendlich klein. Somit ist der Wertebereich:
W=];4]W=\rbrack-\infty;4\rbrack

Teilaufgabe f)

Berechne die Nullstellen der Funktion.
f(x)=(x3)2+4f(x)=-(x-3)^2+4
Setze x=1x=1 in die Funktionsgleichung ein:
f1(1)=(13)2+4=22+4=4+4=0f_1(1)=-(1-3)^2+4=-2^2+4=-4+4=0
        x=1\;\;\Rightarrow\;\;x=1 ist eine Nullstelle.
Setze x=5x=5 in die Funktionsgleichung ein.
f(5)=(53)2+4=4+4=0f(5)=-(5-3)^2+4=-4+4=0
        x=5\;\;\Rightarrow\;\;x=5 ist eine Nullstelle.

Berechne für folgende Parabel die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt. Zeichne den Graphen.

%%f(x)=x^2+2x+5%%

%%f(x)=x^2+2x+5%%

%%=x^2+2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2+5%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\left(x+\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2+5%%

%%=\left(x+1\right)^2-1+5%%

%%=\left(x+1\right)^2+4%%

Scheitelpunkt ablesen.

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-1\left|4\right.\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5469_S5JjVWcvUl.xml

%%f(x)=x^2+4x+1%%

%%f(x)=x^2+4x+1%%

%%=x^2+4x+{\textstyle\left({\displaystyle\frac42}\right)}^2-{\textstyle\left({\displaystyle\frac42}\right)}^2+1=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\left(x+\frac42\right)^2-{\textstyle\left({\displaystyle\frac42}\right)}^2+1=%%

%%=\left(x+\textstyle2\right)^2-2^2+1=%%

%%=\left(x+\textstyle2\right)^2-4+1=%%

%%=\left(x+\textstyle2\right)^2-3%%

Scheitelpunkt ablesen.

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-2\left|-3\right.\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5471_SDPhpMDvv6.xml

%%f(x)=x^2-4x+1%%

%%f(x)=x^2-4x+1%%

%%=x^2-4x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+1=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\left(x-\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+1=%%

%%=\left(x-2\right)^2-2^2+1=%%

%%=\left(x-2\right)^2-4+1=%%

%%=\left(x-2\right)^2-3%%

Scheitelpunkt ablesen.

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(2\left|-3\right.\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5473_Mu8fsuqxcz.xml

%%f(x)=x^2-3x+3{,}5%%

%%f(x)=x^2-3x+3{,}5%%

%%=x^2-3x+\left(\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2+3{,}5=%%

In eine binomische Formel umschreiben.

%%=\left(x-\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2+3{,}5=%%

%%=\left(x-\frac32\right)^2-\frac94+3{,}5=%%

%%\frac94=2{,}25%%

%%=\left(x-\frac32\right)^2-2{,}25+3{,}5=%%

%%=\left(x-\frac32\right)^2+1{,}25%%

%%1{,}25=\frac54%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(\frac32\,\middle|\,\frac54\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5475_KnPoI3UuRq.xml

%%f(x)=x^2+x-3%%

%%f(x)=x^2+x-3%%

%%=x^2+x+\left(\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2-3=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\left(x+\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2-3=%%

%%=\left(x+\frac12\right)^2-\frac14-3=%%

3 in einen unechten Bruch umwandeln.

%%=\left(x+\frac12\right)^2-\frac14-\frac{12}4=%%

%%=\left(x+\frac12\right)^2-\frac{13}4%%

Scheitelpunkt ablesen.

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-\frac12\left|-\frac{13}4\right.\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5477_6h2NP9T53N.xml

%%f(x)=-x^2+2x+1%%

%%f(x)=-x^2+2x+1%%

%%=-\left(x^2-2x-1\right)=%%

%%=-\left(x^2-2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-1\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=-\left(\left(x-\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-1\right)=%%

%%=-\left(\left(x-1\right)^2-1^2-1\right)=%%

%%=-\left(\left(x-1\right)^2-1-1\right)=%%

%%=-\left(\left(x-1\right)^2-2\right)=%%

%%=-\left(x-1\right)^2+2%%

Scheitelpunkt ablesen.

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(1\left|2\right.\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5479_cdy7BKtgr9.xml

%%f(x)=-x^2+5x-5%%

%%f(x)=-x^2+5x-5%%

Distributivgesetz anwenden. Minus ausklammern.

%%=-\left(x^2-5x+5\right)=%%

%%=-\left(x^2-5x+\left(\frac52\right)^2-\left(\frac52\right)^2+5\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=-\left(\left(x-\frac52\right)^2-\left(\frac52\right)^2+5\right)=%%

%%=-\left(\left(x-\frac52\right)^2-\frac{25}4+5\right)=%%

5 in einen unechten Bruch umschreiben.

%%=-\left(\left(x-\frac52\right)^2-\frac{25}4+\frac{20}4\right)=%%

%%=-\left(\left(x-\frac52\right)^2-\frac54\right)=%%

%%=-\left(x-\frac52\right)^2+\frac54%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(\frac52\left|\frac54\right.\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5481_LhoCD2mbFS.xml

%%f(x)=\frac12x^2+x+2%%

%%f(x)=\frac12x^2+x+2%%

Distributivgesetz anweden. %%\frac12%% ausklammern.

%%=\frac12\left(x^2+x:\frac12+2:\frac12\right)%%

%%=\frac12\left(x^2+x\cdot\frac21+2\cdot\frac21\right)%%

%%=\frac12\left(x^2+2x+4\right)%%

%%=\frac12\left(x^2+2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2+4\right)%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\frac12\left(\left(x+\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2+4\right)%%

%%=\frac12\left(\left(x+1\right)^2-1^2+4\right)%%

%%=\frac12\left(\left(x+1\right)^2-1+4\right)%%

%%=\frac12\left(\left(x+1\right)^2+3\right)%%

%%=\frac12\left(x+1\right)^2+\frac12\cdot3%%

%%=\frac12\left(x+1\right)^2+\frac32%%

Scheitelpunkt ablesen.

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-1\left|\frac32\right.\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5483_8gkwLOuhYG.xml