Aufgaben zu e-Funktion und ln-Funktion
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Gegeben sind die Funktionen und mit und .
Skizziere die beiden Graphen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Video: Funktionsgraphen der Exponentialfunktionen
Graphen der Funktionen f und g
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Bestimme den Schnittpunkt der beiden Graphen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkten zweier Graphen
Du suchst nach Werten , die
in den Definitionsmengen und beider Funktionen und enthalten sind und
erfüllen.
Um solche Werte zu finden, löst du die Gleichung nach auf, falls dies möglich ist.
In diese Gleichung setzt du die Definitionsgleichungen und von und ein.
Nun kannst du durch ersetzen.
Anschließend kannst du beide Seiten der Gleichung mit multiplizieren, um die rechte Seite der Gleichung zu vereinfachen: Dabei ist aufgrund der Potenzgesetze .
Vertausche die Summanden (Kommutativgesetz der Addition).
Dies erinnert an eine quadratische Gleichung. Nun kannst du mit eine Substitution durchführen, d. h., du betrachtest eine veränderte Gleichung, in der du den komplizierteren Ausdruck durch ersetzt; dies liefert eine einfacher aussehende Gleichung:
Hier kannst du auf die linke Seite der Gleichung bringen.
Nun hast du eine quadratische Gleichung erhalten, die der Theorie gemäß höchstens zwei reelle Lösungen (d. h. Nullstellen) hat. Diese kannst du mit der -Formel berechnen:
(Hier gilt der Äquivalenzpfeil, da die Gleichung genau zwei reelle Lösungen hat.)
Die Exponentialfunktion nimmt nur positive Werte an. Deswegen kann auch nur positive Werte annehmen und die Gleichung ist lediglich für erfüllbar.
Wie du vielleicht schon weißt, ist . Also ist eine mögliche Lösung. Durch Anwendung der natürlichen Logarithmusfunktion auf beide Seiten der Gleichung erhältst du
Da die Umkehrfunktion von auf ganz ist (deswegen bleibt der Äquivalenzpfeil gültig), gilt . Aus dem Artikel zur -Funktion könntest du dir gemerkt haben, dass ist.
Hier kannst du auf die andere Gleichungsseite bringen und bekommst die gesuchte Lösung der Gleichung .
Als Letztes musst du diesen -Wert noch in eine der beiden ursprünglichen Funktionen einsetzen, um den -Wert des Schnittpunkts herauszufinden.
Also liegt der gesuchte Schnittpunkt bei .
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Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Graphen?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt zweier Geraden
Berechnung des Schnittwinkels zweier reeller Funktionen in einem Punkt:
Gegeben sind zwei Funktionen , , deren Graphen sich in einem Punkt gemäß Teilaufgabe b) schneiden: . und wollen wir als in differenzierbar voraussetzen.
Du kannst nun folgendermaßen vorgehen: Berechne Geraden und , welche die nachstehenden Eigenschaften aufweisen:
und
und
Dies bedeutet, in Worte gefasst:
Die Steigung von ist gleich der Steigung von in und die Steigung von ist gleich der Steigung von in .
Der Schnittpunkt der Graphen von und ist in und enthalten.
Anschließend kannst du den Schnittwinkel beider Geraden durch deren Richtungsvektoren und mittels der Formel berechnen ( bezeichnet das Standardskalarprodukt):
In Teilaufgabe b) war der Schnittpunkt mit .Um die Steigungen von und in zu berechnen, benötigen wir deren Ableitungen an dieser Stelle:
und .
Anschließend kannst du die gesuchten Geraden bestimmen, indem du und setzt (damit ist 1. erfüllt). Wenn du weiterhin noch 2. forderst, erhältst du durch Einsetzen von und zwei Gleichungen. Diese Gleichungen formst du um, um die fehlenden Werte und zu berechnen:
und
Nach diesen Schritten hast du die Geradengleichungen von und ermittelt:
(siehe auch: (*) Alternativer Lösungsweg)
Du kannst sofort die Normalform der Geraden angeben,
sowie deren Normalenvektoren und ablesen: und .
Da Normalenvektoren in der Ebene senkrecht, d.h. in einem Winkel von auf den Richtungsvektor der Geraden stehen, ist in obiger Grafik . Also kannst du mit der weiter oben angegebenen Formel berechnen, wobei du jedoch nicht die Richtungs-, sondern die Normalenvektoren verwendest:
Unter Verwendung eines Taschenrechners ist es dir möglich, den Wert von (in Winkelmaß) zu berechnen.
Achtung: Versichere dich davor in dessen Einstellungsmenü davon, dass du dein Ergebnis nicht in Radiant angegeben erhältst.
(*) Alternativer Lösungsweg
Dieser Lösungsweg verwendet keine Vektoren, sondern benutzt die Tatsache, dass die Steigung m einer Gerade durch gegeben ist. Auflösen nach dem Steigungswinkel (=Winkel gegen die Horizontale) durch Anwenden von auf beiden Seiten der Gleichung liefert:
Wir hatten:
mit Steigung .
mit Steigung
Berechne nun den Steigungswinkel gemäß der Formel von oben.
Steigungswinkel von :
Steigungswinkel von :
Berechne den Schnittwinkel. Ziehe dazu die Winkel voneinander ab und bilde deren Betrag.
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Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und die 1. Ableitung der folgenden Funktion:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Nullstellen des Nenner
Der Nenner ist dann 0, wenn ist.
Definitionsbereich des Logarithmus
Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.
Nullstellenbestimmung
Da im Zähler der Funktion kein Element mit x vorkommt, hat die Funktion keine Nullstellen.
Ableitungen
Bilde die 1. Ableitung
Mit Hilfe der Potenzgesetze umwandeln.
Leite jetzt mit Hilfe der Kettenregel ab:
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Gegeben ist die Funktion mit .
In welchen Intervallen ist streng monoton wachsend?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonieverhalten einer reellwertigen Funktion bestimmen
Eine reellwertige Funktion auf einem Intervall mit heißt
monoton wachsend auf , falls aus folgt, dass ist.
streng monoton wachsend auf , falls aus folgt, dass ist.
Kurz gesagt bedeutet monotones Wachstum: Je weiter du von ausgehend auf zugehst, desto größer werden die Funktionswerte von .
monoton fallend auf , falls aus folgt, dass ist.
streng monoton wachsend auf , falls aus folgt, dass ist.
Kurz gesagt bedeutet monotone Abnahme: Je weiter du von ausgehend auf zugehst, desto kleiner werden die Funktionswerte von .
Ist die betrachtete Funktion differenzierbar, so kannst du ihr Monotonieverhalten folgendermaßen bestimmen:
Ist (bzw. ) für alle in , so wächst monoton (bzw. streng) auf .
Ist (bzw. ) für alle in , so fällt monoton (bzw. streng monoton) auf .
Dieses Vorgehen kannst du auf differenzierbare Funktionen verallgemeinern, indem du die Ableitung berechnest und in größtmögliche Intervalle unterteilst, auf welchen oder ist.
In dieser Aufgabe ist
ist laut Produkt- und Kettenregel differenzierbar, womit du also ihre Ableitung berechnen kannst:
Anwendung der Produktregel
Anwendung der Kettenregel unter Benutzung von liefert:
Durch Einsetzen der Ableitung erhältst du
Hier kannst du den Ausdruck herausheben:
Dabei ist für reelle immer positiv.
Daher hängt das Vorzeichen von nur von dem Ausdruck ab:
für und
für .
Insgesamt ist
für und
für .
Nach dem obigen Kriterium für differenzierbare Funktionen kannst du folgende Aussage zum Monotonieverhalten von angeben:
wächst streng monoton für und fällt streng monoton für .
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Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hoch- und Tiefpunkte berechnen
Aus Teilaufgabe a) weißt du bereits, dass ist. Berechne nun die Nullstellen der ersten Ableitung.
Setze für ein.
Desweiteren solltest du aus Teilaufgabe a) in Erinnerung behalten haben, dass ist. Somit ist die linke Seite der Gleichung genau dann gleich Null, wenn ist. Dies ist nur für erfüllt.
ist also der einzige Punkt von , der als Hoch- oder Tiefpunkt in Frage kommt.
Um zu entscheiden, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, berechnest du die zweite Ableitung von .
Wende die Produktregel an.
Wie in Teilaufgabe a) nutzt du zum Ableiten von die Kettenregel und erhältst . Dies setzt du zusammen mit ein.
Hineinziehen des Minuszeichens in die Klammer.
Nun klammerst du aus.
Nun setzt du in die 2. Ableitung von ein.
Da kleiner als 0 ist, ist ein Hochpunkt von .
Die Funktion hat genau einen Hochpunkt bei .
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Berechne zuerst die Nullstellen der 1. Ableitung.
Überprüfe mithilfe der 2. Ableitung, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.
Skizziere den Graphen von .
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Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und die 1. Ableitung der folgenden Funktion:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: ln-Funktion
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme den Definitionsbereich von f:
Um die Definitionslücken zu finden, benötigst du die Nullstellen des Nenners. Setze den Nenner des Bruchs gleich 0.
1. Fall: +lnx
↓ ln anwenden.
2.Fall: -lnx
↓ ln anwenden.
↓ Potenzgesetz anwenden.
Definitionsbereich des Logarithmus
Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.
Nullstellenbestimmung
Bestimme die Nullstellen von f:
Durch das Quadrieren kann der zweite Summand nicht negativ werden.
Die Funktion hat keine Nullstellen.
Ableitung bilden
Bilde die Ableitung:
Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs (jeweils unter Verwendung der Kettenregel).
Verwende die Quotientenregel.
↓ ausklammern und verbleibende Elemente ausmultiplizieren.
↓ Gleiche Elemente zusammenfassen.
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Gegeben ist die Funktion mit .
Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hoch- und Tiefpunkte berechnen
Zum Ableiten von benötigst du die Produktregel:
Die Ableitung des ersten Faktors ist:
Damit erhältst du für die gesamte Ableitung
Nun berechnest du die Nullstellen von f(x) , also die Lösung der Gleichung von :
Die linke Gleichungsseite ist genau dann gleich , wenn einer der beiden Faktoren des dortigen Produktes gleich ist.
Also oder .
Da die Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt, gibt es für keine Lösung. Löse also nun .
Um nun herauszufinden, ob es sich bei diesen um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, musst du sie in die zweite Ableitung von einsetzen. Dafür berechnest du zuerst mit Hilfe der Produktregel:
Nun setzt du die Nullstellen der 1. Ableitung -4 und 1 in die zweite Ableitung ein.
,
sowie
.
Du siehst nun, dass an der Stelle der Graph von einen Hochpunkt und an der Stelle einen Tiefpunkt hat.
Im Schaubild unten siehst du den Graphen von gezeichnet (keine Sorge, dass war in der Aufgabe nicht verlangt ;-) ). Wie du siehst passen Hoch- und Tiefpunkt zum Graphen.
Berechne zuerst die Nullstellen der 1. Ableitung.
Überprüfe mithilfe der 2. Ableitung, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.
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Sei eine differenzierbare Funktion, sodass für alle gilt.
Berechne die Ableitung von mit der Kettenregel.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Zuerst bestimmen wir die Funktionen und . Hier ist und . Wir wissen, dass und . Einsetzen ergibt
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Sei eine positive relle Zahl. Benutze die Formel aus Teilaufgabe a), um die Ableitung von zu berechnen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus-Regeln
Wir verwenden die Formel aus a)
und formen nach um. Dafür multiplizieren wir auf beiden Seiten der Formel mit und erhalten
Nun setzen wir ein. Jetzt erkennen wir, dass wir mit den Logarithmus-Regeln schreiben können. Damit folgt . Das ergibt
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Wie kannst du den Lösungsweg aus b) verändern, wenn du die Ableitung von berechnen willst?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Wie in b) erhalten wir für eine beliebige Funktion die Formel
Jetzt setzen wir ein. Mit den Logarithmusregeln folgt . Also ist
Somit folgt
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Bestimme die Ableitung von :
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Finde die einzelnen Funktionen
Finde die einzelnen Ableitungen
Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
↓ Zerlege , sodass die Kettenregel angewandt werden kann
↓ Leite die einzelnen Funktionen ab
↓ Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Zerlege so, dass du die Kettenregel anwenden kannst.
Um die Ableitung von anzugeben, muss man die Ableitungen von und bestimmen.
kann direkt abgeleitet werden, um abzuleiten, muss die Kettenregel erneut verwendet werden. Zerlege dazu .
Leite und ab.
Nun kannst du mit der Kettenregel alle Ableitungen bestimmen.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Infos zur Anwendung der Regel findest du im Artikel Kettenregel. Im Folgenden kannst du mit genauso umgehen wie mit , nur dass als Variable und nicht verwendet wird und nach dieser abgeleitet wird.
↓ Zerlege , sodass die Kettenregel angewandt werden kann.
↓ Leite die einzelnen Funktionen ab.
↓ Kettenregel aufstellen
↓ Setze alles in die Formel der Kettenregel ein.
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