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Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

  1. 1

    Welche Werte kann der Parameter t annehmen, so dass die folgenden Aussagen richtig sind?

    1. Der Graph der Funktion f mit f(x)=x2+tx+1f\left(x\right)=x^2+tx+1 verläuft vollständig oberhalb der x-Achse.

    2. Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit f(x)=x2tx2f\left(x\right)=-x^2-tx-2 liegt auf der x-Achse.

    3. Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit f(x)=x2tx2f\left(x\right)=-x^2-tx-2 liegt auf der y-Achse.

  2. 2

    Gegeben sind die quadratischen Funktionen f(x)=(x1)(x2)f(x)=(x-1)(x-2) und g(x)=ax2g(x)=ax^2.

    Bestimme aa so, dass der Graph von gg den Graphen von ff berührt.

  3. 3

    Zeige, dass es keinen Wert von aa gibt, sodass der Graph von f(x)=ax2+1f(x)=ax^2+1 die Normalparabel berührt.

  4. 4

    Eine Parabel mit der Funktionsgleichung f(x)f(x) hat ihren Scheitel in S(06)S(0|6) und schneidet die x-Achse im Punkt Px(230)P_x(2\sqrt3|0)

    Bestimme die Funktionsgleichung und zeichne den Graphen.

  5. 5

    Ermitteln Sie die Koeffizienten a2a_2 und a1a_1 so, dass die Funktion f(x)=a2x2+a1x+3f(x)=a_2x^2+a_1x+3 an den Stellen x=1x=-1   und x=0,5x=0{,}5 die gleichen Funktionswerte hat wie die Funktion g(x)=2x1g(x)=2x-1 .

  6. 6

    Gegeben sind die Funktionsgleichungen folgender Parabeln.

    1. Bestimme jeweils die Scheitelform und den Scheitelpunkt.

    2. Berechne die Achsenschnittpunkte.

    3. Beschreibe schrittweise, wie f(x)f(x) aus der Normalparabel durch Verschieben/Strecken entsteht und wie sie geöffnet ist.

    4. Zeichne den Graphen von f(x)f(x) in ein geeignetes Koordinatensystem.

    1. f(x)=x24x+2f\left(x\right)=x^2-4x+2

    2. f(x)=x2+4x+2f\left(x\right)=x^2+4x+2

    3. f(x)=x24x+3f\left(x\right)=-x^2-4x+3

    4. f(x)=x2+8x9f\left(x\right)=-x^2+8x-9

    5. f(x)=12x24x+5f\left(x\right)=\frac12x^2-4x+5

    6. f(x)=12x22x+6f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6

    7. f(x)=13x223x2f\left(x\right)=\frac13x^2-\frac23x-2

    8. f(x)=23x2+34x+6f\left(x\right)=-\frac23x^2+\frac34x+6

  7. 7

    Für eine 18m lange Brücke werden in 2m Abstand Stützpfeiler benötigt. Diese verbinden den horizontalen Laufweg mit dem parabelförmigen Bogen unterhalb der Brücke. Die Höhe der beiden äußersten Stützpfeiler beträgt 4,5m.

    Berechne die Länge aller Pfeiler.

    Geogebra File: /uploads/legacy/8017_IO1wrkgRI0.xml
  8. 8

    Gegeben sind die quadratischen Funktionen f(x)f(x) und g(x)g(x) mit f(x)=x23x;  xRf(x)=-x^2-3x;\;x\in\mathbb{R} und g(x)=0,5x(x+3);  xRg(x)=0{,}5x(x+3);\;x\in\mathbb{R}

    1. Zeichne die Graphen von f(x)f(x) und g(x)g(x) in ein Koordinatensystem. Begründe ohne Rechnung, warum sich f(x)f(x) und g(x)g(x) auf der x-Achse schneiden.

      S(1,52,25)S\left(-1{,}5|2{,}25\right) ist der Scheitel von f(x)f(x).

      Gib den Scheitel von g(x)g(x) an.

    2. Die Gerade x=ux=u schneidet den Graphen von f(x)f(x) im Punkt PP und den Graphen von g(x)g(x) im Punkt QQ. Gib PP und QQ an.

    3. Für u  ]3;0[u\in\;\rbrack-3;0\lbrack ist die Strecke [PQ] eine Seite eines Rechtecks, das den beiden Parabeln einbeschrieben ist. Bestimme den Inhalt des Rechtecks für u=1u=-1 und den Umfang UU in Abhängigkeit von uu.

      Im Bild ist u=2,5u=-2{,}5:

      Image Title
    4. Verschiebe die Parabel g(x)g(x) in y-Richtung so, dass die verschobene Parabel den Graphen von f(x)f(x) berührt. Bestimme die Koordinaten des Berührpunktes BB.

    5. Bestimme aa so, dass f(a)f(a+1)=4f(a)-f(a+1)=4 ist.


  9. 9

    Untersuche die gegenseitige Lage von f(x)f(x) und g(x)g(x) in Abhängigkeit von aa, wenn gilt:

    f(x)=x2+1;  xRf(x)=-x^2+1;\;x\in\mathbb{R} und g(x)=ax2a;  xR;  aR+g(x)=ax^2-a;\;x\in\mathbb{R};\;a\in\mathbb{R}^+

  10. 10

    Welche Bedingungen müssen für die Koeffizienten der Funktion f(x)=x2+a1x+a0f(x)=x^2+a_1x+a_0 erfüllt sein, damit  f(x)f(x) keine Nullstellen besitzt?

  11. 11

    Bestimme die Schnittpunkte der Geraden y=x1,5y=x-1{,}5 mit der Parabel y=x24x+2,5y=x^2-4x+2{,}5 rechnerisch.

    Kontrolliere dein Ergebnis graphisch.

  12. 12

    Gib jeweils die Gleichung einer Parabel an, die mit der Parabel  y=x2+2xy=x^2+2x keinen, einen bzw. zwei verschiedene Schnittpunkte hat.

  13. 13

    Gegeben sind zwei Funktionen mit den Gleichungen ya=x+1y_a=x+1 und yb=12xy_b=\frac{1}{2x} .

    1. Zeichne die Graphen der beiden Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem und lies die Koordinaten der Schnittpunkte näherungsweise ab.

    2. Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte exakt.

  14. 14

    Beschreibe, worin sich die Parabeln  y=3x218x+27y=3x^2-18x+27  und  y=13x22x+3y=\frac13x^2-2x+3 unterscheiden, indem du sie in Scheitelpunktsform umwandelst.

  15. 15

    Bestimme jeweils die maximale Definitionsmenge und untersuche, ob die Terme a288a+2a2\frac{a-2}{8-8a+2a^2} und 12a4\frac1{2a-4} äquivalent sind.

  16. 16

    Berechne für folgende Parabel die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt. Zeichne den Graphen.

    1. f(x)=x2+2x+5f(x)=x^2+2x+5

    2. f(x)=x2+4x+1f(x)=x^2+4x+1

    3. f(x)=x24x+1f(x)=x^2-4x+1

    4. f(x)=x23x+3,5f(x)=x^2-3x+3{,}5

    5. f(x)=x2+x3f(x)=x^2+x-3

    6. f(x)=x2+2x+1f(x)=-x^2+2x+1

    7. f(x)=x2+5x5f(x)=-x^2+5x-5

    8. f(x)=12x2+x+2f(x)=\frac{1}{2}x^2+x+2

    9. f(x)=34x2+23x16f(x)=-\frac{3}{4}x^2+\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}

    10. f(x)=13x223x+53f(x)=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}

  17. 17

    Berechne für folgende Parabeln die Nullstellen, den Scheitelpunkt mithilfe der quadratischen Ergänzung und die Achsenschnittpunkte. Zeichnen Sie den Graphen unter zu Hilfenahme des Scheitelpunkts.

    1. f(x)=x2+4x5f(x)=x^2+4x-5

    2. f(x)=x2x+6f(x)=-x^2-x+6

    3. f(x)=x24x4f(x)=-x^2-4x-4

    4. f(x)=12x2+12x6f(x)=\frac12x^2+\frac12x-6

    5. f(x)=12x24x+5f(x)=\frac12x^2-4x+5

    6. f(x)=x24x+5f(x)=x^2-4x+5

    7. f(x)=14x2+x1f(x)=\frac14x^2+x-1

    8. f(x)=4x2+x5f(x)=4x^2+x-5

    9. f(x)=4x2x+5f(x)=-4x^2-x+5

    10. f(x)=13x223x2f(x)=\frac13x^2-\frac23x-2

  18. 18

    Bestimme die Scheitelform der Parabeln und zeichne sie.

    1. Die Normalparabel wird um 3 gestreckt, um 4 nach rechts und um 1,5 nach unten verschoben. Die Parabel ist nach oben geöffnet.

    2. Die Normalparabel wird um  12\frac12 gestaucht, um  54\frac54 nach links und um 1 nach unten verschoben. Die Parabel ist nach oben geöffnet.

    3. Die Normalparabel wird um 1.75 gestreckt, um 2 nach links und um 5,25 nach oben verschoben. Die Parabel ist nach unten geöffnet.

  19. 19

    Im folgenden Koordinatensystem ist der Graph einer Parabel abgebildet.

    Bild
    1. Gib die Funktionsgleichung der abgebildeten Parabel an.

    2. Stelle dir vor, dass sich die Parabel in einem beliebig großen Koordinatensystem beliebig fortsetzt. Was ist dann die Definitionsmenge obiger Funktion?

    3. Angenommen, wir hätten zum Zeichnen des Graphen eine (beliebig große) Wertetabelle berechnet: Welches wird mit Sicherheit der größte y – Wert in dieser Tabelle sein?

    4. Markiere im Graphen die Nullstellen und gib diese an.

    5. Gib nun die Wertemenge der Funktion an.

    6. Setze die beiden in c) ermittelten Nullstellen in die Funktionsgleichung ein und bestätige durch Rechnung, dass es tatsächlich Nullstellen sind.

  20. 20

    Christian, Manfred und Peter sollten als Hausaufgabe die Gleichung x22x2=0x^2-2x-2=0 graphisch lösen. Sie sind dabei unterschiedlich vorgegangen, aber alle auf die gleichen Näherungslösungen x10,7x_1\approx-0{,}7 und x22,7x_2\approx2{,}7 gekommen.

    Bild
    1. Überprüfe die Näherungslösungen rechnerisch.

    2. Erläutere die Vorgehensweisen von Christian, Manfred und Peter.

    3. Ermittle mit jedem Verfahren die Lösungen der Gleichung x2+3x+2=0x^2+3x+2=0.

    4. Manfred und Peter sind von Christians Methode begeistert und versuchen, damit die Gleichung 2x2x6=02x^2-x-6=0 zu lösen.

      Sie gehen dabei aber unterschiedlich vor (siehe nachstehende Abbildungen). Welche Ergebnisse erhalten sie? Überprüfe rechnerisch. Wer von beiden ist deiner Meinung nach geschickter vorgegangen? Begründe.

      Bild
  21. 21

    Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Parabel mit: f(x)=12x2+2x+1\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\frac12x^2+2x+1.

    1. Berechne den Scheitelpunkt mithilfe der Scheitelform.

    2. Berechne die Achsenschnittpunkte.

    3. Die Parabel soll so verschoben werden, dass der Punkt der Parabel, der auf der y-Achse liegt, durch den Punkt P(31)P (-3| -1) verläuft. Wie lautet die Funktionsgleichung g(x)g(x) der verschobenen Parabel?

    4. Wo schneiden sich beide Parabeln?

    5. Zeichne beide Parabeln in ein geeignetes Koordinatensystem.

  22. 22

    Ein biologischer Versuch zeigt folgende Messwerte bei der Untersuchung einer Zellkultur:

    Benötigte Zeit in h

    0

    2

    4

    6

    8

    Anzahl der Zellteilungen

    0

    2

    8

    18

    32

    Das Wachstum der Zellkultur kann durch eine quadratische Funktion beschrieben werden.

    1. Berechne die Funktionsgleichung und zeichne den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.

    2. Nach welcher Zeit haben 200 Zellteilungen stattgefunden?

      h
    3. Wie lange dauert es, bis 1800 Teilungen erfolgt sind?

      h
  23. 23

    Der Kraftstoffverbrauch eines PKW hängt bekanntlich von der Geschwindigkeit ab. Durch Messungen wurde der funktionale Zusammenhang ermittelt. Es gilt: K(v)=0,002v20,18v+8,55\mathrm{K}\left(\mathrm{v}\right)=0{,}002\mathrm{v}^2-0{,}18\mathrm{v}+8{,}55 für v>40v > 40.

    Dabei bedeutet K(v)K(v) der Kraftstoffverbrauch in Liter/100 kmLiter/100\ km und vv die Geschwindigkeit in km/hkm/h.

    1. Bei welcher Geschwindigkeit beträgt der Verbrauch genau 7Liter100km7\frac{Liter}{100km} auf?

      km/h
    2. Bei welcher Geschwindigkeit ist der Kraftstoffverbrauch am geringsten?

      km/h

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