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Praktische Umformungen zum Ableiten von Bruchtermen

13Beispiele

Beispiel 1

g(x)\displaystyle g(x)==9x5\displaystyle \dfrac{9}{x^5}
↓

Wende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten auf die x5x^5 im Nenner an.

==9⋅x−5\displaystyle 9 \cdot x^{-5}

Bilde nun die Ableitung mit der Faktorregel und der Regel zum Ableiten der Potenzfunktion:

g′(x)\displaystyle g'(x)==9⋅(−5)⋅x−6\displaystyle 9 \cdot (-5) \cdot x^{-6}
↓

Verechne die Faktoren vor x−6x^{-6}.

==−45x−6\displaystyle -45 x^{-6}
↓

Wende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten auf x−6x^{-6} an.

==−45x6\displaystyle -\dfrac{45}{x^6}

Die Ableitung von g(x)g(x) ist also g′(x)=−45x−6=−45x6g'(x)=-45 x^{-6}=-\dfrac{45}{x^6}.

Beispiel 2

f(x)\displaystyle f(x)==73x3\displaystyle \dfrac{7}{3x^3}
↓

Schreibe den Bruch als Produkt zweier Brüche.

==73⋅1x3\displaystyle \dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{1}{x^3}
↓

Wende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten auf die 1x3\dfrac{1}{x^3} an.

==73⋅x−3\displaystyle \dfrac{7}{3} \cdot x^{-3}

Bilde nun die Ableitung mit der Faktorregel und der Regel zum Ableiten der Potenzfunktion:

f′(x)\displaystyle f'(x)==73⋅(−3)⋅x−4\displaystyle \dfrac{7}{3} \cdot (-3) \cdot x^{-4}
↓

Kürze den Faktor 33.

==−7x−4\displaystyle -7x^{-4}
↓

Wende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten auf x−4x^{-4} an.

==−7x4\displaystyle -\dfrac{7}{x^4}

Die Ableitung von f(x)f(x) ist also f′(x)=−7x−4=−7x4f'(x)=-7x^{-4}=-\dfrac{7}{x^4}.


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