17Beispiel (2/2)

Bilde die Ableitung mit der Quotientenregel.

$f(x)=\dfrac{4x^2+3}{2x}=\dfrac{u(x)}{v(x)}$

Ursprungsfunktion:

$f(x)=\dfrac{4x^2+3}{2x}$

Zähler der Ursprungsfunktion:

$u(x)=4x^2+3$

Ableitung des Zählers:

$u'(x)=8x$

Nenner der Ursprungsfunktion:

$v(x)=2x$

Ableitung des Nenners:

$v'(x)=2$

Bilde nun die Ableitung von $f(x)$ , indem du deine Ergebnisse in die Quotientenregel einsetzt.

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\color{#009999}{v(x)} \cdot \color{#ff6600}{u'(x)}- \color{#ff6600}{u(x)} \cdot \color{#009999}{v'(x)}}{(\color{#009999}{v(x)})^2}$
	↓	Setze ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\color{#009999}{2x} \cdot \color{#ff6600}{8x} - (\color{#ff6600}{4x^2+3}) \cdot \color{#009999}{2}}{(\color{#009999}{2x})^2}$
	↓	Verrechne die Faktoren $2x$ und $8x$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{16x^2-(4x^2+3) \cdot 2}{(2x)^2}$
	↓	Multipliziere die $2$ in die Klammer.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{16x^2-(8x^2+6)}{(2x)^2}$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{16x^2-8x^2-6}{4x^2}$
	↓	Verrechne den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{8x^2-6}{4x^2}$
	↓	Klammere $2$ aus.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2 \cdot (4x^2-3)}{2 \cdot 2x^2}$
	↓	Kürze den Faktor 2.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4x^2-3}{2x^2}$

Die Ableitung von $f(x)$ ist also $f'(x)=\dfrac{4x^2-3}{2x^2}$ .

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