Aufgaben zu e-Funktion und ln-Funktion

Du suchst nach Werten $xx$, die

1. in den Definitionsmengen $D_{f}D\_\{f\}$ und $D_{g}D\_\{g\}$ beider Funktionen $ff$ und $gg$ enthalten sind und

2. $f(x)=g(x)f(x)\; =\; g(x)$ erfüllen.

Um solche Werte $xx$ zu finden, löst du die Gleichung $f(x)=g(x)f(x)\; =\; g(x)$ nach $xx$ auf, falls dies möglich ist.

Dies erinnert an eine quadratische Gleichung. Nun kannst du mit $y={\mathrm{e}}^{1-x}y\; =\; \backslash mathrm\; e^\{1-x\}$ eine Substitution durchführen, d. h., du betrachtest eine veränderte Gleichung, in der du den komplizierteren Ausdruck ${\mathrm{e}}^{1-x}\backslash mathrm\; e^\{1-x\}$ durch $yy$ ersetzt; dies liefert eine einfacher aussehende Gleichung:

Die Exponentialfunktion $\exp \text{\hspace{0.17em}⁣}:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+},x\mapsto {\mathrm{e}}^x\backslash operatorname\{exp\}\backslash colon\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}^+,\; x\; \backslash mapsto\backslash mathrm\; e^x$ nimmt nur positive Werte an. Deswegen kann auch ${\mathrm{e}}^{1-x}=\exp (1-x)\backslash mathrm\; e^\{1-x\}\; =\; \backslash operatorname\{exp\}(1-x)$ nur positive Werte annehmen und die Gleichung $y={\mathrm{e}}^{1-x}y\; =\; \backslash mathrm\; e^\{1-x\}$ ist lediglich für $y=1y\; =\; 1$ erfüllbar.

Als Letztes musst du diesen $xx$-Wert noch in eine der beiden ursprünglichen Funktionen einsetzen, um den $yy$-Wert des Schnittpunkts herauszufinden.

Also liegt der gesuchte Schnittpunkt bei $S(1\mid 2)S(1\backslash mid2)$.

Berechnung des Schnittwinkels zweier reeller Funktionen in einem Punkt:

Gegeben sind zwei Funktionen $f:D_f\to \mathbb{R}f:D\_\{f\}\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$, $g:D_g\to \mathbb{R}g:D\_\{g\}\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$, deren Graphen sich in einem Punkt $\tilde{x}\backslash tilde\; x$ gemäß Teilaufgabe b) schneiden: $f(\tilde{x})=g(\tilde{x})f(\backslash tilde\; x)\; =\; g(\backslash tilde\; x)$. $ff$ und $gg$ wollen wir als in $\tilde{x}\backslash tilde\; x$ differenzierbar voraussetzen.

Du kannst nun folgendermaßen vorgehen: Berechne Geraden $g_1:y=k_{1}x+d_{1}g\_\{1\}:\; y\; =\; k\_\{1\}\; x\; +\; d\_\{1\}$ und $g_2:y=k_{2}x+d_{2}g\_\{2\}:\; y\; =\; k\_\{2\}\; x\; +\; d\_\{2\}$, welche die nachstehenden Eigenschaften aufweisen:

1. $f^{\mathrm{\prime }}(\tilde{x})=k_{1}f\text{'}(\backslash tilde\; x)\; =\; k\_\{1\}$ und $g^{\mathrm{\prime }}(\tilde{x})=k_{2}g\text{'}(\backslash tilde\; x)\; =\; k\_\{2\}$

2. $f(\tilde{x})=k_1\tilde{x}+d_{1}f(\backslash tilde\; x)\; =\; k\_\{1\}\; \backslash tilde\; x\; +\; d\_\{1\}$ und $g(\tilde{x})=k_2\tilde{x}+d_{2}g(\backslash tilde\; x)\; =\; k\_\{2\}\; \backslash tilde\; x\; +\; d\_\{2\}$

Dies bedeutet, in Worte gefasst:

1. Die Steigung von $g_{1}g\_\{1\}$ ist gleich der Steigung von $ff$ in $\tilde{x}\backslash tilde\; x$ und die Steigung von $g_{2}g\_\{2\}$ ist gleich der Steigung von $gg$ in $\tilde{x}\backslash tilde\; x$.

2. Der Schnittpunkt $(\tilde{x},f(\tilde{x}))=(\tilde{x},g(\tilde{x}))(\backslash tilde\; x,\; f(\backslash tilde\; x))\; =\; (\backslash tilde\; x,\; g(\backslash tilde\; x))$ der Graphen von $ff$ und $gg$ ist in $g_{1}g\_\{1\}$ und $g_{2}g\_\{2\}$ enthalten.

Anschließend kannst du den Schnittwinkel beider Geraden durch deren Richtungsvektoren $\overrightarrow{g_1}\backslash overrightarrow\{g\_\{1\}\}$ und $\overrightarrow{g_2}\backslash overrightarrow\{g\_\{2\}\}$ mittels der Formel $cos(\varphi )=\frac{⟨\overrightarrow{g_1},\overrightarrow{g_2}⟩}{\mid \overrightarrow{g_1}\mid \cdot \mid \overrightarrow{g_2}\mid }cos(\backslash phi)=\backslash frac\{\backslash langle\backslash overrightarrow\{g\_\{1\}\},\; \backslash overrightarrow\{g\_\{2\}\}\; \backslash rangle\}\{\backslash lvert\; \backslash overrightarrow\{g\_\{1\}\}\; \backslash rvert\; \backslash cdot\; \backslash lvert\; \backslash overrightarrow\{g\_\{2\}\}\; \backslash rvert\}$ berechnen ($⟨\mathrm{.},\mathrm{.}⟩\backslash langle\; .,\; .\; \backslash rangle$ bezeichnet das Standardskalarprodukt):

In Teilaufgabe b) war der Schnittpunkt $\tilde{x}=1\backslash tilde\; x\; =\; 1$ mit $f(1)=g(1)=2f(1)=g(1)=2$.Um die Steigungen von $ff$ und $gg$ in $\tilde{x}=1\backslash tilde\; x\; =\; 1$ zu berechnen, benötigen wir deren Ableitungen an dieser Stelle:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^{1-x}f\text{'}(x)\; =\; -e^\{1-x\}$ und $g^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot e^{x-1}g\text{'}(x)\; =\; 2\; \backslash cdot\; e^\{x-1\}$.

Da Normalenvektoren in der Ebene senkrecht, d.h. in einem Winkel von $90\mathrm{°}90°$ auf den Richtungsvektor der Geraden stehen, ist in obiger Grafik $\phi ={\phi }^{\mathrm{\prime }}\backslash varphi\; =\; \backslash varphi\text{'}$. Also kannst du $\varphi \backslash phi$ mit der weiter oben angegebenen Formel berechnen, wobei du jedoch nicht die Richtungs-, sondern die Normalenvektoren verwendest:

(*) Alternativer Lösungsweg

Dieser Lösungsweg verwendet keine Vektoren, sondern benutzt die Tatsache, dass die Steigung m einer Gerade durch $m=\tan \left(\alpha \right)m=\backslash tan\backslash left(\backslash alpha\backslash right)$ gegeben ist. Auflösen nach dem Steigungswinkel $\alpha \backslash alpha$ (=Winkel gegen die Horizontale) durch Anwenden von ${\tan }^{-1}\left(\mathrm{.}\mathrm{.}\right)\backslash tan^\{-1\}\backslash left(..\backslash right)$ auf beiden Seiten der Gleichung liefert:

Eine reellwertige Funktion $f\text{\hspace{0.17em}⁣}:[a,b]\to \mathbb{R}f\backslash colon[a,b]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$ auf einem Intervall $[a,b][a,b]$ mit heißt

• monoton wachsend auf $[a,b][a,b]$, falls aus $a\le x\le y\le ba\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; y\; \backslash leq\; b$ folgt, dass $f(x)\le f(y)f(x)\; \backslash leq\; f(y)$ ist.

• streng monoton wachsend auf $[a,b][a,b]$, falls aus folgt, dass ist.

Kurz gesagt bedeutet monotones Wachstum: Je weiter du von $aa$ ausgehend auf $bb$ zugehst, desto größer werden die Funktionswerte von $ff$.

• monoton fallend auf $[a,b][a,b]$, falls aus $a\le x\le y\le ba\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; y\; \backslash leq\; b$ folgt, dass $f(x)\ge f(y)f(x)\; \backslash geq\; f(y)$ ist.

• streng monoton wachsend auf $[a,b][a,b]$, falls aus folgt, dass ist.

Kurz gesagt bedeutet monotone Abnahme: Je weiter du von $aa$ ausgehend auf $bb$ zugehst, desto kleiner werden die Funktionswerte von $ff$.

Ist die betrachtete Funktion $f\text{\hspace{0.17em}⁣}:[a,b]\to \mathbb{R}f\backslash colon[a,b]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$ differenzierbar, so kannst du ihr Monotonieverhalten folgendermaßen bestimmen:

• Ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)\ge 0f\text{'}(x)\; \backslash geq\; 0$ (bzw. $>0>0$) für alle $xx$ in $[a,b][a,b]$, so wächst $ff$ monoton (bzw. streng) auf $[a,b][a,b]$.

• Ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)\le 0f\text{'}(x)\; \backslash leq\; 0$ (bzw. ) für alle $xx$ in $[a,b][a,b]$, so fällt $ff$ monoton (bzw. streng monoton) auf $[a,b][a,b]$.

Dieses Vorgehen kannst du auf differenzierbare Funktionen $f\text{\hspace{0.17em}⁣}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}f\backslash colon\backslash mathbb\{R\}\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$ verallgemeinern, indem du die Ableitung $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$ berechnest und $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$ in größtmögliche Intervalle unterteilst, auf welchen $f^{\mathrm{\prime }}\ge 0f\text{'}\; \backslash geq\; 0$ oder $f^{\mathrm{\prime }}\le 0f\text{'}\; \backslash leq\; 0$ ist.

Nach dem obigen Kriterium für differenzierbare Funktionen kannst du folgende Aussage zum Monotonieverhalten von $ff$ angeben:

$ff$ wächst streng monoton für und fällt streng monoton für $x>1x>1$.

Aus Teilaufgabe a) weißt du bereits, dass $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(1-x)\cdot e^{1-x}f\text{'}(x)\; =\; (1-x)\; \backslash cdot\; e^\{1-x\}$ ist. Berechne nun die Nullstellen der ersten Ableitung.

$x=1x=1$ ist also der einzige Punkt von $ff$, der als Hoch- oder Tiefpunkt in Frage kommt.

Um zu entscheiden, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, berechnest du die zweite Ableitung von $ff$.

Nun setzt du $x=1x=1$ in die 2. Ableitung von $ff$ ein.

Da $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)f\text{'}\text{'}(1)$ kleiner als 0 ist, ist $x=1x=1$ ein Hochpunkt von $ff$.

Die Funktion $f(x)=x\cdot e^{1-x}f(x)=x\cdot e^\{1-x\}$ hat genau einen Hochpunkt bei $x=1x=1$.

Zuerst bestimmen wir die Funktionen $v(x)v(x)$ und $u(x)u(x)$. Hier ist $v(x)=f(x)v(x)=f(x)$ und $u(x)=\ln (x)u(x)=\backslash ln(x)$. Wir wissen, dass $v^{\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)v\text{'}(x)=f\text{'}(x)$ und $u^{\mathrm{\prime }}(x)=1\mathrm{/}xu\text{'}(x)=1/x$. Einsetzen ergibt

Wir verwenden die Formel aus a)

und formen nach $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ um. Dafür multiplizieren wir auf beiden Seiten der Formel mit $f(x)f(x)$ und erhalten

Nun setzen wir $f(x)=a^{x}f(x)=a^x$ ein. Jetzt erkennen wir, dass wir mit den Logarithmus-Regeln $\ln (a^x)=x\cdot \ln (a)\backslash ln(a^x)=x\; \backslash cdot\; \backslash ln(a)$ schreiben können. Damit folgt $(\ln (a^x){)}^{\mathrm{\prime }}=\ln (a)\backslash Big(\backslash ln(a^x)\backslash Big)\text{'}=\backslash ln(a)$. Das ergibt

Wie in b) erhalten wir für eine beliebige Funktion $f(x)f(x)$ die Formel

Jetzt setzen wir $f(x)=x^{x}f(x)=x^x$ ein. Mit den Logarithmusregeln folgt $\ln (f(x))=x\cdot \ln (x)\backslash ln(f(x))=x\; \backslash cdot\; \backslash ln(x)$. Also ist

Somit folgt

Finde die einzelnen Funktionen

Finde die einzelnen Ableitungen

Nun kannst du mit der Kettenregel alle Ableitungen bestimmen.

Infos zur Anwendung der Regel findest du im Artikel Kettenregel. Im Folgenden kannst du mit $f(t)f(t)$ genauso umgehen wie mit $f(x)f(x)$, nur dass als Variable $tt$ und nicht $xx$ verwendet wird und nach dieser abgeleitet wird.