Aufgaben zur Nullstelle

1

Lies die Nullstelle(n) folgender Funktionen ab

$f(x)= 2x-8$

$g(x)=-x^2-7x-10$

$h(x)=\frac{1}{10}(x + 6) (x - 2) (x - 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion $f$ die x-Achse genau in den Punkten (-6|0), (2|0) und (4|0) schneidet.
⇒ Nullstellen bei $x=−6$ und $x=2$ und $x=4$ .
Graphische Veranschaulichunng
Lösung durch Berechnung:
$h(x)=\frac{1}{10}(x+6)(x-2)(x-4)$
Zur Berechnung der Nullstellen setze $h(x)=0$ .
$\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0$
Ein Produkt aus mehreren Faktoren ist immer dann $0$ , wenn mindestens ein Faktor $0$ ist.
Für $x=-6$ , $x=2$ und $x=4$ gilt:
$\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0$
Die Nullstellen der Funktion liegen bei $x=-6$ , $x=2$ und $x=4$ .
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$f(x)=3x^2+6x+3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in einem Punkt (-1|0) berührt.
⇒ Nullstelle bei x=−1.
Graphische Veranschaulichung
Lösung durch Berechnung
$f(x)=3x^2+6x+3$
Zur Berechnung der Nullstellen setze $f(x)=0$ .
$3x^2+6x+3=0$
Kürze durch 3.
$x^2+2x+1=0$
Ermittle die Lösung durch die Mitternachtsformel:
$x_{1{,}2}=\frac{-2 \pm\sqrt{(2)^2-4\cdot 1 \cdot1}}{2 \cdot 1}$
$x_{1{,}2}=\frac{-2 \pm\sqrt{0}}{2 \cdot 1}=\frac{-2 \pm 0}{2}=-1$
$\Rightarrow x_1 = -1$
Die Nullstelle liegt also bei $x_1= -1$ .
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2

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstelle(n) zu folgenden Funktionen

$f(x)= x^7$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
$f(x) = x^7$
Zerlege $f(x)$ in Linearfaktoren
$f(x) = (x \pm 0)^7$
Lies die Vielfachheit der Nullstelle am Exponenten ab.
Die Funktion $f(x)=x^7$ hat bei $x=0$ eine Nullstelle der Vielfachheit 7.
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Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.
$f(x)=6x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
$f(x)=6x$
Zerlege $f(x)$ in Linearfaktoren
$f(x)=6\cdot(x\pm0)^{1}$
Lies die Vielfachheit der Nullstelle am Exponenten ab.
Die Funktion $f(x)=6x$ hat bei $x=0$ eine einfache Nullstelle.
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Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.
$f(x)=(x-5)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
$f(x) = (x-5)^2$
$f(x)$ ist bereits in der Linearfaktordarstellung. Deshalb kannst du die Vielfachheit der Nullstelle direkt am Exponenten ablesen.
Die Funktion $f(x) = (x-5)^{\color{red}{2}}$ hat bei $x=5$ eine doppelte Nullstelle.
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Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.
$f(x)=x^2-9$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
$f(x) = x^2-9$
Zerlege $f(x)$ in Linearfaktoren.
Verwende die 3. binomischen Formel.
$f(x) = (x-3)\cdot(x+3)$
$f(x) = (x-3)^{\color{red}{1}} \cdot(x+3)^{\color{red}{1}}$
Lies aus der Linearfaktordarstellung die Vielfachheiten der Nullstellen an den Exponenten ab.
Die Funktion $f(x) = x^2-9$ hat bei $x=-3$ und $x=3$ jeweils eine einfache Nullstelle.
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Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.
$f(x)= (x+8)\cdot (x-2)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
$f(x) = (x+8) \cdot (x-2)^2$
$f(x)$ ist schon in Linearfaktordarstellung. Du kannst also die Vielfachheiten der Nullstellen direkt an den Exponenten ablesen.
Die Funktion $f(x) = (x+8)^{\color{red}{1}} \cdot (x-2)^{\color{red}{2}}$ hat bei $x=-8$ eine einfache und bei $x=2$ eine doppelte Nullstelle.
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Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.

3

Bestimme die Intervalle auf der $x$ -Achse, in denen der Graph der folgenden Funktionen oberhalb der $x$ -Achse verläuft.

$f(x)=x\cdot(x^2-9)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben: $f(x) = x \cdot (x^2 - 9)$
Gesucht: Intervalle für die $f(x) > 0$
Faktorisiere zuerst $f$ . Dies geht hier mit der 3. binomischen Formel $(a^2-b^2) = (a+b)\cdot(a-b)$
$f(x)=x\cdot(x^2−9)=x\cdot(x+3)\cdot(x−3)$
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen
Die drei Nullstellen bei $x_1=0,\; x_2=-3,\; x_3 = 3$ sind einfache Nullstellen.
Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich $]3, +\infty[$
Für $x$ im Intervall $]3,+\infty[$ ist $f(x)$ positiv, denn:
$f(x)=\underbrace{x}_{>0} \cdot \underbrace{(x+3)}_{>0} \cdot \underbrace{(x-3)}_{>0}$
Einfache Nullstelle bei $x=3$ , also ist der Graph im Intervall $]0{,}3[$ im negativen Bereich.
Einfache Nullstelle bei $x=0$ , also ist der Graph im Intervall $]-3{,}0[$ im positiven Bereich.
Einfache Nullstelle bei $x=3$ , also ist der Graph im Intervall $]-\infty,-3[$ im negativen Bereich.
Lösung: Der Graph verläuft in den Intervallen $]-3{,}0[$ und $]3,+\infty[$ oberhalb der $x$ -Achse
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$g(x)=0{,}5\cdot(x^2-8x+16)\cdot(x+1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben: $f(x) = 0{,}5\cdot (x^2 - 8x + 16) \cdot (x+1)$
Gesucht: Intervalle mit $f(x) > 0$
Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 2. binomischen Formel $(a^2 - 2ab + b^2) = (a-b)^2$ .
$f(x) = 0{,}5 \cdot(x-4)^2 \cdot(x+1)$
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.
Die Nullstelle bei $x_1 = 4$ ist eine doppelte Nullstelle, die bei $x_2=-1$ ist eine einfache.
Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich $]4, +\infty[$ .
Für $x$ im Intervall $]4,+\infty[$ ist $f(x) > 0$ , denn:
$f(x)=\underbrace{0{,}5}_{>0} \cdot \underbrace{(x-4)^2}_{>0} \cdot \underbrace{(x+1)}_{>0}$
Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.
Weil bei $4$ eine doppelte Nullstelle ist, ändert sich da das Vorzeichen nicht.
Doppelte Nullstelle bei $x=4$ , also ist der Graph im Intervall $]-1{,}4[$ ebenfalls im positiven Bereich.
Weil bei $-1$ eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.
Einfache Nullstelle bei $x=-1$ , also ist der Graph im Intervall $]-\infty,-1[$ im negativen Bereich.
Lösung: Der Graph ist in den Intervallen $]-1{,}4[$ und $]4,+\infty[$ oberhalb der $x$ -Achse.
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$h(x)= 0.1 \cdot (x+2.5)\cdot (x^2-x+\frac14) \cdot (x-4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben: $f(x) = 0{,}1 \cdot (x+2{,}5) \cdot(x^2 - x + \frac{1}{4}) \cdot (x-4)$
Geuscht: Intervalle mit $f(x) > 0$
Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 2. binomischen Formel $(a^2 - 2ab + b^2) = (a-b)^2$
Dabei ist $a=x$ und $b = \frac{1}{2}$
$f(x) = 0{,}1 \cdot( x+2{,}5) \cdot (x-\frac{1}{2})^2 \cdot (x-4)$
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen
Die Nullstelle bei $x_1 = -2{,}5$ ist eine einfache, die bei $x_2 = \frac{1}{2}$ eine doppelte und die bei $x_3=4$ wieder eine einfache Nullstelle.
Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich $]4,+\infty[$
Für $x$ im Intervall $]4, + \infty[$ ist $f(x)$ positiv, denn:
$f(x)=\underbrace{0{,}1}_{>0} \cdot \underbrace{(x+2{,}5)}_{>0}\cdot \underbrace{(x−12)^2}_{>0} \cdot \underbrace{(x−4)}_{>0}$
Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.
Weil bei $4$ eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.
Einfache Nullstelle bei $x = 4$ , also ist der Graph im Intervall $]\frac{1}{2}, 4[$ im negativen Bereich.
Weil bei $\frac{1}{2}$ eine doppelte Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen nicht.
Doppelte Nullstelle bei $x = \frac{1}{2}$ , also ist der Graph im Intervall $]-2{,}5 \;, \frac{1}{2}[$ ebenfalls im negativen Bereich.
Weil bei $-2{,}5$ eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.
Einfache Nullstelle bei $x = -2{,}5$ , also ist der Graph im Intervall $]-\infty, -2{,}5[$ im positiven Bereich.
Lösung: Der Graph ist in den Intervallen $]-\infty, -2{,}5[$ und $]4,+\infty[$ im positiven Bereich.
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4

Skizziere mit Hilfe den gegebenen Informationen jeweils einen möglichen Verlaufdes Graphen der folgenden Funktionen.

Die Polynomfunktion $f$ vom Grad $3$ besitzt Nullstellen bei $x_1=-3$ , $x_2=2$ und $x_3=4$ und schneidet die $y$ -Achse im Punkt $(0|2)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben:
Polynomfunktion vom Grad $3$
Nullstellen bei $x_1 = -3, x_2 = 2, x_3 = 4$ und Punkt $(0{,}2)$
Gesucht: Skizze von Graph
Zeichne zuerst die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem. Die Nullstellen liegen auf der $x$ -Achse.
Da die Funktion vom Grad $3$ ist, kann es keine weiteren Nullstellen geben und die drei Nullstellen sind einfache Nullstellen.
Der Verlauf geht also von $(-3{,}0)$ zu $(0{,}2)$ und dann zu $(2{,}0)$ . Wichtig ist, dass er NICHT nochmal die $x$ -Achse schneidet. Wo der Hochpunkt zwischen $-3$ und $2$ genau ist, ist egal.
Zeichne als Nächstes den Graph zwischen $2$ und $4$ weiter. Dort verläuft er im negativen Bereich. Auch hier ist egal, wo der Tiefpunkt zwischen $2$ und $4$ genau ist.
Zeichne jetzt den ganzen Graphen. Auch $(-3{,}0)$ und $(4{,}0)$ sind einfache Nullstellen, also schneidet der Graph die x-Achse.
Lösung:
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Die Polynomfunktion $g$ vom Grad $4$ hat genau eine doppelte Nullstelle und ihr Graph ist symmetrisch zur $y$ -Achse.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben: Polynomfunktion vom Grad $4$ , genau eine doppelten Nullstelle, und der Graph symmetrisch zur $y$ -Achse
Gesucht: Skizze eines möglichen Graphen
Überlege zunächst, wo die doppelte Nullstelle hinkommt. Da der Graph symmetrisch zur $y$ -Achse ist, muss sie bei $(0{,}0)$ sein, denn wenn sie z.B. bei $(2{,}0)$ wäre, müsste durch die Symmetrie bei $(-2{,}0)$ auch eine sein. Ob der Graph die $x$ -Achse von unten oder von oben berührt, ist beides richtig.
Zeichne jetzt den weiteren Verlauf.
Beachte dabei: Die Funktion ist vom Grad $4$ , also hat sie höchstens zwei weitere Nullstellen. Außerdem auch nur maximal $3$ Extremstellen.
Eine mögliche Lösung:
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Die Polynomfunktion $h$ vom Grad $6$ besitzt zwei mehrfache Nullstellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben: Polynomfunktion vom Grad $6$ , zwei mehrfache Nullstellen
Gesucht: Skizze von möglichem Graphen
Bei dieser Aufgabe gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, hier wird eine $3$ -fache Nullstelle bei $x=-1$ und eine doppelte Nullstelle bei $x=2$ verwendet.
Du kannst aber beispielsweise auch zwei $3$ -fache Nullstellen einzeichnen, oder zwei doppelte, oder eine doppelte und eine $4$ -fache.
Skizziere als Erstes den Verlauf der Funktion an einer Nullstelle.
Überlege dann den Verlauf zur zweiten Nullstelle und wie er dort weiterläuft.
Ergänze jetzt den Graphen noch so, dass er zu einer Funktion vom Grad $6$ passt. Dabei ist wichtig, dass der Graph entweder auf beiden Seiten nach $+\infty$ oder auf beiden Seiten nach $- \infty$ läuft.
Achte darauf, dass die Vielfachheiten der Nullstellen insgesamt höchstens $6$ ergeben. Hier ist es eine $3$ -fache, eine doppelte und noch eine einfache Nullstelle.
Eine mögliche Lösung
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5

Ordne die Graphen jeweils dem richtigen Funktionsterm zu. Begründe deine Antwort.

$f(x)=0{,}1\cdot(x+2)^2\cdot(x-4)^3$

$g(x)=-0{,}1\cdot(x+2)^2\cdot(x-4)$

$h(x)=-0{,}01\cdot(x+2)^3\cdot(x-4)^2\cdot(x-2)$

$j(x)=0{,}05\cdot(x+2)\cdot(x-4)\cdot(x^2+1)$

$k(x)=-0{,}01\cdot(x+2)^4\cdot(x-4)^2\cdot(x-2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit von Nullstellen

Roter Graph

Lies als Erstes die Nullstellen der Funktion ab.

Die Nullstellen des roten Graphen sind bei $x_1 = -2$ und $x_2 = 4$ .

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.

Die Nullstelle bei $x_1=-2$ ist eine doppelte Nullstelle, weil sich das Vorzeichen nicht ändert. Die bei $x_2 = 4$ ist eine einfache, da sich das Vorzeichen ändert.

Gucke jetzt in den Funktionen nach allen verbleibenden Möglichkeiten. Da bei $-2$ eine doppelte und bei $4$ eine einfache Nullstelle ist, muss in der Funktion $(x+2)^2\cdot(x-4)$ vorkommen. Das ist nur bei der Funktion $g$ der Fall.

Lösung: Der rote Graph gehört zu der Funktion $g$ .

Grüner Graph

Lies als Erstes die Nullstellen der Funktion ab.

Die Nullstellen des grünen Graphen sind bei $x_1 = -2$ , $x_2 = 2$ und $x_3 = 4$ .

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.

Die Nullstelle bei $x_1=-2$ ist eine dreifache Nullstelle, weil sich das Vorzeichen ändert und der Graph an der Stelle flach ist. Die bei $x_2 =2$ ist eine einfache, da sich das Vorzeichen ändert. Bei $x_3 = 4$ ist es eine doppelte Nullstelle, weil sich das Vorzeichen nicht ändert.

Gucke jetzt in den Funktionen nach allen verbleibenden Möglichkeiten. Da bei $-2$ eine dreifache, bei $2$ eine einfache und bei $4$ eine doppelte Nullstelle ist, muss in der Funktion $(x+2)^3\cdot(x-2)\cdot(x-4)^2$ vorkommen. Das ist nur bei der Funktion $h$ der Fall.

Lösung: Der grüne Graph gehört zu der Funktion $h$ .

Lila Graph

Lies als Erstes die Nullstellen der Funktion ab.

Die Nullstellen des roten Graphen sind bei $x_1 = -2$ und $x_2 = 4$ .

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.

Die Nullstellen sind beides einfache Nullstellen, weil sich jedesmal das Vorzeichen ändert.

Gucke jetzt in den Funktionen nach allen verbleibenden Möglichkeiten. Da sowohl bei $2$ als auch bei $4$ eine einfache Nullstelle ist, muss in der Funktion $(x+2)\cdot(x-4)$ vorkommen. Das ist nur bei der Funktion $j$ der Fall.

Lösung: Der lila Graph gehört zu der Funktion $j$ .

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6

Bestimme die Nullstelle(n) folgender Funktionen.

$f(x)=4x+20$

$f(x)=14x−21$

$f(x)=x^2+6x−14$

$f(x)=x^2−5x+6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Lösung mit der Mitternachtsformel:

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-5x+6=0$
	↓	Bestimme die Koeffizienten a, b und c.
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 6$
	↓	Setze nun die 3 Koeffizienten in die Mitternachtsformel ein.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\left(-5\right)\pm\sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm1}{2}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2$

Die Funktion f hat also die Nullstellen $x_1=3$ und $x_2=2$ .

Lösung mit dem Satz von Vieta:

$\displaystyle x^2-5x+6$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Da die Gleichung die Form $x^2+px+q=0$ hat, können wir den Satz von Vieta anwenden.
$\displaystyle x_1+x_2$	$=$	$\displaystyle -p\ =\ -\left(-5\right)=5$
$\displaystyle x_1\cdot x_2$	$=$	$\displaystyle q=6$

Versuche durch Raten Lösungen für $x_1$ und $x_2$ zu finden. Mögliche Kandidaten sind die Teiler von 6. Also 1,2,3 und 6.

$x_1$	$x_2$	$x_1+x_2$	$x_1\cdot x_2$
$1$	$6$	$1+6=7$	$1\cdot6=6$
$2$	$3$	$2+3=5$	$2\cdot3=6$

Die Lösungen sind also $x_1=2$ und $x_2=3$ .

Es ergeben sich die gleichen Ergebnisse wie bei der Mitternachtsformel.

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7

Bestimme die Nullstellen:

$f(x)=x^4-3x^2+2$

$f(x)=x^4-\frac{17}4x^2+1$

$f(x)=(x^2-\frac32)^2$

$f(x)=\frac12x^6-2x^3-2$

8

Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion.

$f(x)=x^3+3x^2-4x$

$f(x)=x^4+2x^3+x^2$

$f(x)=(x^2-25)\cdot(\frac12x+4)$

$f(x)=x^2-6x+9$

$f(x)=x^6-x^4$

$f(x)=x^4-6x^2+5$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x-8$
	↓	Setze $f(x)=0$
$\displaystyle 2x-8$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +8$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 14x-21$
	↓	Setze f(x)=0
$\displaystyle 14x-21$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +21$
$\displaystyle 14x$	$=$	$\displaystyle 21$	$\displaystyle :14$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2-\ 3u\ +\ 2\ =\ 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{9-8}}2$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm1}2$

$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2-\frac{17}{4}u+1$
	↓	Mitternachtsformal anwenden
$\displaystyle u_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{17}{4}\pm\sqrt{(-\frac{17}{4})^2-4\cdot1\cdot1}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{17}{4}\pm\sqrt{14{,}0625}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen
	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{17}{4}\pm\frac{15}{4}}{2}$

$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Fall: +

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-7x-10$
	↓	Setze $g(x)=0$
$\displaystyle -x^2-7x-10$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4(-1)(-10)}}{2(-1)}$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{49-40}}{-2}$
	↓	Berechne die Wurzel
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm3}{-2}$
	↓	1 Fall: $+$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{-2}$
	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	2 Fall: $-$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{7-3}{-2}$
	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 4x+20$
	↓	Setze f(x)=0
$\displaystyle 4x+20$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -20$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle -20$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -5$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+6x-14=0$
	↓	mit der pq-Formel lösen.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\left(\frac{p}{2}\right)\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -3\pm\sqrt{9-\left(-14\right)}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -3+\sqrt{23\ }\vee x_2=-3-\sqrt{23}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^4-3x^2+2$
	↓	f(x) gleich 0 setzen, um die Nullstellen zu bestimmen
$\displaystyle x^4-3x^2+2$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{2}$

$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm1$

$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{1}{2}$

$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}$
	↓	Wuzel ziehen
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\sqrt{\frac{3}{2}}$
	↓	Zwei doppelte Nullstellen

$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^3$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}u^2-2u-2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot\frac{1}{2}\cdot(-2)}}{2\cdot\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{8}}{1}=2\pm\sqrt{8}$

$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 2+\sqrt{8}\approx4{,}83$
	↓	Fall: +

$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle 2-\sqrt{8}\approx-0{,}83$
	↓	Fall: -

$\displaystyle x_1^3$	$≈$	$\displaystyle 4{,}83$
	↓	dritte Wurzel ziehen
$\displaystyle x_1$	$≈$	$\displaystyle \sqrt[3]{4{,}83}\approx1{,}69$

$\displaystyle x_2^3$	$≈$	$\displaystyle -0{,}83$
	↓	dritte Wurzel ziehen
$\displaystyle x_2$	$≈$	$\displaystyle \sqrt[3]{-0{,}83}\approx-0{,}94$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^3+3x^2-4x$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^3+3x^2-4x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\left(x^2+3x-4\right)$

$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot 1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}$
	↓	Ziehe die Wurzel
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm5}{2}$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x^4+2x^3+x^2$
	↓	Klammere die kleinste Potenz von $x$ aus und setze $f(x)$ = 0
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot\left(x^2+2x+1\right)$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x^2-25\right)$
	↓	Benutze die 3. Binomische Formel
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle (x-5)\cdot(x+5)$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac12x+4$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle -4$	$=$	$\displaystyle \frac12 x$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle -8$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x^2-6x+9$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-6x+9$
	↓	Wende die 2. Binomische Formel an.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x-3\right)^2$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle (x-3)\cdot(x-3)$

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Resubstitution

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x^6-x^4$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^6-x^4$
	↓	Klammere die kleinste Potenz von $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^4\cdot\left(x^2-1\right)$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x^2-1\right)$
	↓	Verwende die 3. Binomische Formel.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle (x-1)\cdot(x+1)$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle u^2-6u+5$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle u^2-6u+5$

$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{36-20}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{16}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm4}{2}$