Aufgaben zur Diskussion von e-Funktionen

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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit $f (x) = 1 + e^{1 - x}$ und $g (x) = 2 \cdot e^{x - 1}$ .
1. Skizziere die beiden Graphen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Video: Funktionsgraphen der Exponentialfunktionen
  Graphen der Funktionen f und g
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2. Bestimme den Schnittpunkt der beiden Graphen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkten zweier Graphen
  Du suchst nach Werten $x$ , die
  in den Definitionsmengen $D_{f}$ und $D_{g}$ beider Funktionen $f$ und $g$ enthalten sind und
  $f (x) = g (x)$ erfüllen.
  Um solche Werte $x$ zu finden, löst du die Gleichung $f (x) = g (x)$ nach $x$ auf, falls dies möglich ist.
  $f (x) = g (x)$
  In diese Gleichung setzt du die Definitionsgleichungen $f (x) = 1 + e^{1 - x}$ und $g (x) = 2 e^{x - 1}$ von $f$ und $g$ ein.
  $\Leftrightarrow 1 + e^{1 - x} = 2 e^{x - 1}$
  Nun kannst du $x - 1$ durch $- (1 - x)$ ersetzen.
  $\Leftrightarrow 1 + e^{1 - x} = 2 e^{- (1 - x)}$
  Anschließend kannst du beide Seiten der Gleichung mit $e^{1 - x}$ multiplizieren, um die rechte Seite der Gleichung zu vereinfachen: Dabei ist aufgrund der Potenzgesetze $e^{1 - x} \cdot e^{- (1 - x)} = e^{0} = 1$ .
  $\Leftrightarrow e^{1 - x} + (e^{1 - x})^{2} = 2$
  Vertausche die Summanden (Kommutativgesetz der Addition).
  $\Leftrightarrow (e^{1 - x})^{2} + e^{1 - x} = 2$
  Dies erinnert an eine quadratische Gleichung. Nun kannst du mit $y = e^{1 - x}$ eine Substitution durchführen, d. h., du betrachtest eine veränderte Gleichung, in der du den komplizierteren Ausdruck $e^{1 - x}$ durch $y$ ersetzt; dies liefert eine einfacher aussehende Gleichung:
  $y^{2} + y = 2$
  Hier kannst du $2$ auf die linke Seite der Gleichung bringen.
  $\Leftrightarrow y^{2} + y - 2 = 0$
  Nun hast du eine quadratische Gleichung erhalten, die der Theorie gemäß höchstens zwei reelle Lösungen (d. h. Nullstellen) hat. Diese kannst du mit der $p q$ -Formel berechnen:
  $\begin{aligned} y & = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)} \\ = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2} \\ = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} \\ = - \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} \Leftrightarrow y \in {- 2, 1} \end{aligned}$
  $\Leftrightarrow y \in {- 2, 1}$
  (Hier gilt der Äquivalenzpfeil, da die Gleichung genau zwei reelle Lösungen hat.)
  Die Exponentialfunktion $\exp : ℝ \to ℝ^{+}, x \mapsto e^{x}$ nimmt nur positive Werte an. Deswegen kann auch $e^{1 - x} = \exp (1 - x)$ nur positive Werte annehmen und die Gleichung $y = e^{1 - x}$ ist lediglich für $y = 1$ erfüllbar.
  $e^{1 - x} = 1$
  Wie du vielleicht schon weißt, ist $\exp (0) = e^{0} = 1$ . Also ist $x = 1$ eine mögliche Lösung. Durch Anwendung der natürlichen Logarithmusfunktion $\ln$ auf beide Seiten der Gleichung erhältst du
  $\Leftrightarrow \ln (e^{1 - x}) = \ln (1)$
  Da $\ln$ die Umkehrfunktion von $\exp$ auf ganz $ℝ$ ist (deswegen bleibt der Äquivalenzpfeil gültig), gilt $\ln (e^{x}) = x$ . Aus dem Artikel zur $\ln$ -Funktion könntest du dir gemerkt haben, dass $\ln (1) = 0$ ist.
  $\Leftrightarrow 1 - x = 0$
  Hier kannst du $x$ auf die andere Gleichungsseite bringen und bekommst die gesuchte Lösung der Gleichung $f (x) = g (x)$ .
  $\Leftrightarrow x = 1$
  Als Letztes musst du diesen $x$ -Wert noch in eine der beiden ursprünglichen Funktionen einsetzen, um den $y$ -Wert des Schnittpunkts herauszufinden.
  $f (1) = 1 + e^{1 - 1} = 1 + e^{0} = 1 + 1 = 2$
  Also liegt der gesuchte Schnittpunkt bei $S (1 | 2)$ .
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3. Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Graphen?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt zweier Geraden
  Berechnung des Schnittwinkels zweier reeller Funktionen in einem Punkt:
  Gegeben sind zwei Funktionen $f : D_{f} \to ℝ$ , $g : D_{g} \to ℝ$ , deren Graphen sich in einem Punkt $\tilde{x}$ gemäß Teilaufgabe b) schneiden: $f (\tilde{x}) = g (\tilde{x})$ . $f$ und $g$ wollen wir als in $\tilde{x}$ differenzierbar voraussetzen.
  Du kannst nun folgendermaßen vorgehen: Berechne Geraden $g_{1} : y = k_{1} x + d_{1}$ und $g_{2} : y = k_{2} x + d_{2}$ , welche die nachstehenden Eigenschaften aufweisen:
  $f^{'} (\tilde{x}) = k_{1}$ und $g^{'} (\tilde{x}) = k_{2}$
  $f (\tilde{x}) = k_{1} \tilde{x} + d_{1}$ und $g (\tilde{x}) = k_{2} \tilde{x} + d_{2}$
  Dies bedeutet, in Worte gefasst:
  Die Steigung von $g_{1}$ ist gleich der Steigung von $f$ in $\tilde{x}$ und die Steigung von $g_{2}$ ist gleich der Steigung von $g$ in $\tilde{x}$ .
  Der Schnittpunkt $(\tilde{x}, f (\tilde{x})) = (\tilde{x}, g (\tilde{x}))$ der Graphen von $f$ und $g$ ist in $g_{1}$ und $g_{2}$ enthalten.
  Anschließend kannst du den Schnittwinkel beider Geraden durch deren Richtungsvektoren $\vec{g_{1}}$ und $\vec{g_{2}}$ mittels der Formel $c o s (ϕ) = \frac{⟨ \vec{g_{1}}, \vec{g_{2}} ⟩}{| \vec{g_{1}} | \cdot | \vec{g_{2}} |}$ berechnen ( $⟨ ., . ⟩$ bezeichnet das Standardskalarprodukt):
  In Teilaufgabe b) war der Schnittpunkt $\tilde{x} = 1$ mit $f (1) = g (1) = 2$ .Um die Steigungen von $f$ und $g$ in $\tilde{x} = 1$ zu berechnen, benötigen wir deren Ableitungen an dieser Stelle:
  $f^{'} (x) = - e^{1 - x}$ und $g^{'} (x) = 2 \cdot e^{x - 1}$ .
  $f^{'} (1) = - e^{1 - 1} = - e^{0} = - 1$
  $g^{'} (1) = 2 \cdot e^{1 - 1} = 2 \cdot e^{0} = 2$
  Anschließend kannst du die gesuchten Geraden bestimmen, indem du $k_{1} = f^{'} (1)$ und $k_{2} = g^{'} (1)$ setzt (damit ist 1. erfüllt). Wenn du weiterhin noch 2. forderst, erhältst du durch Einsetzen von $\tilde{x} = 1, f (1), g (1), k_{1}$ und $k_{2}$ zwei Gleichungen. Diese Gleichungen formst du um, um die fehlenden Werte $d_{1}$ und $d_{2}$ zu berechnen:
  $f (\tilde{x}) = k_{1} \tilde{x} + d_{1} \Leftrightarrow 2 = (- 1) \cdot 1 + d_{1} \Leftrightarrow d_{1} = 3$
  und
  $g (\tilde{x}) = k_{2} \tilde{x} + d_{2} \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + d_{2} \Leftrightarrow d_{2} = 0$
  Nach diesen Schritten hast du die Geradengleichungen von $g_{1}$ und $g_{2}$ ermittelt:
  $g_{1} : y = (- 1) \cdot x + 3$
  $g_{2} : y = 2 \cdot x$
  (siehe auch: (*) Alternativer Lösungsweg)
  Du kannst sofort die Normalform der Geraden angeben,
  $g_{1} : x + y = 3$
  $g_{2} : (- 2) \cdot x + y = 0$
  sowie deren Normalenvektoren ${\vec{n}}_{g_{1}}$ und ${\vec{n}}_{g_{2}}$ ablesen: $(\binom{1}{1})$ und $(\binom{- 2}{1})$ .
  Da Normalenvektoren in der Ebene senkrecht, d.h. in einem Winkel von $90 °$ auf den Richtungsvektor der Geraden stehen, ist in obiger Grafik $φ = φ^{'}$ . Also kannst du $ϕ$ mit der weiter oben angegebenen Formel berechnen, wobei du jedoch nicht die Richtungs-, sondern die Normalenvektoren verwendest:
  $\begin{aligned} c o s (φ) & = \frac{⟨ {\vec{n}}_{g_{1}}, {\vec{n}}_{g_{2}} ⟩}{| {\vec{n}}_{g_{1}} | \cdot | {\vec{n}}_{g_{2}} |} \\ = \frac{⟨ (\binom{1}{1}), (\binom{- 2}{1}) ⟩}{| (\binom{1}{1}) | \cdot | (\binom{- 2}{1}) |} \\ = \frac{- 2 + 1}{\sqrt{1 + 1} \cdot \sqrt{4 + 1}} \\ = - \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = - \frac{1}{\sqrt{10}} \end{aligned}$
  $\begin{aligned} \Rightarrow φ & = c o s^{- 1} (- \frac{1}{\sqrt{10}}) \\ \approx 108,4 ° \end{aligned}$
  Unter Verwendung eines Taschenrechners ist es dir möglich, den Wert von $c o s^{- 1} (- \frac{1}{\sqrt{10}})$ (in $°$ Winkelmaß) zu berechnen.
  Achtung: Versichere dich davor in dessen Einstellungsmenü davon, dass du dein Ergebnis nicht in $°$ Radiant angegeben erhältst.
  (*) Alternativer Lösungsweg
  Dieser Lösungsweg verwendet keine Vektoren, sondern benutzt die Tatsache, dass die Steigung m einer Gerade durch $m = \tan (α)$ gegeben ist. Auflösen nach dem Steigungswinkel $α$ (=Winkel gegen die Horizontale) durch Anwenden von $\tan^{- 1} (. .)$ auf beiden Seiten der Gleichung liefert:
  $α = \tan^{- 1} (m)$
  Wir hatten:
  $g_{1} : y = - x + 3$ mit Steigung $m_{1} = - 1$ .
  $g_{2} : y = 2 \cdot x$ mit Steigung $m_{2} = 2$
  Berechne nun den Steigungswinkel gemäß der Formel von oben.
  Steigungswinkel von $g_{1}$ : $α_{1} = \tan^{- 1} (m_{1}) = \tan^{- 1} (- 1) = - 45^{\circ}$
  Steigungswinkel von $g_{2}$ : $α_{2} = \tan^{- 1} (m_{2}) = \tan^{- 1} (2) \approx {63,4}^{\circ}$
  Berechne den Schnittwinkel. Ziehe dazu die Winkel voneinander ab und bilde deren Betrag.
  $φ = | α_{2} - α_{1} | \approx | {63,4}^{\circ} - (- 45^{\circ}) | = {108,4}^{\circ}$
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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = x \cdot e^{1 - x}$ .
1. In welchen Intervallen ist $f$ streng monoton wachsend?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonieverhalten einer reellwertigen Funktion bestimmen
  Eine reellwertige Funktion $f : [a, b] \to ℝ$ auf einem Intervall $[a, b]$ mit $a < b$ heißt
  monoton wachsend auf $[a, b]$ , falls aus $a \leq x \leq y \leq b$ folgt, dass $f (x) \leq f (y)$ ist.
  streng monoton wachsend auf $[a, b]$ , falls aus $a \leq x < y \leq b$ folgt, dass $f (x) < f (y)$ ist.
  Kurz gesagt bedeutet monotones Wachstum: Je weiter du von $a$ ausgehend auf $b$ zugehst, desto größer werden die Funktionswerte von $f$ .
  monoton fallend auf $[a, b]$ , falls aus $a \leq x \leq y \leq b$ folgt, dass $f (x) \geq f (y)$ ist.
  streng monoton wachsend auf $[a, b]$ , falls aus $a \leq x < y \leq b$ folgt, dass $f (x) < f (y)$ ist.
  Kurz gesagt bedeutet monotone Abnahme: Je weiter du von $a$ ausgehend auf $b$ zugehst, desto kleiner werden die Funktionswerte von $f$ .
  Ist die betrachtete Funktion $f : [a, b] \to ℝ$ differenzierbar, so kannst du ihr Monotonieverhalten folgendermaßen bestimmen:
  Ist $f^{'} (x) \geq 0$ (bzw. $> 0$ ) für alle $x$ in $[a, b]$ , so wächst $f$ monoton (bzw. streng) auf $[a, b]$ .
  Ist $f^{'} (x) \leq 0$ (bzw. $< 0$ ) für alle $x$ in $[a, b]$ , so fällt $f$ monoton (bzw. streng monoton) auf $[a, b]$ .
  Dieses Vorgehen kannst du auf differenzierbare Funktionen $f : ℝ \to ℝ$ verallgemeinern, indem du die Ableitung $f^{'}$ berechnest und $ℝ$ in größtmögliche Intervalle unterteilst, auf welchen $f^{'} \geq 0$ oder $f^{'} \leq 0$ ist.
  In dieser Aufgabe ist
  $f (x) = x \cdot e^{1 - x}$
  $f$ ist laut Produkt- und Kettenregel differenzierbar, womit du also ihre Ableitung berechnen kannst:
  $f^{'} (x) =$
  Anwendung der Produktregel
  $(x)^{'} \cdot e^{1 - x} + x \cdot (e^{1 - x})^{'} =$
  Anwendung der Kettenregel unter Benutzung von $(e^{x})^{'} = \exp^{'} (x) = \exp (x) = e^{x}$ liefert:
  $(e^{1 - x})^{'} =$
  $(e x p (1 - x))^{'} =$
  $\exp^{'} (1 - x) \cdot (1 - x)^{'} =$
  $\exp (1 - x) \cdot (- 1) =$
  $- e^{1 - x}$
  Durch Einsetzen der Ableitung $(x)^{'} = 1$ erhältst du
  $1 \cdot e^{1 - x} + x \cdot (- 1) \cdot e^{1 - x} =$
  Hier kannst du den Ausdruck $e^{1 - x}$ herausheben:
  $(1 - x) \cdot e^{1 - x}$
  Dabei ist $e^{1 - x}$ für reelle $x$ immer positiv.
  Daher hängt das Vorzeichen von $f^{'} (x)$ nur von dem Ausdruck $1 - x$ ab:
  $1 - x > 0$ für $x < 1$ und
  $1 - x < 0$ für $x > 1$ .
  Insgesamt ist
  $f^{'} (x) > 0$ für $x < 1$ und
  $f^{'} (x) < 0$ für $x > 1$ .
  Nach dem obigen Kriterium für differenzierbare Funktionen kannst du folgende Aussage zum Monotonieverhalten von $f$ angeben:
  $f$ wächst streng monoton für $x < 1$ und fällt streng monoton für $x > 1$ .
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2. Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von $f$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hoch- und Tiefpunkte berechnen
  Aus Teilaufgabe a) weißt du bereits, dass $f^{'} (x) = (1 - x) \cdot e^{1 - x}$ ist. Berechne nun die Nullstellen der ersten Ableitung.
  $f^{'} (x) = 0$
  Setze für $f^{'} (x)$ ein.
  $\Leftrightarrow (1 - x) \cdot e^{1 - x} = 0$
  Desweiteren solltest du aus Teilaufgabe a) in Erinnerung behalten haben, dass $e^{1 - x} > 0$ ist. Somit ist die linke Seite der Gleichung genau dann gleich Null, wenn $1 - x = 0$ ist. Dies ist nur für $x = 1$ erfüllt.
  $\Leftrightarrow x = 1$
  $x = 1$ ist also der einzige Punkt von $f$ , der als Hoch- oder Tiefpunkt in Frage kommt.
  Um zu entscheiden, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, berechnest du die zweite Ableitung von $f$ .
  $f^{''} (x) = ((1 - x) \cdot e^{1 - x})^{'}$
  Wende die Produktregel an.
  $= (1 - x)^{'} \cdot e^{1 - x} + (1 - x) \cdot (e^{1 - x})^{'}$
  Wie in Teilaufgabe a) nutzt du zum Ableiten von $e^{1 - x}$ die Kettenregel und erhältst $(e^{1 - x})^{'} = - e^{1 - x}$ . Dies setzt du zusammen mit $(1 - x)^{'} = - 1$ ein.
  $= - e^{1 - x} + (- 1) \cdot (1 - x) \cdot e^{1 - x}$
  Hineinziehen des Minuszeichens in die Klammer.
  $= - e^{1 - x} + (x - 1) \cdot e^{1 - x}$
  Nun klammerst du $e^{1 - x}$ aus.
  $= (- 1 + x - 1) \cdot e^{1 - x} = (x - 2) \cdot e^{1 - x}$
  Nun setzt du $x = 1$ in die 2. Ableitung von $f$ ein.
  
  $f^{''} (1) = (1 - 2) \cdot e^{1 - 1} = (- 1) \cdot \underset{= 1}{\underset{⏟}{e^{0}}} = - 1 < 0$
  Da $f^{''} (1)$ kleiner als 0 ist, ist $x = 1$ ein Hochpunkt von $f$ .
  Die Funktion $f (x) = x \cdot e^{1 - x}$ hat genau einen Hochpunkt bei $x = 1$ .
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  Berechne zuerst die Nullstellen der 1. Ableitung.
  Überprüfe mithilfe der 2. Ableitung, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.
3. Skizziere den Graphen von $f$ .
  
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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = (x^{2} + x - 5) \cdot e^{x}$ .
Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von $f$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hoch- und Tiefpunkte berechnen
$f (x) = (x^{2} + x - 5) \cdot e^{x}$
Zum Ableiten von $f (x)$ benötigst du die Produktregel:
Die Ableitung des ersten Faktors $x^{2} + x - 5$ ist:
$(x^{2} + x - 5)^{'} = 2 x + 1$
Damit erhältst du für die gesamte Ableitung
$f^{'} (x) = (x^{2} + x - 5) \cdot e^{x} + (2 x + 1) \cdot e^{x} = (x^{2} + x - 5 + 2 x + 1) \cdot e^{x} = (x^{2} + 3 x - 4) \cdot e^{x}$
Nun berechnest du die Nullstellen von f(x) , also die Lösung der Gleichung von $f^{'} (x) = 0$ :
$f^{'} (x) = 0$
$\Leftrightarrow e^{x} \cdot (x^{2} + 3 x - 4) = 0$
Die linke Gleichungsseite ist genau dann gleich $0$ , wenn einer der beiden Faktoren des dortigen Produktes gleich $0$ ist.
Also $e^{x} = 0$ oder $ x^{2} + 3 x - 4 = 0$ .
Da die Exponentialfunktion $x \mapsto e^{x}$ nur positive Werte annimmt, gibt es für $e^{x} = 0$ keine Lösung. Löse also nun $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ .
Dies kannst du mit der PQ-Formel berechnen:
$\begin{aligned} x_{1,2} & = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^{2} - (- 4)} \\ = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 4} \\ = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}} \\ = - \frac{3}{2} \pm \frac{5}{2} \end{aligned}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1} = - \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 1 \\ x_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = - 4 \end{array}$
$\Leftrightarrow x \in {- 4, 1}$
Um nun herauszufinden, ob es sich bei diesen um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, musst du sie in die zweite Ableitung von $f$ einsetzen. Dafür berechnest du zuerst $f^{''} (x)$ mit Hilfe der Produktregel:
$\begin{array}{c} f^{''} (x) & = & (f^{'} (x))^{'} = (x^{2} + 3 x - 4) \cdot e^{x} + (2 x + 3) \cdot e^{x} \\ f^{''} (x) & = & (x^{2} + 3 x - 4 + 2 x + 3) \cdot e^{x} = (x^{2} + 5 x - 1) \cdot e^{x} \end{array}$
Nun setzt du die Nullstellen der 1. Ableitung -4 und 1 in die zweite Ableitung ein.
$f^{''} (- 4) = ((- 4)^{2} + 5 \cdot (- 4) - 1) \cdot e^{- 4} = (16 - 20 - 1) \cdot e^{- 4} = - 5 \cdot \underset{> 0}{\underset{⏟}{e^{- 4}}} < 0$ ,
sowie
$f^{''} (1) = (1^{2} + 5 \cdot 1 - 1) \cdot e^{1} = (1 + 5 - 1) \cdot e = 5 \cdot \underset{> 0}{\underset{⏟}{e}} > 0$ .
Du siehst nun, dass an der Stelle $x = - 4$ der Graph von $f$ einen Hochpunkt und an der Stelle $x = 1$ einen Tiefpunkt hat.
Im Schaubild unten siehst du den Graphen von $f (x)$ gezeichnet (keine Sorge, dass war in der Aufgabe nicht verlangt ;-) ). Wie du siehst passen Hoch- und Tiefpunkt zum Graphen.
Berechne zuerst die Nullstellen der 1. Ableitung.
Überprüfe mithilfe der 2. Ableitung, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.
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Diskutiere folgende Funktionen so weit, bis du den Graphen zeichnen kannst. Gib gegebenenfalls die Asymptoten an:
1. $f (x) = e \cdot e^{x}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
  Definitionsbereich festlegen
  Da die Funktion keine Brüche, Wurzeln oder andere Dinge enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, ist der Definitionsbereich der Funktion $D_{f} = ℝ$ .
  Nullstellenbestimmung
  Die $e$ -Funktion besitzt keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion $f$ ebenfalls keine besitzt.
  Ableitungen
  1. Ableitung
  $f (x) = e \cdot e^{x}$
  Die Ableitung von $e^{x}$ ist wiederum $e^{x}$ . Der Faktor $e$ bleibt bestehen.
  $f^{'} (x) = e \cdot e^{x}$
  2. Ableitung
  $f^{'} (x) = e \cdot e^{x}$
  Selber Vorgang wie bei der ersten Ableitung.
  $f^{''} (x) = e \cdot e^{x}$
  Extrema bestimmen
  Da $f^{'} (x) = e \cdot e^{x}$ nie Null wird, hat die Funktion keine Extrema.
  Wendepunkte bestimmen
  Da $f^{''} (x) = e \cdot e^{x}$ nie Null wird, hat die Funktion keine Wendepunkte.
  Grenzwertbetrachtung
  $D_{f} = ℝ$
  Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen $\pm \infty$ betrachtet werden.
  gegen $+ \infty$
  $\lim_{x \to \infty} \underset{\to \infty}{\underset{⏟}{e \cdot e^{x}}} = \infty$
  gegen $- \infty$
  $\lim_{x \to - \infty} \underset{\to 0}{\underset{⏟}{e \cdot e^{x}}} = 0^{+}$
  Damit besitzt $f$ eine horizontale Asymptote bei 0 für die Annäherung an $- \infty$ .
  Symmetrieverhalten
  $f (x) = e \cdot e^{x}$
  Ersetze $x$ durch $- x$ .
  $f (- x) = e \cdot e^{- x}$
  Da $f (- x)$ weder $- f (x)$ noch $f (x)$ ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.
  Monotonieverhalten
  Um die Monotonie zu ermitteln, betrachte das Vorzeichen von $f^{'} (x)$ . Da $f^{'} (x)$ keine Nullstellen aufweist, ändert sich die Steigung von $f (x)$ auch nicht.
  $f^{'} (x) = e \cdot e^{x}$
  Der erste Faktor $e$ ist eine Konstante und ist positiv, der zweite Faktor $e^{x}$ ist in $D_{f} = ℝ$ immer positiv, wodurch $f^{'} (x)$ stets positiv ist.
  Damit ist die Funktion streng monoton steigend in $D_{f} = ℝ$ .
  Graph
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Diskutiere folgende Funktionen

$f (x) = \frac{1}{e^{x} - 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion

Definitionsbereich festlegen

Bestimme zu erst den Definitionsbereich, indem du den Nenner der Funktion gleich $0$ setzt.

$f (x) =$ $\frac{1}{e^{x} - 1}$

$e^{x} - 1$	$=$	$0$	$+ 1$
$e^{x}$	$=$	$1$
	↓	Logarithmus anwenden.
$\ln e^{x}$	$=$	$\ln (1)$
$x \cdot \ln e$	$=$	$0$
$x$	$=$	$0$

Somit ist der maximale Definitionsbereich $D_{f} = ℝ ∖ {0}$ .

Nullstellenbestimmung

Bestimme alle Nullstellen. Da im Zähler keine Elemente, die $x$ enthalten, vorkommen, hat die Funktion keine Nullstellen.

Ableitungen

Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion.

1. Ableitung

Forme zuerst $f$ ein wenig um.

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{e^{x} - 1}$
	↓	Eliminiere mithilfe der Potenzgesetze den Bruch.
	$=$	$(e^{x} - 1)^{- 1}$

Bestimme die Ableitung mithilfe der Kettenregel.

$f^{'} (x)$	$=$	$- 1 \cdot {(e^{x} - 1)}^{- 2} \cdot e^{x}$
	↓	Wandle in einen Bruch um mithilfe der Potenzgesetze.
	$=$	$- \frac{e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

2. Ableitung

$f^{'} (x) = - \frac{e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Berechne die Ableitungen von Zähler ( $u^{'}$ ) und Nenner ( $v^{'}$ ).

$u^{'} = e^{x}, v^{'} = 2 \cdot (e^{x} - 1) \cdot e^{x}$

Wende die Quotientenregel an.

$f^{''} (x)$	$=$	$\frac{e^{x} \cdot {(e^{x} - 1)}^{2} - e^{x} \cdot 2 \cdot (e^{x} - 1) \cdot e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{4}}$
	↓	Kürze mit $(e^{x} - 1)$ .
	$=$	$\frac{e^{x} \cdot (e^{x} - 1) - e^{x} \cdot 2 \cdot e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{3}}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\frac{e^{2 x} - e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(e^{x} - 1)}^{3}}$
	↓	Fasse gleiche Elemente zusammen.
	$=$	$\frac{- e^{2 x} - e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{3}}$
	↓	Klammere $- e^{x}$ aus.
	$=$	$- \frac{e^{x} (e^{x} + 1)}{{(e^{x} - 1)}^{3}}$

Extrema bestimmen

Zum Bestimmen der Extrema wird der Zähler der ersten Ableitung gleich Null gesetzt.

$f^{'} (x) = - \frac{e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

$e^{x} = 0$

Die $e$ -Funktion besitzt keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion keine Nullstelle besitzt.

Wendepunkte bestimmen

Zum Bestimmen der Wendepunkte wird der Zähler der zweiten Ableitung gleich Null gesetzt.

$f^{''} (x) = - \frac{e^{x} (e^{x} + 1)}{{(e^{x} - 1)}^{3}}$

$e^{x} (e^{x} + 1) = 0$

Die $e$ -Funktion ist nie negativ oder gleich Null, deswegen sind weder das Innere der Klammer noch $e^{x}$ vor der Klammer gleich Null.

Also besitzt $f$ keine Wendepunkte.

Grenzwertbetrachtung

$D_{f} = ℝ \ {0}$

Da die Funktion eine Definitionslücke hat, muss das Verhalten gegen 0 und $\pm \infty$ betrachtet werden.

Grenzwert gegen $0$ von links:

$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\underset{\to 0^{-}}{\underset{⏟}{\underset{\to 1^{-}}{\underset{⏟}{e^{x}}} - 1}}} = - \infty$

Grenzwert gegen $0$ von rechts:

$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\underset{\to 0^{+}}{\underset{⏟}{\underset{\to 1^{+}}{\underset{⏟}{e^{x}}} - 1}}} = + \infty$

Grenzwert gegen $- \infty$ :

$\lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\underset{\to 0}{\underset{⏟}{e^{x}}} - 1} = - 1$

Grenzwert gegen $+ \infty$ :

$\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{\underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{e^{x}}} - 1} = 0$

Symmetrieverhalten

Überprüfe das Symmetrieverhalten.

$f (x) = \frac{1}{e^{x} - 1}$

Setze $- x$ für $x$ ein.

$f (- x)$	$=$	$\frac{1}{e^{- x} - 1}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an.
	$=$	$\frac{1}{\frac{1}{e^{x}} - 1}$

Da $f (- x)$ weder $f (x)$ noch $- f (x)$ ist, ist die Funktion weder achsensymmetrisch zur $y$ -Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mithilfe einer Tabelle bestimmt:

	$x < 0$	$x = 0$	$0 < x$
Vorzeichen von $f^{'} (x)$	-	\	-
$G_{f}$	$↓$	\	$↓$

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$f (x) = e^{- x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Definitionsbereich festlegen
Bestimme den Definitionsbereich. Da die Funktion keine Brüche, Wurzeln oder andere Dinge enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, ist der Definitionsbereich der Funktion $D_{f} = ℝ$ .
Nullstellenbestimmung
Bestimme die Nullstellen der Funktion. Die $e$ -Funktion besitzt auf $D_{f} = ℝ$ keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion $f$ ebenfalls keine besitzt.
Ableitungen
Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion.
1. Ableitung
$f (x) = e^{- x}$
Die Ableitung von $e^{- x}$ ist $e^{- x} \cdot (- 1)$ .
$f^{'} (x) = - e^{- x}$
2. Ableitung
$f^{'} (x) = - e^{- x}$
Die Ableitung von $- e^{- x}$ ist $- e^{- x} \cdot (- 1)$ .
$f^{''} (x) = e^{- x}$
Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema.
Da $f^{'} (x) = - e^{- x}$ nie Null wird, hat die Funktion keine Extrema.
Wendepunkte bestimmen
Bestimme die Wendepunkte.
Da $f^{''} (x) = e^{- x}$ nie Null wird, hat die Funktion keine Wendepunkte.
Grenzwertbetrachtung
$D_{f} = ℝ$
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen $\pm \infty$ betrachtet werden.
Grenzwert gegen $+ \infty$ :
$\lim_{x \to \infty} \underset{\to 0}{\underset{⏟}{e^{- x}}} = 0$
Damit besitzt $f$ eine horizontale Asymptote bei 0 für die Annäherung an $- \infty$ .
Grenzwert gegen $- \infty$ :
$\lim_{x \to - \infty} \underset{\to \infty}{\underset{⏟}{e^{- x}}} = \infty$
Symmetrieverhalten
Untersuche das Symmetrieverhalten.
$f (x) = e^{- x}$
Ersetze $x$ durch $- x$ .
$f (- x) = e^{- (- x)} = e^{x}$
Da $f (- x)$ weder $- f (x)$ noch $f (x)$ ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.
Monotonieverhalten
Um die Monotonie zu ermitteln, betrachte das Vorzeichen von $f^{'} (x)$ .
Da $f^{'} (x)$ keine Nullstellen aufweist, ändert sich die Steigung von $f (x)$ auch nicht. Betrache die Steigung daher an einer beliebigen Stelle, z. B. $x = 0$ :
$f^{'} (0) = - e^{- 0} = - 1 < 0$
Damit ist die Funktion streng monoton fallend in $D_{f} = ℝ$ .
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Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und Extrema der folgenden Funktion:

$f (x) = \frac{e^{x} - 4}{e^{2 x} - 5}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: E-Funktion

Definitionsbereich festlegen

Zunächst legst du den Defintionsbereich fest:

$f (x) = \frac{e^{x} - 4}{e^{2 x} - 5}$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

$e^{2 x} - 5$	$=$	$0$	$+ 5$
$e^{2 x}$	$=$	$5$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$2 x$	$=$	$\ln (5)$	$: 2$
$x$	$=$	$\frac{\ln (5)}{2}$

Damit ist der maximale Definitionsbereich $D_{f} = ℝ ∖ {\frac{\ln (5)}{2}}$ .

Nullstellenbestimmung

Bestimme nun die Nullstellen von f:

$f (x) = \frac{e^{x} - 4}{e^{2 x} - 5}$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

$e^{x} - 4$	$=$	$0$	$+ 4$
$e^{x}$	$=$	$4$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$x$	$=$	$\ln (4)$

Die einzige Nullstelle ist $(\ln (4) | 0)$ .

Ableitungen

Bilde die erste und zweite Ableitung von f:

1. Ableitung

$f (x) = \frac{e^{x} - 4}{e^{2 x} - 5}$

$u^{'} = e^{x}, v^{'} = 2 e^{2 x}$

Wende die Quotientenregel an.

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{e^{x} \cdot (e^{2 x} - 5) - 2 e^{2 x} \cdot (e^{x} - 4)}{{(e^{2 x} - 5)}^{2}}$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$\frac{e^{3 x} - 5 e^{x} - 2 e^{3 x} + 8 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 5)}^{2}}$
	↓	Fasse gleiche Elemente zusammen.
	$=$	$\frac{- e^{3 x} + 8 e^{2 x} - 5 e^{x}}{{(e^{2 x} - 5)}^{2}}$

2. Ableitung

$f^{'} (x) = \frac{- e^{3 x} + 8 e^{2 x} - 5 e^{x}}{{(e^{2 x} - 5)}^{2}}$

Berechne die Ableitung von Zähler ( $u^{'}$ ) und Nenner ( $v^{'}$ ).

$u^{'} = - 3 e^{3 x} + 16 e^{2 x} - 5 e^{x}, v^{'} = (e^{2 x} - 5) \cdot 2 \cdot 2 e^{2 x}$

Wende die Quotientenregel an.

$f^{''} (x)$	$=$	$\frac{(- 3 e^{3 x} + 16 e^{2 x} - 5 e^{x}) \cdot (e^{2 x} - 5)^{2} - (e^{2 x} - 5) \cdot 2 \cdot 2 e^{2 x} \cdot (- e^{3 x} + 8 e^{2 x} - 5 e^{x})}{(e^{2 x} - 5)^{4}}$
	↓	Kürze mit $(e^{2 x} - 5)$ .
	$=$	$\frac{(- 3 e^{3 x} + 16 e^{2 x} - 5 e^{x}) \cdot (e^{2 x} - 5) - 2 \cdot 2 e^{2 x} \cdot (- e^{3 x} + 8 e^{2 x} - 5 e^{x})}{{(e^{2 x} - 5)}^{3}}$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$\frac{- 3 e^{5 x} + 16 e^{4 x} - 5 e^{3 x} + 15 e^{3 x} - 80 e^{2 x} + 25 e^{x} + 4 e^{5 x} - 32 e^{4 x} + 20 e^{3 x}}{{(e^{2 x} - 5)}^{3}}$
	↓	Fasse gleiche Elemente zusammen.
	$=$	$\frac{e^{5 x} - 16 e^{4 x} + 30 e^{3 x} - 80 e^{2 x} + 25 e^{x}}{{(e^{2 x} - 5)}^{3}}$

Extrema bestimmen

Nun werden die Extrema bestimmt:

$f^{'} (x) = \frac{- e^{3 x} + 8 e^{2 x} - 5 e^{x}}{{(e^{2 x} - 5)}^{2}}$

Es wird nur der Zähler der 1. Ableitung gleich 0 gesetzt, da ein Bruch 0 wird, wenn der Zähler 0 wird.

$- e^{3 x} + 8 e^{2 x} - 5 e^{x} = 0$

Substitution

Verwende die Substitution.

$u = e^{x}$

$- u^{3} + 8 u^{2} - 5 u = 0$

Klammere $u$ aus.

$u \cdot (- u^{2} + 8 u - 5) = 0$

Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.

$\Rightarrow u_{1} = 0$

Für weitere Extrema wird nur das Innere der Klammer betrachtet.

$- u^{2} + 8 u - 5 = 0$

Wende die Mitternachtsformel an.

$u_{2,3}$	$=$	$\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren .
	$=$	$\frac{- 8 \pm \sqrt{44}}{- 2}$
	↓	2 lässt sich aus der Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{11}}{- 2}$

$u_{2} = \frac{- 8 + 2 \sqrt{11}}{- 2} = 4 - \sqrt{11}$

$u_{3} = \frac{- 8 - 2 \sqrt{11}}{- 2} = 4 + \sqrt{11}$

Resubstitution

Verwende nun die Resubstitution:

$u_{1} = e^{x_{1}}$

$0 = e^{x_{1}}$

Die Exponentialfunktion ist immer größer als 0. Die Gleichung ist daher nicht lösbar und $x_{1}$ keine Nullstelle.

$u_{2} = e^{x_{2}}$

$4 - \sqrt{11} = e^{x_{2}}$

Wende den Logarithmus an.

$\ln (4 - \sqrt{11}) = x_{2}$

$u_{3} = e^{x_{3}}$

$4 + \sqrt{11} = e^{x_{3}}$

Wende den Logarithmus an.

$\ln (4 + \sqrt{11}) = x_{3}$

$y$ -Werte bestimmen

$f (x) = \frac{e^{x} - 4}{e^{2 x} - 5}$

$x_{2}$ einsetzen.

$f (\ln (4 - \sqrt{11}))$	$=$	$\frac{e^{\ln (4 - \sqrt{11})} - 4}{e^{2 \cdot \ln (4 - \sqrt{11})} - 5} = \frac{4 - \sqrt{11} - 4}{{(4 - \sqrt{11})}^{2} - 5}$
	$=$	$\frac{- \sqrt{11}}{16 - 8 \sqrt{11} + 11 - 5} = \frac{- \sqrt{11}}{22 - 8 \sqrt{11}}$
	$=$	$\frac{1}{8 - 2 \sqrt{11}}$

Erster Extrempunkt

$(\ln (4 - \sqrt{11}) | \frac{1}{8 - 2 \sqrt{11}})$

$f (x) = \frac{e^{x} - 4}{e^{2 x} - 5}$

$x_{3}$ einsetzen.

$f (\ln (4 + \sqrt{11}))$	$=$	$\frac{e^{\ln (4 + \sqrt{11})} - 4}{e^{2 \cdot \ln (4 + \sqrt{11})} - 5}$
	$=$	$\frac{4 + \sqrt{11} - 4}{{(4 + \sqrt{11})}^{2} - 5} = \frac{\sqrt{11}}{22 + 8 \sqrt{11}}$
	$=$	$\frac{1}{8 + 2 \sqrt{11}}$

Zweiter Extrempunkt

$(\ln (4 + \sqrt{11}) | \frac{1}{8 + 2 \sqrt{11}})$

Art der Extrema bestimmen

$f^{''} (x) = \frac{e^{5 x} - 16 e^{4 x} + 30 e^{3 x} - 80 e^{2 x} + 25 e^{x}}{{(e^{2 x} - 5)}^{3}}$

Setze $x_{2}$ ein.

$\Rightarrow (\ln (4 - \sqrt{11}) | \frac{1}{8 - 2 \sqrt{11}})$

Die 2. Ableitung ist größer 0, da Zähler und Nenner beide kleiner 0 sind. Also liegt an der Stelle $x_{2}$ ein Tiefpunkt vor.

$f^{''} (\ln (4 + \sqrt{11})) = \frac{e^{5 \cdot \ln (4 + \sqrt{11})} - 16 e^{4 \cdot \ln (4 + \sqrt{11})} + 30 e^{3 \cdot \ln (4 + \sqrt{11})} - 80 e^{2 \cdot \ln (4 + \sqrt{11})} + 25 e^{\ln (4 + \sqrt{11})}}{(e^{2 \cdot \ln (4 - \sqrt{11})} + 5)^{3}}$

$\Rightarrow (\ln (4 + \sqrt{11}) | \frac{1}{8 + 2 \sqrt{11}})$

Die 2. Ableitung ist kleiner 0, da der Zähler kleiner und der Nenner größer 0 ist. Also liegt an der Stelle $x_{3}$ ein Hochpunkt vor.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Aufgaben zur Diskussion von e-Funktionen

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Berechnung des Schnittwinkels zweier reeller Funktionen in einem Punkt:

(*) Alternativer Lösungsweg

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1. Ableitung

2. Ableitung

Grenzwertbetrachtung

gegen +∞

gegen −∞

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Definitionsbereich festlegen

Nullstellenbestimmung

Ableitungen

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema bestimmen

Wendepunkte bestimmen

Grenzwertbetrachtung

Symmetrieverhalten

Monotonieverhalten

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Definitionsbereich festlegen

Nullstellenbestimmung

Ableitungen

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema bestimmen

Wendepunkte bestimmen

Grenzwertbetrachtung

Monotonieverhalten

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Definitionsbereich festlegen

Nullstellenbestimmung

Ableitungen

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema bestimmen

Substitution

Resubstitution

y-Werte bestimmen

Art der Extrema bestimmen

gegen $+ \infty$

gegen $- \infty$

$y$ -Werte bestimmen