Umformungen (1/2) – Praktische Umformungen zum Ableiten von Bruchtermen

Es gibt verschiedene Methoden zum Umformen von Bruchtermen, die das Ableiten vereinfachen. Im folgenden Abschnitt werden einige zielführende Möglichkeiten vorgestellt.

Erweitern/Kürzen

Erweitern/Kürzen heißt, den Zähler und den Nenner eines Bruchs mit dem gleichen Faktor zu multiplizieren (Erweitern) bzw. durch den gleichen Faktor zu dividieren (Kürzen). Dabei ändert sich der Wert des Bruchs nicht.

Zum Beispiel:

$\dfrac{2}{5x^2}=\dfrac{2\cdot \color{#009999}{3}}{5x^2\cdot \color{#009999}{3}}=\dfrac{6}{15x^2}$

Hier wurde mit $\color{#009999}{3}$ erweitert.

$\dfrac{4}{8x}=\dfrac{\color{#cc0000}{4}\cdot1}{\color{#cc0000}{4}\cdot 2\cdot x}=\dfrac{1}{2x}$

Hier wurde mit $\color{#cc0000}{4}$ gekürzt.

*Mathematik findet man auch oft in unserer Alltagssprache wieder.*

Auf einen gemeinsamen Nenner bringen

"Auf einen gemeinsamen Nenner bringen" bedeutet, zwei oder mehrere Brüche so zu erweitern oder zu kürzen, dass sie den gleichen Nenner besitzen. Diese Technik verwendest du beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen.

Zum Beispiel:

Wenn du von $\dfrac{4x+2}{x(x+2)}$ den Bruch $\dfrac{3}{x+2}$ subtrahierst, dann musst du zuerst einen gemeinsamen Nenner der beiden Brüche finden und sie entsprechend erweitern.Ein gemeinsamer Nenner ist beispielsweise $x(x+2)$ .

	$\displaystyle \frac{4x+2}{x(x+2)}-\frac{3}{x+2}$
	↓ Erweitere $\dfrac{3}{x+2}$ mit $\color{#ff6600}{x}$ .
$=$	$\displaystyle \dfrac{4x+2}{x(x+2)}-\dfrac{3\cdot \color{#ff6600}{x}}{(x+2)\cdot \color{#ff6600}{x}}$
	↓ Schreibe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
$=$	$\displaystyle \dfrac{4x+2-3x}{x(x+2)}$
	↓ Fasse den Zähler zusammen.
$=$	$\displaystyle \dfrac{x+2}{x(x+2)}$
	↓ Kürze mit $(x+2).$
$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{x}$

5Umformungen (1/2)

Erweitern/Kürzen

Auf einen gemeinsamen Nenner bringen