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Flächeninhalt und bestimmtes Integral

  • Bestimmtes Integral, Integralfunktion

  • Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

  • Berechnung von Flächeninhalten

  1. 1

    Berechne die zwischen GfG_f und der xx-Achse eingeschlossene Fläche für die folgenden Funktionen ff:

    1. f(x)=2xx2f\left(x\right)=2-x-x^2

    2. f:  xx2(x+2)f:\;x\mapsto x^2\cdot(x+2)

  2. 2

    Begründe, warum es kein kR+\mathrm k\in \mathbb{R}^+ gibt, das folgende Gleichung erfüllt:

    0k(x2+1) dx=1\displaystyle\int_0^\mathrm k (x^2+1)\ \mathrm{d}x=-1

  3. 3

    Sei die Funktion f:x(x+1)31f: x\mapsto (x+1)^3-1 gegeben. Bestimme die Fläche, die von ff und ihrer Umkehrfunktion f1f^{-1} eingeschlossen wird.

  4. 4

    a(x)=6124x2,  Da=Ra(x)=6-\frac1{24}x^2,\;D_a=\mathbb{R}

    Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen GaG_a und der x-Achse.

  5. 5

    Bestimme die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen.

     

    f:  xx24x+1f:\;x\mapsto x^2-4x+1 ;

    g:  xx2+6x7g:\;x\mapsto-x^2+6x-7 ;    Df=Dg=RD_f=D_g=\mathbb{R}

  6. 6
    7369_ezi7vPbkTL.xml

    Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen.

        

    Zum "roten Graphen" gehört eine Funktion dritten Grades mit dem Hochpunkt HOP=(0    1)\mathrm{HOP=}\left(\left.0\;\right|\;1\right) und dem Tiefpunkt TIP=(2    3)\mathrm{TIP=}\left(\left.2\;\right|\;-3\right) .

    Bestimme die jeweiligen Funktionsterme und die Schnittpunkte der Graphen.

       

    Wie kannst du den gesamten Inhalt A der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?

    Berechne nun A.

  7. 7
    7367_2BCuwd8DkJ.xml

    Die Parabel mit dem Scheitel S=(2    3)\mathrm S=\left(-2\;\left|\;-3\right.\right) und der Graph der Funktion f mit f(x)=1+0,5x3\mathrm f(\mathrm x)=1+0{,}5\cdot\mathrm x^3 schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

                         

    Bestimme den zur Parabel gehörenden Funktionsterm und alle Schnittpunkte.

    Wie kannst du A als bestimmtes Integral schreiben? Berechne nun A.

  8. 8
    Gerade g und Parabel f im Koordinatensystem

    Die abgebildete Parabel ff und Gerade gg schließen eine Fläche mit dem Inhalt AA ein.

    Schraffiere diese Fläche.

       

    Bestimme die Funktionsterme von ff und gg und die beiden Schnittpunkte S1{\mathrm S}_1 und S2{\mathrm S}_2 der Graphen.

    Gib AA als bestimmtes Integral an und berechne dann AA.

  9. 9
    Graphen von f und g im Koordinatensystem

    Die Graphen der Funktionen f(x)=2x2\mathrm f(\mathrm x)=2-\mathrm x^2 und g(x)=0,5x2+0,5\mathrm g(\mathrm x)=0{,}5\mathrm x^2+0{,}5 schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

          

      

    Schraffiere diese Fläche und berechne A.

  10. 10

    f(x)=19x489x3+2x2,Df=Rf(x)=\frac19x^4-\frac89x^3+2x^2,D_f=\mathbb{R}

    Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das GfG_f und die x-Achse einschließen.

  11. 11

    ft(x)=19(t3)x2+t,Dft=R,  tRf_t(x)=-\frac19(t-3)x^2+t,D_{f_t}=\mathbb{R},\;t\in\mathbb{R}

    Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen der x-Achse und GftG_{f_t} liegt.

  12. 12

    f(x)=3+sin(x),  Df=Rf(x)=3+sin(x),\;D_f=\mathbb{R}

    1. Berechne  01f(x)dx\int_0^1f(x)\mathrm{dx} ; 0πf(x)dx\int_0^{\pi}f(x)\mathrm{dx} ; π32πf(x)dx\int_\frac{\pi}3^{2{\pi}}f(x)\mathrm{dx}

    2. Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen GfG_f , der y-Achse und der Geraden y=2πy=2\pi im Bereich von 00 bis π\mathrm\pi

  13. 13

    f(x)=38x332x,  Df=Rf(x)=\frac38x^3-\frac32x,\;D_f=\mathbb{R}

    Bestimme die Gleichung der Ursprungsgeraden, die GfG_f im Hochpunkt schneidet, und berechne den Inhalt der Fläche, die von GfG_f und der Geraden eingeschlossen ist.


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