Aufgaben zur Nullstelle
- 1
Lies die Nullstelle(n) folgender Funktionen ab
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier wird die Nullstelle erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion die x-Achse genau im Punkt (4|0) schneidet.
Nullstelle bei .
Graphische Veranschaulichung:
Lösung durch Berechnung:
↓ Setze
Die Nullstelle der Funktion liegt bei .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in den Punkten (-5|0) und (-2|0) schneidet.
⇒ Nullstellen bei und
Graphische Veranschaulichung:
Lösung durch Berechnung:
↓ Setze
↓ Wende die Mitternachtsformel an.
↓ Multipliziere die Klammern aus.
↓ Berechne die Wurzel
↓ 1 Fall:
↓ 2 Fall:
Die beiden Nullstellen der Funktion liegen bei und .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion die x-Achse genau in den Punkten (-6|0), (2|0) und (4|0) schneidet.
⇒ Nullstellen bei und und .
Graphische Veranschaulichunng
Lösung durch Berechnung:
Zur Berechnung der Nullstellen setze .
Ein Produkt aus mehreren Faktoren ist immer dann , wenn mindestens ein Faktor ist.
Für , und gilt:
Die Nullstellen der Funktion liegen bei , und .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in einem Punkt (-1|0) berührt.
⇒ Nullstelle bei x=−1.
Graphische Veranschaulichung
Lösung durch Berechnung
Zur Berechnung der Nullstellen setze .
Kürze durch 3.
Ermittle die Lösung durch die Mitternachtsformel:
Die Nullstelle liegt also bei .
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- 2
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstelle(n) zu folgenden Funktionen
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
Zerlege in Linearfaktoren
Lies die Vielfachheit der Nullstelle am Exponenten ab.
Die Funktion hat bei eine Nullstelle der Vielfachheit 7.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
Zerlege in Linearfaktoren
Lies die Vielfachheit der Nullstelle am Exponenten ab.
Die Funktion hat bei eine einfache Nullstelle.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
ist bereits in der Linearfaktordarstellung. Deshalb kannst du die Vielfachheit der Nullstelle direkt am Exponenten ablesen.
Die Funktion hat bei eine doppelte Nullstelle.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
Zerlege in Linearfaktoren.
Verwende die 3. binomischen Formel.
Lies aus der Linearfaktordarstellung die Vielfachheiten der Nullstellen an den Exponenten ab.
Die Funktion hat bei und jeweils eine einfache Nullstelle.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
ist schon in Linearfaktordarstellung. Du kannst also die Vielfachheiten der Nullstellen direkt an den Exponenten ablesen.
Die Funktion hat bei eine einfache und bei eine doppelte Nullstelle.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.
- 3
Bestimme die Intervalle auf der -Achse, in denen der Graph der folgenden Funktionen oberhalb der -Achse verläuft.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben:
Gesucht: Intervalle für die
Faktorisiere zuerst . Dies geht hier mit der 3. binomischen Formel
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen
Die drei Nullstellen bei sind einfache Nullstellen.
Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich
Für im Intervall ist positiv, denn:
Einfache Nullstelle bei , also ist der Graph im Intervall im negativen Bereich.
Einfache Nullstelle bei , also ist der Graph im Intervall im positiven Bereich.
Einfache Nullstelle bei , also ist der Graph im Intervall im negativen Bereich.
Lösung: Der Graph verläuft in den Intervallen und oberhalb der -Achse
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben:
Gesucht: Intervalle mit
Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 2. binomischen Formel .
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.
Die Nullstelle bei ist eine doppelte Nullstelle, die bei ist eine einfache.
Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich .
Für im Intervall ist , denn:
Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.
Weil bei eine doppelte Nullstelle ist, ändert sich da das Vorzeichen nicht.
Doppelte Nullstelle bei , also ist der Graph im Intervall ebenfalls im positiven Bereich.
Weil bei eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.
Einfache Nullstelle bei , also ist der Graph im Intervall im negativen Bereich.
Lösung: Der Graph ist in den Intervallen und oberhalb der -Achse.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben:
Geuscht: Intervalle mit
Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 2. binomischen Formel
Dabei ist und
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen
Die Nullstelle bei ist eine einfache, die bei eine doppelte und die bei wieder eine einfache Nullstelle.
Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich
Für im Intervall ist positiv, denn:
Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.
Weil bei eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.
Einfache Nullstelle bei , also ist der Graph im Intervall im negativen Bereich.
Weil bei eine doppelte Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen nicht.
Doppelte Nullstelle bei , also ist der Graph im Intervall ebenfalls im negativen Bereich.
Weil bei eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.
Einfache Nullstelle bei , also ist der Graph im Intervall im positiven Bereich.
Lösung: Der Graph ist in den Intervallen und im positiven Bereich.
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- 4
Skizziere mit Hilfe den gegebenen Informationen jeweils einen möglichen Verlaufdes Graphen der folgenden Funktionen.
Die Polynomfunktion vom Grad besitzt Nullstellen bei , und und schneidet die -Achse im Punkt .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben:
Polynomfunktion vom Grad
Nullstellen bei und Punkt
Gesucht: Skizze von Graph
Zeichne zuerst die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem. Die Nullstellen liegen auf der -Achse.
Da die Funktion vom Grad ist, kann es keine weiteren Nullstellen geben und die drei Nullstellen sind einfache Nullstellen.
Der Verlauf geht also von zu und dann zu . Wichtig ist, dass er NICHT nochmal die -Achse schneidet. Wo der Hochpunkt zwischen und genau ist, ist egal.
Zeichne als Nächstes den Graph zwischen und weiter. Dort verläuft er im negativen Bereich. Auch hier ist egal, wo der Tiefpunkt zwischen und genau ist.
Zeichne jetzt den ganzen Graphen. Auch und sind einfache Nullstellen, also schneidet der Graph die x-Achse.
Lösung:
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Die Polynomfunktion vom Grad hat genau eine doppelte Nullstelle und ihr Graph ist symmetrisch zur -Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben: Polynomfunktion vom Grad , genau eine doppelten Nullstelle, und der Graph symmetrisch zur -Achse
Gesucht: Skizze eines möglichen Graphen
Überlege zunächst, wo die doppelte Nullstelle hinkommt. Da der Graph symmetrisch zur -Achse ist, muss sie bei sein, denn wenn sie z.B. bei wäre, müsste durch die Symmetrie bei auch eine sein. Ob der Graph die -Achse von unten oder von oben berührt, ist beides richtig.
Zeichne jetzt den weiteren Verlauf.
Beachte dabei: Die Funktion ist vom Grad , also hat sie höchstens zwei weitere Nullstellen. Außerdem auch nur maximal Extremstellen.
Eine mögliche Lösung:
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Die Polynomfunktion vom Grad besitzt zwei mehrfache Nullstellen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben: Polynomfunktion vom Grad , zwei mehrfache Nullstellen
Gesucht: Skizze von möglichem Graphen
Bei dieser Aufgabe gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, hier wird eine -fache Nullstelle bei und eine doppelte Nullstelle bei verwendet.
Du kannst aber beispielsweise auch zwei -fache Nullstellen einzeichnen, oder zwei doppelte, oder eine doppelte und eine -fache.
Skizziere als Erstes den Verlauf der Funktion an einer Nullstelle.
Überlege dann den Verlauf zur zweiten Nullstelle und wie er dort weiterläuft.
Ergänze jetzt den Graphen noch so, dass er zu einer Funktion vom Grad passt. Dabei ist wichtig, dass der Graph entweder auf beiden Seiten nach oder auf beiden Seiten nach läuft.
Achte darauf, dass die Vielfachheiten der Nullstellen insgesamt höchstens ergeben. Hier ist es eine -fache, eine doppelte und noch eine einfache Nullstelle.
Eine mögliche Lösung
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- 5
Ordne die Graphen jeweils dem richtigen Funktionsterm zu. Begründe deine Antwort.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit von Nullstellen
Roter Graph
Lies als Erstes die Nullstellen der Funktion ab.
Die Nullstellen des roten Graphen sind bei und .
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.
Die Nullstelle bei ist eine doppelte Nullstelle, weil sich das Vorzeichen nicht ändert. Die bei ist eine einfache, da sich das Vorzeichen ändert.
Gucke jetzt in den Funktionen nach allen verbleibenden Möglichkeiten. Da bei eine doppelte und bei eine einfache Nullstelle ist, muss in der Funktion vorkommen. Das ist nur bei der Funktion der Fall.
Lösung: Der rote Graph gehört zu der Funktion .
Grüner Graph
Lies als Erstes die Nullstellen der Funktion ab.
Die Nullstellen des grünen Graphen sind bei , und .
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.
Die Nullstelle bei ist eine dreifache Nullstelle, weil sich das Vorzeichen ändert und der Graph an der Stelle flach ist. Die bei ist eine einfache, da sich das Vorzeichen ändert. Bei ist es eine doppelte Nullstelle, weil sich das Vorzeichen nicht ändert.
Gucke jetzt in den Funktionen nach allen verbleibenden Möglichkeiten. Da bei eine dreifache, bei eine einfache und bei eine doppelte Nullstelle ist, muss in der Funktion vorkommen. Das ist nur bei der Funktion der Fall.
Lösung: Der grüne Graph gehört zu der Funktion .
Lila Graph
Lies als Erstes die Nullstellen der Funktion ab.
Die Nullstellen des roten Graphen sind bei und .
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.
Die Nullstellen sind beides einfache Nullstellen, weil sich jedesmal das Vorzeichen ändert.
Gucke jetzt in den Funktionen nach allen verbleibenden Möglichkeiten. Da sowohl bei als auch bei eine einfache Nullstelle ist, muss in der Funktion vorkommen. Das ist nur bei der Funktion der Fall.
Lösung: Der lila Graph gehört zu der Funktion .
- 6
Bestimme die Nullstelle(n) folgender Funktionen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
↓ Setze f(x)=0
Die Funktion hat eine Nullstelle bei .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
↓ Setze f(x)=0
Die Funktion hat eine Nullstelle bei .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
↓ mit der pq-Formel lösen.
Im obigen Fall ist p=6 und q=-14.
Einsetzen in die Formel:
Die Nullstellen liegen also bei und
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Lösung mit der Mitternachtsformel:
↓ Bestimme die Koeffizienten a, b und c.
↓ Setze nun die 3 Koeffizienten in die Mitternachtsformel ein.
Die Funktion f hat also die Nullstellen und .
Lösung mit dem Satz von Vieta:
↓ Da die Gleichung die Form hat, können wir den Satz von Vieta anwenden.
Versuche durch Raten Lösungen für und zu finden. Mögliche Kandidaten sind die Teiler von 6. Also 1,2,3 und 6.
Die Lösungen sind also und .
Es ergeben sich die gleichen Ergebnisse wie bei der Mitternachtsformel.
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- 7
Bestimme die Nullstellen:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ f(x) gleich 0 setzen, um die Nullstellen zu bestimmen
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. ) ersetzt.
↓ Mitternachtsformel anwenden
↓ Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
↓ Fall: +
Fall: -
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
↓ Wurzel ziehen
↓ Wurzel ziehen
Die Nullstellen der Funktion lauten
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. ) ersetzt.
↓ Mitternachtsformal anwenden
↓ Unter der Wurzel ausmultiplizieren
↓ Wurzel ziehen
↓ Fall: +
↓ Fall: -
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
↓ Wurzel ziehen
↓ Wurzel ziehen
Die Nullstellen der Funktion liegen bei .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. ) ersetzt.
↓ Die Nullstellen können abgelesen werden
↓ Doppelte Nullstelle
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
↓ Wuzel ziehen
↓ Zwei doppelte Nullstellen
Die Funktion hat zwei doppelte Nullstellen und zwar bei und .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. ) ersetzt.
↓ Mitternachtsformel anwenden
↓ Fall: +
↓ Fall: -
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
↓ dritte Wurzel ziehen
↓ dritte Wurzel ziehen
Die Funktion hat 2 Nullstellen bei und bei .
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- 8
Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:
Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:
Wende nun die Mitternachtsformel an, um das Ergebnis zu erhalten:
↓ Fasse unter der Wurzel zusammen.
↓ Ziehe die Wurzel
Du erhältst also die beiden Nullstellen:
und:
Die Funktion hat also insgesamt 3 Nullstellen und zwar bei und .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ Klammere die kleinste Potenz von aus und setze = 0
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:
Das ist eine doppelte Nullstelle, da in der Faktordarstellung vorkommt.
Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:
Wenn du die 1. binomische Formel anwendest, erhältst du:
ist also auch eine doppelte Nullstelle.
Die Funktion hat also 2 doppelte Nullstellen und zwar bei und .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Setze die Funktion gleich 0:
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, setze nun die erste Klammer gleich 0:
↓ Benutze die 3. Binomische Formel
Setze als nächstes die zweite Klammer .
Die Funktion hat also 3 Nullstellen und zwar bei und .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ Setze die Funktion gleich 0.
↓ Wende die 2. Binomische Formel an.
Die Funktion hat also eine doppelte Nullstelle bei .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:
Das ist eine vierfache Nullstelle, da in der Faktordarstellung vorkommt.
Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:
↓ Verwende die 3. Binomische Formel.
Die Funktion hat also eine vierfache Nullstelle bei und jeweils eine einfache Nullstelle bei und .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Diese Funktion ist ein Polynom 4. Grades, bei dem du nicht mehr ausklammern kannst, das macht es schwer die Nullstellen zu bestimmen. Hier verwendest du am besten eine Substitution:
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. ) ersetzt.
↓ Setze die Funktion gleich 0.
Hier kannst du jetzt die Mitternachtsformel anwenden:
↓ Fasse unter der Wurzel zusammen.
Du erhältst also die beiden Nullstellen:
und:
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
Und noch für :
Die Funktion hat also 4 Nullstellen und zwar bei und .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Ersetze den "schlimmen Teil"
Den Term bezeichnen wir als "schlimmen Teil". Ersetzen wir ihn also auch in der Vorschrift von :
schlimmer Teil
Was haben die Terme und gemeinsam?
Setze dies in die Vorschrift von ein
schlimmer Teil
Klammere aus
schlimmer Teil
Setze den "schlimmen Teil" ein
Löse innere Klammer auf
und heben sich gegenseitig auf
ist das Produkt von zwei Polynomfunktionen. Berechne die Nullstellen der Faktoren.
Nullstellen des linken Faktors
Setze gleich Null
Bringe die auf die andere Seite
Teile durch
Erhalte die Nullstelle
Nullstellen des rechten Faktors
Setze gleich null. Da hier kein konstantes Glied auftaucht, können wir die kleinste Potenz von ausklammern. Wir haben dann:
Dort lesen wir die Nullstelle ab. Es fehlen uns nur noch die Nullstellen von . Diese berechnen wir, indem wir gleich null setzen und diese Gleichung nach auflösen.
Bringe die auf die andere Seite
Teile durch 4
Erhalte die Nullstelle
Und die Nullstellen von lauten…
Das war etwas mühsam. Doch jetzt haben wir alle Nullstellen von . Sie lauten und .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Tipp: Welcher Teil bereitet dir Probleme? Kannst du ihn "ignorieren"?
Wenn du völlig auf dem Schlauch stehst, gehe nochmal zurück auf die Seite 2. Ausklammern von Faktoren(2|2).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. in ein.
Setze als nächstes z.B. in ein.
Die Funktion hat an der Stelle eine Nullstelle. Da , wissen wir, dass den dazugehörigen Linearfaktor besitzt.
Führe nun die Polynomdivision durch.
Die Funktion wird dann , sobald mindestens einer der Faktoren gleich ist. Da die Nullstelle bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich setzt.
Wende hier die Mitternachtsformel an.
↓ Fasse unter der Wurzel zusammen
Du erhältst die beiden Nullstellen:
und:
Die Funktion hat also drei Nullstellen bei , und .
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- 9
Bestimme mithilfe der Substitutionsmethode die Nullstellen von f.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Substitutionsverfahren
Setze die Gleichung gleich .
Nun zur Substitution:
Substituiere: .
Löse die so gewonnene Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel.
Jetzt wird noch vereinfacht.
Zum Schluss muss natürlich die Resubstitution angewandt:
Um auf die Nullstellen von zu kommen, musst du nun noch resubstituieren:
Aus folgt:
und
Aus bekommt man keine Lösungen für , da man aus um auf zu kommen die Wurzel aus ziehen müsste. Aber man kann keine Quadratwurzeln aus negativen Zahlen ziehen!
Die Funktion hat also die beiden Nullstellen und .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Substitutionsverfahren
Setzte die Gleichung gleich .
Nun zur Substitution:
Substituiere: .
Wende nun die Mitternachtsformel an um die Nullstellen der substituierten Gleichung zu berechnen.
Jetzt wird noch vereinfacht.
Berechne und .
und
Resubstitution
Um auf die Nullstellen von zu kommen, musst du nun noch resubstituieren:
Die Funktion hat also die beiden Nullstellen und .
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- 10
Berechne die Nullstellen folgender Funktionen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ Setze die Funktion gleich 0.
↓ ausklammern.
↓ Klammer 0 setzen.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. ) ersetzt.
↓ wird durch uuu ersetzt.
↓ Mitternachtsformel anwenden.
↓ Unter der Wurzel zusammenfassen.
↓ Unter der Wurzel subtrahieren.
↓ Wurzel ziehen.
Fall 1:
Fall 2:
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
Die Funktion hat fünf Nullstellen bei , , , , .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ Setze die Funktion gleich 0.
↓ ausklammern.
↓ Klammer 0 setzen.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. ) ersetzt.
↓ wird durch ersetzt.
↓ Mitternachtsformel anwenden.
↓ Unter der Wurzel zusammenfassen.
↓ Unter der Wurzel addieren.
↓ Wurzel ziehen.
Fall 1:
Fall 2:
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
↓ Dritte Wurzel ziehen.
↓ Dritte Wurzel ziehen.
Die Funktion hat drei Nullstellen bei , , .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ Setze die Funktion gleich 0.
↓ ausklammern.
↓ Klammer 0 setzen.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. ) ersetzt.
↓ wird durch ersetzt.
↓ Mitternachtsformel anwenden.
↓ Unter der Wurzel zusammenfassen.
↓ Unter der Wurzel subtrahieren.
↓ Wurzel ziehen.
Fall 1:
Fall 2:
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
Die Funktion hat fünf Nullstellen bei , , , , .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ Setze die Funktion gleich 0.
↓ ausklammern.
↓ Klammer 0 setzen.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. ) ersetzt.
↓ wird durch ersetzt.
↓ Mitternachtsformel anwenden.
↓ Unter der Wurzel zusammenfassen.
↓ Unter der Wurzel addieren.
↓ Wurzel ziehen.
Fall 1:
Fall 2:
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
↓ Dritte Wurzel ziehen.
↓ Dritte Wurzel ziehen.
Die Funktion hat drei Nullstellen bei , , .
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- 11
Finde und begründe den Fehler bei den folgenden Nullstellenbestimmungen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Man wollte mithilfe der Substitution und des Satzes von Vieta die Nullstellen von bestimmen.
Dabei wurde sowohl die Substitution als auch der Satz von Vieta richtig angewandt.
Die angegebenen Nullstellen und sind allerdings nicht die Nullstellen von , sondern die Nullstellen der substituierten Funktion .
Grund: Es wurde nicht resubstituiert. Da nämlich gilt, muss für die Lösung der Nullstellen noch die Wurzel aus und gezogen werden.
Somit hat eigentlich die vier Nullstellen:
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Man wollte mithilfe der Substitution und der Mitternachtsformel die Nullstellen von bestimmen.
Dabei wurde sowohl die Substitution als auch die Mitternachtsformel richtig angewandt.
Jedoch sind die angegebenen Nullstellen zu wenige.
Grund: Bei der Resubstitution werden sowie radiziert. Dabei kann die Lösung sowohl negativ als auch positiv sein.
Somit hat eigentlich die vier Nullstellen:
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- 12
Begründe mithilfe des Substitutionsverfahrens, warum die Funktion nur zwei Nullstellen besitzt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. ) ersetzt.
↓ In wird durch ersetzt, wodurch man die Funktion erhält.
↓ Mitternachtsformel anwenden.
↓ Unter der Wurzel zusammenfassen.
↓ Unter der Wurzel addieren.
↓ Wurzel ziehen.
↓ Fall 1:
↓ Fall 2:
Da noch resubstituiert werden muss, gilt für die Nullstellen von :
und
Jedoch gibt es für keine reelle Lösung, da negativ ist.
Somit hat nur die zwei Nullstellen und .
- 13
Berechne die Nullstellen und entscheide welche Besonderheit vorliegt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ Setze die Funktion gleich 0.
↓ Der niedrigste Exponent ist 2, also kann ausgeklammert werden.
↓ Die erste (doppelte) Nullstelle liegt bei 0.
↓ Um weitere Nullstellen zu bestimmen, betrachte den Term in der Klammer.
Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei und eine einfache Nullstelle bei .
Besonderheit
Eine doppelte Nullstelle bei 0.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ Die Funktion gleich 0 setzen
↓ Die Funktion hat eine Nullstelle bei .
Besonderheit
Spezialfall: alle Zwischenglieder fehlen
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ ↓ Mitternachtsformel anwenden.
↓ Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
↓ ↓ Fall:
Fall:
Die Funktion hat Nullstellen, und zwar bei .
Besonderheit
Die Funktion lässt sich durch Substitution auf eine quadratische Funktion zurückführen.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ ↓ Mitternachtsformel anwenden
↓ Unter der Wurzel ausmultiplizieren
↓ ↓ Fall: +; keine Resubstitution möglich, da negativ
↓ Fall: -; Resubstitution
↓ Die Funktion hat die beiden Nullstellen und .
Besonderheit
Die Funktion lässt sich durch Substitution auf eine quadratische Funktion zurückführen.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ Die Funktion gleich 0 setzen
↓ Die Funktion hat die beiden Nullstellen und .
Besonderheit
Spezialfall: alle Zwischenglieder fehlen.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Die Funktion hat 2 doppelte Nullstellen und zwar jeweils bei und .
Anwenden der 1. binomischen Formel für
Wenn du es erkennst, kannst du statt der Mitternachtsformel auch die 1. binomische Formel verwenden:
In dieser faktorisierten Darstellung des Terms kannst du direkt ablesen, dass bei eine doppelte Nullstelle liegt.
Besonderheit
Spezialfall: Eine Potenz von lässt sich ausklammern.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Zunächst kannst du den Faktor ausklammern.
Danach kannst bei dieser Aufgabe die restlichen Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel bestimmen oder du erkennst, dass du die 1. binomische Formel anwenden kannst und sparst dir so eine Menge Arbeit!
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ x ausklammern
↓ Klammer gleich 0 setzen
↓ ↓ Quadratwurzel ziehen
Die Funktion hat die beiden Nullstellen und .
Besonderheit
Spezialfall: Eine Potenz von lässt sich ausklammern.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ Funktion gleich 0 setzen
↓ ↓ Dritte Wurzel ziehen
Die Funktion hat eine Nullstelle bei .
Besonderheit
Spezialfall: Alle Zwischenglieder fehlen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ ausklammern
↓ Dreifache Nullstelle; Klammer gleich 0 setzen
↓ Mitternachtsformel anwenden
Die Funktion hat eine dreifache Nullstelle bei und jeweils eine einfache Nullstelle bei und
Besonderheit
Spezialfall: Eine Potenz von lässt sich ausklammern.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ ↓ Mitternachtsformel anwenden
↓ Wurzel ziehen
↓ ↓ ↓ Die Funktion hat 4 Nullstellen und zwar bei und .
Besonderheit
Spezialfall: Funktion lässt sich auf eine quadratische Funktion zurückführen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 14
Bestimme die Nullstelle(n) der folgenden Funktion und gib die Linearfaktordarstellung von an:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Nullstellen bestimmen und Linearfaktordarstellung angeben.
Zur Berechnung der Nullstellen setzt du als Erstes .
Aus dieser Gleichung klammerst du am Besten aus.
Damit ist nämlich ein Produkt entstanden, das gleich ist. Daher kannst du nun jeden der Faktoren einzeln gleich setzen.
oder
. Das ergibt die Nullstelle:
Die Nullstellen des Terms in der Klammer musst du noch bestimmen.
Das ist eine quadratische Gleichung, und darauf kannst du die Lösungsformel anwenden.
Das kannst du entweder jetzt direkt gleich tun;
oder du multiplizierst vorher, wenn du geschickt vorgehen möchtest, die Gleichung erst mit .
Dann fallen nämlich alle Brüche weg!
|
Berechne hiervon die Diskriminante.
Die Diskriminante ist größer als , also kannst du weiterrechnen und die beiden Lösungen bestimmen.
Die Lösungen heißen hier statt , da die Bezeichnung ja schon für die Nullstelle vergeben wurde.
Rechne beide Werte aus.
Jetzt hast du alle Nullstellen von erhalten und kannst auch ihre Vielfachheiten angeben.
Nullstellen von :
doppelte Nullstelle, d.h. Vielfachheit 2
einfache Nullstelle, d.h. Vielfachheit 1
einfache Nullstelle, d.h. Vielfachheit 1
Linearfaktordarstellung angeben
Um die Linearfaktordarstellung angeben zu können, brauchst du
alle Nullstellen der Funktion, und
deren Vielfachheiten;
und den Faktor, der in der Funktion vor der höchsten -Potenz steht.
Als Linearfaktordarstellung von ergibt sich:
oder kürzer
- 15
Bestimme die Nullstellen der Funktionen, indem du faktorisierst.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Ausklammern
Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über das Ausklammern.
↓ Klammere aus (kleinster vorkommender Exponent von ).
↓ Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm null setzt.
↓ Merke: Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist!
Setze jeden Faktor gleich null!
↓ Ziehe die 3. Wurzel.
↓ Die Funktion hat die beiden Nullstellen und .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Ausklammern
Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über das Ausklammern.
↓ Klammere aus (kleinster vorkommender Exponent von ).
↓ Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm null setzt.
↓ Merke: Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist!
Setze jeden Faktor gleich null!
Die Funktion hat 3 Nullstellen und zwar und .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Ausklammern & Mitternachtsformel
Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über das Ausklammern und die Mitternachtsformel.
Löse die Erste Nullstelle:
↓ Klammere aus (kleinster vorkommender Exponent von ).
↓ Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm null setzt.
↓ Merke: Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist!
Setze jeden Faktor gleich null!
Löse die zweite und dritte Nullstelle:
↓ Setze den Term in die Mitternachtsformel ein.
↓ Löse den Inhalt der Diskriminante.
↓ Löse die Diskriminante auf!
Löse den Term auf um zu berechnen.
Löse den Term auf um zu berechnen.
Ergebnis:
Die Funktion hat die folgenden Nullstellen:, und .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Es gibt (mindestens) drei Möglichkeiten:
Wurzelziehen
Nach dem Satz vom Nullprodukt folgt
.
Mitternachtsformel
Um diese Gleichung lösen zu können, brauchst du Wissen über die Mitternachtsformel.
Bestimme die Nullstellen:
↓ Setze die Gleichung in die Mitternachtsformel ein.
↓ Löse den Inhalt der Diskriminante.
Fall 1:+
Fall 2:-
Ergebnis:
Die Funktion hat die beiden Nullstellen und .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Mitternachtsformel
Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über die Mitternachtsformel.
↓ Setze den Term in die Mitternachtsformel ein.
↓ Löse den Inhalt der Diskriminante.
↓ Da die Diskriminante null ist, sind und gleich!
Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Mitternachtsformel
Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über die Mitternachtsformel.
↓ Setze den Term in die Mitternachtsformel ein.
↓ Löse den Inhalt der Diskriminante.
↓ Da die Diskriminante null ist, sind und gleich!
Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Subsitution & pq-Formel
Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über die Substitution und pq-Formel.
↓ Wandle die Substitution x² = y in eine Quadratische Gleichung um.
↓ Setzte
↓ Klammere aus.
↓ Ein Produkt ist , wenn mindestens einer der Faktoren ist.
=>
Resubstitution
=>
Resubstitution
ziehe die Wurzel
Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei und jeweils eine einfache Nullstelle bei und .
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Berechne die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Polynomdivision.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. in ein.
Die Funktion hat an der Stelle eine Nullstelle. Da , wissen wir, dass den dazugehörigen Linearfaktor besitzt.
Führe nun die Polynomdivision durch.
Die Funktion wird dann , sobald mindestens einer der Faktoren gleich ist. Da die Nullstelle bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich setzt.
Die Funktion hat drei Nullstellen bei , und .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. in ein.
Die Funktion hat an der Stelle eine Nullstelle. Da , wissen wir, dass den dazugehörigen Linearfaktor besitzt.
Führe nun die Polynomdivision durch.
Die Funktion wird dann , sobald mindestens einer der Faktoren gleich ist. Da die Nullstelle bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich setzt.
↓ Mitternachtsformel anwenden.
↓ Unter der Wurzel zusammenfassen.
Fall 1:
Fall 2:
Die Funktion hat drei Nullstellen bei , und .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ ausklammern.
Die Funktion wird dann , sobald mindestens einer der Faktoren gleich ist. Da die Nullstelle bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von bestimmen, indem du die Klammer gleich setzt.
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. für ein.
Die Funktion hat an der Stelle eine Nullstelle. Da , wissen wir, dass den dazugehörigen Linearfaktor besitzt.
Führe nun die Polynomdivision durch.
Setze das erhaltene Polynom gleich .
↓ Mitternachtsformel anwenden.
↓ Unter der Wurzel zusammenfassen.
Fall 1:
Fall 2:
Die Funktion hat vier Nullstellen bei , , und .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. in ein.
Setze z.B. in ein.
Die Funktion hat an der Stelle eine Nullstelle. Da , wissen wir, dass den dazugehörigen Linearfaktor besitzt.
Führe nun die Polynomdivision durch.
Die Funktion wird dann , sobald mindestens einer der Faktoren gleich ist. Da die Nullstelle bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich setzt.
↓ Mitternachtsformel anwenden.
↓ Unter der Wurzel zusammenfassen.
Fall 1:
Fall 2:
Die Funktion hat drei Nullstellen bei , und .
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Gegeben ist die Funktionenschar mit .
Ermittle die Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit des Parameters .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ Setze die Funktion gleich 0.
↓ Mitternachtsformel anwenden.
↓ Unter der Wurzel zusammenfassen.
Dieser Term kann auch noch weiter gekürzt werden. Für die Bearbeitung dieser Aufgabe ist das jedoch nicht notwendig. Im Folgenden wird der Term noch weiter vereinfacht:
Unter der Wurzel kannst du die ausklammern.
↓ 4 aus der Wurzel kürzen.
↓ 2 ausklammern.
↓ Bruch kürzen.
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Bestimme so, dass es genau eine Nullstelle gibt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Aus Aufgabe weißt du, dass die Nullstellen bei liegen.
Die Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn die Diskriminante gleich Null wird.
↓ Setze die Diskriminante gleich Null.
DIe Funktion hat für genau eine Nullstelle.
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Bestimme so, dass eine Nullstelle ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Aus Aufgabe weißt du, dass die Nullstellen bei liegen.
Setze den Term gleich und löse die Gleichung.
Die Funktion hat für eine Nullstelle bei .
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- 18
Gegeben ist die Funktionenschar mit .
Bestimme die Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit von .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ Setze die Funktion gleich .
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. ) durch einen neuen Term (z.B. ) ersetzt. Hier wird durch ersetzt.
↓ Mitternachtsformel anwenden.
↓ Unter der Wurzel zusammenfassen.
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
Wurzel ziehen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bestimme so, dass eine Nullstelle ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Aus Aufgabe weißt du, dass die Nullstellen bei liegen.
Setze den Term gleich und löse die Gleichung.
Die Funktion hat für eine Nullstelle bei .
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 19
Gegeben ist die Funktionenschar mit .
Bestimme so, dass es nur eine Nullstelle gibt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
Die Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn die Diskriminante gleich Null wird.
↓ Setze die Diskriminante gleich Null.
↓ Da kannst du durch teilen
DIe Funktion hat für genau eine Nullstelle.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bestimme so, dass eine Nullstelle ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
↓ Setze die Funktion gleich .
↓ Mitternachtsformel anwenden.
↓ Unter der Wurzel zusammenfassen.
Setze den Term gleich und löse die Gleichung.
Die Funktion für eine Nullstelle bei .
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