Aufgaben

Welche Werte kann die Variable t annehmen, so dass die folgenden Aussagen richtig sind?

Der Graph der Funktion f mit %%f\left(x\right)=x^2+\mathrm{tx}+1%% verläuft vollständig oberhalb der x-Achse.

Quadratische Funktionen

Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.

Es werden zwei mögliche Lösungswege vorgestellt.

1.Lösungsweg: Betrachtung der Diskriminanten

$$x^2+tx+1=0$$

Diskriminante: %%D=t^2-4%%.

Als Bedingung dafür, dass keine Nullstelle existiert, ergibt sich nun %%D=t^2-4<0%%.

$$t^2-4<0\;\Leftrightarrow\;t\in\;]{-2};2[$$

Daher liegt %%t%% im Intervall %%]{-2};2[%%.

2.Lösungsweg: Scheitelpunkt ermitteln

Gegeben ist die Funktion:

%%f(x)=x^2+\mathrm{tx}+1;\;x\in R%%

Der Graph der Funktion %%f(x)%%  soll oberhalb der %%x%%- Achse verlaufen.

Daraus folgt für alle Werte  %%f(x)>0%%.

Der Scheitelpunkt der Parabel muss also auch oberhalb der %%x%%-Achse liegen.

%%\begin{array}{l}f(x)=x^2+\mathrm{tx}+(\frac t2)^2-(\frac t2)^2+1\\\\\;\;\;\;\;=(x+\frac t2)^2+1-(\frac t2)^2\;\\\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;=(x+\frac t2)^2+1-\frac{t^2}4\;\;\;\;\;\;S(\;-\frac t{2\;}|1-\frac{t^2}4)\end{array}%%

Bilde die quadratische Ergänzung

 

Bilde das Binom

 

 

Bestimme die Scheitelpunktsform und den Scheitel.

%%1-\frac{t^2}4>0\;\Leftrightarrow t^2<4%%

Die %%y%%-Koordinate des Scheitels muss oberhalb der %%x%%-Achse liegen  also  %%f(t)>0%% . Daraus folgt die Ungleichung:

$$\Leftrightarrow t\in\;]{-2};2[$$

Lösen der Ungleichung:

Wurzel ziehen und beachten, dass sowohl negative als auch

positive Werte auftreten können.

 

Ergebnis:

Der Paramter %%t%% liegt im Intervall %%]{-2};2[%% .

Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit %%f\left(x\right)=-x^2-\mathrm{tx}-2%% liegt auf der x-Achse.

Quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.

%%f(x)=-x^2-tx-2%%

1.Lösungsmöglichkeit: Diskriminante

Da der Scheitel der zugehörigen Parabel auf der x-Achse liegen soll, hat die quadratische Gleichung %%-x^2-tx-2=0%% genau eine Lösung.

Für die Diskriminante muss also %%D=0%% gelten.

Es folgt: %%D=t^2-4\cdot(-2)\cdot(-1)=t^2-8=0%%, also %%t=\sqrt8%% oder %%t=-\sqrt8%%.

2.Lösungsmöglichkeit: Scheitelform

Mit der Scheitelform einer quadratischen Funktion kann der Scheitelpunkt abgelesen werden.

%%\begin{array}{l}f(x)=-x^2-tx-2=-\lbrack x^2+tx+\frac{t^2}4-\frac{t^2}4\rbrack-2=-\lbrack(x+\frac t2)^2-\frac{t^2}4\rbrack-2=\\=(x+\frac t2)^2+\frac{t^2}4-2\end{array}%%

Der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt also bei %%(-\frac t2\vert\frac{t^2}4-2)%%.

Da der Scheitel auf der x-Achse liegen soll und dessen y-Koordinate damit %%0%% ist, muss %%\frac{t^2}4-2=0%% gelten.

Also: %%t^2=8%% und damit %%t=\sqrt8%% oder %%t=-\sqrt8%%.

Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit %%f\left(x\right)=-x^2-\mathrm{tx}-2%% liegt auf der y-Achse.

Quadratische Funktionen

Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.

%%f\left(x\right)=-x^2-\mathrm{tx}-2%%

1.Lösungsweg: Achsensymmetrie

Da der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegen soll, muss %%f(x)=f(-x)%% für alle %%x\in\mathbb{R}%% gelten.

Damit: %%-(x)^2-tx-2=-(-x)^2-t(-x)-2%%, also %%-tx=tx%% %%\Rightarrow2tx=0%% %%\Rightarrow t=0%%.

2.Lösungsweg: Scheitelform

Mit der Scheitelform einer quadratischen Funktion kann der Scheitelpunkt abgelesen werden.

%%f(x)=-x^2-tx-2%%

%%-\lbrack x^2+tx+\frac{t^2}4-\frac{t^2}4\rbrack-2%%

Verwende die binomische Formel.

%%-\lbrack(x+\frac t2)^2-\frac{t^2}4\rbrack-2%%

Löse die Klammern auf.

%%-(x+\frac t2)^2+\frac{t^2}4-2%%

Lese nun den Scheitelpunkt ab.

Der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt also bei %%(-\frac t2\vert\frac{t^2}4-2)%%.

Da der Scheitel auf der y-Achse liegen soll und dessen x-Koordinate dafür %%0%% sein muss, muss %%-\frac t2=0%% gelten, also %%t=0%%.

Gegeben ist eine quadratische Funktion %%f(x)=(x-1)(x-2)%%.

Bestimme %%a%% so, dass die Parabel %%g(x)=ax^2%% den Graphen von %%f(x)%% berührt.

geg. : %%\mathrm f(\mathrm x)=(\mathrm x-1)(\mathrm x-2);\;\mathrm g(\mathrm x)=\mathrm{ax}^2%%

Um den Berührpunkt berechnen zu können, müssen die Funktionen gleichgesetzt werden.

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm g\left(\mathrm x\right)%%

%%f(x)-g(x)=0%%

%%(\mathrm x-1)(\mathrm x-2)-ax^2=0%%

%%\mathrm x^2-2\mathrm x-\mathrm x+2-ax^2=0%%

%%\left(1-\mathrm a\right)\mathrm x^2-3\mathrm x+2=0%%

Mitternachtsformel anwenden. Da der Berührpunkt der Funktionen gesucht ist, muss für die Diskriminante %%D=0%% gelten (doppelte Nullstelle!).

%%\mathrm D=\left(-3\right)^2-4\cdot\left(1-\mathrm a\right)\cdot2=0%%

%%9-4\cdot\left(1-\mathrm a\right)\cdot2=0%%

%%9-8\cdot\left(1-\mathrm a\right)=0%%

Die Klammer ausmultiplizieren.

%%1+8\mathrm a=0%%

Die Gleichung nach a auflösen. | -1

%%8\mathrm a=-1%%

| :8

%%\mathrm a=-\frac18%%

%%\;\rightarrow\;%%   %%g\left(\mathrm x\right)=-\frac18\mathrm x^2%%

Zeigen Sie, dass es keinen Wert von a gibt, sodass der Graph von %%f(x)%% die Normalparabel berührt.

%%f(x)=ax^2+1%%

%%f(x)=ax^2+1%%

Setzte die Funktionen gleich um den Wert für den Berührpunkt zu berechnen.

%%ax^2+1=x^2%%

Bringe die eins auf die rechte Seite.

%%ax^2=x^2-1%%

Teile nun durch %%x^2%%

%%a=\dfrac{x^2-1}{x^2}%%

Man sieht also, dass der Streckungsfaktor a vom x-Wert abhängt. Es gibt also keinen a Wert, so dass die Funktionen sich berühren.

Eine Parabel mit der Funktionsgleichung %%f(x)%% hat ihren Scheitel in %%S\left(0/6\right)%% und schneidet die x-Achse im Punkt %%P_x(2\sqrt3/0)%%

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung und zeichnen Sie den Graphen.

geg.: %%S\left(0|6\right)%%%%P_x(2\sqrt3|0)%%

Mit Hilfe des Scheitelpunkts die Scheitelform aufstellen.

%%f(x)=\mathrm ax^2+6%%

Den Punkt %%P_x(2\sqrt3/0)%% in die Gleichung einsetzen:

%%0=\mathrm a\cdot\left(2\sqrt3\right)^2+6%%

%%\left(2\sqrt3\right)^2=12%%

%%0=\mathrm a\cdot12+6%%

| -6

%%12\mathrm a=-6%%

| :12

%%\mathrm a=-\frac6{12}=-\frac12%%

%%\mathrm a=-\frac12%% in %%f(x)=\mathrm ax^2+6%% einsetzen.

%%\;\Rightarrow\;f(x)=-\frac12\mathrm x^2+6%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5796_7Y7XsfBZDy.xml

Ermitteln Sie die Koeffizienten %%a_2%% und %%a_1%% so, dass die Funktion %%f(x)=a_2x^2+a_1x+3%% an den Stellen %%x=-1%%   und %%x=0,5%% die gleichen Funktionswerte hat wie die Funktion %%g(x)=2x-1%% .

y-Werte berechnen:

%%f(x)=a_2x^2+a_1x+3%%

%%g(x)=2x-1%%

Zuerst die Funktionswerte von %%g(x)%% an den Stellen %%x=-1%% und %%x=0,5%% berechnen.

%%x=-1%% einsetzen:

%%g(-1)=2\cdot\left(-1\right)-1=-3%%

%%\;\;\rightarrow%% %%{\mathrm P}_1\left(-1\vert-3\right)%%

An diesem Punkt müssen sich die Funktionen schneiden.

%%x=0,5%% einsetzen:

%%g(0,5)=2\cdot0,5-1=0%%

%%\;\;\rightarrow%% %%{\mathrm P}_2\left(0,5\vert\;0\right)%%

An diesem Punkt müssen sich die Funktionen schneiden.

 

Gleichung für %%x=-1%% aufstellen:

%%f(x)=a_2x^2+a_1x+3%%

%%{\mathrm P}_1\left(-1\vert-3\right)%% in f(x) einsetzen

%%-3=a_2\left(-1\right)^2+a_1\left(-1\right)+3%%

%%-3=a_2-a_1+3%%

 

Gleichung für %%x=0,5%% aufstellen:

%%{\mathrm P}_2\left(0,5\vert\;0\right)%% in f(x) einsetzen

%%0=a_2\left(0,5\right)^2+a_1\cdot0,5+3%%

%%0=0,25a_2+0,5a_1+3%%

%%a_2%% berechnen:

I) %%-3=a_2-a_1+3%%

II) %%0=0,25a_2+0,5a_1+3\;\;\vert\cdot2%%

I) %%-3=a_2-a_1+3%%

II) %%0=0,5a_2+a_1+6%%

I) + II):   %%-3+0=a_2+0,5a_2-a_1+a_1+3+6%%

%%-3=1,5a_2+9%%

| -9

%%1,5a_2=-12%%

| :1,5

%%a_2=-8%%

 

%%a_1%% berechnen

%%-3=a_2-a_1+3%%

%%a_2=-8%% einsetzen.

%%-3=-8-a_1+3%%

%%-3=-5-a_1%%

| +5

%%2=-a_1%%

%%a_1=-2%%

%%\Rightarrow%% %%f(x)=-8\mathrm x^2-2\mathrm x+3%%

Gegeben sind die Funktionsgleichungen folgender Parabeln:

1.Bestimme die Scheitelform und den Scheitelpunkt.

2.Berechne die Achsenschnittpunkte.

3.Beschreibe schrittweise, wie f(x) aus der Normalparabel entsteht und wie sie geöffnet ist.

4.Zeichne den Graphen von f(x) in ein geeignetes Koordinatensystem.

%%f\left(x\right)=x^2-4x+2%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=x^2-4x+2%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=x^2-4x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+2=%%

Umformen in eine Binomische Formel .

%%=\left(x-\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+2=%%

%%=\left(x-2\right)^2-2^2+2=%%

%%=\left(x-2\right)^2-4+2=%%

%%=\left(x-2\right)^2-2%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(2\;\vert-2\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=x^2-4x+2%%

Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%x^2-4x+2=0%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=16-4\cdot1\cdot2%%

%%\mathrm D=16-8=8%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{4+\sqrt8}2=2+\sqrt2%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(2+\sqrt2\vert0\right)%%

%%x_2=\frac{4-\sqrt8}2=2-\sqrt2\approx0,586%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(2-\sqrt2\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=x^2-4x+2%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0-0+2%%

%%f\left(0\right)=2%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert2\right)%%

 

3.Verschiebung

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%f\left(x\right)=\left(x-2\right)^2-2%%

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 2 LE nach rechts.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 2 LE nach unten.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6003_ThS3ww7qch.xml

%%f\left(x\right)=x^2+4x+2%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=x^2+4x+2%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=x^2+4x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+2=%%

Umformen in eine Binomische Formel.

%%=\left(x+\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+2=%%

%%=\left(x+2\right)^2-2^2+2=%%

%%=\left(x+2\right)^2-4+2=%%

%%=\left(x+2\right)^2-2%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(-2\;\vert-2\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=x^2+4x+2%%

Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%x^2+4x+2=0%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=16-4\cdot1\cdot2%%

%%\mathrm D=16-8=8%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{-4+\sqrt8}2=-2+\sqrt2\approx-0,586%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2+\sqrt2\vert0\right)%%

%%x_2=\frac{-4-\sqrt8}2=-2-\sqrt2\approx-3,414%%

%%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-2-\sqrt2\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=x^2+4x+2%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0+0+2%%

%%f\left(0\right)=2%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert2\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%f\left(x\right)=\left(x+2\right)^2-2%%

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 2 LE nach links.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 2 LE nach unten.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6007_6MLWielxmo.xml

%%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert2\right)%%

%%f\left(x\right)=-x^2-4x+3%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=-x^2-4x+3%%

Minus ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz.

%%=-\left(x^2+4x-3\right)=%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=-\left(x^2+4x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-3\right)=%%

Umformen in eine Binomische Formel.

%%=-\left(\left(x+\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-3\right)=%%

%%=-\left(\left(x+2\right)^2-2^2-3\right)=%%

%%=-\left(\left(x+2\right)^2-4-3\right)=%%

%%=-\left(\left(x+2\right)^2-7\right)=%%

%%=-\left(x+2\right)^2+7%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(-2\;\vert\;7\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=-x^2-4x+3%%

Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%-x^2-4x+3=0%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=16-4\cdot\left(-1\right)\cdot3%%

%%\mathrm D=16+12=28%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{4+\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=-2-\sqrt7\approx-4,64%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2-\sqrt7\vert0\right)%%

%%x_2=\frac{-4-\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=-2+\sqrt7\approx0,65%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-2+\sqrt7\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=-x^2-4x+3%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0-0+3%%

%%f\left(0\right)=3%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert3\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebunge n lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%f\left(x\right)=-\left(x+2\right)^2+7%%

%%\;\rightarrow\;%% Nach unten geöffnet.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 2 LE nach links.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 7 LE nach oben.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6168_C6ZWhyHZpj.xml

%%f\left(x\right)=-x^2+8x-9%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=-x^2+8x-9%%

Minus ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz.

%%=-\left(x^2-8x+9\right)=%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=-\left(x^2-8x+\left(\frac82\right)^2-\left(\frac82\right)^2+9\right)=%%

Umformen in eine Binomische Formel .

%%=-\left(\left(x-\frac82\right)^2-\left(\frac82\right)^2+9\right)=%%

%%=-\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-4^2+9\right)=%%

%%=-\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-16+9\right)=%%

%%=-\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-7\right)=%%

%%=-\left(x-\textstyle4\right)^2+7%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(4\;\vert\;7\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=-x^2+8x-9%%

Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%-x^2+8x-9=0%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=64-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-9\right)%%

%%\mathrm D=64-36=28%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{-8+\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=4-\sqrt7\approx1,35%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(4-\sqrt7\vert0\right)%%

%%x_2=\frac{-8-\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=4+\sqrt7\approx6,65%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(4+\sqrt7\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=-x^2+8x-9%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0+0-9%%

%%f\left(0\right)=-9%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert-9\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%f\left(x\right)=-\left(x-\textstyle4\right)^2+7%%

%%\;\rightarrow\;%% Nach unten geöffnet.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 4 LE nach rechts.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 7 LE nach oben.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6174_H2EV6KOQmh.xml

%%f\left(x\right)=\frac12x^2-4x+5%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=\frac12x^2-4x+5%%

%%\frac12%% ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz .

%%=\frac12\left(x^2-8x+10\right)=%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=\frac12\left(x^2-8x+\left(\frac82\right)^2-\left(\frac82\right)^2+10\right)=%%

Umformen in eine Binomische Formel .

%%=\frac12\left(\left(x-\frac82\right)^2-\left(\frac82\right)^2+10\right)=%%

%%=\frac12\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-4^2+10\right)=%%

%%=\frac12\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-16+10\right)=%%

%%=\frac12\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-6\right)=%%

%%=\frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-6\cdot\frac12=%%

%%=\frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-\frac62=%%

%%=\frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-3%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(4\;\vert\;-3\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=\frac12x^2-4x+5%%

Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%\frac12x^2-4x+5=0%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=16-4\cdot\frac12\cdot5%%

%%\mathrm D=16-10=6%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{4+\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=4+\sqrt6\approx6,45%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(4+\sqrt6\vert0\right)%%

%%x_2=\frac{4-\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=4-\sqrt6\approx1,55%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(4-\sqrt6\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=\frac12x^2-4x+5%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0-0+5%%

%%f\left(0\right)=5%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert5\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%f\left(x\right)=\frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-3%%

%%\;\rightarrow\;%% Gestaucht mit %%\frac12%% .

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 4 LE nach rechts.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 3 LE nach unten.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6196_kEw79OrGZY.xml

%%f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6%%

%%-\frac12%% ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz .

%%=-\frac12\left(x^2{\textstyle+}{\textstyle4}x-12\right)=%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=-\frac12\left(x^2{\textstyle+}{\textstyle4}x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-12\right)=%%

Umformen in eine Binomische Formel .

%%=-\frac12\left(\left(x+\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-12\right)=%%

%%=-\frac12\left(\left(x+\textstyle2\right)^2-2^2-12\right)=%%

%%=-\frac12\left(\left(x+\textstyle2\right)^2-4-12\right)=%%

%%=-\frac12\left(\left(x+\textstyle2\right)^2-16\right)=%%

%%=-\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2-16\cdot\left(-\frac12\right)=%%

%%=-\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2+\frac{16}2=%%

%%=-\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2+\textstyle8%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(-2\;\vert\;8\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6%%

Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6=0%%

%%-\frac12%% ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz .

%%=-\frac12\left(x^2{\textstyle+}{\textstyle4}x-12\right)=%%

Satz von Vieta anwenden.

%%=-\frac12\left(x+6\right)\left(x-2\right)%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-6\vert0\right)%% ; %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(2\vert\;0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0-0+6%%

%%f\left(0\right)=6%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert6\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%=-\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2+\textstyle8%%

%%\;\rightarrow\;%% Nach unten geöffnet.

%%\;\rightarrow\;%% Gestaucht mit %%\frac12%% .

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 2 LE nach links.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 8 LE nach oben.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6200_F8aMieCOLH.xml

%%f\left(x\right)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

%%\frac12%% ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz.

%%=\frac13\left(x^2-2x-\textstyle6\right)=%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=\frac13\left(x^2-2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-\textstyle6\right)=%%

Umformen in eine Binomische Formel.

%%=\frac13\left(\left(x-\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-\textstyle6\right)=%%

%%=\frac13\left(\left(x-\textstyle1\right)^2-1^2-\textstyle6\right)=%%

%%=\frac13\left(\left(x-\textstyle1\right)^2-1-\textstyle6\right)=%%

%%=\frac13\left(\left(x-\textstyle1\right)^2-\textstyle7\right)=%%

%%=\frac13\left(x-\textstyle1\right)^2-{\textstyle7}{\textstyle\cdot}\frac13=%%

%%=\frac13\left(x-\textstyle1\right)^2-\frac73%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(1\;\vert\;-\frac73\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%\frac13x^2-\frac23x-2=0%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=\left(-\frac23\right)^2-4\cdot\frac13\cdot\left(-2\right)%%

%%\left(-\frac23\right)^2=\frac49%%

%%\mathrm D=\frac49-4\cdot\frac13\cdot\left(-2\right)%%

%%\mathrm D=\frac49+\frac83%%

%%\mathrm D=\frac49+\frac{24}9=\frac{28}9%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{{\displaystyle\frac23}+\sqrt{\displaystyle\frac{28}9}}{2\cdot\displaystyle\frac13}=1+\sqrt7\approx3,65%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(1+\sqrt7\vert0\right)%%

%%x_2=\frac{{\displaystyle\frac23}-\sqrt{\displaystyle\frac{28}9}}{2\cdot\displaystyle\frac13}=1-\sqrt7\approx-1,65%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(1-\sqrt7\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

Für x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0-0-2%%

%%f\left(0\right)=-2%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert-2\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%=\frac13\left(x-\textstyle1\right)^2-\frac73%%

%%\;\rightarrow\;%% Gestaucht mit %%\frac13%% .

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um 1 LE nach rechts.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um  %%\frac73%% LE nach unten.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6202_qRo8RL1xPz.xml

%%f\left(x\right)=-\frac23x^2+\frac34x+6%%

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(x\right)=-\frac23x^2+\frac34x+6%%

%%-\frac23%% ausklammern. %%\;\rightarrow\;%% Distributivgesetz.

%%=-\frac23\left(x^2-\frac98x-\frac{18}2\right)=%%

Kürzen mit 2.

%%=-\frac23\left(x^2-\frac98x-\textstyle9\right)=%%

In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.

%%=-\frac23\left(\left(x-\frac98\cdot\frac12\right)^2-\left(\frac98\cdot\frac12\right)^2-\textstyle9\right)=%%

%%=-\frac23\left(\left(x-\frac9{16}\right)^2-\left(\frac9{16}\right)^2-\textstyle9\right)=%%

%%\left(\frac9{16}\right)^2=\frac{81}{256}%%

%%=-\frac23\left(\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{81}{256}-\textstyle9\right)=%%

Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern .

%%=-\frac23\left(\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{81}{256}-\frac{2304}{256}\right)=%%

%%=-\frac23\left(\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{2385}{256}\right)=%%

%%=-\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{2385}{256}\cdot\left(-\frac23\right)=%%

Kürzen der Faktoren mit 2.

%%=-\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{2385}{128}\cdot\left(-\frac13\right)=%%

Kürzen der Faktoren mit 3.

%%=-\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{795}{128}\cdot\left(-\frac11\right)=%%

%%=-\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2+\frac{795}{128}%%

%%\;\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(\frac9{16}\;\vert\;\frac{795}{128}\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

%%f\left(x\right)=-\frac23x^2+\frac34x+6%%

Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.

%%\mathrm D=\left(\frac34\right)^2-4\cdot{\textstyle\left(-\displaystyle\frac23\right)}\cdot6=%%

Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.

%%=\left(\frac34\right)^2-4\cdot{\textstyle\left(-\displaystyle\frac{12}3\right)}=%%

%%=\left(\frac34\right)^2-4\cdot{\textstyle\left(-4\right)}=%%

%%=\left(\frac34\right)^2+16=%%

%%\left(\frac34\right)^2=\frac9{16}%%

%%=\frac9{16}+16=%%

Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern .

%%=\frac9{16}+\frac{256}{16}=%%

%%=\frac{265}{16}%%

%%\;\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{-{\displaystyle\frac34}+\sqrt{\displaystyle\frac{265}{16}}}{2\cdot\left(-\displaystyle\frac23\right)}\approx-2,49%%

Mit Taschenrechner den genauen Wert berechnen.

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2,49\vert0\right)%%

%%x_1=\frac{-{\displaystyle\frac34}-\sqrt{\displaystyle\frac{265}{16}}}{2\cdot\left(-\displaystyle\frac23\right)}\approx3,61%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(3,61\vert0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(x\right)=-\frac23x^2+\frac34x+6%%

x gleich 0 setzen.

%%f\left(0\right)=0+0+6%%

%%f\left(0\right)=6%%

%%\;\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert6\right)%%

 

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: %%f\left(x\right)=x^2%%

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

%%=-\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2+\frac{795}{128}%%

%%\;\rightarrow\;%% Nach unten geöffnet.

%%\;\rightarrow\;%% Gestaucht mit %%\frac23%% .

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um  %%\frac9{16}%% LE nach rechts.

%%\;\rightarrow\;%% Verschiebung um %%\frac{795}{128}%% LE nach oben.

4.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6204_lAkLh1rsyi.xml

Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Parabel mit: %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\frac12x^2+2x+1%% .

1.Berechne den Scheitelpunkt mit Hilfe der Scheitelform.

2.Berechne die Achsenschnittpunkte.

3.Die Parabel soll so verschoben werden, dass der Punkt der Parabel, der auf der y-Achse liegt durch den Punkt P (-3| -1) verläuft. Wie lautet die Funktionsgleichung g(x) der verschobenen Parabel?

4.Wo schneiden sich beide Parabeln?

5.Zeichne beide Parabeln in ein geeignetes Koordinatensystem.

1.Scheitelpunkt berechnen

%%f\left(\mathrm x\right)=-\frac12x^2+2x+1%%

Distributivgesetz anwenden.  %%-\frac12%% ausklammern.

%%=-\frac12\left(x^2-4x-2\right)=%%

%%=-\frac12\left(x^2-4x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-2\right)=%%

Schreibe in eine Binomische Formel um.

%%=-\frac12\left(\left(x-\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-2\right)=%%

%%=-\frac12\left(\left(x-\textstyle2\right)^2-{\textstyle2}^2-2\right)=%%

%%=-\frac12\left(\left(x-\textstyle2\right)^2-{\textstyle4}-2\right)=%%

%%=-\frac12\left(\left(x-\textstyle2\right)^2-6\right)=%%

Wende das Distributivgesetz an.

%%=-\frac12\left(x-\textstyle2\right)^2-6\cdot\left(-\frac12\right)=%%

%%=-\frac12\left(x-\textstyle2\right)^2\textstyle+\textstyle3%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(2\;\left|\;3\right.\right)%%

 

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmen: Nullstelle berechnen

%%\ f\left(\mathrm x\right)=-\frac12x^2+2x+1%%

Wende die Mitternachtsformel an. Dazu erst die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=2^2-4\cdot\left(-\frac12\right)\cdot1=%%

%%=4-4\cdot\left(-\frac12\right)=%%

%%=4+2=6%%

%%\rightarrow\;%% 2 Lösungen. Wende die Mitternachtsformel an.

$$x_1=\frac{-2+\sqrt D}{2\cdot(-0,5)}=2-\sqrt6$$

%%\rightarrow\;%% %%P_{x_1}\left(2-\sqrt6\vert\;0\right)%%

%%x_2=\frac{-2-\sqrt D}{2\cdot(-0,5)}=\textstyle2\textstyle+\textstyle\sqrt6%%

%%\rightarrow\;%% %%P_{x_1}\left(2+\sqrt6\vert\;0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f\left(\mathrm x\right)=-\frac12x^2+2x+1%%

Setze x gleich 0.

%%f\left(0\right)=-\frac120^2+2\cdot0+1=1%%

%%\rightarrow\;%% %%P_y\left(0\vert\;1\right)%%

3.Verschieben der Parabel

%%P`\left(-3\vert\;-1\right)%% ; %%P_y\left(0\vert\;1\right)%%

0 %%\rightarrow\;%% 3

Verschiebung um 3 Einheiten nach links.

-1 %%\rightarrow\;%% 1

Verschiebung um 2 Einheiten nach unten.

Um eine Parabel zu verschieben, muss die Scheitelform nach vorherig gemachten Angaben verändert werden.

%%f\left(\mathrm x\right)=-\frac12\left(x-\textstyle2\right)^2\textstyle+\textstyle3%% %%\rightarrow\;%% %%g\left(\mathrm x\right)=-\frac12\left(x\textstyle+\textstyle1\right)^2\textstyle+\textstyle1%%

Multipliziere die Funktion aus. Binomische Formel.

%%=-\frac12{\textstyle\left(x^2+2x+1\right)}+1\textstyle=%%

%%=-\frac12x^2-x-\frac12+1=%%

%%=-\frac12x^2-x+\frac12%%

4.Schnittpunkte berechnen

Ansatz: %%f(x)=g(x)%%

%%f\left(x\right)=-\frac12x^2+2x+1%% ; %%g\left(x\right)=-\frac12x^2-x+\frac12%%

%%-\frac12x^2+2x+1=-\frac12x^2-x+\frac12%%

Nach x auflösen.

%%\Leftrightarrow%% %%2x+1=-x+\frac12%%

%%\Leftrightarrow%% %%3x=-\frac12%%

%%\Leftrightarrow%% %%x=-\frac16%%

Setze den gefundenen x-Wert in eine der Anfangsgleichungen, um den zugehörigen y-Wert zu berechnen.

%%f\left(-\frac16\right)=-\frac12\cdot\left(-\frac16\right)^2+\frac16+\frac12=%%

%%=-\frac12\cdot\frac1{36}+\frac16+\frac12=%%

%%=-\frac1{72}+\frac16+\frac12=%%

Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern . %%\rightarrow\;%% 6

%%=-\frac1{72}+\frac16+\frac36=%%

%%=-\frac1{72}+\frac46=%%

Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern . %%\rightarrow\;%% 72

%%=-\frac1{72}+\frac{48}{72}=%%

%%=\frac{47}{72}%%

%%\rightarrow\;%% %%\mathrm S\left(-\frac16\vert\;\frac{47}{72}\right)%%

5.Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7639_3PLhUDrTWy.xml

Der Kraftstoffverbrauch eines PKW hängt bekanntlich von der Geschwindgkeit ab. Durch Messungen wurde der funktionale Zusammenhang ermittelt. Es gilt: %%\mathrm K\left(\mathrm v\right)=0,002\mathrm v^2-0,18\mathrm v+8,55%% für v > 40.

Dabei bedeutet K(v) der Kraftstoffverbrauch in Liter/100 km und v die Geschwindigkeit in km/h.

a. Bei welcher Geschwindigkeit beträgt der Verbrauch genau 7 Liter auf 100 km?

b. Bei welcher Geschwindigkeit ist der Kraftstoffverbrauch am geringsten?

a) Geschwindigkeit berechnen

%%\mathrm K\left(\mathrm v\right)=0,002\mathrm v^2-0,18\mathrm v+8,55%% für %%\mathrm v>40%%

Der Verbrauch auf 100 km ist 7 Liter. Daraus folgt:

%%\mathrm K\left(\mathrm v\right)=7%%

Setze die Gleichungen gleich .

%%7=0,002\mathrm v^2-0,18\mathrm v+8,55%%

Um die Geschwindigkeit v zu berechnen, wende die Mitternachtsformel an.

| -7

%%\begin{array}{l}0=0,002\mathrm v^2-0,18\mathrm v+8,55-7\\\end{array}%%

%%\begin{array}{l}0=0,002\mathrm v^2-0,18\mathrm v+1,55\\\end{array}%%

Berechne die Diskriminante D.

%%\mathrm D=\left(-0,18\right)^2-4\cdot0,002\cdot1,55=%%

%%=0,0324-0,0124=%%

%%=0,02%%

%%\rightarrow%% 2 Lösungen, da %%0,02>0%%

%%v_1=\frac{0,18+\sqrt{0,02}}{2\cdot0,002}=%%

Berechne mit dem Taschenrechner.

%%=\textstyle45\textstyle+\textstyle25\textstyle\sqrt2\textstyle\approx\textstyle80\textstyle,\textstyle36%%

  %%\rightarrow%%   Bei einer Geschwindigkeit von 80,36 km/h ist der Verbracuh 7 Liter/100 km.

%%v_2=\frac{0,18-\sqrt{0,02}}{2\cdot0,002}=%%

%%=45-25\sqrt2\approx9,64%%

  %%\rightarrow%%   9,64 km/h ist keine gültige Lösung, da %%\mathrm v>40%% sein muss.

 

b) Geschwindigkeit für den geringsten Kraftstoffverbrauch berechnen

v für den geringsten Kraftstoffverbrauch

Da der Kraftstoffverbrauch in Koordinaten die y-Werte darstellt, muss man überlegen, was der kleinste y-Wert der Funktion ist. %%\rightarrow%% Der Scheitelpunkt hat den geringsten Wert. Dazu berechne die Scheitelform mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.

%%\mathrm K\left(\mathrm v\right)=0,002\mathrm v^2-0,18\mathrm v+8,55=%%

Klammere 0,002 aus.

%%=0,002\left(\mathrm v^2-\frac{0,18}{0,002}\mathrm v+\frac{8,55}{0,002}\right)=%%

%%=0,002\left(\mathrm v^2-{\textstyle90}\mathrm v+\textstyle4275\right)=%%

%%=0,002\left(\mathrm v^2-{\textstyle90}\mathrm v+\left(\frac{90}2\right)^2-\left(\frac{90}2\right)^2+\textstyle4275\right)=%%

Wandle in eine Binomische Formel um.

%%=0,002\left(\left(\mathrm v-\frac{90}2\right)^2-\left(\frac{90}2\right)^2+\textstyle4275\right)=%%

%%=0,002\left(\left(\mathrm v-\textstyle45\right)^2-45^2+\textstyle4275\right)=%%

%%=0,002\left(\left(\mathrm v-\textstyle45\right)^2-2025+\textstyle4275\right)=%%

%%=0,002\left(\left(\mathrm v-\textstyle45\right)^2+2250\right)=%%

Wende das Distributivgesetz an.

%%=0,002\left(\mathrm v-\textstyle45\right)^2+2250\cdot0,002=%%

%%=0,002\left(\mathrm v-\textstyle45\right)^2+4,5%%

  %%\rightarrow%%   %%\mathrm S\left(45\vert\;4,5\right)%%

  %%\Rightarrow%%   Bei einer Geschwindigkeit von 45 km/h ist derKraftstoffverbrauch mit 4,5 Liter auf 100 km am geringsten.

Für eine 18m lange Brücke werden in 2m Abstand Stützpfeiler benötigt. Die Höhe der beiden äußersten Stüzpfeiler beträgt 4,5m.

Berechne die Länge aller Pfeiler.

Geogebra File: /uploads/legacy/8017_IO1wrkgRI0.xml

Da die Brücke 18m lang sein soll, muss der Scheitelpunkt des Brückenbogens in der Mitte davon liegen. In diesem Fall liegt er im Punkt (0 |0).

Allgemeine Parabelgleichung : %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm{ax}^2%%

geg.: %%{\mathrm P}_1\left(-9\vert\;-4,5\right)\;;\;{\mathrm P}_2\left(9\;\vert-4,5\right)%%

Setze %%{\mathrm P}_1%% in die Gleichung ein.

%%-4,5=\mathrm a\left(-9\right)^2%%

%%-4,5=81\mathrm a%%

Löse nach a auf.

%%-\frac{4,5}{81}=\mathrm a%%

%%\mathrm a=-\frac1{18}%%

Setze a in die allgemeine Parabelgleichung ein.

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\frac1{18}\mathrm x^2%%

Die Stützpfeiler sind in 2m Abständen aufgestellt, in dem Koordinatensystem also bei %%\mathrm x=\pm9\;;\;\pm7\;;\;\pm5\;;\;\pm3\;;\;\pm1%% . Setze diese x-Werte jeweils in die erarbeitete allgemeine Parabelgleichung  %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\frac1{18}\mathrm x^2%% ein, um die zugehörigen y-Werte auf der Parabel zu finden.

%%\mathrm f\left(\pm1\right)=-\frac1{18}\cdot\left(\pm1\right)^2\approx-0,056%%

%%\mathrm f\left(\pm3\right)=-\frac1{18}\cdot\left(\pm3\right)^2=-0,5%%

%%\mathrm f\left(\pm5\right)=-\frac1{18}\cdot\left(\pm5\right)^2\approx-1,389%%

%%\mathrm f\left(\pm7\right)=-\frac1{18}\cdot\left(\pm7\right)^2\approx-2,722%%

%%\mathrm f\left(\pm9\right)=-\frac1{18}\cdot\left(\pm9\right)^2=-4,5%%

%%\;\;\Rightarrow%% Pfeilerlänge für je 2 Pfeiler: %%0,056\mathrm m\;\;;\;0,5\mathrm m\;\;;\;1,389\mathrm m\;\:;\;2,722\mathrm m\;\;;\;4,5\mathrm m%%

Ein biologischer Versuch zeigt folgende Messwerte bei der Untersuchung einer Zellkultur:

Benötigte Zeit in h

0

2

4

6

8

Anzahl der Zellteilungen

0

2

8

18

32

Das Wachstum der Zellkultur kann durch eine quadratische Funktion beschrieben werden.

a. Berechne die Funktionsgleichung und zeichne den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.

b. Nach welcher Zeit haben 200 Zellteilungen stattgefunden?

c. Wie lange dauert es, bis 1800 Teilungen erfolgt sind?

a. Funktionsgleichung berechnen

Die Zeit entspricht den x-Werten im Koordinatensystem, die Anzahl der Zellteilungen den y-Werten.

Allgemeine Gleichung: %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm{ax}^2%%

Setze einen der x-Werte und den dazugehörigen y-Wert in die Gleichung ein. In diesem Beispiel: Punkt %%\left(4\vert\;8\right)%%

%%8=\mathrm a\cdot4^2%%

Löse nach a auf.

%%8=\mathrm a\cdot16%%

%%\frac8{16}=\mathrm a%%

%%\mathrm a=\frac12%%

Setze a in die allgemeine Gleichung %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm{ax}^2%% ein.

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x^2%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7901_hFmP7Khtsq.xml

b. Zeit für 200 Zellteilungen berechnen

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x^2%%

Setze die Anzahl 200 für den y-Wert der Gleichung ein.

%%200=\frac12\mathrm x^2%%

| %%\cdot2%%

%%200\cdot2=\mathrm x^2%%

%%\mathrm x^2=400%%

| %%\sqrt{}%%

%%{\mathrm x}_{1/2}=\pm\sqrt{400}%%

%%{\mathrm x}_{1/2}=\pm20%%

Da es keine negative Zeit gibt, kann das Ergebnis nur positiv, also 20 sein.

  %%\Rightarrow%% Nach 20 Stunden fanden 200 Teilungen statt.

 

c. Zeit für 1800 Zellteilungen berechnen

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x^2%%

Setze die Anzahl 1800 für den y-Wert der Gleichung ein.

%%1800=\frac12\mathrm x^2%%

| %%\cdot2%%

%%1800\cdot2=\mathrm x^2%%

%%3600=\mathrm x^2%%

| %%\sqrt{}%%

%%{\mathrm x}_{1/2}=\pm\sqrt{3600}%%

%%{\mathrm x}_{1/2}=\pm60%%

Da es keine negative Zeit gibt, kann das Ergebnis nur positiv, also 60 sein.

%%\Rightarrow%% Nach 60 Stunden fanden 1800 Teilungen statt.

Bestimme die Scheitelform der Parabeln und zeichne sie.

Gegeben sind die quadratischen Funktionen %%f(x)%% und %%g(x)%% mit %%f(x)=-x^2-3x;\;x\in\mathbb{R}%% und %%g(x)=0,5x(x+3);\;x\in\mathbb{R}%%

Zeichne die Graphen von %%f(x)%% und %%g(x)%% in ein Koordinatensystem. Begründe ohne Rechnung, warum sich %%f(x)%% und %%g(x)%% auf der x-Achse schneiden.

%%S\left(-1,5|2,25\right)%% ist der Scheitel von %%f(x)%%.

Gib den Scheitel von %%g(x)%% an.

%%\begin{array}{l}f\left(x\right)=-x^2-3x\\g\left(x\right)=0,5x\left(x+3\right)\end{array}%%

Damit die Graphen die x-Achse schneiden/berühren können, muss der y-Wert gleich 0 sein. %%\rightarrow%% Nullstelle . Man sieht sofort, dass bei beiden Funktionen, wenn für x 0 eingesetzt wird, der y-Wert auch 0 wird. Daraus folgt, dass sich die Funktionen in diesem Punkt schneiden müssen.

%%\rightarrow%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(0\vert0\right)%%

Die zweite Nullstelle muss berechnet werden, man kann sie nicht einfach ablesen.

%%f\left(x\right)=-x^2-3x%%

%%f\left(x\right)%% gleich 0 setzen.

%%0=-x^2-3x%%

| %%+x^2%%

%%x^2=-3x%%

| : %%x%%

%%x=-3%%

%%\rightarrow%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(0\vert-3\right)%%

%%g\left(x\right)=0,5x\left(x+3\right)%%

%%g\left(x\right)%% gleich 0 setzen.

%%0=0,5x\left(x+3\right)%%

Nur einer der Faktoren muss Null ergeben, um die ganze Funktion gleich 0 werden zu lassen. %%\rightarrow%%

%%0=x+3%%

%%x=-3%%

%%\rightarrow%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(0\vert-3\right)%%

Die beiden Graphen haben zwei gleiche Nullstellen, schneiden sich also zweimal auf der x-Achse.

 

%%g\left(x\right)=0,5x\left(x+3\right)%%

Scheitelform bestimmen. Dafür erst das x in die Klammer multiplizieren. %%\rightarrow%% Distributivgesetz

%%=0,5\left(x^2+3x\right)=%%

%%=0,5\left(x^2+3x+\left(\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2\right)=%%

In eine Binomische Formel umformen.

%%=0,5\left(\left(x+\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2\right)=%%

%%\left(\frac32\right)^2=\frac94%%

%%=0,5\left(\left(x+\frac32\right)^2-\frac94\right)=%%

%%=0,5\left(x+\frac32\right)^2-\frac94\cdot0,5=%%

%%0,5=\frac12%%. Multiplikation.

%%=0,5\left(x+\frac32\right)^2-\frac98%%

%%\rightarrow%% %%\mathrm S\left(-\frac32\vert-\frac98\right)%%

Anmerkung: Auf die x-Koordinate des Scheitels hätte man auch sofort schließen können, da sich diese aufgrund der Symmetrie der Parabel als arithmetisches Mittel der Nullstellen ergibt.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5788_0f4JrcVc16.xml

Die Gerade %%x=u%% schneidet den Graphen von %%f(x)%% im Punkt %%P%% und den Graphen von %%g(x)%% im Punkt %%Q%%. Gib %%P%% und %%Q%% an.

Einsetzen von %%\mathrm x=\mathrm u%% in  %%f(x)%% :

%%\mathrm f(\mathrm u)=-\mathrm u^2-3\mathrm u%%

Ablesen der Koordinaten.

  %%\rightarrow%%   %%\mathrm P\left(\mathrm u\vert-\mathrm u^2-3\mathrm u\right)%%

Einsetzen von %%\mathrm x=\mathrm u%% in %%g(x)%% :

%%g(\mathrm u)=0,5\mathrm u\left(\mathrm u+3\right)%%

  %%\rightarrow%%   %%\mathrm Q\left(\mathrm u\vert0,5\mathrm u\left(\mathrm u+3\right)\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6989_0tITfhWCYy.xml

Für %%u\in\;\rbrack-3;0\lbrack%% ist die Strecke [PQ] eine Seite eines Rechtecks, das den beiden Parabeln einbeschrieben ist. Bestimme den Inhalt des Rechtecks für %%u=-1%% und den Umfang %%U%% in Abhängigkeit von %%u%%.

Im Bild ist %%u=-2,5%%:

Image Title

Es gilt: %%\overline{PQ}=\vert y_P-y_Q\vert=\vert-u^2-3u-0,5u(u+3)\vert=\vert-1,5u^2-4,5u\vert%%

Wegen der Achsensymmetrie der beiden Parabeln zur Geraden %%x=-1,5%%, gilt für die x-Koordinate der Punkte %%R%% und %%S%%:

%%x_R=x_S=-u-3%%

Damit folgt: %%\overline{PS}=\vert x_P-x_S\vert=\vert2u+3\vert%% und für %%u=-1%% ergibt sich: %%{\overline{PS}}_{u=-1}=\vert2\cdot(-1)+3\vert=1%%

Da für %%x\in\;\rbrack-3;0\lbrack%% die Funktion %%f(x)%% oberhalb von %%g(x)%% verläuft, können die Betragsstriche auch weggelassen werden, also %%\overline{PQ}=-1,5u^2-4,5u%%.

Für %%u=-1%% gilt somit für den Flächeninhalt %%A%% des Rechtecks PQRS: %%A_{u=-1}={\overline{PQ}}_{u=-1}\;\cdot\;{\overline{PS}}_{u=-1}=-1,5+4,5=3%%

Der Umfang beträgt allgemein: %%U=2(\vert2u+3\vert-1,5u^2-4,5u)%%

Verschiebe die Parabel %%g(x)%% in y-Richtung so, dass die verschobene Parabel den Graphen von %%f(x)%% berührt. Bestimme die Koordinaten des Berührpunktes %%B%%.

Damit sich die Graphen der Funktion %%f(x)%% und der verschobenen Funktion %%g(x)+c%% an der Stelle %%x%% berühren, muss zunächst %%f(x)=g(x)+c%% gelten. Um sicherzustellen, dass ein Berührpunkt vorliegt, musst du zeigen, dass die Funktion %%f(x)−(g(x)+c)%% bei %%x%% eine doppelte Nullstelle besitzt.

%%f(x)=g(x)+c%%

%%\Leftrightarrow\;-x^2-3x=0,5x(x+3)+c%%

%%\Leftrightarrow\;-1,5x^2-4,5x-c=0%%

Damit sich eine doppelte Nullstelle ergibt, muss für die Diskriminante %%D=0%% gelten.

Die x-Koordinate des Berührpunkts ergibt sich dann als %%\frac{-(-4,5)\pm\sqrt D}{2\cdot(-1,5)}=-1,5%%.

Da dies auch die x-Koordinate des Scheitels des Graphen von %%f%% ist, gilt: %%B=S=(-1,5|2,25)%%.

Untersuche die gegenseitige Lage von %%f(x)%% und %%g(x)%% in Abhängigkeit von a, wenn gilt:

%%f(x)=-x^2+1;\;x\in\mathbb{R}%% und %%g(x)=ax^2-a;\;x\in\mathbb{R};\;a\in\mathbb{R}^+%%

%%\begin{array}{cccc}\mathrm f\left(\mathrm x\right)&=&\mathrm g\left(\mathrm x\right)&\\-\mathrm x^2+1&=&\mathrm{ax}^2-\mathrm a&\vert+\mathrm a\vert+\mathrm x^2\\1+\mathrm a&=&\mathrm x^2\left(1+\mathrm a\right)&\vert:\left(1+\mathrm a\right)\\\mathrm x^2&=&1&\vert\sqrt{}\\\mathrm x&=&\pm1&\end{array}%%

Da a positiv ist, ist g(x) eine nach oben geöffnete Parabel und liegt damit für %%a\geq 1%% über f und sonst darunter.

Bestimme die Schnittpunkte der Geraden %%y=x-1{,}5%% mit der Parabel %%y=x^2-4x+2{,}5%% rechnerisch.

Kontrolliere dein Ergebnis graphisch.

%%\begin{array}{l}\;\;y=x-1{,}5\\\;\;y=x^2-4x+2{,}5\end{array}%%

Funktionen gleichsetzen.

 

%%x-1{,}5=x^2-4x+2{,}5%%

|%%{}-x+1{,}5%%

 

%%0=x^2-4x-x+2{,}5+1{,}5%%

 

 

%%0=x^2-5x+4%%

Mitternachtsformel anwenden %%\;\rightarrow%% Diskriminante %%D%% berechnen.

 

%%D=25-4\cdot4=9%%

 

%%\begin{array}{l}x_1=\frac{5-\sqrt9}2=1\\x_2=\frac{5+\sqrt9}2=4\end{array}%%

%%y%%-Werte berechnen. %%\rightarrow%% %%x_1%% in Gleichung einsetzen.

%%\begin{array}{l}x_1=1\;\\\Rightarrow\;y_1\;=f(x_1)=1-1{,}5=-0{,}5\end{array}%%

 

 

%%\Rightarrow S_{1\;}(1\mid-0{,}5)%%

%%x_2%% in Gleichung einsetzen.

 

%%\begin{array}{l}x_2=4\\\Rightarrow\;\;y_2=f(x_2)=4-1{,}5=2{,}5\end{array}%%

 

 

%%\Rightarrow\;S_{2\;}\left(4\mid2{,}5\right)%%

 

 

Graphische Lösung:

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2289_4rHrVwUJVI.xml

Gib jeweils die Gleichung einer Parabel an, die mit der Parabel  %%y=x^2+2x%% keinen, einen bzw. zwei verschiedene Schnittpunkte hat.

Zur besseren Übersicht berechnen wir zunächst die Scheitelform mit quadratischer Ergänzung:

$$y=x^2+2x+1^2-1^2=(x+1)^2-1$$

Parabel ohne Schnittpunkt

 

%%y=(x+1)^2-1%%

Es gibt viele Lösungen. Beispielsweise: die gleiche Gleichung nach obendurch den y-Achsenabschnitt t verschieben.

%%y'=(x+1)^2%%

 

Parabel mit einem Schnittpunkt

 

%%y=(x+1)^2-1%%

Es gibt viele Lösungen. Beispielsweise: die gleiche Gleichung umdrehen, sodass sich nur die Scheitel der Graphen berühren. Dafüer braucht man die Scheitelform.

%%y'=-(x+1)^2-1%%

Parabel mit zwei Schnittpunkten

 

%%y=(x+1)^2-1%%

auch hier gibt es viele Lösungen. Beispielsweise:  Die gleiche Gleichung wieder umdrehen und sie dann aber noch um 1 nach oben verschieben, sodass sich 2 Schnittpunkte bilden.

%%y'=-\left(x+1\right)^2%%

 

Gegeben sind zwei Funktionen mit den Gleichungen %%y=x+1%% und %%y=\frac1{2x}%% .

  1. Zeichne die Graphen der beiden Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem und lies die Koordinaten der Schnittpunkte näherungsweise ab.

  2. Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte exakt.

1.Teilaufgabe:

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2299_2rzyUTGdiv.xml

 

2.Teilaufgabe:

Schnittpunkte bestimmen

%%y=x+1%%

%%y=\frac1{2x}%%

Funktionen gleichsetzen

%%x+1=\frac1{2x}%%

  %%\left|{\cdot2x}\right.%%

  %%2x^2+2x=1%%

  %%\left|{-1}\right.%%

%%2x^2+2x-1=0%%

Diskriminante berechnen.

%%\begin{array}{l}D=4-4\cdot2\cdot(-1)\\\;=12>0\;\;\;\Rightarrow\;\;2\;\mathrm{Lösungen}\end{array}%%

Diskriminante in Mitternachtsformel einsetzen.

%%x_1=\;\frac{-2+\sqrt{12}}{2\cdot2}\approx\;\frac{56}{153}%%

%%x_1%% in die Gleichung einsetzten, um %%y_1%% zu berechnen.

%%y_1=\frac{56}{153}+1=\;1\frac{56}{153}%%

 

$$\Rightarrow S_1(\frac{56}{153}\vert1\frac{56}{153})$$

 

 

 

%%x_2=\frac{-2-\sqrt{12}}{2\cdot2}\approx-1\frac{56}{153}%%

%%x_2%% in Gleichung einsetzen, um %%y_2%% auszurechnen.

%%y_2=\;-1\frac{56}{153}+1=\frac{56}{153}%%

 

%%S_2\left(-1\frac{56}{153}\left|\frac{56}{153}\right.\right)%%

 

Wodurch unterscheiden sich die Parabeln  %%y=3x^2-18x+27%%  und  %%y=\frac13x^2-2x+3%%  ?

%%y=3x^2-18x+27%%

%%y=3\left[x^2-6x+9\right]%%

%%y=3\left(x-3\right)^2%%

%%S\left(3/0\right)%%

%%y=\frac13x^2-2x+3%%

%%y=\frac13\left[x^2-6x+9\right]%%

%%y=\frac13\left(x-3\right)^2%%

%%S\left(3/0\right)%%

Sie haben den gleichen Scheitel, sind nach oben geöffnet;

Die erste ist jedoch enger und die zweite weiter.

Bestimme jeweils die maximale Definitionsmenge und untersuche, ob die Terme %%\frac{a-2}{8-8a+2a^2}%% und %%\frac1{2a-4}%% äquivalent sind.

Der Nenner darf nicht Null werden:

%%\frac{a-2}{8-8a+2a^2}=%%

%%=\frac{a-2}{2(4-4a+a^2)}=%%

%%=\frac{a-2}{2(a^2-4a+4)}=%%

%%=\frac{a-2}{2(a-2)^2}%%

%%\Rightarrow D_1=\mathbb{R}\backslash\left\{2\right\}%%

%%\frac1{2a-4}%%

%%D_2=\mathbb{R}\setminus\left\{2\right\}%%

 

Äquivalenz überprüfen

%%\frac{a-2}{2(a-2)^2}=%%

Mit (a-2) kürzen.

%%=\frac1{2a-4}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die beiden Terme sind äquivalent

Christian, Manfred und Peter sollten als Hausaufgabe die Gleichung %%x^2-2x-2=0%% graphisch lösen. Sie sind dabei unterschiedlich vorgegangen, aber alle auf die gleichen Näherungslösungen %%x_1\approx-0,7%% und %%x_2\approx2,7%% gekommen.

 

a. Überprüfe die Näherungslösungen rechnerisch.

b. Erläutere die Vorgehensweisen von Christian, Manfred und Peter.

c. Ermittle mit jedem Verfahren die Lösungen der Gleichung %%x^2+3x+2=0%%.

d. Manfred und Peter sind von Christians Methode begeistert und versuchen, damit die Gleichung %%2x^2-x-6=0%% zu lösen.

Sie gehen dabei aber unterschiedlich vor (siehe nachstehende Abbildungen). Welche Ergebnisse erhalten sie? Überprüfe rechnerisch. Wer von beiden ist deiner Meinung nach geschickter vorgegangen? Begründe.

Teilaufgabe a

Quadratische Gleichung

 

%%x^2-2x-2=0%%

Mitternachsformel anwenden. %%\;\;\rightarrow\;%% Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)=12%%

%%\;\;\Rightarrow\;%% 2 Lösungen.

%%x_1=\frac{2+\sqrt{12}}2=1+\sqrt3\approx2,7%%

 

%%x_2=\frac{2-\sqrt{12}}2=1-\sqrt3\approx0,7%%

 

 

 

Teilaufgabe b

Christian:

 

%%x^2-2x-2=0%%

Klammerschreibweise.

%%x^2-\left(2x+2\right)=0%%

%%\vert\;\;+\left(2x+2\right)%%

%%x^2=2x+2%%

 

Christian setzt die Normalparabel einer Geraden gleich, um so den Schnittpunkt zu berechnen.

 

 

Manfred:

 

%%x^2-2x-2=0%%

%%x^2-2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-2=0%%

%%\left(x-1\right)^2-\left(\frac22\right)^2-2=0%%

%%\vert\;\;+2%%

%%\left(x-1\right)^2-1=2%%

 

Manfred setzt die Normalparabel einer Geraden gleich, um so den Schnittpunkt zu berechnen.

 

 

Peter:

 

%%x^2-2x-2=0%%

%%x^2-2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-2=0%%

%%\left(x-1\right)^2-1-2=0%%

 

%%\left(x-1\right)^2-3=0%%

 

Mit der Scheitelform kann jede Verschiebung der Normalparabel direkt abgelesen werden. %%\;\rightarrow\;\;%% Um 1 LE nach rechts an der x-Achse entlang. Um 3 LE nach unten an der y-Achse entlang.

 

 

Teilaufgabe c

Christians Methode:

 

%%x^2+3x+2=0%%

%%\vert\;-3x-2%%

%%x^2=-3x-2%%

 

Christian setzt die  Normalparabel einer Geraden gleich, um so den Schnittpunkt zu berechnen.

 Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2889_2zFJap9pxo.xml

 

 

Manfreds Methode:

 

%%x^2+3x+2=0%%

%%x^2+3x+\left(\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2+2=0%%

 

%%\left(x+\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2+2=0%%

%%\left(x+\frac32\right)^2-\frac94+2=0%%

%%\vert\;\;-2%%

%%\left(x+\frac32\right)^2-\frac94=-2%%

 

Manfred setzt die Normalparabel einer Geraden gleich, um so den Schnittpunkt zu berechnen.

 

 

Image Title

 

Peters Lösung:

 

%%x^2+3x+2=0%%

%%x^2+3x+\left(\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2+2=0%%

 

%%\left(x+\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2+2=0%%

%%\left(x+\frac32\right)^2-\frac94+2=0%%

Hauptnenner bilden. %%\;\;\rightarrow\;\;4%%

%%\left(x+\frac32\right)^2-\frac94+\frac84=0%%

 

%%\left(x+\frac32\right)^2-\frac{1}4=0%%

 

Mit der Scheitelform kann jede Verschiebung der Normalparabel direkt abgelesen werden. %%\;\rightarrow\;\;%% Um %%\frac32%% LE nach rechts an der x-Achse entlang. Um %%\frac{1}4%% LE nach oben an der y-Achse entlang.

 

Image Title

 

 

Teilaufgabe d

Manfred:

 

%%2x^2-x-6=0%%

%%\vert\;\;+x+6%%

%%2x^2=x+6%%

%%\vert\;\;:\;2%%

%%x^2=-\frac12x-3%%

 

Manfred teilt durch 2, um die Normalparabel zu erhalten und damit die Gerade zu schneiden.

 

Peter:

 

%%2x^2-x-6=0%%

%%\vert\;\;+x+6%%

%%2x^2=x+6%%

 

Peter macht dies nicht, sondern zeichnet die Parabel gleich mit der Stauchung um 2. Genauso wie Manfred findet er durch das Schneiden mit der Gerade die Lösung der Gleichung.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Manfreds Methode ist praktischer, da sich eine Normalparabel einfacher zeichnen lässt als eine mit Stauchung.

Parabelgleichung:Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/3472_NL8kGJwV9K.xml

a. Gib die Funktionsgleichung der abgebildeten Parabel an.

b. Stelle dir vor, dass sich die Parabel in einem beliebig großen Koordinatensystem beliebig fortsetzt.
Was ist dann die Definitionsmenge obiger Funktion?

c. Angenommen, wir hätten zum Zeichnen des Graphen eine (beliebig große) Wertetabelle berechnet –
welches wird mit Sicherheit der größte y – Wert in dieser Tabelle sein?

d. Markiere im Graphen die Nullstellen und gib diese an.

e. Gib nun die Wertemenge der Funktion an.

f. Setze die beiden in c. ermittelten Nullstellen in die Funktionsgleichung ein und bestätige durch Rechnung, dass es tatsächlich Nullstellen sind.

Teilaufgabe a)

Scheitel %%S(3|4)%%

Öffnungsfaktor a bestimmen (negatives Vorzeichen wegen der Öffnung nach unten).

%%f(x)=a(x-x_s)^2+y_s%%

Hier:

%%f(x)=a(x-3)^2+4%%

Punkt (1|0) einsetzen, um %%a%% zu bestimmen:

%%0=a(1-3)^2+4%%

$$\Rightarrow a=-1$$

Vollständige Parabelgleichung angeben:

%%f(x)=-(x-3)^2+4%%

 

Teilaufgabe b)

%%f(x)=-(x-3)^2+4%%

Es existiert keine Einschränkung der Defintionsmenge.

%%D_f=\mathbb{R}%%

 

Teilaufgabe c)

%%f(x)=-(x-3)^2+4%%

Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist der höchste Punkt der Parabel die y-Koordinate des Scheitelpunktes .

%%y_{max}=4%%

 

Teilaufgabe d)

%%f(x)=-(x-3)^2+4%%

Bestimme die Nullstellen anhand der Zeichnung.

%%x_1=1%% und %%x_2=5%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/3474_NH9Hx5QnYJ.xml

 

Teilaufgabe e)

%%y_{max}=4%%

Die Wertemenge der Funktion muss kleiner als y=4 sein, da die Parabel nach unten geöffnet ist und der Scheitel den höchsten Punkt darstellt.

%%W=\rbrack-\infty;4\rbrack%%

 

Teilaufgabe f)

%%f(x)=-(x-3)^2+4%%

x=1 in die Funktionsgleichung einsetzen

%%f_1(1)=-(1-3)^2+4=-2^2+4=-4+4=0%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;x=1\;ist\;eine\;Nullstelle%%

x=5 in die Funktionsgleichung einsetzen

%%f(5)=-(5-3)^2+4=-4+4=0%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;x=5\;ist\;eine\;Nullstelle%%

Berechne für folgende Parabel die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt. Zeichne den Graphen.

%%f(x)=x^2+2x+5%%

%%f(x)=x^2+2x+5%%

%%=x^2+2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2+5%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\left(x+\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2+5%%

%%=\left(x+1\right)^2-1+5%%

%%=\left(x+1\right)^2+4%%

Scheitelpunkt ablesen.

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-1\left|4\right.\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5469_S5JjVWcvUl.xml

%%f(x)=x^2+4x+1%%

%%f(x)=x^2+4x+1%%

%%=x^2+4x+{\textstyle\left({\displaystyle\frac42}\right)}^2-{\textstyle\left({\displaystyle\frac42}\right)}^2+1=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\left(x+\frac42\right)^2-{\textstyle\left({\displaystyle\frac42}\right)}^2+1=%%

%%=\left(x+\textstyle2\right)^2-2^2+1=%%

%%=\left(x+\textstyle2\right)^2-4+1=%%

%%=\left(x+\textstyle2\right)^2-3%%

Scheitelpunkt ablesen.

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-2\left|-3\right.\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5471_SDPhpMDvv6.xml

%%f(x)=x^2-4x+1%%

%%f(x)=x^2-4x+1%%

%%=x^2-4x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+1=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\left(x-\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+1=%%

%%=\left(x-2\right)^2-2^2+1=%%

%%=\left(x-2\right)^2-4+1=%%

%%=\left(x-2\right)^2-3%%

Scheitelpunkt ablesen.

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(2\left|-3\right.\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5473_Mu8fsuqxcz.xml

%%f(x)=x^2-3x+3{,}5%%

%%f(x)=x^2-3x+3{,}5%%

%%=x^2-3x+\left(\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2+3{,}5=%%

In eine binomische Formel umschreiben.

%%=\left(x-\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2+3{,}5=%%

%%=\left(x-\frac32\right)^2-\frac94+3{,}5=%%

%%\frac94=2{,}25%%

%%=\left(x-\frac32\right)^2-2{,}25+3{,}5=%%

%%=\left(x-\frac32\right)^2+1{,}25%%

%%1{,}25=\frac54%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(\frac32\,\middle|\,\frac54\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5475_KnPoI3UuRq.xml

%%f(x)=x^2+x-3%%

%%f(x)=x^2+x-3%%

%%=x^2+x+\left(\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2-3=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\left(x+\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2-3=%%

%%=\left(x+\frac12\right)^2-\frac14-3=%%

3 in einen unechten Bruch umwandeln.

%%=\left(x+\frac12\right)^2-\frac14-\frac{12}4=%%

%%=\left(x+\frac12\right)^2-\frac{13}4%%

Scheitelpunkt ablesen.

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-\frac12\left|-\frac{13}4\right.\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5477_6h2NP9T53N.xml

%%f(x)=-x^2+2x+1%%

%%f(x)=-x^2+2x+1%%

%%=-\left(x^2-2x-1\right)=%%

%%=-\left(x^2-2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-1\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=-\left(\left(x-\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-1\right)=%%

%%=-\left(\left(x-1\right)^2-1^2-1\right)=%%

%%=-\left(\left(x-1\right)^2-1-1\right)=%%

%%=-\left(\left(x-1\right)^2-2\right)=%%

%%=-\left(x-1\right)^2+2%%

Scheitelpunkt ablesen.

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(1\left|2\right.\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5479_cdy7BKtgr9.xml

%%f(x)=-x^2+5x-5%%

%%f(x)=-x^2+5x-5%%

Distributivgesetz anwenden. Minus ausklammern.

%%=-\left(x^2-5x+5\right)=%%

%%=-\left(x^2-5x+\left(\frac52\right)^2-\left(\frac52\right)^2+5\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=-\left(\left(x-\frac52\right)^2-\left(\frac52\right)^2+5\right)=%%

%%=-\left(\left(x-\frac52\right)^2-\frac{25}4+5\right)=%%

5 in einen unechten Bruch umschreiben.

%%=-\left(\left(x-\frac52\right)^2-\frac{25}4+\frac{20}4\right)=%%

%%=-\left(\left(x-\frac52\right)^2-\frac54\right)=%%

%%=-\left(x-\frac52\right)^2+\frac54%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(\frac52\left|\frac54\right.\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5481_LhoCD2mbFS.xml

%%f(x)=\frac12x^2+x+2%%

%%f(x)=\frac12x^2+x+2%%

Distributivgesetz anweden. %%\frac12%% ausklammern.

%%=\frac12\left(x^2+x:\frac12+2:\frac12\right)%%

%%=\frac12\left(x^2+x\cdot\frac21+2\cdot\frac21\right)%%

%%=\frac12\left(x^2+2x+4\right)%%

%%=\frac12\left(x^2+2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2+4\right)%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\frac12\left(\left(x+\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2+4\right)%%

%%=\frac12\left(\left(x+1\right)^2-1^2+4\right)%%

%%=\frac12\left(\left(x+1\right)^2-1+4\right)%%

%%=\frac12\left(\left(x+1\right)^2+3\right)%%

%%=\frac12\left(x+1\right)^2+\frac12\cdot3%%

%%=\frac12\left(x+1\right)^2+\frac32%%

Scheitelpunkt ablesen.

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-1\left|\frac32\right.\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5483_8gkwLOuhYG.xml

%%f(x)=-\frac34x^2+\frac23x-\frac16%%

%%f(x)=-\frac34x^2+\frac23x-\frac16%%

Distributivgesetz anweden. %%-\frac34%% ausklammern.

%%=-\frac34\left(x^2-\frac89x+\frac29\right)=%%

%%=-\frac34\left(x^2-\frac89x+{\textstyle\left({\displaystyle\frac49}\right)}^2-{\textstyle\left({\displaystyle\frac49}\right)}^2+\frac29\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=-\frac34\left(\left(x-\frac49\right)^2-{\textstyle\left({\displaystyle\frac49}\right)}^2+\frac29\right)=%%

%%=-\frac34\left(\left(x-\frac49\right)^2-\frac{16}{81}+\frac29\right)=%%

Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern .

%%=-\frac34\left(\left(x-\frac49\right)^2-\frac{16}{81}+\frac{18}{81}\right)=%%

%%=-\frac34\left(\left(x-\frac49\right)^2+\frac2{81}\right)=%%

%%=-\frac34\left(x-\frac49\right)^2+\frac2{81}\cdot\left(-\frac34\right)=%%

Mit 3 und 2 kürzen.

%%=-\frac34\left(x-\frac49\right)^2+\frac1{27}\cdot\left(-\frac12\right)=%%

%%=-\frac34\left(x-\frac49\right)^2-\frac1{54}%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(\frac49\left|-\frac1{54}\right.\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5485_nU6XG3iSD1.xml

%%f(x)=\frac13x^2-\frac23x+\frac53%%

%%f(x)=\frac13x^2-\frac23x+\frac53%%

Distributivgesetz anweden. %%\frac13%% ausklammern.

%%=\frac13\left(x^2-\frac23x:\frac13+\frac53:\frac13\right)=%%

%%=\frac13\left(x^2-\frac23x\cdot\frac31+\frac53\cdot\frac31\right)=%%

Jeweils mit 3 kürzen .

%%=\frac13\left(x^2-\frac21x\cdot\frac11+\frac51\cdot\frac11\right)=%%

%%=\frac13\left(x^2-2x+5\right)=%%

%%=\frac13\left(x^2-2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2+5\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\frac13\left(\left(x-\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2+5\right)=%%

%%=\frac13\left(\left(x-1\right)^2-1^2+5\right)=%%

%%=\frac13\left(\left(x-1\right)^2-1+5\right)=%%

%%=\frac13\left(\left(x-1\right)^2+4\right)=%%

%%=\frac13\left(x-1\right)^2+4\cdot\frac13=%%

%%=\frac13\left(x-1\right)^2+\frac43%%

Scheitelpunkt ablesen.

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(1\left|\frac43\right.\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5487_FqCH0ROEl7.xml

Berechne für folgende Parabeln die Nullstellen, den Scheitelpunkt mit Hilfe der quadratischen Ergänzung und die Achsenschnittpunkte. Zeichnen Sie den Graphen unter zu Hilfenahme des Scheitelpunkts.

%%f(x)=x^2+4x-5%%

%%f(x)=x^2+4x-5%%

%%=x^2+4x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-5=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\left(x+\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-5=%%

%%=\left(x+2\right)^2-\left({\textstyle2}\right)^2-5=%%

%%=\left(x+2\right)^2-4-5=%%

%%=\left(x+2\right)^2-9%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-2\left|-9\right.\right)%%

 

%%f(x)=x^2+4x-5%%

Setze f(x)=0. Satz von Vieta anwenden.

%%0=\left(\mathrm x-1\right)\left(x+5\right)%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm x}_1=-5\;;\;{\mathrm x}_2=1%%

 

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%{\mathrm x}_1=-5\;;\;{\mathrm x}_2=1%%

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-5\;\mathrm l\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(1\;\mathrm l\;0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=x^2+4x-5%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=0^2+4\cdot0-5%%

%%f(0)=-5%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l\;-5\right)\;%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5531_SHO41eQlTS.xml

%%f(x)=-x^2-x+6%%

%%f(x)=-x^2-x+6%%

Minus ausklammern. Distributivgesetz.

%%=-\left(x^2+x-6\right)=%%

%%=-\left(x^2+x+\left(\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2-6\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=-\left(\left(x+\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2-6\right)=%%

%%\left(\frac12\right)^2=\frac14%%

%%=-\left(\left(x+\frac12\right)^2-\frac14-6\right)=%%

Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern .

%%=-\left(\left(x+\frac12\right)^2-\frac14-\frac{24}4\right)=%%

%%=-\left(\left(x+\frac12\right)^2-\frac{25}4\right)=%%

%%=-\left(x+\frac12\right)^2+\frac{25}4%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-\frac12\left|\frac{25}4\right.\right)%%

 

%%f(x)=-x^2-x+6%%

Setze f(x)=0. Minus ausklammern. Distributivgesetz.

%%0=-\left(x^2+x-6\right)=%%

Satz von Vieta anwenden.

%%0=-\left(\mathrm x-2\right)\left(\mathrm x+3\right)%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm x}_1=2\;;\;{\mathrm x}_2=-3%%

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%{\mathrm x}_1=2\;;\;{\mathrm x}_2=-3%%

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

%%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(2\;\mathrm l\;0\right)\;\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-3\mathrm l\;0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=-x^2-x+6%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=0^2-0+6%%

%%f(0)=6%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l\;6\right)\;%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5547_YnjoPj6b6H.xml

%%f(x)=-x^2-4x-4%%

%%f(x)=-x^2-4x-4%%

Minus ausklammern. Distributivgesetz.

%%=-\left(x^2+4x+4\right)=%%

%%=-\left(x^2+4x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+4\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=-\left(\left(x+\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+4\right)=%%

%%=-\left(\left(x+2\right)^2-2^2+4\right)=%%

%%=-\left(\left(x+2\right)^2-4+4\right)=%%

%%=-\left(x+2\right)^2%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-{\textstyle2}\left|\textstyle0\right.\right)%%

 

[Nullstellen berechnen]()

%%f(x)=-x^2-4x-4%%

Setze f(x)=0. Minus ausklammern. Distributivgesetz.

%%0=-\left(x^2+4x+4\right)%%

Satz von Vieta anwenden.

%%0=-\left(\left(x+2\right)\left(x+2\right)\right)%%

%%\rightarrow\;%% %%\mathrm x=-2%%   %%\rightarrow\;%% Doppelte Nullstelle

 

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%\mathrm x=-2%%

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

%%{\mathrm P}_\mathrm x\left(-2\;\mathrm l\;0\right)\;%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=-x^2-4x-4%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=0^2-4\cdot0-4%%

%%f(0)=-4%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l\;-4\right)\;%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5535_C4WBe0q6fW.xml

%%f(x)=\frac12x^2+\frac12x-6%%

%%f(x)=\frac12x^2+\frac12x-6%%

%%\frac12%% ausklammern. Distributivgesetz.

%%=\frac12\left(x^2+x-6\cdot\frac21\right)=%%

%%=\frac12\left(x^2+x-12\right)=%%

%%=\frac12\left(x^2+x+\left(\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2-12\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\frac12\left(\left(x+\frac12\right)^2-\left(\frac12\right)^2-12\right)=%%

%%\left(\frac12\right)^2=\frac14%%

%%=\frac12\left(\left(x+\frac12\right)^2-\frac14-12\right)=%%

Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern .

%%=\frac12\left(\left(x+\frac12\right)^2-\frac14-\frac{48}4\right)=%%

%%=\frac12\left(\left(x+\frac12\right)^2-\frac{49}4\right)=%%

%%=\frac12\left(x+\frac12\right)^2-\frac{49}4\cdot\frac12=%%

%%=\frac12\left(x+\frac12\right)^2-\frac{49}8%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-\frac12\left|-\frac{49}8\right.\right)%%

 

%%f(x)=\frac12x^2+\frac12x-6%%

Setze f(x)=0. %%\frac12%% ausklammern. Distributivgesetz.

%%0=\frac12\left(x^2+x-6\cdot\frac21\right)%%

%%0=\frac12\left(x^2+x-12\right)%%

%%0=\frac12\left(\left(x+4\right)\left(x-3\right)\right)%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm x}_1=-4\;;\;{\mathrm x}_2=3%%

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%{\mathrm x}_1=-4\;;\;{\mathrm x}_2=3%%

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

%%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-4\;\mathrm l\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(3\;\mathrm l\;0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=\frac12x^2+\frac12x-6%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=\frac120^2+\frac12\cdot0-6%%

%%f(0)=-6%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l-\;6\right)\;%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5539_jpXD0wn36C.xml

%%f(x)=\frac12x^2-4x+5%%

%%f(x)=\frac12x^2-4x+5%%

%%\frac12%% ausklammern. Distributivgesetz.

%%=\frac12\left(x^2-4\cdot\frac21x+5\cdot\frac21\right)=%%

%%=\frac12\left(x^2-8x+10\right)=%%

%%=\frac12\left(x^2-8x+\left(\frac82\right)^2-\left(\frac82\right)^2+10\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\frac12\left(\left(x-\frac82\right)^2-\left(\frac82\right)^2+10\right)=%%

%%=\frac12\left(\left(x-4\right)^2-4^2+10\right)=%%

%%=\frac12\left(\left(x-4\right)^2-16+10\right)=%%

%%=\frac12\left(\left(x-4\right)^2-6\right)=%%

%%=\frac12\left(x-4\right)^2-6\cdot\frac12=%%

%%=\frac12\left(x-4\right)^2-3%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(4\left|\textstyle-3\right.\right)%%

 

%%f(x)=\frac12x^2-4x+5%%

Setze f(x)=0. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=16-4\cdot\frac12\cdot5=%%

%%\mathrm D=16-10=6%%

%%\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{4+\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=%%

%%x_1=\textstyle4\textstyle+\textstyle\sqrt6%%

%%x_2=\frac{4-\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=%%

%%x_2=\textstyle4\textstyle-\textstyle\sqrt6%%

 

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%x_1=\textstyle4\textstyle+\textstyle\sqrt6%% ; %%x_2=\textstyle4\textstyle-\textstyle\sqrt6%%

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

%%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(4+\sqrt6\;\mathrm l\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(4-\sqrt6\;\mathrm l\;0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=\frac12x^2-4x+5%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=\frac12\cdot0^2-4\cdot0+5%%

%%f(0)=5%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l5\right)\;%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5543_nTgy3Dbztn.xml

%%f(x)=x^2-4x+5%%

%%f(x)=x^2-4x+5%%

%%=x^2-4x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+5=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\left(x-\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2+5=%%

%%=\left(x-2\right)^2-2^2+5=%%

%%=\left(x-2\right)^2-4+5=%%

%%=\left(x-2\right)^2+1%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left({\textstyle2}\left|\textstyle1\right.\right)%%

 

%%f(x)=x^2-4x+5%%

Setze f(x)=0. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=16-4\cdot5=%%

%%\mathrm D=16-20=-4%%

%%\rightarrow\;%% keine Lösung

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%\rightarrow\;%% keine Lösung. Da es keine Nullstelle gibt, kann es auch keinen Schnittpunkt mit der x-Achse geben.

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=x^2-4x+5%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=0^2-4\cdot0+5%%

%%f(0)=5%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l5\right)\;%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5541_BU20O7WOHa.xml

%%f(x)=\frac14x^2+x-1%%

%%f(x)=\frac14x^2+x-1%%

%%\frac14%% ausklammern. Distributivgesetz.

%%=\frac14\left(x^2+{\textstyle x}{\textstyle\cdot}\frac41-{\textstyle1}{\textstyle\cdot}\frac41\right)=%%

%%=\frac14\left(x^2+{\textstyle4}{\textstyle x}-\textstyle4\right)=%%

%%=\frac14(x^2+4x+(\frac42)^2-(\frac42)^2-4)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\frac14\left({\textstyle\left(x+2\right)}^2{\textstyle-}{\textstyle4}-\textstyle4\right)=%%

%%=\frac14\left({\textstyle\left(x+2\right)}^2\textstyle-\textstyle8\right)=%%

%%=\frac14{\textstyle\left(x+2\right)}^2{\textstyle-}{\textstyle8}{\textstyle\cdot}\frac14=%%

%%=\frac14{\textstyle\left(x+2\right)}^2{\textstyle-}\frac84=%%

%%=\frac14{\textstyle\left(x+2\right)}^2\textstyle-\textstyle2%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-2\left|\textstyle-2\right.\right)%%

%%f(x)=\frac14x^2+x-1%%

Setze f(x)=0. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=1-4\cdot\frac14\cdot\left(-1\right)=%%

%%\mathrm D=1-{\textstyle1}\cdot\left(-1\right)=%%

%%\mathrm D=1+1=2%%

%%\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{-1+\sqrt2}{2\cdot\displaystyle\frac14}=%%

%%x_1=\frac{-1+\sqrt2}{\displaystyle\frac12}=%%

%%x_1={\textstyle-}{\textstyle2}{\textstyle+}{\textstyle2}{\textstyle\sqrt2}=%%

%%2\sqrt2=\sqrt8%%

%%x_1=\textstyle-\textstyle2\textstyle+\textstyle\sqrt8%%

%%x_2=\frac{-1-\sqrt2}{2\cdot\displaystyle\frac14}=%%

%%x_2=\frac{-1-\sqrt2}{\displaystyle\frac12}=%%

%%x_2=\textstyle-\textstyle2\textstyle-\textstyle2\textstyle\sqrt2%%

%%2\sqrt2=\sqrt8%%

%%x_2=\textstyle-\textstyle2\textstyle-\textstyle\sqrt8%%

 

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%x_1=\textstyle-\textstyle2\textstyle+\textstyle\sqrt8%% ; %%x_2=\textstyle-\textstyle2\textstyle-\textstyle\sqrt8%%

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

%%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2+\sqrt8\;\mathrm l\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-2-\sqrt8\;\mathrm l\;0\right)%%

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=\frac14x^2+x-1%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=\frac140^2+0-1%%

%%f(0)=-1%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l\;-1\right)\;%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5545_7S9JkTjCqP.xml

%%f(x)=4x^2+x-5%%

%%f(x)=4x^2+x-5%%

4 ausklammern. Distributivgesetz.

%%=4\left(x^2+\frac x4-\frac54\right)=%%

%%=4\left(x^2+\frac x4+\left(\frac{\frac14}2\right)^2-\left(\frac{\frac14}2\right)^2-\textstyle\frac54\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=4\left(\left(x+\frac{\frac14}2\right)^2-\left(\frac{\frac14}2\right)^2-\frac54\right)=%%

%%\frac{\frac14}2=\frac18%%

%%=4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\left(\frac18\right)^2-\frac54\right)=%%

%%\left(\frac18\right)^2=\frac1{64}%%

%%=4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\frac1{64}-\frac54\right)=%%

Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern .

%%=4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\frac1{64}-\frac{80}{64}\right)=%%

%%=4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\frac{81}{64}\right)=%%

  %%=4\left(x+\frac18\right)^2-\frac{81}{64}\cdot4=%%

%%=4\left(x+\frac18\right)^2-\frac{81}{16}%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-\frac18\left|\textstyle-\right.\frac{81}{16}\right)%%

 

%%f(x)=4x^2+x-5%%

Setze f(x)=0. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=1-4\cdot4\cdot(-5)%%

%%\mathrm D=1+80=81%%

%%\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{-1+\sqrt{81}}{2\cdot4}=%%

%%x_1=\frac{-1+9}8=\frac88=1%%

%%x_2=\frac{-1-\sqrt{81}}{2\cdot4}=%%

%%x_2=\frac{-1-9}8=\frac{-10}8=-\frac54%%

 

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%x_1=1;%% %%x_2=-\frac54%%

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=4x^2+x-5%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=0^2+0-5%%

%%f(0)=-5%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l-5\right)\;%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5557_YVCU70iXFn.xml

%%f(x)=-4x^2-x+5%%

%%f(x)=-4x^2-x+5%%

-4 ausklammern. Distributivgesetz.

%%=-4\left(x^2-\frac x{-4}+\frac5{-4}\right)=%%

%%=-4\left(x^2+\frac x4-\frac54\right)=%%

%%=-4\left(x^2+\frac x4+\left(\frac{\frac14}2\right)^2-\left(\frac{\frac14}2\right)^2-\frac54\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=-4\left(\left(x+\frac{\frac14}2\right)^2-\left(\frac{\frac14}2\right)^2-\frac54\right)=%%

%%\frac{\frac14}2=\frac18%%

%%=-4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\left(\frac18\right)^2-\frac54\right)=%%

%%\left(\frac18\right)^2=\frac1{64}%%

%%=-4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\frac1{64}-\frac54\right)=%%

Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern .

%%=-4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\frac1{64}-\frac{80}{64}\right)=%%

%%=-4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\frac{81}{64}\right)=%%

%%=-4\left(x+\frac18\right)^2-\frac{81}{64}\cdot\left(-4\right)=%%

%%=-4\left(x+\frac18\right)^2+\frac{81}{16}%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(-\frac18\left|\frac{81}{16}\right.\right)%%

 

%%f(x)=-4x^2-x+5%%

Setze f(x)=0. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=\left(-1\right)^2-4\cdot\left(-4\right)\cdot5%%

%%\mathrm D=1-\left(-80\right)=1+80=81%%

%%\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{1+\sqrt{81}}{2\cdot\left(-4\right)}=%%

%%x_1=\frac{1+9}{-8}=\frac{10}{-8}=-\frac54%%

%%x_2=\frac{1-\sqrt{81}}{2\cdot\left(-4\right)}=%%

%%x_2=\frac{1-9}{-8}=\frac{-8}{-8}=1%%

 

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%x_1=-\frac54\;\;;%% %%x_2=1%%

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

%%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-\frac54\;\mathrm l\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(1\;\mathrm l\;0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=-4x^2-x+5%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=0^2-0+5%%

%%f(0)=5%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l5\right)\;%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5660_vd3lnkQsnG.xml

%%f(x)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

%%f(x)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

%%\frac13%% ausklammern. Distributivgesetz.

%%=\frac13\left(x^2-\frac23\cdot\frac31x-2\cdot\frac31\right)=%%

%%=\frac13\left(x^2-2x-6\right)=%%

%%=\frac13\left(x^2-2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-6\right)=%%

In eine Binomische Formel umschreiben.

%%=\frac13\left(\left(x-\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-6\right)=%%

%%=\frac13\left(\left(x-1\right)^2-1^2-6\right)=%%

%%=\frac13\left(\left(x-1\right)^2-1-6\right)=%%

%%=\frac13\left(\left(x-1\right)^2-7\right)=%%

%%=\frac13\left(x-1\right)^2-7\cdot\frac13=%%

%%=\frac13\left(x-1\right)^2-\frac73%%

%%\rightarrow\;%% Scheitelpunkt: %%\mathrm S\left(1\left|-\frac73\right.\right)%%

 

%%f(x)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

Setze f(x)=0. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

%%\mathrm D=\frac23\cdot\frac23-4\cdot\frac13\cdot(-2)=%%

%%\mathrm D=\frac49+\frac83=%%

Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern.

%%\mathrm D=\frac49+\frac{24}9=\frac{28}9%%

%%\rightarrow\;%% 2 Lösungen

%%x_1=\frac{{\displaystyle\frac23}+\sqrt{\displaystyle\frac{28}9}}{2\cdot\displaystyle\frac13}=%%

%%\rightarrow\;%% Taschenrechner

%%x_1=\frac{{\displaystyle\frac23}+\sqrt{\displaystyle\frac{28}9}}{\displaystyle\frac23}=1+\textstyle\sqrt7%%

%%x_2=\frac{{\displaystyle\frac23}-\sqrt{\displaystyle\frac{28}9}}{2\cdot\displaystyle\frac23}=%%

%%\rightarrow\;%% Taschenrechner

%%x_2=\frac{{\displaystyle\frac23}-\sqrt{\displaystyle\frac{28}9}}{\displaystyle\frac23}=1-\textstyle\sqrt7%%

 

Schnittpunkt mit der x-Achse

%%x_1=1+{\textstyle\sqrt7}\;\;;%% %%x_2=1-\textstyle\sqrt7%%

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

%%{\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(1+\sqrt7\;\mathrm l\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(1-\sqrt7\;\mathrm l\;0\right)%%

 

Schnittpunkt mit der y-Achse

%%f(x)=\frac13x^2-\frac23x-2%%

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

%%f(0)=0^2-0-2%%

%%f(0)=-2%%

%%\rightarrow\;%% %%{\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm l-2\right)\;%%

Welche Bedingungen müssen für die Koeffizienten der Funktion %%f(x)=x^2+a_1x+a_0%% erfüllt sein, damit  %%f(x)%% keine Nullstellen besitzt?

Um die Koeffizienten so zu bestimmen, dass %%f%% keine Nullstellen hat, betrachtet man die Diskriminante %%D%%. Diese gibt an, ob und wie viele Lösungen die Gleichung %%x^2+a_1x+a_0=0%% hat.

%%D=a_1^2-4\cdot{a_0}%%

Damit %%f%% keine Nullstelle hat, muss %%D<0%% gelten, also %%a_1^2<4\cdot{a_0}%%.

Bei welcher der Folgenden Funktionen handelt es sich um quadratische Funktionen?

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Erkennen von quadratischen Funktionen

In dieser Aufgabe geht es darum, unter einer Menge aus vorgegebenen Funktionen die quadratischen Funktionen herauszufinden.

%%f(x)=x^2%%

Die höchste Potenz in der die Variable auftritt besitzt den Exponenten 2, deshalb ist die Funktion quadratisch.

%%f(x)=x+1%%

Hier handelt es sich um eine lineare Funktion, da sie die Form %%f(x)=mx+t%% mit %%m=1%% und %%t=1%% besitzt.

%%f(x)=\sqrt{5}x^2%%

Die höchste Potenz in der die Variable auftritt besitzt den Exponenten 2, deshalb ist die Funktion quadratisch. Die Wurzel beeinflusst die Funktion hierbei nicht, da sie nur ein Faktor ist.

%%f(x)=-4x^2+5x+9%%

Hier handelt es sich um eine quadratische Funktion, da sie die Form %%f(x)=ax^2+bx+c%% mit %%a=-4%% und %%b=5%% und %%c=9%% besitzt.

%%f(x)=\dfrac{1}{x^2}%%

Hier liegt der Gedanke nahe, dass es sich um eine quadratische Funktion handeln könnte, allerdings steht hier der quadratische Term im Nenner eines Bruchs, weshalb es sich hier um eine gebrochenrationale Funktion handelt.

%%f(x)=2x^2+4+x^3%%

Das %%x^2%% im ersten Summanden könnte dich vermuten lassen, dass es sich hierbei um eine quadratische Funktion handelt. Da es jedoch einen Summanden mit einer höheren Potenz von %%x%% gibt, nämlich %%x^3%%, ist die Funktion ein Polynom höherer Ordnung.

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