Aufgaben zur Diskussion von e-Funktionen

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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit $f\left(x\right)=1+e^{1-x}$ und $g\left(x\right)=2\cdot e^{x-1}$ .
1. Skizziere die beiden Graphen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Video: Funktionsgraphen der Exponentialfunktionen
  Graphen der Funktionen f und g
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2. Bestimme den Schnittpunkt der beiden Graphen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkten zweier Graphen
  Du suchst nach Werten $x$ , die
  in den Definitionsmengen $D_{f}$ und $D_{g}$ beider Funktionen $f$ und $g$ enthalten sind und
  $f(x) = g(x)$ erfüllen.
  Um solche Werte $x$ zu finden, löst du die Gleichung $f(x) = g(x)$ nach $x$ auf, falls dies möglich ist.
  $f(x)=g(x)$
  In diese Gleichung setzt du die Definitionsgleichungen $f(x)=1+\mathrm e^{1-x}$ und $g(x)=2\mathrm e^{x-1}$ von $f$ und $g$ ein.
  $\Leftrightarrow 1+\mathrm e^{1-x} = 2\mathrm e^{x-1}$
  Nun kannst du $x-1$ durch $-(1-x)$ ersetzen.
  $\Leftrightarrow 1+\mathrm e^{1-x} = 2\mathrm e^{-(1-x)}$
  Anschließend kannst du beide Seiten der Gleichung mit $\mathrm e^{1-x}$ multiplizieren, um die rechte Seite der Gleichung zu vereinfachen: Dabei ist aufgrund der Potenzgesetze $\mathrm e^{1-x} \cdot\mathrm e^{-(1-x)} = \mathrm e^0 = 1$ .
  $\Leftrightarrow\mathrm e^{1-x} + (\mathrm e^{1-x})^2 = 2$
  Vertausche die Summanden (Kommutativgesetz der Addition).
  $\Leftrightarrow (\mathrm e^{1-x})^2 + \mathrm e^{1-x} = 2$
  Dies erinnert an eine quadratische Gleichung. Nun kannst du mit $y = \mathrm e^{1-x}$ eine Substitution durchführen, d. h., du betrachtest eine veränderte Gleichung, in der du den komplizierteren Ausdruck $\mathrm e^{1-x}$ durch $y$ ersetzt; dies liefert eine einfacher aussehende Gleichung:
  $y^2 + y = 2$
  Hier kannst du $2$ auf die linke Seite der Gleichung bringen.
  $\Leftrightarrow y^2 + y - 2 = 0$
  Nun hast du eine quadratische Gleichung erhalten, die der Theorie gemäß höchstens zwei reelle Lösungen (d. h. Nullstellen) hat. Diese kannst du mit der $pq$ -Formel berechnen:
  $\Leftrightarrow y \in \{-2, 1\}$
  (Hier gilt der Äquivalenzpfeil, da die Gleichung genau zwei reelle Lösungen hat.)
  Die Exponentialfunktion $\operatorname{exp}\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+, x \mapsto\mathrm e^x$ nimmt nur positive Werte an. Deswegen kann auch $\mathrm e^{1-x} = \operatorname{exp}(1-x)$ nur positive Werte annehmen und die Gleichung $y = \mathrm e^{1-x}$ ist lediglich für $y = 1$ erfüllbar.
  $\mathrm e^{1-x} = 1$
  Wie du vielleicht schon weißt, ist $\operatorname{exp}(0) = \mathrm e^0 = 1$ . Also ist $x = 1$ eine mögliche Lösung. Durch Anwendung der natürlichen Logarithmusfunktion $\operatorname{ln}$ auf beide Seiten der Gleichung erhältst du
  $\Leftrightarrow \operatorname{ln}(\mathrm e^{1-x}) = \operatorname{ln}(1)$
  Da $\operatorname{ln}$ die Umkehrfunktion von $\operatorname{exp}$ auf ganz $\mathbb{R}$ ist (deswegen bleibt der Äquivalenzpfeil gültig), gilt $\operatorname{ln}(\mathrm e^x) = x$ . Aus dem Artikel zur $\operatorname{ln}$ -Funktion könntest du dir gemerkt haben, dass $\operatorname{ln}(1) = 0$ ist.
  $\Leftrightarrow 1-x = 0$
  Hier kannst du $x$ auf die andere Gleichungsseite bringen und bekommst die gesuchte Lösung der Gleichung $f(x) = g(x)$ .
  $\Leftrightarrow x = 1$
  Als Letztes musst du diesen $x$ -Wert noch in eine der beiden ursprünglichen Funktionen einsetzen, um den $y$ -Wert des Schnittpunkts herauszufinden.
  $f(1)=1+\mathrm e^{1-1}=1+\mathrm e^0=1+1=2$
  Also liegt der gesuchte Schnittpunkt bei $S(1\mid2)$ .
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3. Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Graphen?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt zweier Geraden
  Berechnung des Schnittwinkels zweier reeller Funktionen in einem Punkt:
  Gegeben sind zwei Funktionen $f:D_{f} \rightarrow \mathbb{R}$ , $g:D_{g} \rightarrow \mathbb{R}$ , deren Graphen sich in einem Punkt $\tilde x$ gemäß Teilaufgabe b) schneiden: $f(\tilde x) = g(\tilde x)$ . $f$ und $g$ wollen wir als in $\tilde x$ differenzierbar voraussetzen.
  Du kannst nun folgendermaßen vorgehen: Berechne Geraden $g_{1}: y = k_{1} x + d_{1}$ und $g_{2}: y = k_{2} x + d_{2}$ , welche die nachstehenden Eigenschaften aufweisen:
  $f'(\tilde x) = k_{1}$ und $g'(\tilde x) = k_{2}$
  $f(\tilde x) = k_{1} \tilde x + d_{1}$ und $g(\tilde x) = k_{2} \tilde x + d_{2}$
  Dies bedeutet, in Worte gefasst:
  Die Steigung von $g_{1}$ ist gleich der Steigung von $f$ in $\tilde x$ und die Steigung von $g_{2}$ ist gleich der Steigung von $g$ in $\tilde x$ .
  Der Schnittpunkt $(\tilde x, f(\tilde x)) = (\tilde x, g(\tilde x))$ der Graphen von $f$ und $g$ ist in $g_{1}$ und $g_{2}$ enthalten.
  Anschließend kannst du den Schnittwinkel beider Geraden durch deren Richtungsvektoren $\overrightarrow{g_{1}}$ und $\overrightarrow{g_{2}}$ mittels der Formel $cos(\phi)=\frac{\langle\overrightarrow{g_{1}}, \overrightarrow{g_{2}} \rangle}{\lvert \overrightarrow{g_{1}} \rvert \cdot \lvert \overrightarrow{g_{2}} \rvert}$ berechnen ( $\langle ., . \rangle$ bezeichnet das Standardskalarprodukt):
  In Teilaufgabe b) war der Schnittpunkt $\tilde x = 1$ mit $f(1)=g(1)=2$ .Um die Steigungen von $f$ und $g$ in $\tilde x = 1$ zu berechnen, benötigen wir deren Ableitungen an dieser Stelle:
  $f'(x) = -e^{1-x}$ und $g'(x) = 2 \cdot e^{x-1}$ .
  $f'(1) = -e^{1-1} = -e^0 = -1$
  $g'(1) = 2 \cdot e^{1-1} = 2 \cdot e^0 = 2$
  Anschließend kannst du die gesuchten Geraden bestimmen, indem du $k_{1} = f'(1)$ und $k_{2} = g'(1)$ setzt (damit ist 1. erfüllt). Wenn du weiterhin noch 2. forderst, erhältst du durch Einsetzen von $\tilde x = 1, f(1), g(1), k_{1}$ und $k_{2}$ zwei Gleichungen. Diese Gleichungen formst du um, um die fehlenden Werte $d_{1}$ und $d_{2}$ zu berechnen:
  und
  Nach diesen Schritten hast du die Geradengleichungen von $g_{1}$ und $g_{2}$ ermittelt:
  $g_{1}: y = (-1) \cdot x + 3$
  $g_{2}: y = 2 \cdot x$
  (siehe auch: (*) Alternativer Lösungsweg)
  Du kannst sofort die Normalform der Geraden angeben,
  $g_{1}: x + y = 3$
  $g_{2}: (-2) \cdot x + y = 0$
  sowie deren Normalenvektoren $\overrightarrow{n}_{g_{1}}$ und $\overrightarrow{n}_{g_{2}}$ ablesen: $\binom{1}{1}$ und $\binom{-2}{1}$ .
  Da Normalenvektoren in der Ebene senkrecht, d.h. in einem Winkel von $90°$ auf den Richtungsvektor der Geraden stehen, ist in obiger Grafik $\varphi = \varphi'$ . Also kannst du $\phi$ mit der weiter oben angegebenen Formel berechnen, wobei du jedoch nicht die Richtungs-, sondern die Normalenvektoren verwendest:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\Rightarrow \varphi &= cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{10}})\\&\approx 108{,}4°\end{aligned}$
  Unter Verwendung eines Taschenrechners ist es dir möglich, den Wert von $cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{10}})$ (in $°$ Winkelmaß) zu berechnen.
  Achtung: Versichere dich davor in dessen Einstellungsmenü davon, dass du dein Ergebnis nicht in $°$ Radiant angegeben erhältst.
  (*) Alternativer Lösungsweg
  Dieser Lösungsweg verwendet keine Vektoren, sondern benutzt die Tatsache, dass die Steigung m einer Gerade durch $m=\tan\left(\alpha\right)$ gegeben ist. Auflösen nach dem Steigungswinkel $\alpha$ (=Winkel gegen die Horizontale) durch Anwenden von $\tan^{-1}\left(..\right)$ auf beiden Seiten der Gleichung liefert:
  Wir hatten:
  $g_{1}: y = - x + 3 \;$ mit Steigung $\;m_1=-1$ .
  $g_{2}: y = 2 \cdot x\;$ mit Steigung $\;m_2=2$
  Berechne nun den Steigungswinkel gemäß der Formel von oben.
  Steigungswinkel von $g_1$ : $\alpha_1=\tan^{-1}\left(m_1\right)=\tan^{-1}\left(-1\right)=-45^\circ$
  Steigungswinkel von $g_2$ : $\alpha_2=\tan^{-1}\left(m_2\right)=\tan^{-1}\left(2\right)\approx63{,}4^\circ$
  Berechne den Schnittwinkel. Ziehe dazu die Winkel voneinander ab und bilde deren Betrag.
  $\varphi=\left|\alpha_2-\alpha_1\right|\approx\left|63{,}4^\circ-(-45^\circ)\right|=108{,}4^\circ$
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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=x\cdot e^{1-x}$ .
1. In welchen Intervallen ist $f$ streng monoton wachsend?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonieverhalten einer reellwertigen Funktion bestimmen
  Eine reellwertige Funktion $f\colon[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ auf einem Intervall $[a,b]$ mit $a < b$ heißt
  monoton wachsend auf $[a,b]$ , falls aus $a \leq x \leq y \leq b$ folgt, dass $f(x) \leq f(y)$ ist.
  streng monoton wachsend auf $[a,b]$ , falls aus $a \leq x < y \leq b$ folgt, dass $f(x) < f(y)$ ist.
  Kurz gesagt bedeutet monotones Wachstum: Je weiter du von $a$ ausgehend auf $b$ zugehst, desto größer werden die Funktionswerte von $f$ .
  monoton fallend auf $[a,b]$ , falls aus $a \leq x \leq y \leq b$ folgt, dass $f(x) \geq f(y)$ ist.
  streng monoton wachsend auf $[a,b]$ , falls aus $a \leq x < y \leq b$ folgt, dass $f(x) < f(y)$ ist.
  Kurz gesagt bedeutet monotone Abnahme: Je weiter du von $a$ ausgehend auf $b$ zugehst, desto kleiner werden die Funktionswerte von $f$ .
  Ist die betrachtete Funktion $f\colon[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ differenzierbar, so kannst du ihr Monotonieverhalten folgendermaßen bestimmen:
  Ist $f'(x) \geq 0$ (bzw. $>0$ ) für alle $x$ in $[a,b]$ , so wächst $f$ monoton (bzw. streng) auf $[a,b]$ .
  Ist $f'(x) \leq 0$ (bzw. $<0$ ) für alle $x$ in $[a,b]$ , so fällt $f$ monoton (bzw. streng monoton) auf $[a,b]$ .
  Dieses Vorgehen kannst du auf differenzierbare Funktionen $f\colon\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ verallgemeinern, indem du die Ableitung $f'$ berechnest und $\mathbb{R}$ in größtmögliche Intervalle unterteilst, auf welchen $f' \geq 0$ oder $f' \leq 0$ ist.
  In dieser Aufgabe ist
  $f(x)=x \cdot \mathrm e^{1-x}$
  $f$ ist laut Produkt- und Kettenregel differenzierbar, womit du also ihre Ableitung berechnen kannst:
  $f'(x) =$
  Anwendung der Produktregel
  $(x)' \cdot\mathrm e^{1-x} + x \cdot (\mathrm e^{1-x})'=$
  Anwendung der Kettenregel unter Benutzung von $(\mathrm e^x)'=\operatorname{exp}'(x)=\operatorname{exp}(x)=\mathrm e^x$ liefert:
  $(\mathrm e^{1-x})'=$
  $(\mathrm exp(1-x))'=$
  $\operatorname{exp}'(1-x) \cdot (1-x)'=$
  $\operatorname{exp}(1-x) \cdot (-1)=$
  $-\mathrm e^{1-x}$
  Durch Einsetzen der Ableitung $(x)'=1$ erhältst du
  $1 \cdot\mathrm e^{1-x} + x \cdot (-1) \cdot\mathrm e^{1-x}=$
  Hier kannst du den Ausdruck $\mathrm e^{1-x}$ herausheben:
  $(1-x) \cdot\mathrm e^{1-x}$
  Dabei ist $\mathrm e^{1-x}$ für reelle $x$ immer positiv.
  Daher hängt das Vorzeichen von $f'(x)$ nur von dem Ausdruck $1-x$ ab:
  $1-x>0$ für $x<1$ und
  $1-x<0$ für $x>1$ .
  Insgesamt ist
  $f'(x)>0$ für $x<1$ und
  $f'(x)<0$ für $x>1$ .
  Nach dem obigen Kriterium für differenzierbare Funktionen kannst du folgende Aussage zum Monotonieverhalten von $f$ angeben:
  $f$ wächst streng monoton für $x<1$ und fällt streng monoton für $x>1$ .
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2. Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von $f$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hoch- und Tiefpunkte berechnen
  Aus Teilaufgabe a) weißt du bereits, dass $f'(x) = (1-x) \cdot e^{1-x}$ ist. Berechne nun die Nullstellen der ersten Ableitung.
  $f'(x) = 0$
  Setze für $f'(x)$ ein.
  $\Leftrightarrow (1-x) \cdot e^{1-x} = 0$
  Desweiteren solltest du aus Teilaufgabe a) in Erinnerung behalten haben, dass $e^{1-x}>0$ ist. Somit ist die linke Seite der Gleichung genau dann gleich Null, wenn $1-x=0$ ist. Dies ist nur für $x=1$ erfüllt.
  $\Leftrightarrow x=1$
  $x=1$ ist also der einzige Punkt von $f$ , der als Hoch- oder Tiefpunkt in Frage kommt.
  Um zu entscheiden, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, berechnest du die zweite Ableitung von $f$ .
  $f''(x) = ((1-x) \cdot e^{1-x})'$
  Wende die Produktregel an.
  $=(1-x)' \cdot e^{1-x} + (1-x) \cdot (e^{1-x})'$
  Wie in Teilaufgabe a) nutzt du zum Ableiten von $e^{1-x}$ die Kettenregel und erhältst $(e^{1-x})'=-e^{1-x}$ . Dies setzt du zusammen mit $(1-x)'=-1$ ein.
  $=-e^{1-x}+(-1) \cdot (1-x) \cdot e^{1-x}$
  Hineinziehen des Minuszeichens in die Klammer.
  $=-e^{1-x}+(x-1) \cdot e^{1-x}$
  Nun klammerst du $e^{1-x}$ aus.
  $=(-1 + x-1) \cdot e^{1-x}= (x-2) \cdot e^{1-x}$
  Nun setzt du $x=1$ in die 2. Ableitung von $f$ ein.
  
  Da $f''(1)$ kleiner als 0 ist, ist $x=1$ ein Hochpunkt von $f$ .
  Die Funktion $f(x)=x⋅e^{1−x}$ hat genau einen Hochpunkt bei $x=1$ .
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  Berechne zuerst die Nullstellen der 1. Ableitung.
  Überprüfe mithilfe der 2. Ableitung, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.
3. Skizziere den Graphen von $f$ .
  
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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=(x^2+x-5)\cdot e^x$ .
Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von $f$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hoch- und Tiefpunkte berechnen
$f(x) = (x^2 + x - 5) \cdot e^x$
Zum Ableiten von $f(x)$ benötigst du die Produktregel:
Die Ableitung des ersten Faktors $x^2+x-5$ ist:
Damit erhältst du für die gesamte Ableitung
Nun berechnest du die Nullstellen von f(x) , also die Lösung der Gleichung von $f'(x)=0$ :
$f'(x)=0$
$\Leftrightarrow e^x \cdot (x^2 + 3x -4) = 0$
Die linke Gleichungsseite ist genau dann gleich $0$ , wenn einer der beiden Faktoren des dortigen Produktes gleich $0$ ist.
Also $e^x=0$ oder $x^2+3x−4=0$ .
Da die Exponentialfunktion $x \mapsto e^x$ nur positive Werte annimmt, gibt es für $e^x=0$ keine Lösung. Löse also nun $x^2 + 3x -4 = 0$ .
Dies kannst du mit der PQ-Formel berechnen:
$\Rightarrow x_1=-\frac{3}{2} + \frac{5}{2}=1 \\ x_2=-\frac{3}{2} - \frac{5}{2}=-4$
$\Leftrightarrow x \in \{-4, 1\}$
Um nun herauszufinden, ob es sich bei diesen um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, musst du sie in die zweite Ableitung von $f$ einsetzen. Dafür berechnest du zuerst $f''(x)$ mit Hilfe der Produktregel:
Nun setzt du die Nullstellen der 1. Ableitung -4 und 1 in die zweite Ableitung ein.
$f''(-4) = ((-4)^2+5 \cdot (-4)-1) \cdot e^{-4} = (16 - 20 - 1) \cdot e^{-4} = -5 \cdot \underbrace {e^{-4}}_{>0} < 0$ ,
sowie
$f''(1) = (1^2+5 \cdot 1-1) \cdot e^{1} = (1 + 5 - 1) \cdot e = 5 \cdot \underbrace {e}_{>0} > 0$ .
Du siehst nun, dass an der Stelle $x=-4$ der Graph von $f$ einen Hochpunkt und an der Stelle $x=1$ einen Tiefpunkt hat.
Im Schaubild unten siehst du den Graphen von $f(x)$ gezeichnet (keine Sorge, dass war in der Aufgabe nicht verlangt ;-) ). Wie du siehst passen Hoch- und Tiefpunkt zum Graphen.
Berechne zuerst die Nullstellen der 1. Ableitung.
Überprüfe mithilfe der 2. Ableitung, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.
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Diskutiere folgende Funktionen so weit, bis du den Graphen zeichnen kannst. Gib gegebenenfalls die Asymptoten an:
1. $f(x)=e\cdot e^x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
  Definitionsbereich festlegen
  Da die Funktion keine Brüche, Wurzeln oder andere Dinge enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, ist der Definitionsbereich der Funktion $D_f=ℝ$ .
  Nullstellenbestimmung
  Die $e$ -Funktion besitzt keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion $f$ ebenfalls keine besitzt.
  Ableitungen
  1. Ableitung
  Die Ableitung von $e^x$ ist wiederum $e^x$ . Der Faktor $e$ bleibt bestehen.
  2. Ableitung
  Selber Vorgang wie bei der ersten Ableitung.
  Extrema bestimmen
  Da $f'(x)=e\cdot e^x$ nie Null wird, hat die Funktion keine Extrema.
  Wendepunkte bestimmen
  Da $f''(x)=e\cdot e^x$ nie Null wird, hat die Funktion keine Wendepunkte.
  Grenzwertbetrachtung
  $D_f=ℝ$
  Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen $\pm\infty$ betrachtet werden.
  gegen $+\infty$
  gegen $-\infty$
  Damit besitzt $f$ eine horizontale Asymptote bei 0 für die Annäherung an $-\infty$ .
  Symmetrieverhalten
  Ersetze $x$ durch $-x$ .
  Da $f\left(-x\right)$ weder $-f\left(x\right)$ noch $f\left(x\right)$ ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.
  Monotonieverhalten
  Um die Monotonie zu ermitteln, betrachte das Vorzeichen von $f'(x)$ . Da $f'(x)$ keine Nullstellen aufweist, ändert sich die Steigung von $f(x)$ auch nicht.
  Der erste Faktor $e$ ist eine Konstante und ist positiv, der zweite Faktor $e^x$ ist in $D_f=ℝ$ immer positiv, wodurch $f'(x)$ stets positiv ist.
  Damit ist die Funktion streng monoton steigend in $D_f=ℝ$ .
  Graph
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Diskutiere folgende Funktionen

$f(x)=\frac1{e^x-1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion

Definitionsbereich festlegen

Bestimme zu erst den Definitionsbereich, indem du den Nenner der Funktion gleich $0$ setzt.

$f(x)=$ $\frac{1}{e^x-1}$

$\displaystyle e^x-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle e^x$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Logarithmus anwenden.
$\displaystyle \ln\ \text{e}^x$	$=$	$\displaystyle \ln(1)$
$\displaystyle x\cdot\ln\text{e}\$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

Somit ist der maximale Definitionsbereich $D_f = \mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

Nullstellenbestimmung

Bestimme alle Nullstellen. Da im Zähler keine Elemente, die $x$ enthalten, vorkommen, hat die Funktion keine Nullstellen.

Ableitungen

Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion.

1. Ableitung

Forme zuerst $f$ ein wenig um.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{e^x-1}$
	↓	Eliminiere mithilfe der Potenzgesetze den Bruch.
	$=$	$\displaystyle (e^x-1)^{-1}$

Bestimme die Ableitung mithilfe der Kettenregel.

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle -1\cdot\left(e^x-1\right)^{-2}\cdot e^x$
	↓	Wandle in einen Bruch um mithilfe der Potenzgesetze.
	$=$	$\displaystyle -\frac{e^x}{\left(e^x-1\right)^2}$

2. Ableitung

$f'\left(x\right)=-\frac{e^x}{\left(e^x-1\right)^2}$

Berechne die Ableitungen von Zähler ( $u'$ ) und Nenner ( $v'$ ).

$u'=e^x,\;v'=2\cdot\left(e^x-1\right)\cdot e^x$

Wende die Quotientenregel an.

$\displaystyle f''(x)$	$=$	$\displaystyle \frac{e^x\cdot\left(e^x-1\right)^2-e^x\cdot2\cdot\left(e^x-1\right)\cdot e^x}{\left(e^x-1\right)^4}$
	↓	Kürze mit $\left(e^x-1\right)$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{e^x\cdot\left(e^x-1\right)-e^x\cdot2\cdot e^x}{\left(e^x-1\right)^3}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{e^{2x}-e^x-2e^{2x}}{\left(e^x-1\right)^3}$
	↓	Fasse gleiche Elemente zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-e^{2x}-e^x}{\left(e^x-1\right)^3}$
	↓	Klammere $-e^x$ aus.
	$=$	$\displaystyle -\frac{e^x\left(e^x+1\right)}{\left(e^x-1\right)^3}$

Extrema bestimmen

Zum Bestimmen der Extrema wird der Zähler der ersten Ableitung gleich Null gesetzt.

$f'\left(x\right)=-\frac{e^x}{\left(e^x-1\right)^2}$

$e^x=0$

Die $e$ -Funktion besitzt keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion keine Nullstelle besitzt.

Wendepunkte bestimmen

Zum Bestimmen der Wendepunkte wird der Zähler der zweiten Ableitung gleich Null gesetzt.

$f''(x)=-\frac{e^x\left(e^x+1\right)}{\left(e^x-1\right)^3}$

$e^x\left(e^x+1\right)=0$

Die $e$ -Funktion ist nie negativ oder gleich Null, deswegen sind weder das Innere der Klammer noch $e^x$ vor der Klammer gleich Null.

Also besitzt $f$ keine Wendepunkte.

Grenzwertbetrachtung

$D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}$

Da die Funktion eine Definitionslücke hat, muss das Verhalten gegen 0 und $\pm\infty$ betrachtet werden.

Grenzwert gegen $0$ von links:

$\lim_{x\rightarrow0^-}\frac1{\underbrace{\underbrace{e^x}_{\rightarrow1^-}-1}_{\rightarrow0^-}}=-\infty$

Grenzwert gegen $0$ von rechts:

$\lim_{x\rightarrow0^+}\frac1{\underbrace{\underbrace{e^x}_{\rightarrow1^+}-1}_{\rightarrow0^+}}=+\infty$

Grenzwert gegen $-\infty$ :

$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac1{\underbrace{e^x}_{\rightarrow0}-1}=-1$

Grenzwert gegen $+\infty$ :

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1{\underbrace{e^x}_{\rightarrow+\infty}-1}=0$

Symmetrieverhalten

Überprüfe das Symmetrieverhalten.

$f(x)=\frac1{e^x-1}$

Setze $-x$ für $x$ ein.

$\displaystyle f(-x)$	$=$	$\displaystyle \frac1{e^{-x}-1}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an.
	$=$	$\displaystyle \frac1{{\frac1{e^x}}-1}$

Da $f(-x)$ weder $f(x)$ noch $-f(x)$ ist, ist die Funktion weder achsensymmetrisch zur $y$ -Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mithilfe einer Tabelle bestimmt:

	$x < 0$	$x = 0$	$0 < x$
Vorzeichen von $f'(x)$	-	\	-
$G_f$	$\downarrow$	\	$\downarrow$

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$f(x)=e^{-x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Bestimme den Definitionsbereich. Da die Funktion keine Brüche, Wurzeln oder andere Dinge enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, ist der Definitionsbereich der Funktion $D_f=\mathbb{R}$ .
Nullstellenbestimmung
Bestimme die Nullstellen der Funktion. Die $e$ -Funktion besitzt auf $D_f=\mathbb{R}$ keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion $f$ ebenfalls keine besitzt.
Ableitungen
Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion.
1. Ableitung
$f(x)=e^{-x}$
Die Ableitung von $e^{-x}$ ist $e^{-x} \cdot (-1)$ .
$f'(x)=-e^{-x}$
2. Ableitung
$f'(x)=-e^{-x}$
Die Ableitung von $-e^{-x}$ ist $-e^{-x} \cdot (-1)$ .
$f''(x)=e^{-x}$
Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema.
Da $f'(x)=-e^{-x}$ nie Null wird, hat die Funktion keine Extrema.
Wendepunkte bestimmen
Bestimme die Wendepunkte.
Da $f''(x)=e^{-x}$ nie Null wird, hat die Funktion keine Wendepunkte.
Grenzwertbetrachtung
$D_f=\mathbb{ℝ}$
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen $\pm\infty$ betrachtet werden.
Grenzwert gegen $+\infty$ :
$\lim_{x\to\infty} \underbrace{e^{-x}}_{\to 0} = 0$
Damit besitzt $f$ eine horizontale Asymptote bei 0 für die Annäherung an $-\infty$ .
Grenzwert gegen $-\infty$ :
$\lim_{x\to-\infty}\underbrace{e^{-x}}_{\to \infty}=\infty$
Symmetrieverhalten
Untersuche das Symmetrieverhalten.
$f(x)=e^{-x}$
Ersetze $x$ durch $-x$ .
$f(-x)=e^{-(-x)}=e^x$
Da $f\left(-x\right)$ weder $-f\left(x\right)$ noch $f\left(x\right)$ ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.
Monotonieverhalten
Um die Monotonie zu ermitteln, betrachte das Vorzeichen von $f'(x)$ .
Da $f'(x)$ keine Nullstellen aufweist, ändert sich die Steigung von $f(x)$ auch nicht. Betrache die Steigung daher an einer beliebigen Stelle, z. B. $x=0$ :
Damit ist die Funktion streng monoton fallend in $D_f = \mathbb{R}$ .
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Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und Extrema der folgenden Funktion:

$\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: E-Funktion

Definitionsbereich festlegen

Zunächst legst du den Defintionsbereich fest:

$\displaystyle f\left(x\right)=\dfrac{e^x-4}{e^{2x}-5}$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

$\displaystyle e^{2x}-5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle e^{2x}$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle \ln(5)$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{\ln(5)}{2}$

Damit ist der maximale Definitionsbereich $D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\ln(5)}2\right\}$ .

Nullstellenbestimmung

Bestimme nun die Nullstellen von f:

$\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

$\displaystyle e^x-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle e^x$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \ln(4)$

Die einzige Nullstelle ist $(\ln(4)\mid0)$ .

Ableitungen

Bilde die erste und zweite Ableitung von f:

1. Ableitung

$\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}$

$u'=e^x,\;v'=2e^{2x}$

Wende die Quotientenregel an.

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{e^x\cdot\left(e^{2x}-5\right)-2e^{2x}\cdot\left(e^x-4\right)}{\left(e^{2x}-5\right)^2}$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{e^{3x}-5e^x-2e^{3x}+8e^{2x}}{\left(e^{2x}-5\right)^2}$
	↓	Fasse gleiche Elemente zusammen.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^2}$

2. Ableitung

$\displaystyle f'\left(x\right)=\frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^2}$

Berechne die Ableitung von Zähler ( $u'$ ) und Nenner ( $v'$ ).

$u'=-3e^{3x}+16e^{2x}-5e^x,\;v'=\left(e^{2x}-5\right)\cdot2\cdot2e^{2x}$

Wende die Quotientenregel an.

$\displaystyle f''(x)$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{(-3e^{3x}+16e^{2x}-5e^x)\cdot(e^{2x}-5)^2-(e^{2x}-5)\cdot2\cdot2e^{2x}\cdot(-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x)}{(e^{2x}-5)^4}$
	↓	Kürze mit $\left(e^{2x}-5\right)$ .
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{\left(-3 e^{3 x}+16 e^{2 x}-5 e^ x\right)\cdot\left( e^{2 x}-5\right)-2\cdot2 e^{2 x}\cdot\left(- e^{3 x}+8 e^{2 x}-5 e^ x\right)}{\left( e^{2 x}-5\right)^3}$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{-3e^{5x}+16e^{4x}-5e^{3x}+15e^{3x}-80e^{2x}+25e^x+4e^{5x}-32e^{4x}+20e^{3x}}{\left(e^{2x}-5\right)^3}$
	↓	Fasse gleiche Elemente zusammen.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{e^{5x}-16e^{4x}+30e^{3x}-80e^{2x}+25e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^3}$

Extrema bestimmen

Nun werden die Extrema bestimmt:

$\displaystyle f'\left(x\right)=\frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^2}$

Es wird nur der Zähler der 1. Ableitung gleich 0 gesetzt, da ein Bruch 0 wird, wenn der Zähler 0 wird.

$-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x=0$

Substitution

Verwende die Substitution.

$u=e^x$

$-u^3+8u^2-5u=0$

Klammere $u$ aus.

$u\cdot\left(-u^2+8u-5\right)=0$

Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.

$\;\;\Rightarrow\;\;u_1=0$

Für weitere Extrema wird nur das Innere der Klammer betrachtet.

$-u^2+8u-5=0$

Wende die Mitternachtsformel an.

$\displaystyle u_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{-8\pm\sqrt{64-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-5\right)}}{2\cdot\left(-1\right)}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren .
	$=$	$\displaystyle \frac{-8\pm\sqrt{44}}{-2}$
	↓	2 lässt sich aus der Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-8\pm2\sqrt{11}}{-2}$

$\phantom{u_{2{,}3}}$

$\displaystyle u_2=\frac{-8+2\sqrt{11}}{-2}=4-\sqrt{11}$

$\displaystyle u_3=\frac{-8-2\sqrt{11}}{-2}=4+\sqrt{11}$

Resubstitution

Verwende nun die Resubstitution:

$u_1=e^{x_1}$

$0=e^{x_1}$

Die Exponentialfunktion ist immer größer als 0. Die Gleichung ist daher nicht lösbar und $x_1$ keine Nullstelle.

$u_2=e^{x_2}$

$4-\sqrt{11}=e^{x_2}$

Wende den Logarithmus an.

$\ln\left(4-\sqrt{11}\right)=x_2$

$u_3=e^{x_3}$

$4+\sqrt{11}=e^{x_3}$

Wende den Logarithmus an.

$\ln(4+\sqrt{11})=x_3$

$y$ -Werte bestimmen

$\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}$

$x_2$ einsetzen.

$\displaystyle f\left(\ln\left(4-\sqrt{11}\right)\right)$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{\mathrm{e}^{\ln\left(4-\sqrt{11}\right)}-4}{\mathrm{e}^{2\cdot\ln\left(4-\sqrt{11}\right)}-5}=\frac{4-\sqrt{11}-4}{\left(4-\sqrt{11}\right)^2-5}$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{-\sqrt{11}}{16-8\sqrt{11}+11-5}=\frac{-\sqrt{11}}{22-8\sqrt{11}}$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{1}{8-2\sqrt{11}}$

Erster Extrempunkt

$\left(\ln\left(4-\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8-2\sqrt{11}}\right)\right.$

$\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}$

$x_3$ einsetzen.

$\displaystyle f\left(\ln\left(4+\sqrt{11}\right)\right)$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{e^{\ln\left(4+\sqrt{11}\right)}-4}{e^{2\cdot\ln\left(4+\sqrt{11}\right)}-5}$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{4+\sqrt{11}-4}{\left(4+\sqrt{11}\right)^2-5}=\frac{\sqrt{11}}{22+8\sqrt{11}}$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{1}{8+2\sqrt{11}}$

Zweiter Extrempunkt

$\left(\ln\left(4+\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8+2\sqrt{11}}\right.\right)$

Art der Extrema bestimmen

$f''\left(x\right)= \displaystyle \frac{e^{5x}-16e^{4x}+30e^{3x}-80e^{2x}+25e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^3}$

Setze $x_2$ ein.

$\Rightarrow \left(\ln\left(4-\sqrt{11}\right)\ \left|\ \displaystyle \frac1{8-2\sqrt{11}}\right)\right.$

Die 2. Ableitung ist größer 0, da Zähler und Nenner beide kleiner 0 sind. Also liegt an der Stelle $x_2$ ein Tiefpunkt vor.

$f''\left(\ln(4+\sqrt{11})\right) = \displaystyle \frac{e^{5 \cdot \ln(4+\sqrt{11})}-16e^{4 \cdot \ln(4 +\sqrt{11})}+30e^{3 \cdot \ln(4 +\sqrt{11})}-80e^{2 \cdot \ln(4 + \sqrt{11})}+25e^{\ln(4+\sqrt{11})}}{(e^{2 \cdot \ln(4-\sqrt{11})} + 5)^3}$

$\Rightarrow \left(\ln\left(4+\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8+2\sqrt{11}}\right.\right)$

Die 2. Ableitung ist kleiner 0, da der Zähler kleiner und der Nenner größer 0 ist. Also liegt an der Stelle $x_3$ ein Hochpunkt vor.

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Aufgaben zur Diskussion von e-Funktionen

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Berechnung des Schnittwinkels zweier reeller Funktionen in einem Punkt:

(*) Alternativer Lösungsweg

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1. Ableitung

2. Ableitung

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gegen +∞+\infty+∞

gegen −∞-\infty−∞

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Definitionsbereich festlegen

Nullstellenbestimmung

Ableitungen

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema bestimmen

Wendepunkte bestimmen

Grenzwertbetrachtung

Symmetrieverhalten

Monotonieverhalten

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Definitionsbereich festlegen

Nullstellenbestimmung

Ableitungen

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema bestimmen

Wendepunkte bestimmen

Grenzwertbetrachtung

Monotonieverhalten

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Definitionsbereich festlegen

Nullstellenbestimmung

Ableitungen

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema bestimmen

Substitution

Resubstitution

yyy-Werte bestimmen

Art der Extrema bestimmen

gegen $+\infty$

gegen $-\infty$

$y$ -Werte bestimmen