Aufgaben zur Nullstelle

1

Lies die Nullstelle(n) folgender Funktionen ab

$f (x) = 2 x - 8$

$g (x) = - x^{2} - 7 x - 10$

$h(x)=\frac{1}{10}(x + 6) (x - 2) (x - 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion $f$ die x-Achse genau in den Punkten (-6|0), (2|0) und (4|0) schneidet.
⇒ Nullstellen bei $x = - 6$ und $x = 2$ und $x = 4$ .
Graphische Veranschaulichunng
Lösung durch Berechnung:
$h(x)=\frac{1}{10}(x+6)(x-2)(x-4)$
Zur Berechnung der Nullstellen setze $h (x) = 0$ .
$\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0$
Ein Produkt aus mehreren Faktoren ist immer dann $0$ , wenn mindestens ein Faktor $0$ ist.
Für $x = - 6$ , $x = 2$ und $x = 4$ gilt:
$\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0$
Die Nullstellen der Funktion liegen bei $x = - 6$ , $x = 2$ und $x = 4$ .
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$f (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in einem Punkt (-1|0) berührt.
⇒ Nullstelle bei x=−1.
Graphische Veranschaulichung
Lösung durch Berechnung
$f (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3$
Zur Berechnung der Nullstellen setze $f (x) = 0$ .
$3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$
Kürze durch 3.
$x^{2} + 2 x + 1 = 0$
Ermittle die Lösung durch die Mitternachtsformel:
$x_{1{,}2}=\frac{-2 \pm\sqrt{(2)^2-4\cdot 1 \cdot1}}{2 \cdot 1}$
$x_{1{,}2}=\frac{-2 \pm\sqrt{0}}{2 \cdot 1}=\frac{-2 \pm 0}{2}=-1$
$\Rightarrow x_1 = -1$
Die Nullstelle liegt also bei $x_{1} = - 1$ .
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2

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstelle(n) zu folgenden Funktionen

$f (x) = x^{7}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
$f (x) = x^{7}$
Zerlege $f (x)$ in Linearfaktoren
$f(x) = (x \pm 0)^7$
Lies die Vielfachheit der Nullstelle am Exponenten ab.
Die Funktion $f (x) = x^{7}$ hat bei $x = 0$ eine Nullstelle der Vielfachheit 7.
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Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.
$f (x) = 6 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
$f (x) = 6 x$
Zerlege $f (x)$ in Linearfaktoren
$f(x)=6\cdot(x\pm0)^{1}$
Lies die Vielfachheit der Nullstelle am Exponenten ab.
Die Funktion $f (x) = 6 x$ hat bei $x = 0$ eine einfache Nullstelle.
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Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.
$f (x) = (x - 5)^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
$f (x) = (x - 5)^{2}$
$f (x)$ ist bereits in der Linearfaktordarstellung. Deshalb kannst du die Vielfachheit der Nullstelle direkt am Exponenten ablesen.
Die Funktion $f(x) = (x-5)^{\color{red}{2}}$ hat bei $x = 5$ eine doppelte Nullstelle.
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Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.
$f (x) = x^{2} - 9$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
$f (x) = x^{2} - 9$
Zerlege $f (x)$ in Linearfaktoren.
Verwende die 3. binomischen Formel.
$f(x) = (x-3)\cdot(x+3)$
$f(x) = (x-3)^{\color{red}{1}} \cdot(x+3)^{\color{red}{1}}$
Lies aus der Linearfaktordarstellung die Vielfachheiten der Nullstellen an den Exponenten ab.
Die Funktion $f (x) = x^{2} - 9$ hat bei $x = - 3$ und $x = 3$ jeweils eine einfache Nullstelle.
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Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.
$f(x)= (x+8)\cdot (x-2)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit einer Nullstelle
$f(x) = (x+8) \cdot (x-2)^2$
$f (x)$ ist schon in Linearfaktordarstellung. Du kannst also die Vielfachheiten der Nullstellen direkt an den Exponenten ablesen.
Die Funktion $f(x) = (x+8)^{\color{red}{1}} \cdot (x-2)^{\color{red}{2}}$ hat bei $x = - 8$ eine einfache und bei $x = 2$ eine doppelte Nullstelle.
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Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung.

3

Bestimme die Intervalle auf der $x$ -Achse, in denen der Graph der folgenden Funktionen oberhalb der $x$ -Achse verläuft.

$f(x)=x\cdot(x^2-9)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben: $f(x) = x \cdot (x^2 - 9)$
Gesucht: Intervalle für die $f (x) > 0$
Faktorisiere zuerst $f$ . Dies geht hier mit der 3. binomischen Formel $(a^2-b^2) = (a+b)\cdot(a-b)$
$f(x)=x\cdot(x^2−9)=x\cdot(x+3)\cdot(x−3)$
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen
Die drei Nullstellen bei $x_1=0,\; x_2=-3,\; x_3 = 3$ sind einfache Nullstellen.
Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich $]3, +\infty[$
Für $x$ im Intervall $]3,+\infty[$ ist $f (x)$ positiv, denn:
$f(x)=\underbrace{x}_{>0} \cdot \underbrace{(x+3)}_{>0} \cdot \underbrace{(x-3)}_{>0}$
Einfache Nullstelle bei $x = 3$ , also ist der Graph im Intervall $] 0,3 [$ im negativen Bereich.
Einfache Nullstelle bei $x = 0$ , also ist der Graph im Intervall $] - 3,0 [$ im positiven Bereich.
Einfache Nullstelle bei $x = 3$ , also ist der Graph im Intervall $]-\infty,-3[$ im negativen Bereich.
Lösung: Der Graph verläuft in den Intervallen $] - 3,0 [$ und $]3,+\infty[$ oberhalb der $x$ -Achse
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$g(x)=0{,}5\cdot(x^2-8x+16)\cdot(x+1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben: $f(x) = 0{,}5\cdot (x^2 - 8x + 16) \cdot (x+1)$
Gesucht: Intervalle mit $f (x) > 0$
Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 2. binomischen Formel $(a^{2} - 2 a b + b^{2}) = (a - b)^{2}$ .
$f(x) = 0{,}5 \cdot(x-4)^2 \cdot(x+1)$
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.
Die Nullstelle bei $x_{1} = 4$ ist eine doppelte Nullstelle, die bei $x_{2} = - 1$ ist eine einfache.
Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich $]4, +\infty[$ .
Für $x$ im Intervall $]4,+\infty[$ ist $f (x) > 0$ , denn:
$f(x)=\underbrace{0{,}5}_{>0} \cdot \underbrace{(x-4)^2}_{>0} \cdot \underbrace{(x+1)}_{>0}$
Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.
Weil bei $4$ eine doppelte Nullstelle ist, ändert sich da das Vorzeichen nicht.
Doppelte Nullstelle bei $x = 4$ , also ist der Graph im Intervall $] - 1,4 [$ ebenfalls im positiven Bereich.
Weil bei $- 1$ eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.
Einfache Nullstelle bei $x = - 1$ , also ist der Graph im Intervall $]-\infty,-1[$ im negativen Bereich.
Lösung: Der Graph ist in den Intervallen $] - 1,4 [$ und $]4,+\infty[$ oberhalb der $x$ -Achse.
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$h(x)= 0.1 \cdot (x+2.5)\cdot (x^2-x+\frac14) \cdot (x-4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben: $f(x) = 0{,}1 \cdot (x+2{,}5) \cdot(x^2 - x + \frac{1}{4}) \cdot (x-4)$
Geuscht: Intervalle mit $f (x) > 0$
Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 2. binomischen Formel $(a^{2} - 2 a b + b^{2}) = (a - b)^{2}$
Dabei ist $a = x$ und $b = \frac{1}{2}$
$f(x) = 0{,}1 \cdot( x+2{,}5) \cdot (x-\frac{1}{2})^2 \cdot (x-4)$
Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen
Die Nullstelle bei $x_1 = -2{,}5$ ist eine einfache, die bei $x_2 = \frac{1}{2}$ eine doppelte und die bei $x_{3} = 4$ wieder eine einfache Nullstelle.
Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich $]4,+\infty[$
Für $x$ im Intervall $]4, + \infty[$ ist $f (x)$ positiv, denn:
$f(x)=\underbrace{0{,}1}_{>0} \cdot \underbrace{(x+2{,}5)}_{>0}\cdot \underbrace{(x−12)^2}_{>0} \cdot \underbrace{(x−4)}_{>0}$
Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.
Weil bei $4$ eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.
Einfache Nullstelle bei $x = 4$ , also ist der Graph im Intervall $]\frac{1}{2}, 4[$ im negativen Bereich.
Weil bei $\frac{1}{2}$ eine doppelte Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen nicht.
Doppelte Nullstelle bei $x = \frac{1}{2}$ , also ist der Graph im Intervall $]-2{,}5 \;, \frac{1}{2}[$ ebenfalls im negativen Bereich.
Weil bei $- 2,5$ eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.
Einfache Nullstelle bei $x = - 2,5$ , also ist der Graph im Intervall $]-\infty, -2{,}5[$ im positiven Bereich.
Lösung: Der Graph ist in den Intervallen $]-\infty, -2{,}5[$ und $]4,+\infty[$ im positiven Bereich.
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4

Skizziere mit Hilfe den gegebenen Informationen jeweils einen möglichen Verlaufdes Graphen der folgenden Funktionen.

Die Polynomfunktion $f$ vom Grad $3$ besitzt Nullstellen bei $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = 4$ und schneidet die $y$ -Achse im Punkt $(0 ∣ 2)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben:
Polynomfunktion vom Grad $3$
Nullstellen bei $x_{1} = - 3, x_{2} = 2, x_{3} = 4$ und Punkt $(0,2)$
Gesucht: Skizze von Graph
Zeichne zuerst die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem. Die Nullstellen liegen auf der $x$ -Achse.
Da die Funktion vom Grad $3$ ist, kann es keine weiteren Nullstellen geben und die drei Nullstellen sind einfache Nullstellen.
Der Verlauf geht also von $(- 3,0)$ zu $(0,2)$ und dann zu $(2,0)$ . Wichtig ist, dass er NICHT nochmal die $x$ -Achse schneidet. Wo der Hochpunkt zwischen $- 3$ und $2$ genau ist, ist egal.
Zeichne als Nächstes den Graph zwischen $2$ und $4$ weiter. Dort verläuft er im negativen Bereich. Auch hier ist egal, wo der Tiefpunkt zwischen $2$ und $4$ genau ist.
Zeichne jetzt den ganzen Graphen. Auch $(- 3,0)$ und $(4,0)$ sind einfache Nullstellen, also schneidet der Graph die x-Achse.
Lösung:
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Die Polynomfunktion $g$ vom Grad $4$ hat genau eine doppelte Nullstelle und ihr Graph ist symmetrisch zur $y$ -Achse.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben: Polynomfunktion vom Grad $4$ , genau eine doppelten Nullstelle, und der Graph symmetrisch zur $y$ -Achse
Gesucht: Skizze eines möglichen Graphen
Überlege zunächst, wo die doppelte Nullstelle hinkommt. Da der Graph symmetrisch zur $y$ -Achse ist, muss sie bei $(0,0)$ sein, denn wenn sie z.B. bei $(2,0)$ wäre, müsste durch die Symmetrie bei $(- 2,0)$ auch eine sein. Ob der Graph die $x$ -Achse von unten oder von oben berührt, ist beides richtig.
Zeichne jetzt den weiteren Verlauf.
Beachte dabei: Die Funktion ist vom Grad $4$ , also hat sie höchstens zwei weitere Nullstellen. Außerdem auch nur maximal $3$ Extremstellen.
Eine mögliche Lösung:
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Die Polynomfunktion $h$ vom Grad $6$ besitzt zwei mehrfache Nullstellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Gegeben: Polynomfunktion vom Grad $6$ , zwei mehrfache Nullstellen
Gesucht: Skizze von möglichem Graphen
Bei dieser Aufgabe gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, hier wird eine $3$ -fache Nullstelle bei $x = - 1$ und eine doppelte Nullstelle bei $x = 2$ verwendet.
Du kannst aber beispielsweise auch zwei $3$ -fache Nullstellen einzeichnen, oder zwei doppelte, oder eine doppelte und eine $4$ -fache.
Skizziere als Erstes den Verlauf der Funktion an einer Nullstelle.
Überlege dann den Verlauf zur zweiten Nullstelle und wie er dort weiterläuft.
Ergänze jetzt den Graphen noch so, dass er zu einer Funktion vom Grad $6$ passt. Dabei ist wichtig, dass der Graph entweder auf beiden Seiten nach $+\infty$ oder auf beiden Seiten nach $- \infty$ läuft.
Achte darauf, dass die Vielfachheiten der Nullstellen insgesamt höchstens $6$ ergeben. Hier ist es eine $3$ -fache, eine doppelte und noch eine einfache Nullstelle.
Eine mögliche Lösung
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5

Ordne die Graphen jeweils dem richtigen Funktionsterm zu. Begründe deine Antwort.

$f(x)=0{,}1\cdot(x+2)^2\cdot(x-4)^3$

$g(x)=-0{,}1\cdot(x+2)^2\cdot(x-4)$

$h(x)=-0{,}01\cdot(x+2)^3\cdot(x-4)^2\cdot(x-2)$

$j(x)=0{,}05\cdot(x+2)\cdot(x-4)\cdot(x^2+1)$

$k(x)=-0{,}01\cdot(x+2)^4\cdot(x-4)^2\cdot(x-2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit von Nullstellen

Roter Graph

Lies als Erstes die Nullstellen der Funktion ab.

Die Nullstellen des roten Graphen sind bei $x_{1} = - 2$ und $x_{2} = 4$ .

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.

Die Nullstelle bei $x_{1} = - 2$ ist eine doppelte Nullstelle, weil sich das Vorzeichen nicht ändert. Die bei $x_{2} = 4$ ist eine einfache, da sich das Vorzeichen ändert.

Gucke jetzt in den Funktionen nach allen verbleibenden Möglichkeiten. Da bei $- 2$ eine doppelte und bei $4$ eine einfache Nullstelle ist, muss in der Funktion $(x+2)^2\cdot(x-4)$ vorkommen. Das ist nur bei der Funktion $g$ der Fall.

Lösung: Der rote Graph gehört zu der Funktion $g$ .

Grüner Graph

Lies als Erstes die Nullstellen der Funktion ab.

Die Nullstellen des grünen Graphen sind bei $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = 4$ .

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.

Die Nullstelle bei $x_{1} = - 2$ ist eine dreifache Nullstelle, weil sich das Vorzeichen ändert und der Graph an der Stelle flach ist. Die bei $x_{2} = 2$ ist eine einfache, da sich das Vorzeichen ändert. Bei $x_{3} = 4$ ist es eine doppelte Nullstelle, weil sich das Vorzeichen nicht ändert.

Gucke jetzt in den Funktionen nach allen verbleibenden Möglichkeiten. Da bei $- 2$ eine dreifache, bei $2$ eine einfache und bei $4$ eine doppelte Nullstelle ist, muss in der Funktion $(x+2)^3\cdot(x-2)\cdot(x-4)^2$ vorkommen. Das ist nur bei der Funktion $h$ der Fall.

Lösung: Der grüne Graph gehört zu der Funktion $h$ .

Lila Graph

Lies als Erstes die Nullstellen der Funktion ab.

Die Nullstellen des roten Graphen sind bei $x_{1} = - 2$ und $x_{2} = 4$ .

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.

Die Nullstellen sind beides einfache Nullstellen, weil sich jedesmal das Vorzeichen ändert.

Gucke jetzt in den Funktionen nach allen verbleibenden Möglichkeiten. Da sowohl bei $2$ als auch bei $4$ eine einfache Nullstelle ist, muss in der Funktion $(x+2)\cdot(x-4)$ vorkommen. Das ist nur bei der Funktion $j$ der Fall.

Lösung: Der lila Graph gehört zu der Funktion $j$ .

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6

Bestimme die Nullstelle(n) folgender Funktionen.

$f (x) = 4 x + 20$

$f (x) = 14 x - 21$

$f (x) = x^{2} + 6 x - 14$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Lösung mit der Mitternachtsformel:

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-5x+6=0$
	↓	Bestimme die Koeffizienten a, b und c.
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 6$
	↓	Setze nun die 3 Koeffizienten in die Mitternachtsformel ein.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\left(-5\right)\pm\sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm1}{2}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2$

Die Funktion f hat also die Nullstellen $x_{1} = 3$ und $x_{2} = 2$ .

Lösung mit dem Satz von Vieta:

$\displaystyle x^2-5x+6$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Da die Gleichung die Form $x^{2} + p x + q = 0$ hat, können wir den Satz von Vieta anwenden.
$\displaystyle x_1+x_2$	$=$	$\displaystyle -p\ =\ -\left(-5\right)=5$
$\displaystyle x_1\cdot x_2$	$=$	$\displaystyle q=6$

Versuche durch Raten Lösungen für $x_{1}$ und $x_{2}$ zu finden. Mögliche Kandidaten sind die Teiler von 6. Also 1,2,3 und 6.

$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{1} + x_{2}$	$x_1\cdot x_2$
$1$	$6$	$1 + 6 = 7$	$1\cdot6=6$
$2$	$3$	$2 + 3 = 5$	$2\cdot3=6$

Die Lösungen sind also $x_{1} = 2$ und $x_{2} = 3$ .

Es ergeben sich die gleichen Ergebnisse wie bei der Mitternachtsformel.

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7

Bestimme die Nullstellen:

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

$f(x)=x^4-\frac{17}4x^2+1$

$f(x)=(x^2-\frac32)^2$

$f(x)=\frac12x^6-2x^3-2$

8

Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion.

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} + x^{2}$

$f(x)=(x^2-25)\cdot(\frac12x+4)$

$f (x) = x^{2} - 6 x + 9$

$f (x) = x^{6} - x^{4}$

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$

$f(x) = (2x-4)(4x^2-\frac{1}{3}x+2)-4x+8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f(x) = (2x-4)(4x^2-\frac{1}{3}x+2)-4x+8$
Ersetze den "schlimmen Teil"
Den Term $(4x^2-\frac{1}{3}x+2)$ bezeichnen wir als "schlimmen Teil". Ersetzen wir ihn also auch in der Vorschrift von $f$ :
$f(x) = (2x-4)\cdot$ schlimmer Teil $- 4 x + 8$
Was haben die Terme $(2 x - 4)$ und $\ -4x+8$ gemeinsam?
$-4x+8 = (-2)\cdot(2x-4)$
Setze dies in die Vorschrift von $f$ ein
$f(x) = (2x-4)\cdot$ schlimmer Teil $\ -2\cdot(2x-4)$
Klammere $(2 x - 4)$ aus
$f(x) = (2x-4)\cdot$ $($ schlimmer Teil $- 2)$
Setze den "schlimmen Teil" ein
$f(x) = (2x-4)\cdot (\ (4x^2-\frac{1}{3}x+2)-\ 2)$
Löse innere Klammer auf
$f(x) = (2x-4)\cdot (4x^2-\frac{1}{3}x+2-\ 2)$
$- 2$ und $+ 2$ heben sich gegenseitig auf
$f(x) = (2x-4)\cdot (4x^2-\frac{1}{3}x)$
$f$ ist das Produkt von zwei Polynomfunktionen. Berechne die Nullstellen der Faktoren.
Nullstellen des linken Faktors
Setze $(2 x - 4)$ gleich Null
$2 x - 4 = 0$
Bringe die $4$ auf die andere Seite
$2x-4 = 0\ \ \ \ \ |+4$
Teile durch $2$
$2x = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:2$
Erhalte die Nullstelle
$x_{1} = 2$
Nullstellen des rechten Faktors
Setze $\ (4x^2-\frac{1}{3}x)$ gleich null. Da hier kein konstantes Glied auftaucht, können wir die kleinste Potenz von $x$ ausklammern. Wir haben dann: $x\cdot(4x-\frac{1}{3})$
Dort lesen wir die Nullstelle $x_{2} = 0$ ab. Es fehlen uns nur noch die Nullstellen von $(4x-\frac{1}{3})$ . Diese berechnen wir, indem wir $4x-\frac{1}{3}$ gleich null setzen und diese Gleichung nach $x$ auflösen.
$4x-\frac{1}{3} = 0$
Bringe die $\frac{1}{3}$ auf die andere Seite
$4x-\frac{1}{3} = 0\ \ \ \ \ \ |+\frac{1}{3}$
Teile durch 4
$4x=\frac{1}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:4$
Erhalte die Nullstelle
$x_3 = \frac{1}{12}$
Und die Nullstellen von $f$ lauten…
Das war etwas mühsam. Doch jetzt haben wir alle Nullstellen von $f$ . Sie lauten $x_{1} = 2, x_{2} = 0$ und $x_3=\frac1{12}$ .
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Tipp: Welcher Teil bereitet dir Probleme? Kannst du ihn "ignorieren"?
Wenn du völlig auf dem Schlauch stehst, gehe nochmal zurück auf die Seite 2. Ausklammern von Faktoren(2|2).

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f (x)$ ein.

$f(1)=1^3+2\cdot1^2-5\cdot1-6=-8$

$f(1)\neq0$

Setze als nächstes z.B. $- 1$ in $f (x)$ ein.

$f(-1)=(-1)^3+2\cdot(-1)^2-5\cdot(-1)-6=0$

Die Funktion $f (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = - 1$ eine Nullstelle. Da $f (- 1) = 0$ , wissen wir, dass $f (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x + 1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $f (x) : (x + 1)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\;\;\;(x^3+2x^2-5x-6):(x+1)=x^2+x-6\\\underline{-(x^3+x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2-5x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^2+x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-6x-6\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-6x-6)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die Funktion $f (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = - 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Wende hier die Mitternachtsformel an.

$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot 1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1\pm\sqrt{25}}{2\cdot 1}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1\pm5}{2\cdot 1}$

Du erhältst die beiden Nullstellen:

$x_2=\dfrac{4}{2}=2$ und:

$x_3=\dfrac{-6}{2}=-3$

Die Funktion $f (x)$ hat also drei Nullstellen bei $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 3$ .

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9

Bestimme mithilfe der Substitutionsmethode die Nullstellen von f.

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Substitutionsverfahren
$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 8$
Setze die Gleichung gleich $0$ .
$0 = x^{4} - 2 x^{2} - 8$
Nun zur Substitution:
$0 = (x^{2})^{2} - 2 x^{2} - 8$
Substituiere: $z = x^{2}$ .
$0 = z^{2} - 2 z - 8$
Löse die so gewonnene Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel.
$z_{1{,}2}=\dfrac{2 \pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-8)}}{2\cdot1}$
Jetzt wird noch vereinfacht.
$z_{1{,}2}=\dfrac{2 \pm\sqrt{36}}{2}$
$z_{1}=\dfrac{2+6}{2}=4$
$z_{2}=\dfrac{2-6}{2}=-2$
Zum Schluss muss natürlich die Resubstitution angewandt:
Um auf die Nullstellen von $f (x)$ zu kommen, musst du nun noch resubstituieren:
$z=x^2 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{z}$
Aus $z_{1} = 4$ folgt:
$x_{1{,}2}=\pm\sqrt{4} \Rightarrow x_1=2$ und $x_{2} = - 2$
Aus $z = - 2$ bekommt man keine Lösungen für $f (x) = 0$ , da man aus um auf $x$ zu kommen die Wurzel aus $- 2$ ziehen müsste. Aber man kann keine Quadratwurzeln aus negativen Zahlen ziehen!
Die Funktion hat also die beiden Nullstellen $x_{1} = 2$ und $x_{2} = - 2$ .
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$f(x)=\frac12 x^6 +x^3-4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Substitutionsverfahren
$f(x)=\dfrac{1}{2}x^6+x^3−4$
Setzte die Gleichung gleich $0$ .
$0=\dfrac12x^6+x^3−4$
Nun zur Substitution:
$0=\dfrac12(x^3)^2+x^3−4$
Substituiere: $u = x^{3}$ .
$0=\dfrac12u^2+u−4$
Wende nun die Mitternachtsformel an um die Nullstellen der substituierten Gleichung zu berechnen.
$u_{1{,}2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot(-4)}}{2 \cdot \frac{1}{2}}$
Jetzt wird noch vereinfacht.
$u_{1{,}2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{1}$
$u_{1{,}2}=-1\pm\sqrt{9}$
$u_{1{,}2}=-1\pm3$
Berechne $u_{1}$ und $u_{2}$ .
$u_{1} = 2$ und $u_{2} = - 4$
Resubstitution
Um auf die Nullstellen von $f (x)$ zu kommen, musst du nun noch resubstituieren:
$u=x^3 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{u}$
$u_1=2 \Leftrightarrow x_1=\sqrt[3]{2}\approx1{,}26$
$u_2=-4 \Leftrightarrow x_2=\sqrt[3]{-4}\approx{-1{,}59}$
Die Funktion hat also die beiden Nullstellen $x_1=\sqrt[3]{2}$ und $x_2=\sqrt[3]{-4}$ .
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10

Berechne die Nullstellen folgender Funktionen.

$f(x)=\frac{1}{4}x^5-3x^3+8x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}x^5-3x^3+8x$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}x^5-3x^3+8x$
	↓	$ x$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(\frac{1}{4}x^4-3x^2+8\right)$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(\frac{1}{4}x^4-3x^2+8\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle \frac{1}{4}x^4-3x^2+8$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$x 2$ wird durch uuu ersetzt.
$\displaystyle \frac{1}{4}u^2-3u+8$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot\frac{1}{4}\cdot8}}{2\cdot\frac{1}{4}}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{9-8}}{0{,}5}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{1}}{0{,}5}$
	↓	Wurzel ziehen.

$u_{1} = 8$

Fall 1: $+$

$u_{2} = 4$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle x_{2{,}3}^2$	$=$	$\displaystyle u_1$
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	Radizieren.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{8}$
	$=$	$\displaystyle \pm2\sqrt{2}$
$\displaystyle x_{4{,}5}^2$	$=$	$\displaystyle u_2$
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Radizieren.
$\displaystyle x_{4{,}5}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{4}$
	$=$	$\displaystyle \pm2$

Die Funktion $f (x)$ hat fünf Nullstellen bei $x_{1} = 0$ , $x_2=2\sqrt2$ , $x_3=-2\sqrt2$ , $x_{4} = 2$ , $x_{5} = - 2$ .

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$g (x) = x^{7} - 7 x^{4} - 8 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^7-7x^4-8x$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^7-7x^4-8x$
	↓	$ x$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(x^6-7x^3-8\right)$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(x^6-7x^3-8\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle x^6-7x^3-8$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$ x 3$ wird durch $u$ ersetzt.
$\displaystyle u^2-7u$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{\left(-7\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-8\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{49+32}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{81}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm9}{2}$

$u_{1} = 8$

Fall 1: $+$

$u_{2} = - 1$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle x_2^3$	$=$	$\displaystyle u_1$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 8$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{8}$
$\displaystyle \sqrt[3]{8}$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle x_3^3$	$=$	$\displaystyle u_2$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle -\sqrt[3]{1}$
$\displaystyle -\sqrt[3]{1}$	$=$	$\displaystyle -1$

Die Funktion $g (x)$ hat drei Nullstellen bei $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2$ , $x_{3} = - 1$ .

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$h (u) = u^{5} - 13 u^{3} + 36 u$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle h\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^5-13u^3+36u$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle u^5-13u^3+36u$
	↓	$u$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle u\cdot\left(u^4-13u^2+36\right)$
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(u^4-13u^2+36\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle u^4-13u^2+36$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$u^{2}$ wird durch $x$ ersetzt.
$\displaystyle x^2-13x+36$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{13\pm\sqrt{\left(-13\right)^2-4\cdot1\cdot36}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{13\pm\sqrt{169-144}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{13\pm\sqrt{25}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.

$x_{1} = 9$

Fall 1: $+$

$x_{2} = 4$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle u_{2{,}3}^2$	$=$	$\displaystyle x_1$
	↓	Radizieren.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 9$
$\displaystyle u_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{9}$
$\displaystyle \pm\sqrt{9}$	$=$	$\displaystyle \pm3$
$\displaystyle u_{4{,}5}^2$	$=$	$\displaystyle x_2$
	↓	Radizieren.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle u_{4{,}5}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{4}$
$\displaystyle \pm\sqrt{4}$	$=$	$\displaystyle \pm2$

Die Funktion $h (u)$ hat fünf Nullstellen bei $u_{1} = 0$ , $u_{2} = 3$ , $u_{3} = - 3$ , $u_{4} = 2$ , $u_{5} = - 2$ .

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$k (z) = 2 z^{7} + 14 z^{4} - 16 z$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle k\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle 2z^7+14z^4-16z$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2z^7+14z^4-16z$
	↓	$z$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle z\cdot\left(2z^6+14z^3-16\right)$
$\displaystyle z_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(2z^6-14z^3-16\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\displaystyle 2z^6-14z^3-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$z 3$ wird durch $u$ ersetzt.
$\displaystyle 2u^2+14u-16$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot2\cdot\left(-16\right)}}{2\cdot2}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{196+128}}{4}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm\sqrt{324}}{4}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-14\pm18}{4}$

$u_{1} = 1$

Fall 1: $+$

$u_{2} = - 8$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$\displaystyle z_2^3$	$=$	$\displaystyle u_1$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle z_2$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{1}$
$\displaystyle \sqrt[3]{1}$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle z_3^3$	$=$	$\displaystyle u_2$
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle -8$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$\displaystyle z_3$	$=$	$\displaystyle -\sqrt[3]{8}$
$\displaystyle -\sqrt[3]{8}$	$=$	$\displaystyle -2$

Die Funktion $k (z)$ hat drei Nullstellen bei $z_{1} = 0$ , $z_{2} = 1$ , $z_{3} = - 2$ .

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11

Finde und begründe den Fehler bei den folgenden Nullstellenbestimmungen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 8$
Man wollte mithilfe der Substitution und des Satzes von Vieta die Nullstellen von $f (x)$ bestimmen.
Dabei wurde sowohl die Substitution als auch der Satz von Vieta richtig angewandt.
Die angegebenen Nullstellen $2$ und $4$ sind allerdings nicht die Nullstellen von $f (x)$ , sondern die Nullstellen der substituierten Funktion $f (u) = u^{2} - 6 u + 8$ .
Grund: Es wurde nicht resubstituiert. Da nämlich $x^{2} = u$ gilt, muss für die Lösung der Nullstellen noch die Wurzel aus $2$ und $4$ gezogen werden.
Somit hat $f (x)$ eigentlich die vier Nullstellen:
$x_{1{,}2}=\pm\sqrt{2}$
$x_{3{,}4}=\pm\sqrt{4}=\pm2$
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$g (x) = x^{4} - 12 x^{2} + 27$
Man wollte mithilfe der Substitution und der Mitternachtsformel die Nullstellen von $g (x)$ bestimmen.
Dabei wurde sowohl die Substitution als auch die Mitternachtsformel richtig angewandt.
Jedoch sind die angegebenen Nullstellen zu wenige.
Grund: Bei der Resubstitution werden $s_{1}$ sowie $s_{2}$ radiziert. Dabei kann die Lösung sowohl negativ als auch positiv sein.
Somit hat $g (x)$ eigentlich die vier Nullstellen:
$x_{1{,}2}=\pm\sqrt9=\pm3$
$x_{3{,}4}=\pm\sqrt3$
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12

Begründe mithilfe des Substitutionsverfahrens, warum die Funktion $f (x) = x^{4} - 8 x^{2} - 9$ nur zwei Nullstellen besitzt.

13

Berechne die Nullstellen und entscheide welche Besonderheit vorliegt.

$f\left(x\right)=-\frac12x^3-2x^2$

$f\left(x\right)=2x^5+64$

$f\left(x\right)=3x^4-7x^2+2$

$f\left(x\right)=-\frac12x^4-\frac72x^2+6$

$f\left(x\right)=\frac12x^4-8$

$f (x) = x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}$

$f(x)=\frac12x^3-\frac14x$

$f(x)=-\frac14x^3-16$

$f (x) = 2 x^{5} - 5 x^{4} - 3 x^{3}$

$f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4$

14

Bestimme die Nullstelle(n) der folgenden Funktion und gib die Linearfaktordarstellung von $f$ an:

\displaystyle f:x\mapsto \frac{1}{6} x^4-\frac{1}{6}x^3-x^2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

Nullstellen bestimmen und Linearfaktordarstellung angeben.

\displaystyle f(x)=\frac{1}{6} x^4-\frac{1}{6}x^3-x^2

Zur Berechnung der Nullstellen setzt du als Erstes $f (x) = 0$ .

\displaystyle \frac{1}{6} x^4-\frac{1}{6}x^3-x^2=0

Aus dieser Gleichung klammerst du am Besten $x^{2}$ aus.

\displaystyle x^2\cdot (\frac{1}{6} x^2-\frac{1}{6}x-1)=0

Damit ist nämlich ein Produkt entstanden, das gleich $0$ ist. Daher kannst du nun jeden der Faktoren einzeln gleich $0$ setzen.

$\Rightarrow x^2 =0$ oder $\ \frac{1}{6} x^2-\frac{1}{6}x-1=0$

$x^2=0 \Rightarrow x=0$ . Das ergibt die Nullstelle: $x_{1} = 0$

$\frac{1}{6} x^2-\frac{1}{6}x-1=0 \Rightarrow ?$ Die Nullstellen des Terms in der Klammer musst du noch bestimmen.

\displaystyle \frac{1}{6} x^2-\frac{1}{6}x-1=0

Das ist eine quadratische Gleichung, und darauf kannst du die Lösungsformel anwenden.

Das kannst du entweder jetzt direkt gleich tun;

oder du multiplizierst vorher, wenn du geschickt vorgehen möchtest, die Gleichung erst mit $6$ .

Dann fallen nämlich alle Brüche weg!

$\frac{1}{6} x^2-\frac{1}{6}x-1=0$ $\hspace{4mm}$ | $\cdot 6$

\displaystyle x^2-x-6=0

Berechne hiervon die Diskriminante.

$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-6)= 25$

Die Diskriminante ist größer als $0$ , also kannst du weiterrechnen und die beiden Lösungen bestimmen.

$x_{2/3}= \dfrac {-(-1)\pm \sqrt {25}}{2\cdot 1}$

Die Lösungen heißen hier $x_{2/3}$ statt $x_{1/2}$ , da die Bezeichnung $x_{1}$ ja schon für die Nullstelle $x_{1} = 0$ vergeben wurde.

$x_{2/3}= \dfrac {1\pm 5}{2}$

Rechne beide Werte aus.

$x_{2}= \dfrac {1+5}{2}=\dfrac{6}{2}=3$

$x_{3}= \dfrac {1-5}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2$

Jetzt hast du alle Nullstellen von $f$ erhalten und kannst auch ihre Vielfachheiten angeben.

Nullstellen von $f$ :

$x_{1} = 0$

doppelte Nullstelle, d.h. Vielfachheit 2

$x_{2} = 3$

einfache Nullstelle, d.h. Vielfachheit 1

$x_{3} = - 2$

einfache Nullstelle, d.h. Vielfachheit 1

Linearfaktordarstellung angeben

$f (x) = ?$

Um die Linearfaktordarstellung angeben zu können, brauchst du

alle Nullstellen der Funktion, und
deren Vielfachheiten;
und den Faktor, der in der Funktion vor der höchsten $x$ -Potenz steht.

Als Linearfaktordarstellung von $f$ ergibt sich:

$f(x)=\dfrac{1}{6}\cdot (x-0)^2\cdot (x-3) \cdot (x-(-2))$

oder kürzer $f(x)=\dfrac{1}{6}x^2 (x-3) (x+2)$

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Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

15

Bestimme die Nullstellen der Funktionen, indem du faktorisierst.

$f (x) = 3 x^{4} - 9 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3} - x$

$f (x) = 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$

$f (x) = x^{2} - 81$

$f (x) = x^{2} - 10 x + 25$

$f (x) = 9 x^{2} + 24 x + 16$

$f (x) = 9 x^{4} - 81 x^{2}$

16

Berechne die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Polynomdivision.

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f (x)$ ein.

$f(1)=1^3-1^2-4\cdot1+4=0$

Die Funktion $f (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = 1$ eine Nullstelle. Da $f (1) = 0$ , wissen wir, dass $f (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x - 1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $f (x) : (x - 1)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\;\;\;(x^3-x^2-4x+4):(x-1)=x^2-4\\\underline{-(x^3-x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0-4x+4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-4x+4)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die Funktion $f (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$\displaystyle x^2-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{4}$
	$=$	$\displaystyle \pm2$

Die Funktion $f (x)$ hat drei Nullstellen bei $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 2$ .

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$g (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 16 x + 12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$g (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 16 x + 12$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $g (x)$ ein.

$g(1)=1^3+3\cdot1^2-16\cdot1+12=0$

Die Funktion $g (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = 1$ eine Nullstelle. Da $g (1) = 0$ , wissen wir, dass $g (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x - 1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $g (x) : (x - 1)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}{-}\;\;(x^3+3x^2-16x+12):(x-1)=x^2+4x-12\\\underline{-(x^3-x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4x^2-16x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4x^2-4x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-12x+12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-12x+12)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die Funktion $g (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $g$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$\displaystyle x^2+4x-12$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot\left(-12\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4\pm\sqrt{64}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4\pm8}{2}$

$x_2=\dfrac{4}{2}=2$

$x_3=\dfrac{-12}{2}=-6$

Fall 1: $+$

Fall 2: $-$

Die Funktion $g (x)$ hat drei Nullstellen bei $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 6$ .

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$h (x) = 3 x^{4} + 12 x^{3} - 33 x^{2} - 90 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x^4+12x^3-33x^2-90x$
	↓	$3 x$ ausklammern.
$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x\cdot\left(x^3+4x^2-11x-30\right)$

$\Rightarrow x_1=0$

Die Funktion $h (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = 0$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $h$ bestimmen, indem du die Klammer gleich $0$ setzt.

$x^{3} + 4 x^{2} - 11 x - 30 = 0$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $- 2$ für $x$ ein.

$(-2)^3+4\cdot(-2)^2-11\cdot(-2)-30=-8+16+22-30=0$

Die Funktion $h (x)$ hat an der Stelle $x_{2} = - 2$ eine Nullstelle. Da $h (- 2) = 0$ , wissen wir, dass $h (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x + 2)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $(x^{3} + 4 x^{2} - 11 x - 30) : (x + 2)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\phantom{-}\ (x^3+4x^2-11x-30):(x+2)=x^2+2x-15 \\-\underline{(x^3+ 2x^2)}\\\phantom{-(x^3-1}2x^2-11x\\\phantom{(x^3+}-\underline{(2x^2+4x)}\\\phantom{- (x^3+3x^2-}-15x-30\\\phantom{(x3+3x^2}-\underline{(-15x-30)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-4x- 12}0\end{array}$

Setze das erhaltene Polynom gleich $0$ .

$\displaystyle x^2+2x-15$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot\left(-15\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm\sqrt{64}}{2}$
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm8}{2}$

Fall 1: $+$

$x_3=\dfrac{6}{2}=3$

Fall 2: $-$

$x_4=\dfrac{-10}{2}=-5$

Die Funktion $h (x)$ hat vier Nullstellen bei $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 2$ , $x_{3} = 3$ und $x_{4} = - 5$ .

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$i (x) = x^{3} - 7 x - 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle i\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^3-7x-6$
	↓	Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $i (x)$ ein.
$\displaystyle i\left(1\right)$	$=$	$\displaystyle 1^3-7\cdot1-6$
$\displaystyle i\left(1\right)$	$=$	$\displaystyle -12$

$i(1)\neq0$

Setze z.B. $- 1$ in $i (x)$ ein.

$i(-1)=(-1)^3-7\cdot(-1)-6=0$

Die Funktion $i (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = - 1$ eine Nullstelle. Da $i (- 1) = 0$ , wissen wir, dass $i (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x + 1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $i (x) : (x + 1)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}{-}\;\;(x^3+0x^2-7x-6):(x+1)=x^2-x-6\\\underline{-(x^3+x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-x^2-7x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-x^2-x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-6x-6\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-6x-6)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die Funktion $i (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = - 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $i$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$\displaystyle x^2-x-6$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-6\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\pm\sqrt{25}}{2}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\pm5}{2}$

$x_2=\dfrac62=3$

$x_3=\dfrac{-4}{2}=-2$

Fall 1: $+$

Fall 2: $-$

Die Funktion $i (x)$ hat drei Nullstellen bei $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 3$ und $x_{3} = - 2$ .

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17

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{a} (x) = a x^{2} + 6 x - 3$ mit $a\neq0$ .

Ermittle die Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit des Parameters $a$ .

Bestimme $a$ so, dass es genau eine Nullstelle gibt.

Bestimme $a$ so, dass $x = - 1$ eine Nullstelle ist.

18

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{b} (x) = x^{4} + b x^{2} + 6$ mit $b\neq0$ .

Bestimme die Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit von $b$ .

Bestimme $b$ so, dass $x=\sqrt2$ eine Nullstelle ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
Aus Aufgabe $\mathrm a)$ weißt du, dass die Nullstellen bei $x_{1{,}2,3{,}4}=\pm\sqrt{\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-24}}{2}}$ liegen.
Setze den Term gleich $\sqrt2$ und löse die Gleichung.
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\pm\sqrt{\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-24}}{2}}&=&\sqrt2&|()^2\\\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-24}}{2}&=&2&|\cdot2\\-b\pm\sqrt{b^2-24}&=&4&|+b\\\pm\sqrt{b^2-24}&=&b+4&|()^2\\b^2-24&=&b^2+8b+16&|-(b^2+16)\\-40&=&8b&|:8\\-5&=&b&\end{array}$
Die Funktion $f_{b} (x)$ hat für $b = - 5$ eine Nullstelle bei $x=\sqrt2$ .
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19

Gegeben ist die Funktionenschar $f_k(x)=kx^2+kx-7{,}5$ mit $k\neq0$ .

Bestimme $k$ so, dass es nur eine Nullstelle gibt.

Bestimme $k$ so, dass $x = - 2,5$ eine Nullstelle ist.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 14x-21$
	↓	Setze f(x)=0
$\displaystyle 14x-21$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +21$
$\displaystyle 14x$	$=$	$\displaystyle 21$	$\displaystyle :14$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

$\displaystyle x_1^3$	$\approx ≈$	$\displaystyle 4{,}83$
	↓	dritte Wurzel ziehen
$\displaystyle x_1$	$\approx ≈$	$\displaystyle \sqrt[3]{4{,}83}\approx1{,}69$

$\displaystyle x_2^3$	$\approx ≈$	$\displaystyle -0{,}83$
	↓	dritte Wurzel ziehen
$\displaystyle x_2$	$\approx ≈$	$\displaystyle \sqrt[3]{-0{,}83}\approx-0{,}94$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac12x+4$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle -4$	$=$	$\displaystyle \frac12 x$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle -8$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x-8$
	↓	Setze $f (x) = 0$
$\displaystyle 2x-8$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +8$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-7x-10$
	↓	Setze $g (x) = 0$
$\displaystyle -x^2-7x-10$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4(-1)(-10)}}{2(-1)}$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{49-40}}{-2}$
	↓	Berechne die Wurzel
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm3}{-2}$
	↓	1 Fall: $+$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{-2}$
	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	2 Fall: $-$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{7-3}{-2}$
	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 4x+20$
	↓	Setze f(x)=0
$\displaystyle 4x+20$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -20$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle -20$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -5$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+6x-14=0$
	↓	mit der pq-Formel lösen.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\left(\frac{p}{2}\right)\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -3\pm\sqrt{9-\left(-14\right)}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -3+\sqrt{23\ }\vee x_2=-3-\sqrt{23}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^4-3x^2+2$
	↓	f(x) gleich 0 setzen, um die Nullstellen zu bestimmen
$\displaystyle x^4-3x^2+2$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2-\ 3u\ +\ 2\ =\ 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{9-8}}2$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm1}2$

$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{2}$

$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm1$

$\displaystyle x_{3{,}4}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{1}{2}$

$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}$
	↓	Wuzel ziehen
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\sqrt{\frac{3}{2}}$
	↓	Zwei doppelte Nullstellen

$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^3$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}u^2-2u-2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot\frac{1}{2}\cdot(-2)}}{2\cdot\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{8}}{1}=2\pm\sqrt{8}$

$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 2+\sqrt{8}\approx4{,}83$
	↓	Fall: +

$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle 2-\sqrt{8}\approx-0{,}83$
	↓	Fall: -

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^3+3x^2-4x$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^3+3x^2-4x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\left(x^2+3x-4\right)$

$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot 1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}$
	↓	Ziehe die Wurzel
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm5}{2}$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x^4+2x^3+x^2$
	↓	Klammere die kleinste Potenz von $x$ aus und setze $f (x)$ = 0
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot\left(x^2+2x+1\right)$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x^2-25\right)$
	↓	Benutze die 3. Binomische Formel
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle (x-5)\cdot(x+5)$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x^2-6x+9$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-6x+9$
	↓	Wende die 2. Binomische Formel an.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x-3\right)^2$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle (x-3)\cdot(x-3)$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x^6-x^4$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^6-x^4$
	↓	Klammere die kleinste Potenz von $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^4\cdot\left(x^2-1\right)$

Graphische Veranschaulichung:

Lösung durch Berechnung:

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Eine mögliche Lösung:

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Roter Graph

Grüner Graph

Lila Graph

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Substitution

Resubstitution

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Substitution

Resubstitution

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Substitution

Resubstitution

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Substitution

Resubstitution

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Resubstitution

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Ersetze den "schlimmen Teil"

Nullstellen des linken Faktors

Nullstellen des rechten Faktors

Und die Nullstellen von fff lauten…

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Nun zur Substitution:

Zum Schluss muss natürlich die Resubstitution angewandt:

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Nun zur Substitution:

Resubstitution

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Substitution

Resubstitution

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Substitution

Resubstitution

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Substitution

Resubstitution

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Substitution

Resubstitution

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Substitution

Nullstellenbestimmung

Und die Nullstellen von $f$ lauten…

Anwenden der 1. binomischen Formel für $x_{3{,}4}$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x^2-1\right)$
	↓	Verwende die 3. Binomische Formel.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle (x-1)\cdot(x+1)$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle u^2-6u+5$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle u^2-6u+5$

$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}$
	↓	Fasse unter der Wurzel zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{36-20}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{16}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm4}{2}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^4-8x^2-9$
	↓	In $f (x)$ wird $x^{2}$ durch $u$ ersetzt, wodurch man die Funktion $f (u)$ erhält.
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle u^2-8u-9$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{8\pm\sqrt{\left(-8\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-9\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{8\pm\sqrt{64+36}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{8\pm\sqrt{100}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{8\pm10}{2}$
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Fall 1: $+$
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Fall 2: $-$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^3-2x^2$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^3-2x^2$
	↓	Der niedrigste Exponent ist 2, also kann $x^{2}$ ausgeklammert werden.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot\left(-\frac{1}{2}x-2\right)$
	↓	Die erste (doppelte) Nullstelle liegt bei 0.
$\displaystyle \Rightarrow\ x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Um weitere Nullstellen zu bestimmen, betrachte den Term in der Klammer.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x-2$	$\displaystyle +\frac{1}{2}x$
$\displaystyle \frac{1}{2}x$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle \Rightarrow\ x_3$	$=$	$\displaystyle -4$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x^5+64$
	↓	Die Funktion gleich 0 setzen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x^5+64$	$\displaystyle -64$
$\displaystyle -64$	$=$	$\displaystyle 2x^5$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle -32$	$=$	$\displaystyle x^5$
	↓	Fünfte Wurzel ziehen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x^4-7x^2+2$
	↓	Substitution
$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle 3u^2-7u+2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot3\cdot2}}{2\cdot3}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{49-24}}{6}$
	↓	Unter der Wurzel die Differenz bilden
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{25}}{6}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm5}{6}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^4-\frac{7}{2}x^2+6$
	↓	Substitution
$\displaystyle u$	$=$	$\displaystyle x^2$
$\displaystyle f\left(u\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}u^2-\frac{7}{2}u+6$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle u_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{7}{2}\pm\sqrt{(-\frac{7}{2})^2-4\cdot(-\frac{1}{2})\cdot6}}{2\cdot(-\frac{1}{2})}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}+12}}{-1}$
	↓	Unter der Wurzel die Summe bilden.
	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5\pm\sqrt{24{,}25}}{-1}$
$\displaystyle u_1$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5+\sqrt{24{,}25}}{-1}\approx-8{,}424$
	↓	Fall: +; keine Resubstitution möglich, da negativ
$\displaystyle u_2$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5-\sqrt{24{,}25}}{-1}\approx1{,}424$
	↓	Fall: -; Resubstitution
$\displaystyle x_{1{,}2}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5-\sqrt{24{,}25}}{-1}\approx1{,}424$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{1{,}424}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^4-8$
	↓	Die Funktion gleich 0 setzen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^4-8$	$\displaystyle +8$
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^4$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle 16$	$=$	$\displaystyle x^4$
	↓	Vierte Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^4+10x^3+25x^2$
	↓	$x^{2}$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle x^2(x^2+10x+25)$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Doppelte Nullstelle; Setze die Klammer gleich 0
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x^2+10x+25\right)$
	↓	Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-10\pm\sqrt{10^2-4\cdot1\cdot25}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-10\pm\sqrt{0}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-10\pm0}{2}$
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-10}{2}$
	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	Doppelte Nullstelle