Aufgaben zur Nullstelle
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Lies die Nullstelle(n) folgender Funktionen ab
f(x)=2x−8
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier wird die Nullstelle erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau im Punkt (4|0) schneidet.
⇒ Nullstelle bei x=4.
Graphische Veranschaulichung:
Lösung durch Berechnung:
f(x) = 2x−8 ↓ Setze f(x)=0
2x−8 = 0 +8 2x = 8 :2 x = 4 Die Nullstelle der Funktion liegt bei x=4.
Hast du eine Frage oder Feedback?
g(x)=−x2−7x−10
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in den Punkten (-5|0) und (-2|0) schneidet.
⇒ Nullstellen bei x=−5 und x=−2
Graphische Veranschaulichung:
Lösung durch Berechnung:
g(x) = −x2−7x−10 ↓ Setze g(x)=0
−x2−7x−10 = 0 ↓ Wende die Mitternachtsformel an.
x1,2 = 2(−1)−(−7)±(−7)2−4(−1)(−10) ↓ Multipliziere die Klammern aus.
x1,2 = −27±49−40 ↓ Berechne die Wurzel
x1,2 = −27±3 ↓ 1 Fall: +
x1 = −210 = −5 ↓ 2 Fall: −
x2 = −27−3 = −2 Die beiden Nullstellen der Funktion liegen bei x1=−5 und x2=−2.
Hast du eine Frage oder Feedback?
h(x)=101(x+6)(x−2)(x−4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in den Punkten (-6|0), (2|0) und (4|0) schneidet.
⇒ Nullstellen bei x=−6und x=2 und x=4.
Graphische Veranschaulichunng
Lösung durch Berechnung:
h(x)=101(x+6)(x−2)(x−4)
Zur Berechnung der Nullstellen setze h(x)=0.
101(x+6)(x−2)(x−4)=0
Ein Produkt aus mehreren Faktoren ist immer dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.
Für x=−6, x=2 und x=4 gilt:
101(x+6)(x−2)(x−4)=0
Die Nullstellen der Funktion liegen bei x=−6, x=2 und x=4.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=3x2+6x+3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in einem Punkt (-1|0) berührt.
⇒ Nullstelle bei x=−1.
Graphische Veranschaulichung
Lösung durch Berechnung
f(x)=3x2+6x+3
Zur Berechnung der Nullstellen setze f(x)=0.
3x2+6x+3=0
Kürze durch 3.
x2+2x+1=0
Ermittle die Lösung durch die Mitternachtsformel:
x1,2=2⋅1−2±(2)2−4⋅1⋅1
x1,2=2⋅1−2±0=2−2±0=−1
⇒x1=−1
Die Nullstelle liegt also bei x1=−1.
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 2
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstelle(n) zu folgenden Funktionen
f(x)=x7
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
f(x)=x7
Zerlege f(x) in Linearfaktoren
f(x)=(x±0)7
Lies die Vielfachheit der Nullstelle am Exponenten ab.
Die Funktion f(x)=x7 hat bei x=0 eine Nullstelle der Vielfachheit 7.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.
f(x)=6x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
f(x)=6x
Zerlege f(x) in Linearfaktoren
f(x)=6⋅(x±0)1
Lies die Vielfachheit der Nullstelle am Exponenten ab.
Die Funktion f(x)=6x hat bei x=0 eine einfache Nullstelle.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.
f(x)=(x−5)2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
f(x)=(x−5)2
f(x) ist bereits in der Linearfaktordarstellung. Deshalb kannst du die Vielfachheit der Nullstelle direkt am Exponenten ablesen.
Die Funktion f(x)=(x−5)2 hat bei x=5 eine doppelte Nullstelle.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.
f(x)=x2−9
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
f(x)=x2−9
Zerlege f(x) in Linearfaktoren.
Verwende die 3. binomischen Formel.
f(x)=(x−3)⋅(x+3)
f(x)=(x−3)1⋅(x+3)1
Lies aus der Linearfaktordarstellung die Vielfachheiten der Nullstellen an den Exponenten ab.
Die Funktion f(x)=x2−9 hat bei x=−3 und x=3 jeweils eine einfache Nullstelle.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.
f(x)=(x+8)⋅(x−2)2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
f(x)=(x+8)⋅(x−2)2
f(x) ist schon in Linearfaktordarstellung. Du kannst also die Vielfachheiten der Nullstellen direkt an den Exponenten ablesen.
Die Funktion f(x)=(x+8)1⋅(x−2)2 hat bei x=−8 eine einfache und bei x=2 eine doppelte Nullstelle.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.
- 3
Bestimme die Intervalle auf der x-Achse, in denen der Graph der folgenden Funktionen oberhalb der x-Achse verläuft.
f(x)=x⋅(x2−9)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben: f(x)=x⋅(x2−9)
Gesucht: Intervalle für die f(x)>0
Faktorisiere zuerst f. Dies geht hier mit der 3. binomischen Formel (a2−b2)=(a+b)⋅(a−b)
f(x)=x⋅(x2−9)=x⋅(x+3)⋅(x−3)
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen
Die drei Nullstellen bei x1=0,x2=−3,x3=3 sind einfache Nullstellen.
Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich ]3,+∞[
Für x im Intervall ]3,+∞[ ist f(x) positiv, denn:
f(x)=>0x⋅>0(x+3)⋅>0(x−3)
Einfache Nullstelle bei x=3, also ist der Graph im Intervall ]0,3[ im negativen Bereich.
Einfache Nullstelle bei x=0, also ist der Graph im Intervall ]−3,0[ im positiven Bereich.
Einfache Nullstelle bei x=3, also ist der Graph im Intervall ]−∞,−3[ im negativen Bereich.
Lösung: Der Graph verläuft in den Intervallen ]−3,0[ und ]3,+∞[ oberhalb der x-Achse
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g(x)=0,5⋅(x2−8x+16)⋅(x+1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben: f(x)=0,5⋅(x2−8x+16)⋅(x+1)
Gesucht: Intervalle mit f(x)>0
Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 2. binomischen Formel (a2−2ab+b2)=(a−b)2.
f(x)=0,5⋅(x−4)2⋅(x+1)
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.
Die Nullstelle bei x1=4 ist eine doppelte Nullstelle, die bei x2=−1 ist eine einfache.
Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich ]4,+∞[.
Für x im Intervall ]4,+∞[ ist f(x)>0, denn:
f(x)=>00,5⋅>0(x−4)2⋅>0(x+1)
Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.
Weil bei 4 eine doppelte Nullstelle ist, ändert sich da das Vorzeichen nicht.
Doppelte Nullstelle bei x=4, also ist der Graph im Intervall ]−1,4[ ebenfalls im positiven Bereich.
Weil bei −1 eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.
Einfache Nullstelle bei x=−1, also ist der Graph im Intervall ]−∞,−1[ im negativen Bereich.
Lösung: Der Graph ist in den Intervallen ]−1,4[ und ]4,+∞[ oberhalb der x-Achse.
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h(x)=0.1⋅(x+2.5)⋅(x2−x+41)⋅(x−4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben: f(x)=0,1⋅(x+2,5)⋅(x2−x+41)⋅(x−4)
Geuscht: Intervalle mit f(x)>0
Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 2. binomischen Formel (a2−2ab+b2)=(a−b)2
Dabei ist a=x und b=21
f(x)=0,1⋅(x+2,5)⋅(x−21)2⋅(x−4)
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen
Die Nullstelle bei x1=−2,5 ist eine einfache, die bei x2=21 eine doppelte und die bei x3=4 wieder eine einfache Nullstelle.
Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich ]4,+∞[
Für x im Intervall ]4,+∞[ ist f(x) positiv, denn:
f(x)=>00,1⋅>0(x+2,5)⋅>0(x−12)2⋅>0(x−4)
Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.
Weil bei 4 eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.
Einfache Nullstelle bei x=4, also ist der Graph im Intervall ]21,4[ im negativen Bereich.
Weil bei 21 eine doppelte Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen nicht.
Doppelte Nullstelle bei x=21, also ist der Graph im Intervall ]−2,5,21[ ebenfalls im negativen Bereich.
Weil bei −2,5 eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.
Einfache Nullstelle bei x=−2,5, also ist der Graph im Intervall ]−∞,−2,5[ im positiven Bereich.
Lösung: Der Graph ist in den Intervallen ]−∞,−2,5[ und ]4,+∞[ im positiven Bereich.
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Skizziere mit Hilfe den gegebenen Informationen jeweils einen möglichen Verlaufdes Graphen der folgenden Funktionen.
Die Polynomfunktion f vom Grad 3 besitzt Nullstellen bei x1=−3, x2=2 und x3=4 und schneidet die y-Achse im Punkt (0∣2).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben:
Polynomfunktion vom Grad 3
Nullstellen bei x1=−3,x2=2,x3=4 und Punkt (0,2)
Gesucht: Skizze von Graph
Zeichne zuerst die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem. Die Nullstellen liegen auf der x-Achse.
Da die Funktion vom Grad 3 ist, kann es keine weiteren Nullstellen geben und die drei Nullstellen sind einfache Nullstellen.
Der Verlauf geht also von (−3,0) zu (0,2) und dann zu (2,0). Wichtig ist, dass er NICHT nochmal die x-Achse schneidet. Wo der Hochpunkt zwischen −3 und 2 genau ist, ist egal.
Zeichne als Nächstes den Graph zwischen 2 und 4 weiter. Dort verläuft er im negativen Bereich. Auch hier ist egal, wo der Tiefpunkt zwischen 2 und 4 genau ist.
Zeichne jetzt den ganzen Graphen. Auch (−3,0) und (4,0) sind einfache Nullstellen, also schneidet der Graph die x-Achse.
Lösung:
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Die Polynomfunktion g vom Grad 4 hat genau eine doppelte Nullstelle und ihr Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben: Polynomfunktion vom Grad 4, genau eine doppelten Nullstelle, und der Graph symmetrisch zur y-Achse
Gesucht: Skizze eines möglichen Graphen
Überlege zunächst, wo die doppelte Nullstelle hinkommt. Da der Graph symmetrisch zur y-Achse ist, muss sie bei (0,0) sein, denn wenn sie z.B. bei (2,0) wäre, müsste durch die Symmetrie bei (−2,0) auch eine sein. Ob der Graph die x-Achse von unten oder von oben berührt, ist beides richtig.
Zeichne jetzt den weiteren Verlauf.
Beachte dabei: Die Funktion ist vom Grad 4, also hat sie höchstens zwei weitere Nullstellen. Außerdem auch nur maximal 3 Extremstellen.
Eine mögliche Lösung:
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Die Polynomfunktion h vom Grad 6 besitzt zwei mehrfache Nullstellen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben: Polynomfunktion vom Grad 6, zwei mehrfache Nullstellen
Gesucht: Skizze von möglichem Graphen
Bei dieser Aufgabe gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, hier wird eine 3-fache Nullstelle bei x=−1 und eine doppelte Nullstelle bei x=2 verwendet.
Du kannst aber beispielsweise auch zwei 3-fache Nullstellen einzeichnen, oder zwei doppelte, oder eine doppelte und eine 4-fache.
Skizziere als Erstes den Verlauf der Funktion an einer Nullstelle.
Überlege dann den Verlauf zur zweiten Nullstelle und wie er dort weiterläuft.
Ergänze jetzt den Graphen noch so, dass er zu einer Funktion vom Grad 6 passt. Dabei ist wichtig, dass der Graph entweder auf beiden Seiten nach +∞ oder auf beiden Seiten nach −∞ läuft.
Achte darauf, dass die Vielfachheiten der Nullstellen insgesamt höchstens 6 ergeben. Hier ist es eine 3-fache, eine doppelte und noch eine einfache Nullstelle.
Eine mögliche Lösung
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- 5
Ordne die Graphen jeweils dem richtigen Funktionsterm zu. Begründe deine Antwort.
f(x)=0,1⋅(x+2)2⋅(x−4)3
g(x)=−0,1⋅(x+2)2⋅(x−4)
h(x)=−0,01⋅(x+2)3⋅(x−4)2⋅(x−2)
j(x)=0,05⋅(x+2)⋅(x−4)⋅(x2+1)
k(x)=−0,01⋅(x+2)4⋅(x−4)2⋅(x−2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit von Nullstellen
Roter Graph
Lies als Erstes die Nullstellen der Funktion ab.
Die Nullstellen des roten Graphen sind bei x1=−2 und x2=4.
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.
Die Nullstelle bei x1=−2 ist eine doppelte Nullstelle, weil sich das Vorzeichen nicht ändert. Die bei x2=4 ist eine einfache, da sich das Vorzeichen ändert.
Gucke jetzt in den Funktionen nach allen verbleibenden Möglichkeiten. Da bei −2 eine doppelte und bei 4 eine einfache Nullstelle ist, muss in der Funktion (x+2)2⋅(x−4) vorkommen. Das ist nur bei der Funktion g der Fall.
Lösung: Der rote Graph gehört zu der Funktion g.
Grüner Graph
Lies als Erstes die Nullstellen der Funktion ab.
Die Nullstellen des grünen Graphen sind bei x1=−2, x2=2 und x3=4.
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.
Die Nullstelle bei x1=−2 ist eine dreifache Nullstelle, weil sich das Vorzeichen ändert und der Graph an der Stelle flach ist. Die bei x2=2 ist eine einfache, da sich das Vorzeichen ändert. Bei x3=4 ist es eine doppelte Nullstelle, weil sich das Vorzeichen nicht ändert.
Gucke jetzt in den Funktionen nach allen verbleibenden Möglichkeiten. Da bei −2 eine dreifache, bei 2 eine einfache und bei 4 eine doppelte Nullstelle ist, muss in der Funktion (x+2)3⋅(x−2)⋅(x−4)2 vorkommen. Das ist nur bei der Funktion h der Fall.
Lösung: Der grüne Graph gehört zu der Funktion h.
Lila Graph
Lies als Erstes die Nullstellen der Funktion ab.
Die Nullstellen des roten Graphen sind bei x1=−2 und x2=4.
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.
Die Nullstellen sind beides einfache Nullstellen, weil sich jedesmal das Vorzeichen ändert.
Gucke jetzt in den Funktionen nach allen verbleibenden Möglichkeiten. Da sowohl bei 2 als auch bei 4 eine einfache Nullstelle ist, muss in der Funktion (x+2)⋅(x−4) vorkommen. Das ist nur bei der Funktion j der Fall.
Lösung: Der lila Graph gehört zu der Funktion j.
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Bestimme die Nullstelle(n) folgender Funktionen.
f(x)=4x+20
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
f(x) = 4x+20 ↓ Setze f(x)=0
4x+20 = 0 −20 4x = −20 :4 x = −5 Die Funktion hat eine Nullstelle bei x=−5.
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f(x)=14x−21
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
f(x) = 14x−21 ↓ Setze f(x)=0
14x−21 = 0 +21 14x = 21 :14 x = 1,5 Die Funktion hat eine Nullstelle bei x=1,5.
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f(x)=x2+6x−14
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
f(x) = x2+6x−14=0 ↓ mit der pq-Formel lösen.
x1,2 = −(2p)±(2p)2−q Im obigen Fall ist p=6 und q=-14.
Einsetzen in die Formel:
x1,2 = −3±9−(−14) x1 = −3+23 ∨x2=−3−23 Die Nullstellen liegen also bei x1≈1,8 und x1≈−7,8
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f(x)=x2−5x+6
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Lösung mit der Mitternachtsformel:
f(x) = x2−5x+6=0 ↓ Bestimme die Koeffizienten a, b und c.
a = 1 b = −5 c = 6 ↓ Setze nun die 3 Koeffizienten in die Mitternachtsformel ein.
x1,2 = 2⋅1−(−5)±(−5)2−4⋅1⋅6 = 25±25−24 = 25±1 x1 = 3 x2 = 2 Die Funktion f hat also die Nullstellen x1=3 und x2=2.
Lösung mit dem Satz von Vieta:
x2−5x+6 = 0 ↓ Da die Gleichung die Form x2+px+q=0 hat, können wir den Satz von Vieta anwenden.
x1+x2 = −p = −(−5)=5 x1⋅x2 = q=6 Versuche durch Raten Lösungen für x1 und x2 zu finden. Mögliche Kandidaten sind die Teiler von 6. Also 1,2,3 und 6.
x1
x2
x1+x2
x1⋅x2
1
6
1+6=7
1⋅6=6
2
3
2+3=5
2⋅3=6
Die Lösungen sind also x1=2 und x2=3.
Es ergeben sich die gleichen Ergebnisse wie bei der Mitternachtsformel.
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- 7
Bestimme die Nullstellen:
f(x)=x4−3x2+2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x) = x4−3x2+2 ↓ f(x) gleich 0 setzen, um die Nullstellen zu bestimmen
x4−3x2+2 = 0 Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. x2) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.
u = x2 f(u) = u2− 3u + 2 = 0 ↓ Mitternachtsformel anwenden
u1,2 = 2⋅13±(−3)2−4⋅1⋅2 ↓ Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
= 23±9−8 ↓ = 23±1 u1:24=2
Fall: +
u2:22=1
Fall: -
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
x1,22 = 2 ↓ Wurzel ziehen
x1,2 = ±2 x3,42 = 1 ↓ Wurzel ziehen
x3,4 = ±1 Die Nullstellen der Funktion lauten x1=2,x2=−2,x3=1,x4=−1
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f(x)=x4−417x2+1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. x2) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.
u = x2 f(u) = u2−417u+1 ↓ Mitternachtsformal anwenden
u1/2 = 2417±(−417)2−4⋅1⋅1 ↓ Unter der Wurzel ausmultiplizieren
= 2417±14,0625 ↓ Wurzel ziehen
= 2417±415 u1 = 4 ↓ Fall: +
u2 = 41 ↓ Fall: -
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
x1,22 = 4 ↓ Wurzel ziehen
x1,2 = ±2 x3,42 = 41 ↓ Wurzel ziehen
x3,4 = ±21 Die Nullstellen der Funktion liegen bei x1=2,x2=−2,x3=21,x4=−21.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=(x2−23)2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x) = (x2−23)2 Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. x2) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.
u = x2 f(u) = (u−23)2=(u−23)(u−23) ↓ Die Nullstellen können abgelesen werden
u = 23 ↓ Doppelte Nullstelle
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
x1,22 = 23 ↓ Wuzel ziehen
x1 = 23 x2 = −23 ↓ Zwei doppelte Nullstellen
Die Funktion hat zwei doppelte Nullstellen und zwar bei x1=23 und x2=−23.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=21x6−2x3−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x) = 21x6−2x3−2 Substitution
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. x2) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.
u = x3 f(u) = 21u2−2u−2 ↓ Mitternachtsformel anwenden
u1,2 = 2⋅212±(−2)2−4⋅21⋅(−2) = 12±8=2±8 u1 = 2+8≈4,83 ↓ Fall: +
u2 = 2−8≈−0,83 ↓ Fall: -
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
x13 ≈ 4,83 ↓ dritte Wurzel ziehen
x1 ≈ 34,83≈1,69 x23 ≈ −0,83 ↓ dritte Wurzel ziehen
x2 ≈ 3−0,83≈−0,94 Die Funktion hat 2 Nullstellen bei x1≈34,83≈1,69 und bei x2≈3−0,83≈−0,94.
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- 8
Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion.
f(x)=x3+3x2−4x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:
x1=0
Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:
(x2+3x−4)=0
Wende nun die Mitternachtsformel an, um das Ergebnis zu erhalten:
x2,3=2⋅1−3±32−4⋅1⋅(−4)
x2,3 = 2⋅1−3±32−4⋅1⋅(−4) ↓ Fasse unter der Wurzel zusammen.
= 2−3±9+16 = 2−3±25 ↓ Ziehe die Wurzel
= 2−3±5 Du erhältst also die beiden Nullstellen:
x2=2−3+5=1
und:
x3=2−3−5=−4
Die Funktion hat also insgesamt 3 Nullstellen und zwar bei x1=0,x2=1 und x3=−4.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x4+2x3+x2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x) = x4+2x3+x2 ↓ Klammere die kleinste Potenz von x aus und setze f(x) = 0
0 = x2⋅(x2+2x+1) Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:
x1=0
Das ist eine doppelte Nullstelle, da x2 in der Faktordarstellung vorkommt.
Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:
(x2+2x+1)=0
Wenn du die 1. binomische Formel anwendest, erhältst du:
(x+1)2=0
x2=−1 ist also auch eine doppelte Nullstelle.
Die Funktion hat also 2 doppelte Nullstellen und zwar bei x1=0 und x2=−1.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=(x2−25)⋅(21x+4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x)=(x2−25)⋅(21x+4)
Setze die Funktion gleich 0:
0=(x2−25)⋅(21x+4)
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, setze nun die erste Klammer gleich 0:
0 = (x2−25) ↓ Benutze die 3. Binomische Formel
0 = (x−5)⋅(x+5) ⇒x1,2=±5
Setze als nächstes die zweite Klammer 0.
0 = 21x+4 −4 −4 = 21x ⋅2 −8 = x ⇒x3=−8
Die Funktion hat also 3 Nullstellen und zwar bei x1=5,x2=−5 und x3=−8.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x2−6x+9
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x) = x2−6x+9 ↓ Setze die Funktion gleich 0.
0 = x2−6x+9 ↓ Wende die 2. Binomische Formel an.
0 = (x−3)2 0 = (x−3)⋅(x−3) Die Funktion hat also eine doppelte Nullstelle bei x=3.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x6−x4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, du erhältst also die erste Nullstelle:
x1=0
Das ist eine vierfache Nullstelle, da x4 in der Faktordarstellung vorkommt.
Die anderen Nullstellen erhältst du, wenn du den zweiten Faktor gleich 0 setzt:
0 = (x2−1) ↓ Verwende die 3. Binomische Formel.
0 = (x−1)⋅(x+1) ⇒x2,3=±1
Die Funktion hat also eine vierfache Nullstelle bei x1=0 und jeweils eine einfache Nullstelle bei x2=1 und x3=−1.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x4−6x2+5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x)=x4−6x2+5
Diese Funktion ist ein Polynom 4. Grades, bei dem du x nicht mehr ausklammern kannst, das macht es schwer die Nullstellen zu bestimmen. Hier verwendest du am besten eine Substitution:
Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. x2) durch einen neuen Term (z.B. u) ersetzt.
u=x2
f(x) = u2−6u+5 ↓ Setze die Funktion gleich 0.
0 = u2−6u+5 Hier kannst du jetzt die Mitternachtsformel anwenden:
u1,2 = 2⋅16±(−6)2−4⋅1⋅5 ↓ Fasse unter der Wurzel zusammen.
= 26±36−20 = 26±16 = 26±4 Du erhältst also die beiden Nullstellen:
u1=26+4=5 und:
u2=26−4=1
Resubstitution
Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.
x1,22 = u1 x1,22 = 5 x1,2 = ±5 Und noch für u2:
x3,42 = u2 x3,42 = 1 x3,4 = ±1 Die Funktion hat also 4 Nullstellen und zwar bei x1=5,x2=−5,x3=1 und x4=−1.