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Kurs

Praktische Umformungen zum Ableiten von Bruchtermen

17Beispiel (2/2)

Lösungsvariante 2: Quotientenregel

Bilde die Ableitung mit der Quotientenregel.

f(x)=4x2+32x=u(x)v(x)f(x)=\dfrac{4x^2+3}{2x}=\dfrac{u(x)}{v(x)}

Ursprungsfunktion:

f(x)=4x2+32xf(x)=\dfrac{4x^2+3}{2x}

Zähler der Ursprungsfunktion:

u(x)=4x2+3u(x)=4x^2+3

Ableitung des Zählers:

u′(x)=8xu'(x)=8x

Nenner der Ursprungsfunktion:

v(x)=2xv(x)=2x

Ableitung des Nenners:

v′(x)=2v'(x)=2

Bilde nun die Ableitung von f(x)f(x), indem du deine Ergebnisse in die Quotientenregel einsetzt.

f′(x)\displaystyle f'(x)==v(x)⋅u′(x)−u(x)⋅v′(x)(v(x))2\displaystyle \dfrac{\color{#009999}{v(x)} \cdot \color{#ff6600}{u'(x)}- \color{#ff6600}{u(x)} \cdot \color{#009999}{v'(x)}}{(\color{#009999}{v(x)})^2}
↓

Setze ein.

==2x⋅8x−(4x2+3)⋅2(2x)2\displaystyle \dfrac{\color{#009999}{2x} \cdot \color{#ff6600}{8x} - (\color{#ff6600}{4x^2+3}) \cdot \color{#009999}{2}}{(\color{#009999}{2x})^2}
↓

Verrechne die Faktoren 2x2x und 8x8x.

==16x2−(4x2+3)⋅2(2x)2\displaystyle \dfrac{16x^2-(4x^2+3) \cdot 2}{(2x)^2}
↓

Multipliziere die 22 in die Klammer.

==16x2−(8x2+6)(2x)2\displaystyle \dfrac{16x^2-(8x^2+6)}{(2x)^2}
↓

Löse die Klammern auf.

==16x2−8x2−64x2\displaystyle \dfrac{16x^2-8x^2-6}{4x^2}
↓

Verrechne den Zähler.

==8x2−64x2\displaystyle \dfrac{8x^2-6}{4x^2}
↓

Klammere 22 aus.

==2⋅(4x2−3)2⋅2x2\displaystyle \dfrac{2 \cdot (4x^2-3)}{2 \cdot 2x^2}
↓

Kürze den Faktor 2.

==4x2−32x2\displaystyle \dfrac{4x^2-3}{2x^2}

Die Ableitung von f(x)f(x) ist also f′(x)=4x2−32x2f'(x)=\dfrac{4x^2-3}{2x^2}.


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