Aufgaben zu Geradengleichungen, Nullstellen und Schnittpunkten
- 1
Zeichne die Graphen folgender Geraden mit dem Schnittpunkt mit der y-Achse und dem Steigungsdreieck. Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse und überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
Berechne nun den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
Berechne nun den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
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- 2
Zeichne die Geraden und in ein Koordinatensystem. Bestimme die Nullstellen und den Schnittpunkt der Geraden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
Zeichne die Graphen
Bestimmung der Nullstellen
Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen. Denn an der Stelle, an der y=0, schneidet die Gerade die x-Achse.
↓ Die erste Gerade hat bei eine Nullstelle.
Gehe für die zweite Gerade genauso vor.
↓ Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen.
↓ Du dividierst durch einen Bruch Multipliziere mit dem Kehrwert
↓ Die zweite Gerade hat bei eine Nullstelle.
Bestimmung des Schnittpunkts
Setze die beiden Funktionsgleichungen gleich. Die Geraden schneiden sich dort, wo beide an der gleichen x-Stelle denselben y-Wert haben.
↓ Setze in eine der beiden Funktionen ein.
Der Schnittpunkt liegt bei .
- 3
Bestimme von folgenden Geraden die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach auf.
Die Gerade schneidet die x-Achse bei .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert ein.
Die Gerade schneidet die y-Achse bei .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach auf.
Die Gerade schneidet die x-Achse bei .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert ein.
Die Gerade schneidet die y-Achse bei .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach auf.
Die Gerade schneidet die x-Achse bei .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert ein.
Die Gerade schneidet die y-Achse bei .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach auf.
Die Gerade schneidet die x-Achse bei .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert ein.
Die Gerade schneidet die y-Achse bei .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Klammer auflösen
Um eine allgemeine Geradengleichung zu erhalten, multipliziere die Klammer aus.
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach auf.
Die Gerade schneidet die x-Achse bei .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert ein und löse nach auf.
Die Gerade schneidet die y-Achse bei .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Gleichung umstellen
Um eine allgemeine Geradengleichung zu erhalten, vertausche auf der rechten Seite beide Elemente.
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach auf.
Die Gerade schneidet die x-Achse bei .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert ein.
Die Gerade schneidet die y-Achse bei .
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- 4
Stelle die Funktionsgleichung für die Gerade durch die Punkte P(-25|30) und Q(55|-30) auf und berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der x-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung ermitteln
P(-25|30); Q(55|-30)
Ermittle die Steigung m der allgemeinen Geradengleichung mithilfe des Differenzenqotienten .
Setze m und die Koordinaten eines Punktes z. B. P(-25|30) in die allgemeine Geradengleichung ein.
Vereinfache:
↓ Löse nach t auf.
↓ Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
An der Schnittstelle mit der x-Achse ist der y-Wert 0.
Nach x auflösen. Stelle dafür das x alleine durch:
Beachte, dass bei beide Summanden multipliziert werden müssen.
Addiere 15
Die Gerade schneidet die x-Achse bei S(15|0).
- 5
Zwei Geraden und schneiden sich auf der x-Achse in x=4.
Bestimmen Sie mögliche Funktionsterme.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Für diese Aufgabe gibt es keine eindeutige Lösung. Gesucht sind zwei verschiedenen lineare Funktionen, die beide durch den Punkt (4|0) laufen.
Ein sehr einfaches Beispiel wäre , also die x-Achse und . läuft offensichtlich durch (4|0). Für g(x) lässt sich das auch sehr einfach überprüfen: .
Andere mögliche Funktionen sind: , (allgemein für beliebige a)
Überlege durch welchen Punkt beide Geraden gehen müssen.
Bestimme zwei verschiedene Funktionen, die durch diesen Punkt gehen.
- 6
Bestimme die Gleichung der Geraden g, die parallel zur Geraden h ist und durch den Punkt P geht.
h: ; P(1|0)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
; P(1|0)
Geradengleichung aufstellen
Setze m (3) und P(1|0) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
↓ Gleichung nach t auflösen.
Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
Geradengleichung:
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h: ; P(1|2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
; P(1|2)
Gleichung aufstellen
Setze m (1) und P(1|2) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
↓ Gleichung nach t auflösen.
Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
Geradengleichung:
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h: ; P(5|18)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
; P(5|18)
Gleichung aufstellen
Setze m (4) und P(5|18) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
↓ Gleichung nach t auflösen.
Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
Geradengleichung:
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h: ; P(-1|4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
; P(-1|4)
Gleichung aufstellen
Setze m (-2) und P(-1|4) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
↓ Gleichung nach t auflösen.
Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
Geradengleichung:
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- 7
Funktionsgleichung bestimmen.
Eine Gerade hat die Steigung und verläuft durch den Punkt P. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Allgemeine Geradengleichung:
hier ist
↓ Setze in die allgemeine Geradengleichung ein.
↓ Setze P in f(x) ein.
↓ löse nach t auf
↓ Setze t in f(x) ein.
Bestimmung des Schnittpunkts mit der y-Achse
Gesucht ist der sogenannte y-Achsenabschnitt (hier: t), also wo und ist.
Da die allgemeine Geradengleichung
lautet, gilt immer für
.
Hier ist
Schnittpunkt mit der y-Achse bei
Bestimmung des Schnittpunkts mit der x-Achse
↓ Gesucht ist hier ein x mit f(x) =0 und somit y=0 ist. Setze Funktionsgleichung gleich 0.
↓ Du dividierst durch einen Bruch Multipliziere mit dem Kehrwert.
Schnittpunkt mit der x-Achse bei
Zeichnung
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Allgemeine Geradengleichung:
↓ t: y-Achsenabschnitt
Setze in die allgemeine Geradengleichung ein.
↓ Setze P(1/-3) in f(x) ein.
↓ ↓ ↓ Setze t in f(x) ein.
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze , um die Nullstellen zu bestimmen.
↓ Du dividierst durch einen Bruch Multipliziere mit dem Kehrwert.
↓ Also ist der Schnittpunkt mit der x-Achse bei
Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse.
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist bei
Zeichung
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Allgemeine Geradengleichung: Hier mit
↓ t: y-Achsenabschnitt
Setze in die allgemeine Geradengleichung ein.
↓ Setze P(3/-1) in f(x) ein.
↓ ↓ ↓ Setze t in f(x) ein.
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze , um die Nullstellen zu bestimmen.
Der Schnittpunkt mit der x-Achse bei .
Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse.
Schnittpunkt mit der y-Achse bei
Zeichnung
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Allgemeine Geradengleichung:
↓ t: y-Achsenabschnitt
Setze in die allgemeine Geradengleichung ein.
↓ Setze in f(x) ein.
↓ Kürze den Bruch mit 2.
↓ ↓ Schreibe 4 als Bruch mit 4 im Nenner.
↓ ↓ Setze t in f(x) ein.
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze , um die Nullstellen zu bestimmen.
Der Schnittpunkt mit der x-Achse bei
Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse.
Hier ist
Schnittpunkt mit der y-Achse bei .
Zeichnung
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- 8
Funktionsgleichung bestimmen.
Eine Gerade verläuft durch die Punkte und . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Setze m in 1) ein.
Setze t und m in die allgemeine Geradengleichung ein.
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt (t)
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte und oder die beiden vorgegebenen Punkte und .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach rechts und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
↓ Setze m in 2) ein.
↓ Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist .
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte und
oder die beiden vorgegebenen Punkte und .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach rechts und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Setze und in die allgemeine Geradengleichung ein.
Wende das Additionsverfahren an.
1) - 2)
↓ ↓ Kürze mit 2.
↓ Setze m in 1) ein
↓ ↓ ↓ Setze m und t in die allg. Geradengleichung ein.
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze ein, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu erhalten
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist
Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte und ,
oder die beiden vorgegebenen Punkte und .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Setze und in die allgemeine Geradengleichung ein.
Wende das Additionsverfahren an. Berechne
↓ Setze in ein.
Setze und in die allgemeine Geradengleichung ein.
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze , um den Schnittpunkt mit der -Achse zu bestimmen
↓ Dividiere die Brüche. Multipliziere mit dem Kehrwert.
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist .
Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte und ,
oder die beiden vorgegebenen Punkte und .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung sieben nach rechts und zwei nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Setze und in die allgemeine Geradengleichung ein.
Wende das Additionsverfahren an. Berechne
Setze in ein.
Setze und in die allgemeine Geradengleichung ein.
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der -Achse zu bestimmen.
↓ Dividiere die Brüche. Das heißt multipliziere mit dem Kehrbruch.
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt
Zeichnung
Verbinde die beiden vorgegebenen Punkte und .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung 14 nach rechts und 11 nach unten und verbinde diese beiden Punkte.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Setze und in die allgemeine Geradengleichung ein.
Wende das Additionsverfahren an. Berechne :
↓ Setze in ein.
Setze und in die allgemeine Geradengleichung ein.
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze , um den Schnittpunkt mit der -Achse zu bestimmen
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte und ,
oder die beiden vorgegebenen Punkte und .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung 1 nach rechts und 0,8 nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
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- 9
Zeichne die folgenden Geraden und gib den Funktionsterm an.
hat die Steigung und schneidet die y-Achse bei .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen einer Geradengleichung
Funktionsterm aufstellen
Setze und in die allgemeine Geradengleichung ein.
Gerade zeichnen
Wähle einen beliebigen Punkt auf der Geraden, z. B. den Schnittpunkt mit der -Achse . Gehe von dort nach rechts und entsprechend der Steigung nach oben (Alternativ auch die vierfache Länge, um Brüche zu vermeiden: nach rechts und nach oben). Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
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hat die Steigung und schneidet die y-Achse bei .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen einer Geradengleichung
Funktionsterm aufstellen
Setze und in die allgemeine Geradengleichung ein.
Gerade zeichnen
Die Gerade verläuft durch den Schnittpunkt mit der -Achse parallel zur -Achse, da die Gerade die Steigung hat.
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geht durch den Punkt und ist parallel zur -Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen einer Geradengleichung
Funktionsterm aufstellen
Da die Gerade parallel zur -Achse liegt, ist ihre Steigung .
Die Gerade geht durch den Punkt . Da die Steigung ist, hat die Gerade bei den y-Wert .
Ihr -Achsenabschnitt liegt also bei
Setze und in die allgemeine Funktion ein.
Gerade zeichnen
Die Gerade verläuft durch den Schnittpunkt mit der -Achse parallel zur -Achse, da die Gerade die Steigung hat.
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geht durch den Punkt und ist parallel zur -Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen einer Geradengleichung
Funktionsterm aufstellen
Diese Gerade kann nicht durch eine Funktionsgleichung beschrieben werden. Die Steigung wäre unendlich groß.
Wir können die Gerade aber trotzdem zeichnen.
Gerade zeichnen
Die Gerade verläuft durch den Punkt parallel zur -Achse.
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- 10
Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch …
den Punkt geht und parallel ist zur -Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Parallel zur -Achse, das heißt die gleiche Steigung wie die -Achse, also .
und in die allgemeine Geradengeleichung einsetzen.
Zur Geradengleichung zusammensetzen.
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den Punkt geht und parallel ist zur Winkelhalbierenden des 2.Quadranten.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Parallel zur Winkelhalbierenden des 2. Quadranten bedeutet gleiche Steigung.
Die Steigung der Winkelhalbierenden des 2. Quadranten ist -1
in die Geradengleichung einsetzen und damit berechnen.
und in die allgemeine Geradengleichung einsetzen.
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den Punkt geht und parallel ist zur -Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Parallel zur -Achse, d.h. keine Funktionsgleichung, da einem -Wert unendlich viele -Werte zugeordnet werden. Die Gerade kann also nur als der -Wert von beschrieben werden.
Hast du eine Frage oder Feedback?
den Punkt geht und parallel ist zur Winkelhalbierenden des 1.Quadranten.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Parallel zur Winkelhalbierenden des 1. Quadranten bedeutet die gleiche Steigung.
Die Steigung der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten ist 1.
Setze m und S in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach auf.
Setze und in die allgemeine Geradengleichung ein.
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den Ursprung geht und parallel ist zur Geraden mit und .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Durch den Ursprung, das heißt -Achsenabschnitt
Parallel zur Geraden , bedeutet die gesuchte Gerade hat die gleiche Steigung wie .
Berechne die Steigung mithilfe des Differenzenquotienten .
Setze und in die allgemeine Geradengleichung ein.
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- 11
Prüfen Sie, ob die Gerade durch und eine Ursprungsgerade ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
Setze die beiden Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein:
Wende das Additionsverfahren an.
Berechne .
Setze m in eine der beiden Funktionen ein.
Die Gerade durch und ist eine Ursprungsgerade, da für der y-Wert gleich ist.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
Setze die beiden Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein:
Löse das lineare Gleichungssysten zum Beispiel mit dem Additionsverfahren.
Multipliziere dafür zunächst die Gleichung auf beiden Seiten mit
Berechne
Setze in eine der beiden Gleichungen ein
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung.
Die Gerade durch und ist keine Ursprungsgerade, da für der y-Wert gleich ist.
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- 12
Funktiongleichung bestimmen.
Eine Gerade hat den y-Achsenabschnitt und verläuft durch den Punkt . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x) und zeichnen Sie den Graphen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Allgemeine Geradengleichung:
Setze in die Geradengleichung ein.
Setze nun den Punkt in ein.
Löse nach m auf.
Zeichnung:
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Allgemeine Geradengleichung:
Setze in die Geradengleichung ein.
Setze nun den Punkt in ein.
Löse nach auf.
Zeichnung:
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- 13
Welche Steigung hat die Gerade durch die Punkte und ? Wie lautet also die Funktionsgleichung?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Steigung
Bestimme die Steigung .
Setze die beiden Punkte in die Formel für die Steigung ein.
Funktionsgleichung
Bestimme die Funktionsgleichung.
Setze m in die allgemeine Geradengleichung ein.
Setze einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung ein.
Setze t in die Funktionsgleichung ein.
- 14
Stelle die Gleichung der Geraden durch die zwei Punkte auf und zeichne sie.
und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Geradengleichung ermitteln
Ermittle die Steigung der allgemeinen Geradengleichung mithilfe des Differenzenqotienten .
Setze und die Koordinaten eines Punktes z. B. in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach auf.
Setze und in die allgemeine Geradengleichung ein.
Gerade zeichnen
Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte und in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.
Hast du eine Frage oder Feedback?
und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Geradengleichung ermitteln
Ermittle die Steigung der allgemeinen Geradengleichung mithilfe des Differenzenqotienten.
Setze und die Koordinaten eines Punktes z. B. in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach auf.
Setze und in die allgemeine Geradengleichung ein.
Gerade zeichnen
Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte und in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.
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und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Geradengleichung ermitteln
;
Ermittle die Steigung der allgemeinen Geradengleichung mithilfe des Differenzenqotienten .
Setze und die Koordinaten eines Punktes z. B. in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach auf.
Setze und in die allgemeine Geradengleichung ein.
Gerade zeichnen
Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte und in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.
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und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Geradengleichung ermitteln
;
Ermittle die Steigung der allgemeinen Geradengleichung mithilfe des Differenzenqotienten.
Setze und die Koordinaten eines Punktes z. B. in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach auf.
Setze und in die allgemeine Geradengleichung ein.
Gerade zeichnen
Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte und in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.
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- 15
Bestimme den Schnittpunkt beider Geraden und zeichne diesen in ein Koordinatensystem.
Gib den Schnittpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte linearer Funktionen
Setze die Funktionen und gleich, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
Setze in eine der beiden Geraden ein. Hier zum Beispiel
Zeichnung
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte linearer Funktionen
Setze die Funktionen f(x) und g(x) gleich, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
Löse zunächst die Funktion f nach y auf.
Setze nun f und g gleich
↓ Addiere und subtrahiere
Setze x in eine der beiden Geradengleichungen ein, hier zum Beispiel f:
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte linearer Funktionen
Setze die Funktionen f(x) und g(x) gleich, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
↓ ↓ Dividiere durch einen Bruch Multipliziere mit dem Kehrwert
↓ Setze x in eine der beiden Geraden ein, hier zum Beispiel g:
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte linearer Funktionen
Setze in ein.
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- 16
Geradenschnittpunkte berechnen.
Gegeben sind die Funktionsgleichungen zweier Geraden und . Berechnen Sie den Schnittpunkt beider Geraden und zeichnen Sie die Geraden in ein Koordinatensystem.
Gib den Schnittpunkt in das Eingabefeld ein: "S(1;3)" oder S(1|3)" zum Beispiel.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Geradenschnittpunkte berechnen
Setze dafür und gleich.
↓ Setze x in ein.
Zeichnung
Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Geradenschnittpunkt berechnen
Setze und gleich.
↓ Setze x in ein.
ist der Schnittpunkt der Geraden.
Zeichnung
Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Geradenschnittpunkt berechnen
Setze und gleich.
↓ Setze in ein.
Zeichnung
Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Geradenschnittpunkt berechnen
Setze und gleich.
↓ Setze in ein.
ist der Schnittpunkt der Geraden.
Zeichnung
Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Geradenschnittpunkt berechnen
Setze und gleich.
↓ Bringe die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner.
↓ Du dividierst durch einen Bruch Multipliziere mit dem Kehrwert.
Setze in ein.
Zeichnung
Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Geradenschnittpunkt berechnen
Setze und gleich.
↓ Bringe die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner .
↓ Du dividierst durch einen Bruch Multipliziere mit dem Kehrwert.
Setze in ein.
ist der Schnittpunkt der Geraden
Zeichnung
Verbinde jeweils die y-Achsenabschnitte (hier A und B) mit dem berechneten Schnittpunkt S. Diese legen die Geraden eindeutig fest.
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Betrachte folgende Graphen.
Bestimme die Funktionsgleichungen von allen 4 Geraden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Um die Geradengleichung von f zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden f liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel und . Bestimme mit diesen die Steigung von f mit der Formel.
Setz die Werte ein.
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf f liegt, oder abliest, bei welchem Wert f die y-Achse schneidet.
Setz zum Beispiel ein.
Vereinfache.
Also lautet die Geradengleichung .
Um die Geradengleichung von g zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden g liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel und . Bestimme mit diesen die Steigung von g mit der Formel.
Setz die Werte ein.
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf g liegt, oder abliest, bei welchem Wert g die y-Achse schneidet.
Setz zum Beispiel ein.
Vereinfache.
Also lautet die Geradengleichung .
Um die Geradengleichung von h zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden h liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel und . Bestimme mit diesen die Steigung von h mit der Formel.
Setz die Werte ein.
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf h liegt, oder abliest, bei welchem Wert h die y-Achse schneidet.
Setz zum Beispiel ein.
Vereinfache.
Also lautet die Geradengleichung .
Um die Geradengleichung von i zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden i liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel und . Bestimme mit diesen die Steigung von i mit der Formel.
Setz die Werte ein.
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf i liegt, oder abliest, bei welchem Wert i die y-Achse schneidet.
Setz zum Beispiel ein.
Vereinfache.
Also lautet die Geradengleichung .
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Bestimme den Schnittpunkt von g und h , sowie die Nullstelle von f.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Schnittpunkt von g und h
Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) und .
↓ Subtrahiere und 1.
↓ Dividiere durch .
Setz nun in die Geradengleichung von g oder h ein, um zu bestimmen.
Setz ein.
Die Geraden g und h schneiden sich also bei .
Die Nullstelle von f bestimmst du, indem du die Funktionsgleichung mit 0 gleichsetzt und nach umformst.
Die Nullstelle von f ist also 12.
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Berechne die beiden Schnittpunkte, die außerhalbdes Bildbereichs liegen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Der Schnittpunkt von h und i und der Schnittpunkt von g und i liegen außerhalb des Bildbereichs.
Schnittpunkt von h und i
Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) und .
Setz nun in die Geradengleichung von h oder i ein, um zu bestimmen.
Setz ein.
Die Geraden h und i schneiden sich also bei .
Schnittpunkt von g und i
Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) und .
Setz nun in die Geradengleichung von g oder i ein, um zu bestimmen.
Setz ein.
Die Geraden g und i schneiden sich also bei .
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Wie viele Schnittpunkte gibt es höchstens bei vier Geraden, die jeweils nicht parallel sind?
Schnittpunkte kann es höchstens geben.Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Es gibt insgesamt 6 Schnittpunkte, nämlich die folgenden:
f und g
f und h
f und i
g und h
g und i
h und i
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- 18
Prüfe, ob die Geraden durch einen Punkt verlaufen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt von Geraden
Bringe zuerst alle Geraden in die allgeimeine Form .
Gerade g:
Gerade h:
Gerade i:
Bestimme den Schnittpunkt von g und h
Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.
↓ Sortiere nach -Termen und Zahlen.
↓ Fasse zusammen.
Setze in ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.
Der Schnittpunkt ist
Bestimme den Schnittpunkt von g und i
Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.
↓ Sortiere nach -Termen und Zahlen.
↓ Fasse zusammen.
Setze in ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.
Der Schnittpunkt ist
Da sich mit und mit im selben Punkt schneidet, schneiden sich auch und in diesem Punkt. Die Geraden laufen also alle durch den Punkt .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt von Geraden
Bringe zuerst alle Geraden in die allgeimeine Form .
Gerade g:
Gerade h:
Gerade i:
Bestimme den Schnittpunkt von g und h
Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.
↓ Sortiere nach -Termen und Zahlen.
↓ Fasse zusammen.
Setze in ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.
Der Schnittpunkt ist
Bestimme den Schnittpunkt von g und i
Setze dazu die jeweiligen rechten Seiten gleich.
↓ Sortiere nach -Termen und Zahlen.
↓ Fasse zusammen.
Setze in ein, um den Schnittpunkt zu erhalten.
Der Schnittpunkt ist
Damit schneidet die Gerade die Gerade in einem anderen Punkt als die Gerade . Also laufen die Geraden nicht durch einen Punkt.
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- 19
Gegeben sind die Geraden und .
Überprüfe, ob die Punkte , , , und auf einer der Geraden liegen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Überprüfung mit Skizze
Wähle jeweils einen beliebigen Punkt auf der Geraden, z. B. die y-Achsenabschnitte und . Gehe von dort nach rechts und entsprechen der Steigungen nach oben und nach unten. Verbinde jeweils die beiden Punkte zu einer Geraden.
Wenn du den Verlauf der Geraden betrachtest und beispielsweise die Lage des Punktes , so siehst du, dass dieser kaum auf der Geraden h, wahrscheinlich aber auf liegen wird. Ähnlich kannst du bei anderen Punkten entscheiden, ob sich eine rechnerische Überprüfung lohnt: Punkt kann z. B. nur auf liegen.
Rechnerische Überprüfung
in einsetzen:
Setze die Koordinaten der Punkte in die fragliche Gleichung ein. Also setze und ein.
Das ist eine wahre Aussage.
⇒ liegt auf .
liegt auf keiner der Geraden. Das kann eindeutig der Skizze entnommen werden.
in einsetzen:
⇒
Diese Aussage ist falsch, also liegt nicht auf
in einsetzen:
⇒
Diese Aussage ist falsch, also liegt nicht auf .
in einsetzen:
Diese Aussage ist richtig, also liegt auf .
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Ergänze die Koordinaten so, dass die Punkte auf h liegen: P(5 | ?) , Q(-3,5 | ?) , R(? | 12) , S(? | -7,5).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Koordinaten ergänzen
; P(5|?)
Die gegebene Koordinate des Punktes (die x-Koordinate) wird in die Funktionsgleichung eingesetzt und daraus die fehlende y-Koordinate berechnet.
⇒ P(5|0,5)
Q: Q(-3,5|4,75)
R: R(-18|12)
S: S(2 1|-7,5).
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Zeige, dass T(2,4|1,8) auf beiden Geraden liegt. Was bedeutet dies?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Beweis für T
T(2,4|1,8)
Die Koordinaten von T in beide Geradengleichungen einsetzen. Wenn die Aussagen wahr sind, liegt T auf den Geraden.
in g:
in h:
Beide Gleichungen ergeben richtige Aussagen, also liegt der Punkt T auf beiden Geraden.
T Ist der Schnittpunkt der Geraden
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Löse die folgenden Aufgaben.
Welche Steigung hat die Gerade durch die Punkte und ?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: allgemeine Geradengleichung
Gegeben: Punkt und Punkt
Setze die x-Werte (erste Koordinate) und die y-Werte (zweite Koordinate) in die allgemeine Geradengleichung ein.
Bei der ersten Gleichung kannst du sofort ablesen, dass . Dieses kannst du in die zweite Gleichung einsetzen, um auszurechnen.
Setze und in die allgemeine Geradengleichung ein.
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Stelle die Gleichung der Geraden durch die Punkte und auf.
Gegeben: Punkt und
Berechne die Differenz der beiden x-Werte und der beiden y-Werte, um die Steigung zu bestimmen.
x-Werte:
y-Werte:
Während der x-Wert um steigt, nimmt der y-Wert um ab. Dividiere den y-Wert durch den x-Wert, um die Steigung auszurechnen.
Setze m, den x-Wert und den y-Wert eines der Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein, um zu bestimmen.
Setze und in die allgemeine Geradengleichung ein, um die Gleichung der Funktion aufzustellen.
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