Aufgaben zu e-Funktion und ln-Funktion

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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit $f (x) = 1 + e^{1 - x}$ und $g (x) = 2 \cdot e^{x - 1}$ .
1. Skizziere die beiden Graphen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Video: Funktionsgraphen der Exponentialfunktionen
  Graphen der Funktionen f und g
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2. Bestimme den Schnittpunkt der beiden Graphen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkten zweier Graphen
  Du suchst nach Werten $x$ , die
  in den Definitionsmengen $D_{f}$ und $D_{g}$ beider Funktionen $f$ und $g$ enthalten sind und
  $f (x) = g (x)$ erfüllen.
  Um solche Werte $x$ zu finden, löst du die Gleichung $f (x) = g (x)$ nach $x$ auf, falls dies möglich ist.
  $f (x) = g (x)$
  In diese Gleichung setzt du die Definitionsgleichungen $f (x) = 1 + e^{1 - x}$ und $g (x) = 2 e^{x - 1}$ von $f$ und $g$ ein.
  $\Leftrightarrow 1 + e^{1 - x} = 2 e^{x - 1}$
  Nun kannst du $x - 1$ durch $- (1 - x)$ ersetzen.
  $\Leftrightarrow 1 + e^{1 - x} = 2 e^{- (1 - x)}$
  Anschließend kannst du beide Seiten der Gleichung mit $e^{1 - x}$ multiplizieren, um die rechte Seite der Gleichung zu vereinfachen: Dabei ist aufgrund der Potenzgesetze $e^{1 - x} \cdot e^{- (1 - x)} = e^{0} = 1$ .
  $\Leftrightarrow e^{1 - x} + (e^{1 - x})^{2} = 2$
  Vertausche die Summanden (Kommutativgesetz der Addition).
  $\Leftrightarrow (e^{1 - x})^{2} + e^{1 - x} = 2$
  Dies erinnert an eine quadratische Gleichung. Nun kannst du mit $y = e^{1 - x}$ eine Substitution durchführen, d. h., du betrachtest eine veränderte Gleichung, in der du den komplizierteren Ausdruck $e^{1 - x}$ durch $y$ ersetzt; dies liefert eine einfacher aussehende Gleichung:
  $y^{2} + y = 2$
  Hier kannst du $2$ auf die linke Seite der Gleichung bringen.
  $\Leftrightarrow y^{2} + y - 2 = 0$
  Nun hast du eine quadratische Gleichung erhalten, die der Theorie gemäß höchstens zwei reelle Lösungen (d. h. Nullstellen) hat. Diese kannst du mit der $p q$ -Formel berechnen:
  $\begin{aligned} y & = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)} \\ = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2} \\ = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} \\ = - \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} \Leftrightarrow y \in {- 2, 1} \end{aligned}$
  $\Leftrightarrow y \in {- 2, 1}$
  (Hier gilt der Äquivalenzpfeil, da die Gleichung genau zwei reelle Lösungen hat.)
  Die Exponentialfunktion $\exp : ℝ \to ℝ^{+}, x \mapsto e^{x}$ nimmt nur positive Werte an. Deswegen kann auch $e^{1 - x} = \exp (1 - x)$ nur positive Werte annehmen und die Gleichung $y = e^{1 - x}$ ist lediglich für $y = 1$ erfüllbar.
  $e^{1 - x} = 1$
  Wie du vielleicht schon weißt, ist $\exp (0) = e^{0} = 1$ . Also ist $x = 1$ eine mögliche Lösung. Durch Anwendung der natürlichen Logarithmusfunktion $\ln$ auf beide Seiten der Gleichung erhältst du
  $\Leftrightarrow \ln (e^{1 - x}) = \ln (1)$
  Da $\ln$ die Umkehrfunktion von $\exp$ auf ganz $ℝ$ ist (deswegen bleibt der Äquivalenzpfeil gültig), gilt $\ln (e^{x}) = x$ . Aus dem Artikel zur $\ln$ -Funktion könntest du dir gemerkt haben, dass $\ln (1) = 0$ ist.
  $\Leftrightarrow 1 - x = 0$
  Hier kannst du $x$ auf die andere Gleichungsseite bringen und bekommst die gesuchte Lösung der Gleichung $f (x) = g (x)$ .
  $\Leftrightarrow x = 1$
  Als Letztes musst du diesen $x$ -Wert noch in eine der beiden ursprünglichen Funktionen einsetzen, um den $y$ -Wert des Schnittpunkts herauszufinden.
  $f (1) = 1 + e^{1 - 1} = 1 + e^{0} = 1 + 1 = 2$
  Also liegt der gesuchte Schnittpunkt bei $S (1 | 2)$ .
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3. Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Graphen?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt zweier Geraden
  Berechnung des Schnittwinkels zweier reeller Funktionen in einem Punkt:
  Gegeben sind zwei Funktionen $f : D_{f} \to ℝ$ , $g : D_{g} \to ℝ$ , deren Graphen sich in einem Punkt $\tilde{x}$ gemäß Teilaufgabe b) schneiden: $f (\tilde{x}) = g (\tilde{x})$ . $f$ und $g$ wollen wir als in $\tilde{x}$ differenzierbar voraussetzen.
  Du kannst nun folgendermaßen vorgehen: Berechne Geraden $g_{1} : y = k_{1} x + d_{1}$ und $g_{2} : y = k_{2} x + d_{2}$ , welche die nachstehenden Eigenschaften aufweisen:
  $f^{'} (\tilde{x}) = k_{1}$ und $g^{'} (\tilde{x}) = k_{2}$
  $f (\tilde{x}) = k_{1} \tilde{x} + d_{1}$ und $g (\tilde{x}) = k_{2} \tilde{x} + d_{2}$
  Dies bedeutet, in Worte gefasst:
  Die Steigung von $g_{1}$ ist gleich der Steigung von $f$ in $\tilde{x}$ und die Steigung von $g_{2}$ ist gleich der Steigung von $g$ in $\tilde{x}$ .
  Der Schnittpunkt $(\tilde{x}, f (\tilde{x})) = (\tilde{x}, g (\tilde{x}))$ der Graphen von $f$ und $g$ ist in $g_{1}$ und $g_{2}$ enthalten.
  Anschließend kannst du den Schnittwinkel beider Geraden durch deren Richtungsvektoren $\vec{g_{1}}$ und $\vec{g_{2}}$ mittels der Formel $c o s (ϕ) = \frac{⟨ \vec{g_{1}}, \vec{g_{2}} ⟩}{| \vec{g_{1}} | \cdot | \vec{g_{2}} |}$ berechnen ( $⟨ ., . ⟩$ bezeichnet das Standardskalarprodukt):
  In Teilaufgabe b) war der Schnittpunkt $\tilde{x} = 1$ mit $f (1) = g (1) = 2$ .Um die Steigungen von $f$ und $g$ in $\tilde{x} = 1$ zu berechnen, benötigen wir deren Ableitungen an dieser Stelle:
  $f^{'} (x) = - e^{1 - x}$ und $g^{'} (x) = 2 \cdot e^{x - 1}$ .
  $f^{'} (1) = - e^{1 - 1} = - e^{0} = - 1$
  $g^{'} (1) = 2 \cdot e^{1 - 1} = 2 \cdot e^{0} = 2$
  Anschließend kannst du die gesuchten Geraden bestimmen, indem du $k_{1} = f^{'} (1)$ und $k_{2} = g^{'} (1)$ setzt (damit ist 1. erfüllt). Wenn du weiterhin noch 2. forderst, erhältst du durch Einsetzen von $\tilde{x} = 1, f (1), g (1), k_{1}$ und $k_{2}$ zwei Gleichungen. Diese Gleichungen formst du um, um die fehlenden Werte $d_{1}$ und $d_{2}$ zu berechnen:
  $f (\tilde{x}) = k_{1} \tilde{x} + d_{1} \Leftrightarrow 2 = (- 1) \cdot 1 + d_{1} \Leftrightarrow d_{1} = 3$
  und
  $g (\tilde{x}) = k_{2} \tilde{x} + d_{2} \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + d_{2} \Leftrightarrow d_{2} = 0$
  Nach diesen Schritten hast du die Geradengleichungen von $g_{1}$ und $g_{2}$ ermittelt:
  $g_{1} : y = (- 1) \cdot x + 3$
  $g_{2} : y = 2 \cdot x$
  (siehe auch: (*) Alternativer Lösungsweg)
  Du kannst sofort die Normalform der Geraden angeben,
  $g_{1} : x + y = 3$
  $g_{2} : (- 2) \cdot x + y = 0$
  sowie deren Normalenvektoren ${\vec{n}}_{g_{1}}$ und ${\vec{n}}_{g_{2}}$ ablesen: $(\binom{1}{1})$ und $(\binom{- 2}{1})$ .
  Da Normalenvektoren in der Ebene senkrecht, d.h. in einem Winkel von $90 °$ auf den Richtungsvektor der Geraden stehen, ist in obiger Grafik $φ = φ^{'}$ . Also kannst du $ϕ$ mit der weiter oben angegebenen Formel berechnen, wobei du jedoch nicht die Richtungs-, sondern die Normalenvektoren verwendest:
  $\begin{aligned} c o s (φ) & = \frac{⟨ {\vec{n}}_{g_{1}}, {\vec{n}}_{g_{2}} ⟩}{| {\vec{n}}_{g_{1}} | \cdot | {\vec{n}}_{g_{2}} |} \\ = \frac{⟨ (\binom{1}{1}), (\binom{- 2}{1}) ⟩}{| (\binom{1}{1}) | \cdot | (\binom{- 2}{1}) |} \\ = \frac{- 2 + 1}{\sqrt{1 + 1} \cdot \sqrt{4 + 1}} \\ = - \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = - \frac{1}{\sqrt{10}} \end{aligned}$
  $\begin{aligned} \Rightarrow φ & = c o s^{- 1} (- \frac{1}{\sqrt{10}}) \\ \approx 108,4 ° \end{aligned}$
  Unter Verwendung eines Taschenrechners ist es dir möglich, den Wert von $c o s^{- 1} (- \frac{1}{\sqrt{10}})$ (in $°$ Winkelmaß) zu berechnen.
  Achtung: Versichere dich davor in dessen Einstellungsmenü davon, dass du dein Ergebnis nicht in $°$ Radiant angegeben erhältst.
  (*) Alternativer Lösungsweg
  Dieser Lösungsweg verwendet keine Vektoren, sondern benutzt die Tatsache, dass die Steigung m einer Gerade durch $m = \tan (α)$ gegeben ist. Auflösen nach dem Steigungswinkel $α$ (=Winkel gegen die Horizontale) durch Anwenden von $\tan^{- 1} (. .)$ auf beiden Seiten der Gleichung liefert:
  $α = \tan^{- 1} (m)$
  Wir hatten:
  $g_{1} : y = - x + 3$ mit Steigung $m_{1} = - 1$ .
  $g_{2} : y = 2 \cdot x$ mit Steigung $m_{2} = 2$
  Berechne nun den Steigungswinkel gemäß der Formel von oben.
  Steigungswinkel von $g_{1}$ : $α_{1} = \tan^{- 1} (m_{1}) = \tan^{- 1} (- 1) = - 45^{\circ}$
  Steigungswinkel von $g_{2}$ : $α_{2} = \tan^{- 1} (m_{2}) = \tan^{- 1} (2) \approx {63,4}^{\circ}$
  Berechne den Schnittwinkel. Ziehe dazu die Winkel voneinander ab und bilde deren Betrag.
  $φ = | α_{2} - α_{1} | \approx | {63,4}^{\circ} - (- 45^{\circ}) | = {108,4}^{\circ}$
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Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und die 1. Ableitung der folgenden Funktion:
$f (x) = \frac{1}{2 - \ln (x^{2} - 1)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Nullstellen des Nenner
$f (x) = \frac{1}{2 - \ln (x^{2} - 1)}$
Der Nenner ist dann 0, wenn $\ln (x^{2} - 1) = 2$ ist.
$\ln (x^{2} - 1)$ $=$ $2$ $| e^{(. . .)}$
$x^{2} - 1$ $=$ $e^{2}$ $+ 1$
$x^{2}$ $=$ $e^{2} + 1$ $\sqrt{}$
$x$ $=$ $\pm \sqrt{e^{2} + 1}$
$\Rightarrow x_{1} = - \sqrt{e^{2} + 1}, x_{2} = \sqrt{e^{2} + 1}$
Definitionsbereich des Logarithmus
$f (x) = \frac{1}{2 - \ln (x^{2} - 1)}$
Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.
$x^{2} - 1$ $>$ $0$ $+ 1$
$x^{2}$ $>$ $1$ $\sqrt{}$
$| x |$ $>$ $1$
$\Rightarrow x > 1 oder x < - 1$
$\Rightarrow$ $D_{f} =] - \infty; - 1 [\cup$ $] 1; + \infty [\ {- \sqrt{e^{2} + 1}, \sqrt{e^{2} + 1}}$
Nullstellenbestimmung
$\Rightarrow$ Da im Zähler der Funktion kein Element mit x vorkommt, hat die Funktion keine Nullstellen.
Ableitungen
Bilde die 1. Ableitung
$f (x) = \frac{1}{2 - \ln (x^{2} - 1)}$
Mit Hilfe der Potenzgesetze umwandeln.
$f (x) = {(2 - \ln (x^{2} - 1))}^{- 1}$
Leite jetzt mit Hilfe der Kettenregel ab:
$f ‘ (x) = - {(2 - \ln (x^{2} - 1))}^{- 2} \cdot (- \frac{1}{x^{2} - 1} \cdot 2 x) = \frac{2 x}{(x^{2} - 1) \cdot {(2 - \ln (x^{2} - 1))}^{2}}$
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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = x \cdot e^{1 - x}$ .
1. In welchen Intervallen ist $f$ streng monoton wachsend?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonieverhalten einer reellwertigen Funktion bestimmen
  Eine reellwertige Funktion $f : [a, b] \to ℝ$ auf einem Intervall $[a, b]$ mit $a < b$ heißt
  monoton wachsend auf $[a, b]$ , falls aus $a \leq x \leq y \leq b$ folgt, dass $f (x) \leq f (y)$ ist.
  streng monoton wachsend auf $[a, b]$ , falls aus $a \leq x < y \leq b$ folgt, dass $f (x) < f (y)$ ist.
  Kurz gesagt bedeutet monotones Wachstum: Je weiter du von $a$ ausgehend auf $b$ zugehst, desto größer werden die Funktionswerte von $f$ .
  monoton fallend auf $[a, b]$ , falls aus $a \leq x \leq y \leq b$ folgt, dass $f (x) \geq f (y)$ ist.
  streng monoton wachsend auf $[a, b]$ , falls aus $a \leq x < y \leq b$ folgt, dass $f (x) < f (y)$ ist.
  Kurz gesagt bedeutet monotone Abnahme: Je weiter du von $a$ ausgehend auf $b$ zugehst, desto kleiner werden die Funktionswerte von $f$ .
  Ist die betrachtete Funktion $f : [a, b] \to ℝ$ differenzierbar, so kannst du ihr Monotonieverhalten folgendermaßen bestimmen:
  Ist $f^{'} (x) \geq 0$ (bzw. $> 0$ ) für alle $x$ in $[a, b]$ , so wächst $f$ monoton (bzw. streng) auf $[a, b]$ .
  Ist $f^{'} (x) \leq 0$ (bzw. $< 0$ ) für alle $x$ in $[a, b]$ , so fällt $f$ monoton (bzw. streng monoton) auf $[a, b]$ .
  Dieses Vorgehen kannst du auf differenzierbare Funktionen $f : ℝ \to ℝ$ verallgemeinern, indem du die Ableitung $f^{'}$ berechnest und $ℝ$ in größtmögliche Intervalle unterteilst, auf welchen $f^{'} \geq 0$ oder $f^{'} \leq 0$ ist.
  In dieser Aufgabe ist
  $f (x) = x \cdot e^{1 - x}$
  $f$ ist laut Produkt- und Kettenregel differenzierbar, womit du also ihre Ableitung berechnen kannst:
  $f^{'} (x) =$
  Anwendung der Produktregel
  $(x)^{'} \cdot e^{1 - x} + x \cdot (e^{1 - x})^{'} =$
  Anwendung der Kettenregel unter Benutzung von $(e^{x})^{'} = \exp^{'} (x) = \exp (x) = e^{x}$ liefert:
  $(e^{1 - x})^{'} =$
  $(e x p (1 - x))^{'} =$
  $\exp^{'} (1 - x) \cdot (1 - x)^{'} =$
  $\exp (1 - x) \cdot (- 1) =$
  $- e^{1 - x}$
  Durch Einsetzen der Ableitung $(x)^{'} = 1$ erhältst du
  $1 \cdot e^{1 - x} + x \cdot (- 1) \cdot e^{1 - x} =$
  Hier kannst du den Ausdruck $e^{1 - x}$ herausheben:
  $(1 - x) \cdot e^{1 - x}$
  Dabei ist $e^{1 - x}$ für reelle $x$ immer positiv.
  Daher hängt das Vorzeichen von $f^{'} (x)$ nur von dem Ausdruck $1 - x$ ab:
  $1 - x > 0$ für $x < 1$ und
  $1 - x < 0$ für $x > 1$ .
  Insgesamt ist
  $f^{'} (x) > 0$ für $x < 1$ und
  $f^{'} (x) < 0$ für $x > 1$ .
  Nach dem obigen Kriterium für differenzierbare Funktionen kannst du folgende Aussage zum Monotonieverhalten von $f$ angeben:
  $f$ wächst streng monoton für $x < 1$ und fällt streng monoton für $x > 1$ .
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2. Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von $f$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hoch- und Tiefpunkte berechnen
  Aus Teilaufgabe a) weißt du bereits, dass $f^{'} (x) = (1 - x) \cdot e^{1 - x}$ ist. Berechne nun die Nullstellen der ersten Ableitung.
  $f^{'} (x) = 0$
  Setze für $f^{'} (x)$ ein.
  $\Leftrightarrow (1 - x) \cdot e^{1 - x} = 0$
  Desweiteren solltest du aus Teilaufgabe a) in Erinnerung behalten haben, dass $e^{1 - x} > 0$ ist. Somit ist die linke Seite der Gleichung genau dann gleich Null, wenn $1 - x = 0$ ist. Dies ist nur für $x = 1$ erfüllt.
  $\Leftrightarrow x = 1$
  $x = 1$ ist also der einzige Punkt von $f$ , der als Hoch- oder Tiefpunkt in Frage kommt.
  Um zu entscheiden, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, berechnest du die zweite Ableitung von $f$ .
  $f^{''} (x) = ((1 - x) \cdot e^{1 - x})^{'}$
  Wende die Produktregel an.
  $= (1 - x)^{'} \cdot e^{1 - x} + (1 - x) \cdot (e^{1 - x})^{'}$
  Wie in Teilaufgabe a) nutzt du zum Ableiten von $e^{1 - x}$ die Kettenregel und erhältst $(e^{1 - x})^{'} = - e^{1 - x}$ . Dies setzt du zusammen mit $(1 - x)^{'} = - 1$ ein.
  $= - e^{1 - x} + (- 1) \cdot (1 - x) \cdot e^{1 - x}$
  Hineinziehen des Minuszeichens in die Klammer.
  $= - e^{1 - x} + (x - 1) \cdot e^{1 - x}$
  Nun klammerst du $e^{1 - x}$ aus.
  $= (- 1 + x - 1) \cdot e^{1 - x} = (x - 2) \cdot e^{1 - x}$
  Nun setzt du $x = 1$ in die 2. Ableitung von $f$ ein.
  
  $f^{''} (1) = (1 - 2) \cdot e^{1 - 1} = (- 1) \cdot \underset{= 1}{\underset{⏟}{e^{0}}} = - 1 < 0$
  Da $f^{''} (1)$ kleiner als 0 ist, ist $x = 1$ ein Hochpunkt von $f$ .
  Die Funktion $f (x) = x \cdot e^{1 - x}$ hat genau einen Hochpunkt bei $x = 1$ .
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  Berechne zuerst die Nullstellen der 1. Ableitung.
  Überprüfe mithilfe der 2. Ableitung, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.
3. Skizziere den Graphen von $f$ .
  
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Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und die 1. Ableitung der folgenden Funktion:

$f (x) = \frac{1 + (\ln x)^{2}}{1 - (\ln x)^{2}}$

$D_{f} = D_{\max}$

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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = (x^{2} + x - 5) \cdot e^{x}$ .
Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von $f$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hoch- und Tiefpunkte berechnen
$f (x) = (x^{2} + x - 5) \cdot e^{x}$
Zum Ableiten von $f (x)$ benötigst du die Produktregel:
Die Ableitung des ersten Faktors $x^{2} + x - 5$ ist:
$(x^{2} + x - 5)^{'} = 2 x + 1$
Damit erhältst du für die gesamte Ableitung
$f^{'} (x) = (x^{2} + x - 5) \cdot e^{x} + (2 x + 1) \cdot e^{x} = (x^{2} + x - 5 + 2 x + 1) \cdot e^{x} = (x^{2} + 3 x - 4) \cdot e^{x}$
Nun berechnest du die Nullstellen von f(x) , also die Lösung der Gleichung von $f^{'} (x) = 0$ :
$f^{'} (x) = 0$
$\Leftrightarrow e^{x} \cdot (x^{2} + 3 x - 4) = 0$
Die linke Gleichungsseite ist genau dann gleich $0$ , wenn einer der beiden Faktoren des dortigen Produktes gleich $0$ ist.
Also $e^{x} = 0$ oder $ x^{2} + 3 x - 4 = 0$ .
Da die Exponentialfunktion $x \mapsto e^{x}$ nur positive Werte annimmt, gibt es für $e^{x} = 0$ keine Lösung. Löse also nun $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ .
Dies kannst du mit der PQ-Formel berechnen:
$\begin{aligned} x_{1,2} & = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^{2} - (- 4)} \\ = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 4} \\ = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}} \\ = - \frac{3}{2} \pm \frac{5}{2} \end{aligned}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1} = - \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 1 \\ x_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = - 4 \end{array}$
$\Leftrightarrow x \in {- 4, 1}$
Um nun herauszufinden, ob es sich bei diesen um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, musst du sie in die zweite Ableitung von $f$ einsetzen. Dafür berechnest du zuerst $f^{''} (x)$ mit Hilfe der Produktregel:
$\begin{array}{c} f^{''} (x) & = & (f^{'} (x))^{'} = (x^{2} + 3 x - 4) \cdot e^{x} + (2 x + 3) \cdot e^{x} \\ f^{''} (x) & = & (x^{2} + 3 x - 4 + 2 x + 3) \cdot e^{x} = (x^{2} + 5 x - 1) \cdot e^{x} \end{array}$
Nun setzt du die Nullstellen der 1. Ableitung -4 und 1 in die zweite Ableitung ein.
$f^{''} (- 4) = ((- 4)^{2} + 5 \cdot (- 4) - 1) \cdot e^{- 4} = (16 - 20 - 1) \cdot e^{- 4} = - 5 \cdot \underset{> 0}{\underset{⏟}{e^{- 4}}} < 0$ ,
sowie
$f^{''} (1) = (1^{2} + 5 \cdot 1 - 1) \cdot e^{1} = (1 + 5 - 1) \cdot e = 5 \cdot \underset{> 0}{\underset{⏟}{e}} > 0$ .
Du siehst nun, dass an der Stelle $x = - 4$ der Graph von $f$ einen Hochpunkt und an der Stelle $x = 1$ einen Tiefpunkt hat.
Im Schaubild unten siehst du den Graphen von $f (x)$ gezeichnet (keine Sorge, dass war in der Aufgabe nicht verlangt ;-) ). Wie du siehst passen Hoch- und Tiefpunkt zum Graphen.
Berechne zuerst die Nullstellen der 1. Ableitung.
Überprüfe mithilfe der 2. Ableitung, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.
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Sei $f (x)$ eine differenzierbare Funktion, sodass $f (x) > 0$ für alle $x \in ℝ$ gilt.
1. Berechne die Ableitung von $\ln (f (x))$ mit der Kettenregel.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
  Zuerst bestimmen wir die Funktionen $v (x)$ und $u (x)$ . Hier ist $v (x) = f (x)$ und $u (x) = \ln (x)$ . Wir wissen, dass $v^{'} (x) = f^{'} (x)$ und $u^{'} (x) = 1 / x$ . Einsetzen ergibt
  $(\ln (f (x)))^{'} = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x) = \frac{1}{v (x)} \cdot f^{'} (x) = \frac{f^{'} (x)}{f (x)} .$
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2. Sei $a$ eine positive relle Zahl. Benutze die Formel aus Teilaufgabe a), um die Ableitung von $f (x) = a^{x}$ zu berechnen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus-Regeln
  Wir verwenden die Formel aus a)
  $(\ln (f (x)))^{'} = \frac{f^{'} (x)}{f (x)}$
  und formen nach $f^{'} (x)$ um. Dafür multiplizieren wir auf beiden Seiten der Formel mit $f (x)$ und erhalten
  $f^{'} (x) = (\ln (f (x)))^{'} \cdot f (x) .$
  Nun setzen wir $f (x) = a^{x}$ ein. Jetzt erkennen wir, dass wir mit den Logarithmus-Regeln $\ln (a^{x}) = x \cdot \ln (a)$ schreiben können. Damit folgt $(\ln (a^{x}))^{'} = \ln (a)$ . Das ergibt
  $f^{'} (x) = \ln (a) \cdot a^{x} .$
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3. Wie kannst du den Lösungsweg aus b) verändern, wenn du die Ableitung von $x^{x}$ berechnen willst?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Wie in b) erhalten wir für eine beliebige Funktion $f (x)$ die Formel
  $f^{'} (x) = (\ln (f (x)))^{'} \cdot f (x) .$
  Jetzt setzen wir $f (x) = x^{x}$ ein. Mit den Logarithmusregeln folgt $\ln (f (x)) = x \cdot \ln (x)$ . Also ist
  $(\ln (f (x)))^{'} = 1 \cdot \ln (x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln (x) + 1.$
  Somit folgt
  $f^{'} (x) = (\ln (f (x)))^{'} \cdot f (x) = (\ln (x) + 1) \cdot x^{x} .$
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Bestimme die Ableitung von $f$ :

$f (x) = \ln (\sqrt{x})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Finde die einzelnen Funktionen
$f (x) = \ln (\sqrt{x})$
Finde die einzelnen Ableitungen
$\begin{array}{l} g (x) = \ln (x) \\ h (x) = \sqrt{x} \\ \Rightarrow f (x) = g (h (x)) \end{array}$
$\begin{array}{l} g^{'} (x) = \frac{1}{x} \\ h^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{array}$
Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ = & \frac{1}{2 x} \end{array}$
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$f (x) = e^{x^{2} + 2 \sqrt{x}}$

$f (x) = e^{\sin (x^{2})}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Zerlege $f$ so, dass du die Kettenregel anwenden kannst.
$f (x) = e^{\sin (x^{2})}$
Um die Ableitung von $f$ anzugeben, muss man die Ableitungen von $g$ und $h$ bestimmen.
$g$ kann direkt abgeleitet werden, um $h$ abzuleiten, muss die Kettenregel erneut verwendet werden. Zerlege dazu $h$ .
$\begin{array}{l} g (x) = e^{x} \\ h (x) = \sin (x^{2}) \\ \Rightarrow f (x) = g (h (x)) \end{array}$
Leite $u$ und $v$ ab.
$g^{'} (x) = e^{x}$
$\begin{array}{l} u (x) = \sin (x) \\ v (x) = x^{2} \\ \Rightarrow h (x) = u (v (x)) \end{array}$
Nun kannst du mit der Kettenregel alle Ableitungen bestimmen.
$\begin{array}{l} u^{'} (x) = \cos (x) \\ v^{'} (x) = 2 x \end{array}$
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & e^{h (x)} \cdot h^{'} (x) \\ = & e^{\sin (x^{2})} \cdot u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x) \\ = & e^{\sin (x^{2})} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x \end{array}$
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$f (t) = e^{t^{3} + \sin (t)}$

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$1$	$=$	$- \ln x$	$\cdot (- 1)$
$- 1$	$=$	$\ln x$
	↓	ln anwenden.
$x$	$=$	$e^{- 1}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
$x$	$=$	$\frac{1}{e}$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{2 \cdot \ln x \cdot \frac{1}{x} \cdot (1 - (\ln x)^{2}) - (- 2) \cdot \ln x \cdot \frac{1}{x} \cdot (1 + (\ln x)^{2})}{(1 - (\ln x)^{2})^{2}}$
	↓	$\frac{1}{x}$ ausklammern und verbleibende Elemente ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{\frac{1}{x} \cdot (2 \cdot \ln x - 2 \cdot {(\ln x)}^{3} + 2 \cdot \ln x + 2 \cdot {(\ln x)}^{3})}{{(1 - {(\ln x)}^{2})}^{2}}$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$\frac{4 \cdot \ln x}{x \cdot {(1 - {(\ln x)}^{2})}^{2}}$

$f (x)$	$=$	$e^{x^{2} + 2 \sqrt{x}}$
	↓	Zerlege $f$ , sodass die Kettenregel angewandt werden kann
$g (x)$	$=$	$e^{x}$
	↓	Leite die einzelnen Funktionen ab
$h (x)$	$=$	$x^{2} + 2 \sqrt{x}$
$g ´ (x)$	$=$	$e^{x}$
$h ´ (x)$	$=$	$2 x + \frac{1}{\sqrt{x}}$
	↓	Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein
$f ´ (x)$	$=$	$g ´ (h (x)) \cdot h ´ (x)$
	$=$	$e^{x^{2} + 2 \sqrt{x}} \cdot (2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})$

$f (t)$	$=$	$e^{t^{3} + \sin (t)}$
	↓	Zerlege $f (t)$ , sodass die Kettenregel angewandt werden kann.
$g (t)$	$=$	$e^{t}$
$h (t)$	$=$	$t^{3} + \sin (t)$
	↓	Leite die einzelnen Funktionen ab.
$g ´ (t)$	$=$	$e^{t}$
$h ´ (t)$	$=$	$t^{3} + \sin (t)$
	↓	Kettenregel aufstellen
$f ´ (t)$	$=$	$g ´ (h (t)) \cdot h ´ (t)$
	↓	Setze alles in die Formel der Kettenregel ein.
$f ´ (t)$	$=$	$e^{t^{3} + \sin (t)} \cdot (3 t^{2} + \cos (t))$

Aufgaben zu e-Funktion und ln-Funktion

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Berechnung des Schnittwinkels zweier reeller Funktionen in einem Punkt:

(*) Alternativer Lösungsweg

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Nullstellen des Nenner

Definitionsbereich des Logarithmus

Nullstellenbestimmung

Ableitungen

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Definitionsbereich bestimmen

1. Fall: +lnx

2.Fall: -lnx

Definitionsbereich des Logarithmus

Nullstellenbestimmung

Ableitung bilden

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$\ln (x^{2} - 1)$	$=$	$2$	$\| e^{(. . .)}$
$x^{2} - 1$	$=$	$e^{2}$	$+ 1$
$x^{2}$	$=$	$e^{2} + 1$	$\sqrt{}$
$x$	$=$	$\pm \sqrt{e^{2} + 1}$

$1 - {(\ln x)}^{2}$	$=$	$0$	$+ {(\ln x)}^{2}$
$1$	$=$	${(\ln x)}^{2}$
$1$	$=$	$\pm \ln x$