Aufgaben zu Geradengleichungen, Nullstellen und Schnittpunkten

Zeichne die Graphen folgender Geraden mit dem Schnittpunkt mit der y-Achse und dem Steigungsdreieck. Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse und überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen.

$f(x)\;=\;2x-5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$\mathrm{f}(\mathrm{x})=2\mathrm{x}-5$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-5\right.\right)$
$\Rightarrow\;m_f=2$
Berechne nun den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$\displaystyle 2x-5$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle + 5$
$\displaystyle 2x$ $=$ $\displaystyle 5$ $\displaystyle \colon 2$
$\displaystyle x_0$ $=$ $\displaystyle 2{,}5$
$\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(2{,}5\;\left|\;0\right.\right)$
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$f(x)=-x-3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$\mathrm f(\mathrm x)=-\mathrm x-3$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-3\right.\right)$
$\Rightarrow\;m_f=-1$
$\displaystyle -x - 3$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle + x$
$\displaystyle -3$ $=$ $\displaystyle x_0$
$\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(-3\;\left|\;0\right.\right)$
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$f\left(x\right)=\frac12x+1$

$f\left(x\right)=-\frac12x-2$

$f\left(x\right)=\frac13x-\frac12$

$f\left(x\right)=-\frac14x+\frac32$

$f\left(x\right)=\frac23x+2$

$f\left(x\right)=-\frac34x-1$

$f\left(x\right)=-3x+\frac5{10}$

$f\left(x\right)=\frac57x-\frac{12}4$

Zeichne die Geraden $\mathrm y=3\mathrm x-2$ und $\mathrm y=-\frac34\mathrm x+1$ in ein Koordinatensystem. Bestimme die Nullstellen und den Schnittpunkt der Geraden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen

Zeichne die Graphen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4905_6fWpNpSnfx.xml

Bestimmung der Nullstellen

$\mathrm y=3\mathrm x-2$

Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen. Denn an der Stelle, an der y=0, schneidet die Gerade die x-Achse.

$\displaystyle 3x-2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{N1}}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}$
	↓	Die erste Gerade hat bei $\mathrm{x}_{\mathrm{N}}=\frac{2}{3}$ eine Nullstelle.

Gehe für die zweite Gerade genauso vor.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\mathrm{x}+1$
	↓	Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen.
$\displaystyle -\frac{3}{4}\mathrm{x}+1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle -\frac{3}{4}x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :\left(-\frac{3}{4}\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\frac{3}{4}}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\rightarrow$ Multipliziere mit dem Kehrwert
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{N2}}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}$
	↓	Die zweite Gerade hat bei $\mathrm x_\mathrm N=\frac43$ eine Nullstelle.

Bestimmung des Schnittpunkts

Setze die beiden Funktionsgleichungen gleich. Die Geraden schneiden sich dort, wo beide an der gleichen x-Stelle denselben y-Wert haben.

$\displaystyle 3\mathrm{x}-2$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\mathrm{x}+1$	$\displaystyle +\frac{3}{4}x\ +2$
$\displaystyle 3\mathrm{x}+\frac{3}{4}\mathrm{x}$	$=$	$\displaystyle 1+2$
$\displaystyle 3{,}75x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle :3{,}75$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{3{,}75}$
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{S}}$	$=$	$\displaystyle 0{,}8$
	↓	Setze $x_S$ in eine der beiden Funktionen ein.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 3\cdot0{,}8-2$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2{,}4-2$
$\displaystyle \mathrm{y}_{\mathrm{S}}$	$=$	$\displaystyle 0{,}4$

$\;\;\Rightarrow\;\;S\left(0{,}8\vert0{,}4\right)$

Der Schnittpunkt liegt bei $S\left(0{,}8\vert0{,}4\right)$ .

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Bestimme von folgenden Geraden die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
1. $y=-2x+3{,}5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&-2x+3{,}5&|+2x\\ 2x&=&3{,}5&|:2\\x&=&1{,}75\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(1{,}75|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein.
  $y=-2\cdot0+3{,}5$
  $y=3{,}5$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0|3{,}5)$ .
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2. $y=5x-7$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&5x-7&|+7\\5x&=&7&|:5\\x&=&\frac 7 5 = 1{,}4 \end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(1{,}4|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein.
  $y=5\cdot0-7$
  $y=-7$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0|-7)$ .
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3. $y=\frac32x+2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&\frac32x+2&|-2\\\frac 3 2x&=&-2&|\cdot \frac 2 3\\x&=&-\frac 43\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(-\frac{4}{3}|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein.
  $y=\frac32\cdot0+2$
  $y=2$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0|2)$ .
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4. $y=-\frac25x+\frac52$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&-\frac25x+\frac52&|+\frac 25 x\\\frac25x&=&\frac 52&|\cdot \frac 52\\x&=&\frac{25}{4}=6{,}25\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(6{,}25|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein.
  $y=-\frac25\cdot0+\frac52$
  $y=\frac 5 2 = 2{,}5$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0|2{,}5)$ .
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5. $y=2(x-\frac23)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Klammer auflösen
  Um eine allgemeine Geradengleichung $y=m \cdot x+t$ zu erhalten, multipliziere die Klammer aus.
  $y=2(x-\frac23)$
  $y=2x-\frac43$
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&2x-\frac43&|+\frac 43\\2x&=&\frac 43&|:2\\x&=&\frac 23\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x( \frac23|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein und löse nach $x$ auf.
  $y=2\cdot0-\frac43$
  $y=-\frac 4 3$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0| -\frac43)$ .
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6. $y=-\frac43-\frac12x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Gleichung umstellen
  Um eine allgemeine Geradengleichung $y=m\cdot x+t$ zu erhalten, vertausche auf der rechten Seite beide Elemente.
  $y=-\frac43-\frac12x$
  $\phantom{y}=-\frac12x-\frac43$
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&-\frac43-\frac12x&|+\frac 12 x\\\frac 12 x &=& -\frac 43 &|\cdot 2\\x&=&-\frac 83 = -2\frac 23\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x( -\frac83|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein.
  $y=-\frac12\cdot0-\frac43$
  $y=-\frac 4 3$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0| -\frac43)$ .
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Stelle die Funktionsgleichung für die Gerade durch die Punkte P(-25|30) und Q(55|-30) auf und berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der x-Achse.

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Zwei Geraden $\mathrm f\left(\mathrm x\right)$ und $\mathrm g\left(\mathrm x\right)$ schneiden sich auf der x-Achse in x=4.
Bestimmen Sie mögliche Funktionsterme.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Für diese Aufgabe gibt es keine eindeutige Lösung. Gesucht sind zwei verschiedenen lineare Funktionen, die beide durch den Punkt (4|0) laufen.
Ein sehr einfaches Beispiel wäre $f(x) = 0$ , also die x-Achse und $g(x) = x-4$ . $f(x)$ läuft offensichtlich durch (4|0). Für g(x) lässt sich das auch sehr einfach überprüfen: $g(4) = 4 - 4 = 0$ .
Andere mögliche Funktionen sind: $y= -x+4$ , $y= 2x-8$ (allgemein $y=ax-4a$ für beliebige a)
Überlege durch welchen Punkt beide Geraden gehen müssen.
Bestimme zwei verschiedene Funktionen, die durch diesen Punkt gehen.
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Bestimme die Gleichung der Geraden g, die parallel zur Geraden h ist und durch den Punkt P geht.
1. h: $y=3x-2$ ; P(1|0) $\;$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
  $y=3x-2$ ; P(1|0)
  Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.
  Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung.
  $m=3$
  Geradengleichung aufstellen
  Setze m (3) und P(1|0) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
  $\displaystyle 0$ $=$ $\displaystyle 3\cdot1+t$ $\displaystyle {-3}$
  ↓
  Gleichung nach t auflösen.
  $\displaystyle t$ $=$ $\displaystyle -3$
  Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Geradengleichung: $y=3x-3$
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2. h: $y=x-4$ ; P(1|2) $\;$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
  $y=x-4$ ; P(1|2)
  Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.
  Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung.
  $m=1$
  Gleichung aufstellen
  Setze m (1) und P(1|2) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
  $\displaystyle 2$ $=$ $\displaystyle 1+t$ $\displaystyle −1$
  ↓
  Gleichung nach t auflösen.
  $\displaystyle t$ $=$ $\displaystyle 1$
  Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Geradengleichung: $y=x+1$
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3. h: $y=4x$ ; P(5|18) $\;$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
  $y=4x$ ; P(5|18)
  Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.
  Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung.
  $m=4$
  Gleichung aufstellen
  Setze m (4) und P(5|18) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
  $\displaystyle 18$ $=$ $\displaystyle 4\cdot5+t$ $\displaystyle -20$
  ↓
  Gleichung nach t auflösen.
  $\displaystyle t$ $=$ $\displaystyle -2$
  Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Geradengleichung: $y=4x-2$
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4. h: $y=-2x+1$ ; P(-1|4)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
  $y=-2x+1$ ; P(-1|4)
  Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.
  Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung.
  $m=-2$
  Gleichung aufstellen
  Setze m (-2) und P(-1|4) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
  $\displaystyle 4$ $=$ $\displaystyle −2⋅(−1)+t$ $\displaystyle -2$
  ↓
  Gleichung nach t auflösen.
  $\displaystyle t$ $=$ $\displaystyle 2$
  Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Geradengleichung: $y=-2x+2$
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Funktionsgleichung bestimmen.

Eine Gerade hat die Steigung $a_1$ und verläuft durch den Punkt P. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

${\mathrm a}_1=\frac12$ $\mathrm P\left(4|-2\right)$

${\mathrm a}_1=\frac34\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm P\left( 1| -3\right)$

${\mathrm a}_1=2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm P\left(3|-1\right)$

${\mathrm a}_1=\frac45\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm P\left(\frac32|4\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen

Bestimmung der Funktionsgleichung

Allgemeine Geradengleichung:

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle a_1\cdot x+t$
	↓	t: y-Achsenabschnitt Setze ${\mathrm a}_4=\frac45$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{5}x+t$
	↓	Setze $\mathrm P\left(\frac32\|4\right)$ in f(x) ein.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{5}\cdot\frac{3}{2}+t$
	↓	Kürze den Bruch mit 2.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{5}\cdot3+t$
	↓	Multipliziere
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{5}+t$	$\displaystyle -\frac{6}{5}$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 4-\frac{6}{5}$
	↓	Schreibe 4 als Bruch mit 4 im Nenner.
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \frac{20}{5}-\frac{6}{5}$
	↓	Subtrahiere
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \frac{14}{5}$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 2{,}8$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$\mathrm f(\mathrm x)=\frac45\mathrm x+2{,}8$

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze $f(x)=0$ , um die Nullstellen zu bestimmen.

$\displaystyle \frac{4}{5}x+2{,}8$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2{,}8$
$\displaystyle \frac{4}{5}x$	$=$	$\displaystyle -2{,}8$	$\displaystyle :\frac{4}{5}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2{,}8:\frac{4}{5}$
	↓	Dividiere
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{7}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3{,}5$

$\Rightarrow$ Der Schnittpunkt mit der x-Achse bei $(-\frac 7 2|0)$

Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse.

Hier ist $t=2{,}8=\frac {14}{5}$

$\Rightarrow$ Schnittpunkt mit der y-Achse bei $(0|\frac {14}{5})$ .

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6354_l2wZiNbUj4.xml

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Funktionsgleichung bestimmen.

Eine Gerade verläuft durch die Punkte $P_1$ und $P_2$ . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

${\mathrm P}_1\left(2|1\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(5|4\right)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Setze ${\mathrm P}_1$ und ${\mathrm P}_2$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\mathrm y=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t$
Wende das Additionsverfahren an.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}1)\;1=\mathrm m\cdot2+\mathrm t\\2)\;4=\mathrm m\cdot5+\mathrm t\end{array}$
$\displaystyle 1)-\;2)\;-3$ $=$ $\displaystyle -3m$ $\displaystyle :(-3)$
$\displaystyle m$ $=$ $\displaystyle 1$
Setze m in 1) ein.
$\displaystyle 1$ $=$ $\displaystyle 1\cdot2+t$ $\displaystyle -2$
$\displaystyle t$ $=$ $\displaystyle -1$
Setze t und m in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\mathrm y=\mathrm x-1\;\Rightarrow\;\mathrm f(x)=x-1$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen
$\displaystyle x-1$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle +1$
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{N}}$ $=$ $\displaystyle 1$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $\mathrm S_1\left(1|0\right)$
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt (t) $\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm S_2\left(0|-1\right)$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $\mathrm S_1$ und $\mathrm S_2$ oder die beiden vorgegebenen Punkte $\mathrm P_1$ und $\mathrm P_2$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach rechts und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
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${\mathrm P}_1\left(-3|-2\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(2\,|\,3\right)$

${\mathrm P}_1\left(-2|\,3\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(4\,|-1\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen