Aufgaben zu e-Funktion und ln-Funktion

Du suchst nach Werten $x$, die

1. in den Definitionsmengen $D_{f}$ und $D_{g}$ beider Funktionen $f$ und $g$ enthalten sind und

2. $f(x) = g(x)$ erfüllen.

Um solche Werte $x$ zu finden, löst du die Gleichung $f(x) = g(x)$ nach $x$ auf, falls dies möglich ist.

Dies erinnert an eine quadratische Gleichung. Nun kannst du mit $y = \mathrm e^{1-x}$ eine Substitution durchführen, d. h., du betrachtest eine veränderte Gleichung, in der du den komplizierteren Ausdruck $\mathrm e^{1-x}$ durch $y$ ersetzt; dies liefert eine einfacher aussehende Gleichung:

Die Exponentialfunktion $\operatorname{exp}\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+, x \mapsto\mathrm e^x$ nimmt nur positive Werte an. Deswegen kann auch $\mathrm e^{1-x} = \operatorname{exp}(1-x)$ nur positive Werte annehmen und die Gleichung $y = \mathrm e^{1-x}$ ist lediglich für $y = 1$ erfüllbar.

Als Letztes musst du diesen $x$-Wert noch in eine der beiden ursprünglichen Funktionen einsetzen, um den $y$-Wert des Schnittpunkts herauszufinden.

Also liegt der gesuchte Schnittpunkt bei $S(1\mid2)$.

Berechnung des Schnittwinkels zweier reeller Funktionen in einem Punkt:

Gegeben sind zwei Funktionen $f:D_{f} \rightarrow \mathbb{R}$, $g:D_{g} \rightarrow \mathbb{R}$, deren Graphen sich in einem Punkt $\tilde x$ gemäß Teilaufgabe b) schneiden: $f(\tilde x) = g(\tilde x)$. $f$ und $g$ wollen wir als in $\tilde x$ differenzierbar voraussetzen.

Du kannst nun folgendermaßen vorgehen: Berechne Geraden $g_{1}: y = k_{1} x + d_{1}$ und $g_{2}: y = k_{2} x + d_{2}$, welche die nachstehenden Eigenschaften aufweisen:

1. $f'(\tilde x) = k_{1}$ und $g'(\tilde x) = k_{2}$

2. $f(\tilde x) = k_{1} \tilde x + d_{1}$ und $g(\tilde x) = k_{2} \tilde x + d_{2}$

Dies bedeutet, in Worte gefasst:

1. Die Steigung von $g_{1}$ ist gleich der Steigung von $f$ in $\tilde x$ und die Steigung von $g_{2}$ ist gleich der Steigung von $g$ in $\tilde x$.

2. Der Schnittpunkt $(\tilde x, f(\tilde x)) = (\tilde x, g(\tilde x))$ der Graphen von $f$ und $g$ ist in $g_{1}$ und $g_{2}$ enthalten.

Anschließend kannst du den Schnittwinkel beider Geraden durch deren Richtungsvektoren $\overrightarrow{g_{1}}$ und $\overrightarrow{g_{2}}$ mittels der Formel $cos(\phi)=\frac{\langle\overrightarrow{g_{1}}, \overrightarrow{g_{2}} \rangle}{\lvert \overrightarrow{g_{1}} \rvert \cdot \lvert \overrightarrow{g_{2}} \rvert}$ berechnen ($\langle ., . \rangle$ bezeichnet das Standardskalarprodukt):

In Teilaufgabe b) war der Schnittpunkt $\tilde x = 1$ mit $f(1)=g(1)=2$.Um die Steigungen von $f$ und $g$ in $\tilde x = 1$ zu berechnen, benötigen wir deren Ableitungen an dieser Stelle:

$f'(x) = -e^{1-x}$ und $g'(x) = 2 \cdot e^{x-1}$.

Da Normalenvektoren in der Ebene senkrecht, d.h. in einem Winkel von $90°$ auf den Richtungsvektor der Geraden stehen, ist in obiger Grafik $\varphi = \varphi'$. Also kannst du $\phi$ mit der weiter oben angegebenen Formel berechnen, wobei du jedoch nicht die Richtungs-, sondern die Normalenvektoren verwendest:

(*) Alternativer Lösungsweg

Dieser Lösungsweg verwendet keine Vektoren, sondern benutzt die Tatsache, dass die Steigung m einer Gerade durch $m=\tan\left(\alpha\right)$ gegeben ist. Auflösen nach dem Steigungswinkel $\alpha$ (=Winkel gegen die Horizontale) durch Anwenden von $\tan^{-1}\left(..\right)$ auf beiden Seiten der Gleichung liefert:

Eine reellwertige Funktion $f\colon[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ auf einem Intervall $[a,b]$ mit $a < b$ heißt

• monoton wachsend auf $[a,b]$, falls aus $a \leq x \leq y \leq b$ folgt, dass $f(x) \leq f(y)$ ist.

• streng monoton wachsend auf $[a,b]$, falls aus $a \leq x < y \leq b$ folgt, dass $f(x) < f(y)$ ist.

Kurz gesagt bedeutet monotones Wachstum: Je weiter du von $a$ ausgehend auf $b$ zugehst, desto größer werden die Funktionswerte von $f$.

• monoton fallend auf $[a,b]$, falls aus $a \leq x \leq y \leq b$ folgt, dass $f(x) \geq f(y)$ ist.

• streng monoton wachsend auf $[a,b]$, falls aus $a \leq x < y \leq b$ folgt, dass $f(x) < f(y)$ ist.

Kurz gesagt bedeutet monotone Abnahme: Je weiter du von $a$ ausgehend auf $b$ zugehst, desto kleiner werden die Funktionswerte von $f$.

Ist die betrachtete Funktion $f\colon[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ differenzierbar, so kannst du ihr Monotonieverhalten folgendermaßen bestimmen:

• Ist $f'(x) \geq 0$ (bzw. $>0$) für alle $x$ in $[a,b]$, so wächst $f$ monoton (bzw. streng) auf $[a,b]$.

• Ist $f'(x) \leq 0$ (bzw. $<0$) für alle $x$ in $[a,b]$, so fällt $f$ monoton (bzw. streng monoton) auf $[a,b]$.

Dieses Vorgehen kannst du auf differenzierbare Funktionen $f\colon\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ verallgemeinern, indem du die Ableitung $f'$ berechnest und $\mathbb{R}$ in größtmögliche Intervalle unterteilst, auf welchen $f' \geq 0$ oder $f' \leq 0$ ist.

Nach dem obigen Kriterium für differenzierbare Funktionen kannst du folgende Aussage zum Monotonieverhalten von $f$ angeben:

$f$ wächst streng monoton für $x<1$ und fällt streng monoton für $x>1$.

Aus Teilaufgabe a) weißt du bereits, dass $f'(x) = (1-x) \cdot e^{1-x}$ ist. Berechne nun die Nullstellen der ersten Ableitung.

$x=1$ ist also der einzige Punkt von $f$, der als Hoch- oder Tiefpunkt in Frage kommt.

Um zu entscheiden, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, berechnest du die zweite Ableitung von $f$.

Nun setzt du $x=1$ in die 2. Ableitung von $f$ ein.

Da $f''(1)$ kleiner als 0 ist, ist $x=1$ ein Hochpunkt von $f$.

Die Funktion $f(x)=x⋅e^{1−x}$ hat genau einen Hochpunkt bei $x=1$.

Zuerst bestimmen wir die Funktionen $v(x)$ und $u(x)$. Hier ist $v(x)=f(x)$ und $u(x)=\ln(x)$. Wir wissen, dass $v'(x)=f'(x)$ und $u'(x)=1/x$. Einsetzen ergibt

Wir verwenden die Formel aus a)

und formen nach $f'(x)$ um. Dafür multiplizieren wir auf beiden Seiten der Formel mit $f(x)$ und erhalten

Nun setzen wir $f(x)=a^x$ ein. Jetzt erkennen wir, dass wir mit den Logarithmus-Regeln $\ln(a^x)=x \cdot \ln(a)$ schreiben können. Damit folgt $\Big(\ln(a^x)\Big)'=\ln(a)$. Das ergibt

Wie in b) erhalten wir für eine beliebige Funktion $f(x)$ die Formel

Jetzt setzen wir $f(x)=x^x$ ein. Mit den Logarithmusregeln folgt $\ln(f(x))=x \cdot \ln(x)$. Also ist

Somit folgt

Finde die einzelnen Funktionen

Finde die einzelnen Ableitungen

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\&=&\frac{1}{\sqrt x}\cdot\frac{1}{2\sqrt x}\\&=&\frac{1}{2x}\end{array}$

Nun kannst du mit der Kettenregel alle Ableitungen bestimmen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f'(x)&=&g'(h(x))\cdot h'(x)\\&=& e^{h(x)} \cdot h'(x)\\&=& e^{\sin(x^2)}\cdot u'(v(x)) \cdot v'(x)\\&=& e^{\sin(x^2)}\cdot \cos(x^2) \cdot 2x\end{array}$

Infos zur Anwendung der Regel findest du im Artikel Kettenregel. Im Folgenden kannst du mit $f(t)$ genauso umgehen wie mit $f(x)$, nur dass als Variable $t$ und nicht $x$ verwendet wird und nach dieser abgeleitet wird.