Aufgaben

Gegeben sind die Funktionen %%f%% und %%g%% mit %%f\left(x\right)=1+e^{1-x}%% und %%g\left(x\right)=2\cdot e^{x-1}%% .

Zu text-exercise-group 14025: Keine Lösung.
Lena09 2014-03-21 16:52:27+0100
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Bestimme den Schnittpunkt der beiden Graphen.

Berechnung von Schnittpunkten zweier Graphen

Du suchst nach Werten %%x%%, die

  1. in den Definitionsmengen %%D_{f}%% und %%D_{g}%% beider [Funktionen]() %%f%% und %%g%% enthalten sind und
  2. %%f(x) = g(x)%% erfüllen.

Um solche Werte %%x%% zu finden, löst du die Gleichung %%f(x) = g(x)%% nach %%x%% auf, falls dies möglich ist.

%%f(x)=g(x)%%

In diese Gleichung setzt du die Definitionsgleichungen %%f(x)=1+\mathrm e^{1-x}%% und %%g(x)=2\mathrm e^{x-1}%% von %%f%% und %%g%% ein.

%%\Leftrightarrow 1+\mathrm e^{1-x} = 2\mathrm e^{x-1}%%

Nun kannst du %%x-1%% durch %%-(1-x)%% ersetzen.

%%\Leftrightarrow 1+\mathrm e^{1-x} = 2\mathrm e^{-(1-x)}%%

Anschließend kannst du beide Seiten der Gleichung mit %%\mathrm e^{1-x}%% multiplizieren, um die rechte Seite der Gleichung zu vereinfachen: Dabei ist aufgrund der Potenzgesetze %%\mathrm e^{1-x} \cdot\mathrm e^{-(1-x)} = \mathrm e^0 = 1%%.

%%\Leftrightarrow\mathrm e^{1-x} + (\mathrm e^{1-x})^2 = 2%%

Vertausche die Summanden (Kommutativgesetz der Addition).

%%\Leftrightarrow (\mathrm e^{1-x})^2 + \mathrm e^{1-x} = 2%%

Dies erinnert an eine quadratische Gleichung. Nun kannst du mit %%y = \mathrm e^{1-x}%% eine Substitution durchführen, d. h., du betrachtest eine veränderte Gleichung, in der du den komplizierteren Ausdruck %%\mathrm e^{1-x}%% durch %%y%% ersetzt; dies liefert eine einfacher aussehende Gleichung:

%%y^2 + y = 2%%

Hier kannst du %%2%% auf die linke Seite der Gleichung bringen.

%%\Leftrightarrow y^2 + y - 2 = 0%%

Nun hast du eine quadratische Gleichung erhalten, die der Theorie gemäß höchstens zwei reelle Lösungen (d. h. Nullstellen) hat. Diese kannst du mit der %%pq%%-Formel berechnen:

$$\begin{align}y &= -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2} - (-2)}\\&= -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2}\\&= -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}\\&= -\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} \Leftrightarrow y \in \{-2, 1 \}\end{align}$$

%%\Leftrightarrow y \in \{-2, 1\}%%

(Hier gilt der Äquivalenzpfeil, da die Gleichung genau zwei reelle Lösungen hat.)

Die Exponentialfunktion %%\operatorname{exp}\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+, x \mapsto\mathrm e^x%% nimmt nur positive Werte an. Deswegen kann auch %%\mathrm e^{1-x} = \operatorname{exp}(1-x)%% nur positive Werte annehmen und die Gleichung %%y = \mathrm e^{1-x}%% ist lediglich für %%y = 1%% erfüllbar.

%%\mathrm e^{1-x} = 1%%

Wie du vielleicht schon weißt, ist %%\operatorname{exp}(0) = \mathrm e^0 = 1%%. Also ist %%x = 1%% eine mögliche Lösung. Durch Anwendung der natürlichen Logarithmusfunktion %%\operatorname{ln}%% auf beide Seiten der Gleichung erhältst du

%%\Leftrightarrow \operatorname{ln}(\mathrm e^{1-x}) = \operatorname{ln}(1)%%

Da %%\operatorname{ln}%% die Umkehrfunktion von %%\operatorname{exp}%% auf ganz %%\mathbb{R}%% ist (deswegen bleibt der Äquivalenzpfeil gültig), gilt %%\operatorname{ln}(\mathrm e^x) = x%%. Aus dem Artikel zur %%\operatorname{ln}%%-Funktion könntest du dir gemerkt haben, dass %%\operatorname{ln}(1) = 0%% ist.

%%\Leftrightarrow 1-x = 0%%

Hier kannst du %%x%% auf die andere Gleichungsseite bringen und bekommst die gesuchte Lösung der Gleichung %%f(x) = g(x)%%.

%%\Leftrightarrow x = 1%%

Als Letztes musst du diesen %%x%%-Wert noch in eine der beiden ursprünglichen Funktionen einsetzen, um den %%y%%-Wert des Schnittpunkts herauszufinden.

%%f(1)=1+\mathrm e^{1-1}=1+\mathrm e^0=1+1=2%%

Also liegt der gesuchte Schnittpunkt bei %%S(1\mid2)%%.

Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Graphen?

Berechnung des Schnittwinkels zweier reeller Funktionen in einem Punkt:

Gegeben sind zwei Funktionen %%f:D_{f} \rightarrow \mathbb{R}%%, %%g:D_{g} \rightarrow \mathbb{R}%%, deren Graphen sich in einem Punkt %%\tilde x%% gemäß Teilaufgabe b) schneiden: %%f(\tilde x) = g(\tilde x)%%. %%f%% und %%g%% wollen wir als in %%\tilde x%% differenzierbar voraussetzen.

Du kannst nun folgendermaßen vorgehen: Berechne Geraden %%g_{1}: y = k_{1} x + d_{1}%% und %%g_{2}: y = k_{2} x + d_{2}%%, welche die nachstehenden Eigenschaften aufweisen:

  1. %%f'(\tilde x) = k_{1}%% und %%g'(\tilde x) = k_{2}%%

  2. %%f(\tilde x) = k_{1} \tilde x + d_{1}%% und %%g(\tilde x) = k_{2} \tilde x + d_{2}%%

Dies bedeutet, in Worte gefasst:

  1. Die Steigung von %%g_{1}%% ist gleich der Steigung von %%f%% in %%\tilde x%% und die Steigung von %%g_{2}%% ist gleich der Steigung von %%g%% in %%\tilde x%%.
  2. Der Schnittpunkt %%(\tilde x, f(\tilde x)) = (\tilde x, g(\tilde x))%% der Graphen von %%f%% und %%g%% ist in %%g_{1}%% und %%g_{2}%% enthalten.

Anschließend kannst du den Schnittwinkel beider Geraden durch deren Richtungsvektoren %%\overrightarrow{g_{1}}%% und %%\overrightarrow{g_{2}}%% mittels der Formel %%cos(\phi)=\frac{\langle\overrightarrow{g_{1}}, \overrightarrow{g_{2}} \rangle}{\lvert \overrightarrow{g_{1}} \rvert \cdot \lvert \overrightarrow{g_{2}} \rvert}%% berechnen (%%\langle ., . \rangle%% bezeichnet das Standardskalarprodukt):

In Teilaufgabe b) war der Schnittpunkt %%\tilde x = 1%% mit %%f(1)=g(1)=2%%. Um die Steigungen von %%f%% und %%g%% in %%\tilde x = 1%% zu berechnen, benötigen wir deren Ableitungen an dieser Stelle:

%%f'(x) = -e^{1-x}%% und %%g'(x) = 2 \cdot e^{x-1}%%.

Detaillierte Begründung der Differenzierbarkeit und Berechnung der Ableitungen.

Die Funktionen

%%h_{1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1%%

%%h_{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1-x%%

%%h_{3}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^+}, x \mapsto e^x%%

sind allesamt differenzierbar und haben die Ableitungen

%%h_{1}'(x) = 0%%

%%h_{2}'(x) = -1%%

%%h_{3}'(x) = e^x%%.

Wegen

%%f(x) = h_{1}(x) + h_{3}(h_{2}(x))%% und

%%g(x) = 2 \cdot h_{3}((-1) \cdot h_{2}(x))%%

sind %%f%% und %%g%% aufgrund der Ketten-, Summen- und Produktregel ebenfalls differenzierbar:

%%f'(x) = h_{1}'(x) + h_{3}'(h_{2}(x)) \cdot h_{2}'(x)%%

%%= 0 + e^{1-x} \cdot (-1)%%

%%= -e^{1-x}%%

sowie

%%g'(x) = 2 \cdot h_{3}'((-1) \cdot h_{2}(x)) \cdot ((-1) \cdot h_{2}'(x))%%

%%= 2 \cdot e^{(-1) \cdot (1-x)} \cdot ((-1) \cdot (-1))%%

%%= 2 \cdot e^{x-1}%%

Nun kannst du die Werte der Ableitungen an %%\tilde x = 1%% durch Einsetzen berechnen.

%%f'(1) = -e^{1-1} = -e^0 = -1%%

%%g'(1) = 2 \cdot e^{1-1} = 2 \cdot e^0 = 2%%

Anschließend kannst du die gesuchten Geraden bestimmen, indem du %%k_{1} = f'(1)%% und %%k_{2} = g'(1)%% setzt (damit ist 1. erfüllt). Wenn du weiterhin noch 2. forderst, erhältst du durch Einsetzen von %%\tilde x = 1, f(1), g(1), k_{1}%% und %%k_{2}%% zwei Gleichungen. Diese Gleichungen formst du um, um die fehlenden Werte %%d_{1}%% und %%d_{2}%% zu berechnen:

$$f(\tilde x)=k_{1} \tilde x + d_{1}\\\Leftrightarrow 2= (-1) \cdot 1 + d_{1}\\\Leftrightarrow d_{1}=3$$

und

$$g(\tilde x) = k_{2} \tilde x + d_{2}\\\Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + d_{2}\\\Leftrightarrow d_{2} = 0$$

Nach diesen Schritten hast du die Geradengleichungen von %%g_{1}%% und %%g_{2}%% ermittelt:

%%g_{1}: y = (-1) \cdot x + 3%%

%%g_{2}: y = 2 \cdot x%%

(siehe auch: (*) Alternativer Lösungsweg)

Du kannst sofort die Normalform der Geraden angeben,

%%g_{1}: x + y = 3%%

%%g_{2}: (-2) \cdot x + y = 0%%

sowie deren Normalenvektoren %%\overrightarrow{n}_{g_{1}}%% und %%\overrightarrow{n}_{g_{2}}%% ablesen: %%\binom{1}{1}%% und %%\binom{-2}{1}%%.

Da Normalenvektoren in der Ebene senkrecht, d.h. in einem Winkel von %%90°%% auf den Richtungsvektor der Geraden stehen, ist in obiger Grafik %%\varphi = \varphi'%%. Also kannst du %%\phi%% mit der weiter oben angegebenen Formel berechnen, wobei du jedoch nicht die Richtungs-, sondern die Normalenvektoren verwendest:

$$\begin{align}cos(\varphi)&=\frac{\langle\overrightarrow{n}_{g_{1}}, \overrightarrow{n}_{g_{2}} \rangle}{\lvert \overrightarrow{n}_{g_{1}} \rvert \cdot \lvert \overrightarrow{n}_{g_{2}} \rvert}\\&=\frac{\langle\binom{1}{1}, \binom{-2}{1} \rangle}{\lvert \binom{1}{1} \rvert \cdot \lvert \binom{-2}{1} \rvert} \\&= \frac{-2+1}{\sqrt{1+1} \cdot \sqrt{4+1}}\\&= -\frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}= -\frac{1}{\sqrt{10}}\end{align}$$

%%\begin{align}\Rightarrow \varphi &= cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{10}})\\&\approx 108,4°\end{align}%%

Unter Verwendung eines Taschenrechners ist es dir möglich, den Wert von %%cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{10}})%% (in %%°%% Winkelmaß) zu berechnen.

Achtung: Versichere dich davor in dessen Einstellungsmenü davon, dass du dein Ergebnis nicht in %%°%% Radiant angegeben erhältst.


(*) Alternativer Lösungsweg

Dieser Lösungsweg verwendet keine Vektoren, sondern benutzt die Tatsache, dass die Steigung m einer Gerade durch %%m=\tan\left(\alpha\right)%% gegeben ist. Auflösen nach dem Steigungswinkel %%\alpha%% (=Winkel gegen die Horizontale) durch Anwenden von %%\tan^{-1}\left(..\right)%% auf beiden Seiten der Gleichung liefert: $$\alpha=\tan^{-1}\left(m\right)$$

Wir hatten:

%%g_{1}: y = - x + 3 \;%% mit Steigung %%\;m_1=-1%%.

%%g_{2}: y = 2 \cdot x\;%% mit Steigung %%\;m_2=2%%

$$$$$$$$

$$$$

Berechne nun den Steigungswinkel gemäß der Formel von oben.

Steigungswinkel von %%g_1%%:
%%\alpha_1=\tan^{-1}\left(m_1\right)=\tan^{-1}\left(-1\right)=-45^\circ%%

Steigungswinkel von %%g_2%%:
%%\alpha_2=\tan^{-1}\left(m_2\right)=\tan^{-1}\left(2\right)\approx63,4^\circ%%

Berechne den Schnittwinkel. Ziehe dazu die Winkel voneinander ab und bilde deren Betrag.

%%\varphi=\left|\alpha_2-\alpha_1\right|\approx\left|63,4^\circ-(-45^\circ)\right|=108,4^\circ%%

Gegeben ist die Funktion %%f%% mit  %%f\left(x\right)=x\cdot e^{1-x}%% .

Zu text-exercise-group 14033: Keine Lösung.
Lena09 2014-03-21 16:52:51+0100
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In welchen Intervallen ist %%f%% streng monoton wachsend?

Monotonieverhalten einer reellwertigen Funktion bestimmen:

Eine reellwertige Funktion %%f\colon[a,b] \rightarrow \mathbb{R}%% auf einem Intervall %%[a,b]%% mit %%a < b%% heißt

  • monoton wachsend auf %%[a,b]%%, falls aus %%a \leq x \leq y \leq b%% folgt, dass %%f(x) \leq f(y)%% ist.
  • streng monoton wachsend auf %%[a,b]%%, falls aus %%a \leq x < y \leq b%% folgt, dass %%f(x) < f(y)%% ist.

Kurz gesagt bedeutet monotones Wachstum: Je weiter du von %%a%% ausgehend auf %%b%% zugehst, desto größer werden die Funktionswerte von %%f%%.

  • monoton fallend auf %%[a,b]%%, falls aus %%a \leq x \leq y \leq b%% folgt, dass %%f(x) \geq f(y)%% ist.
  • streng monoton wachsend auf %%[a,b]%%, falls aus %%a \leq x < y \leq b%% folgt, dass %%f(x) < f(y)%% ist.

Kurz gesagt bedeutet monotone Abnahme: Je weiter du von %%a%% ausgehend auf %%b%% zugehst, desto kleiner werden die Funktionswerte von %%f%%.

Ist die betrachtete Funktion %%f\colon[a,b] \rightarrow \mathbb{R}%% differenzierbar, so kannst du ihr Monotonieverhalten folgendermaßen bestimmen:

  • Ist %%f'(x) \geq 0%% (bzw. %%>0%%) für alle %%x%% in %%[a,b]%%, so wächst %%f%% monoton (bzw. streng) auf %%[a,b]%%.
  • Ist %%f'(x) \leq 0%% (bzw. %%<0%%) für alle %%x%% in %%[a,b]%%, so fällt %%f%% monoton (bzw. streng monoton) auf %%[a,b]%%.

Dieses Vorgehen kannst du auf differenzierbare Funktionen %%f\colon\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}%% verallgemeinern, indem du die Ableitung %%f'%% berechnest und %%\mathbb{R}%% in größtmögliche Intervalle unterteilst, auf welchen %%f' \geq 0%% oder %%f' \leq 0%% ist.

In dieser Aufgabe ist

%%f(x)=x \cdot \mathrm e^{1-x}%%

%%f%% ist laut Produkt- und Kettenregel differenzierbar, womit du also ihre Ableitung berechnen kannst:

Detaillierte Begründung der Differenzierbarkeit von %%f%%

Die Exponentialfunktion %%\operatorname{exp}\colon x\mapsto\mathrm e^x%% ist (beliebig oft) differenzierbar mit %%(\mathrm e^x)'=\mathrm e^x%%. Auch Polynome sind (beliebig oft) differenzierbar, weshalb die Funktionen %%h_{1}\colon x \mapsto x%% und %%h_{2}\colon x \mapsto 1-x%% (beliebig oft) differenzierbar sind; ihre Ableitungen sind

%%h'_{1}(x) = 1%% und %%h'_{2}(x) = -1%%.

Wegen %%f(x) = h_{1}(x) \cdot \operatorname{exp}(h_{2}(x))%% ist %%f%% gemäß der Produkt- und Kettenregel ebenfalls (beliebig oft) differenzierbar.

%%f'(x) =%%

Anwendung der Produktregel

%%(x)' \cdot\mathrm e^{1-x} + x \cdot (\mathrm e^{1-x})'=%%

Anwendung der Kettenregel unter Benutzung von %%(\mathrm e^x)'=\operatorname{exp}'(x)=\operatorname{exp}(x)=\mathrm e^x%% liefert:

%%(\mathrm e^{1-x})'=%%

%%(\mathrm exp(1-x))'=%%

%%\operatorname{exp}'(1-x) \cdot (1-x)'=%%

%%\operatorname{exp}(1-x) \cdot (-1)=%%

%%-\mathrm e^{1-x}%%

Durch Einsetzen der Ableitung %%(x)'=1%% erhältst du

%%1 \cdot\mathrm e^{1-x} + x \cdot (-1) \cdot\mathrm e^{1-x}=%%

Hier kannst du den Ausdruck %%\mathrm e^{1-x}%% herausheben:

%%(1-x) \cdot\mathrm e^{1-x}%%

Dabei ist %%\mathrm e^{1-x}%% für reelle %%x%% immer positiv.

Genauere Begründung

Die Exponentialfunktion %%\operatorname{exp}\colon\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}, x \mapsto\mathrm e^x%% nimmt ausschließlich positive Werte an. Wir definieren %%h\colon\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1-x%% als eine weitere Funktion. Damit hat auch die Verknüpfung %%\mathrm{exp} \circ h\colon\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}%% beider Funktionen nur positive Bilder.

Daher hängt das Vorzeichen von %%f'(x)%% nur von dem Ausdruck %%1-x%% ab:

%%1-x>0%% für %%x<1%% und

%%1-x<0%% für %%x>1%%.

Insgesamt ist

%%f'(x)>0%% für %%x<1%% und

%%f'(x)<0%% für %%x>1%%.

Nach dem obigen Kriterium für differenzierbare Funktionen kannst du folgende Aussage zum Monotonieverhalten von %%f%% angeben:

%%f%% wächst streng monoton für %%x<1%% und fällt streng monoton für %%x>1%%.

Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von %%f%%.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hoch- und Tiefpunkte berechnen

  • Berechne zuerst die Nullstellen der 1. Ableitung.
  • Überprüfe mithilfe der 2. Ableitung, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.
Aus Teilaufgabe a) weißt du bereits, dass f(x)=(1x)e1xf'(x) = (1-x) \cdot e^{1-x} ist. Berechne nun die Nullstellen der ersten Ableitung.
f(x)=0f'(x) = 0
Setze für f(x)f'(x) ein.
(1x)e1x=0\Leftrightarrow (1-x) \cdot e^{1-x} = 0
Desweiteren solltest du aus Teilaufgabe a) in Erinnerung behalten haben, dass e1x>0e^{1-x}>0 ist. Somit ist die linke Seite der Gleichung genau dann gleich Null, wenn 1x=01-x=0 ist. Dies ist nur für x=1x=1 erfüllt.
x=1\Leftrightarrow x=1

x=1x=1 ist also der einzige Punkt von ff, der als Hoch- oder Tiefpunkt in Frage kommt.
Um zu entscheiden, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, berechnest du die zweite Ableitung von ff.
f(x)=((1x)e1x)f''(x) = ((1-x) \cdot e^{1-x})'
Wende die Produktregel an.
=(1x)e1x+(1x)(e1x)=(1-x)' \cdot e^{1-x} + (1-x) \cdot (e^{1-x})'
Wie in Teilaufgabe a) nutzt du zum Ableiten von e1xe^{1-x} die Kettenregel und erhältst (e1x)=e1x(e^{1-x})'=-e^{1-x}. Dies setzt du zusammen mit (1x)=1(1-x)'=-1 ein.
=e1x+(1)(1x)e1x=-e^{1-x}+(-1) \cdot (1-x) \cdot e^{1-x}
Hineinziehen des Minuszeichens in die Klammer.
=e1x+(x1)e1x=-e^{1-x}+(x-1) \cdot e^{1-x}
Nun klammerst du e1xe^{1-x} aus.
=(1+x1)e1x=(x2)e1x=(-1 + x-1) \cdot e^{1-x}= (x-2) \cdot e^{1-x}

Nun setzt du x=1x=1 in die 2. Ableitung von ff ein.
f(1)=(12)e11=(1)e0=1=1<0\displaystyle f''(1)=(1-2) \cdot e^{1-1} = (-1) \cdot \underbrace{e^{0}}_{=1} = -1 < 0
Da f(1) f''(1) kleiner als 0 ist, ist x=1x=1 ein Hochpunkt von ff.
Die Funktion f(x)=xe1xf(x)=x⋅e^{1−x} hat genau einen Hochpunkt bei x=1x=1.

Gegeben ist die Funktion %%f%% mit %%f(x)=(x^2+x-5)\cdot e^x%% .

Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von %%f%%.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hoch- und Tiefpunkte berechnen

  • Berechne zuerst die Nullstellen der 1. Ableitung.
  • Überprüfe mithilfe der 2. Ableitung, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.


f(x)=(x2+x5)exf(x) = (x^2 + x - 5) \cdot e^x
Zum Ableiten von f(x)f(x) benötigst du die Produktregel:
Die Ableitung des ersten Faktors x2+x5x^2+x-5 ist:

(x2+x5)=2x+1\displaystyle (x^2+x-5)'=2x+1
Damit erhältst du für die gesamte Ableitung
f(x)=(x2+x5)ex+(2x+1)ex=(x2+x5+2x+1)ex=(x2+3x4)ex\displaystyle f'(x) = (x^2+x-5) \cdot e^x + (2x+1) \cdot e^x \\ = (x^2+x-5+2x+1) \cdot e^x= (x^2+3x-4)\cdot e^x
Nun berechnest du die Nullstellen von f(x) , also die Lösung der Gleichung von f(x)=0f'(x)=0:
f(x)=0f'(x)=0
ex(x2+3x4)=0\Leftrightarrow e^x \cdot (x^2 + 3x -4) = 0
Die linke Gleichungsseite ist genau dann gleich 00, wenn einer der beiden Faktoren des dortigen Produktes gleich 00 ist.
Also ex=0e^x=0 oder x2+3x4=0x^2+3x−4=0.
Da die Exponentialfunktion xexx \mapsto e^x nur positive Werte annimmt, gibt es für ex=0e^x=0 keine Lösung. Löse also nun x2+3x4=0x^2 + 3x -4 = 0.
Dies kannst du mit der PQ-Formel berechnen:
x1,2=32±(32)2(4)=32±94+4=32±254=32±52\displaystyle \begin{array}{rl} x_{1,2}&= -\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2-(-4)}\\&= -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 4}\\&= -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}}\\&= -\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2} \end{array}
x1=32+52=1x2=3252=4\Rightarrow x_1=-\frac{3}{2} + \frac{5}{2}=1 \\ x_2=-\frac{3}{2} - \frac{5}{2}=-4

x{4,1}\Leftrightarrow x \in \{-4, 1\}
Um nun herauszufinden, ob es sich bei diesen um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, musst du sie in die zweite Ableitung von ff einsetzen. Dafür bereechnest du zuerst f(x)f''(x) mit Hilfe der Produktregel:

f(x)=(f(x))=(x2+3x4)ex+(2x+3)ex=(x2+3x4+2x+3)ex=(x2+5x1)ex\displaystyle f''(x) = (f'(x))' = (x^2 + 3x -4) \cdot e^x + (2x + 3) \cdot e^x \\= (x^2+3x-4+2x+3) \cdot e^x = (x^2+5x-1) \cdot e^x
Nun setzt du die Nullstelen der 1 Ableitung -4 und 1 in die zweite Ableitung ein.
f(4)=((4)2+5(4)1)e4=(16201)e4=5e4>0<0f''(-4) = ((-4)^2+5 \cdot (-4)-1) \cdot e^{-4} = (16 - 20 - 1) \cdot e^{-4} = -5 \cdot \underbrace {e^{-4}}_{>0} < 0,
sowie
f(1)=(12+511)e1=(1+51)e=5e>0>0f''(1) = (1^2+5 \cdot 1-1) \cdot e^{1} = (1 + 5 - 1) \cdot e = 5 \cdot \underbrace {e}_{>0} > 0.
Du siehst nun, dass 4-4 ein Hochpunkt und 11 ein Tiefpunkt von ff ist.
Im Schaubild unten siehst du den Graph von f(x) f(x) gezeichnet (keine Sorge, dass war in der Aufgabe nicht verlangt ;-) ). Wie du siehst passen Hoch- und Tiefpunkt zum Graphen.
Diskutiere folgende Funktionen so weit, bis du den Graphen zeichnen kannst. Gib gegebenenfalls die Asymptoten an:
f(x)=eexf(x)=e\cdot e^x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion

Definitionsbereich festlegen

Da die Funktion keine Brüche, Wurzeln oder andere Dinge enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, ist der Definitionsbereich der Funktion Df=RD_f=ℝ.

Nullstellenbestimmung

Die ee-Funktion besitzt keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion ff ebenfalls keine besitzt.

Ableitungen

1. Ableitung

f(x)=eex\displaystyle f(x)=e\cdot e^x
Die Ableitung von exe^x ist wiederum exe^x. Der Faktor ee bleibt bestehen.
f(x)=eex\displaystyle f'(x)=e \cdot e^x

2. Ableitung

f(x)=eex\displaystyle f'(x)=e\cdot e^x
Selber Vorgang wie bei der ersten Ableitung.
f(x)=eex\displaystyle f''(x)=e\cdot e^x

Extrema bestimmen

Da f(x)=eexf'(x)=e\cdot e^x nie Null wird, hat die Funktion keine Extrema.

Wendepunkte bestimmen

Da f(x)=eexf''(x)=e\cdot e^x nie Null wird, hat die Funktion keine Wendepunkte.

Grenzwertbetrachtung

Df=RD_f=ℝ
Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen  ±\pm\infty betrachtet werden.

gegen ++\infty

limxeex=\displaystyle \lim_{x\to\infty}\underbrace{e\cdot e^x}_{\to\infty}=\infty

gegen -\infty

limxeex0=0+\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\underbrace{e\cdot e^x}_{\to0}=0^+
Damit besitzt ff eine horizontale Asymptote bei 0 für die Annäherung an -\infty .

Symmetrieverhalten

f(x)=eex\displaystyle f(x)=e\cdot e^x
Ersetze xx durch x-x.
f(x)=eex\displaystyle f(-x)=e\cdot e^{-x}
Da  f(x)f\left(-x\right) weder f(x)-f\left(x\right) noch  f(x)f\left(x\right) ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.

Monotonieverhalten

Um die Monotonie zu ermitteln, betrachte das Vorzeichen von f(x)f'(x). Da f(x)f'(x) keine Nullstellen aufweist, ändert sich die Steigung von f(x)f(x) auch nicht.
f(x)=eex\displaystyle f'(x)=e\cdot e^x
Der erste Faktor ee ist eine Konstante und ist positiv, der zweite Faktor exe^x ist in Df=RD_f=ℝ immer positiv, wodurch f(x)f'(x) stets positiv ist.
Damit ist die Funktion streng monoton steigend in Df=RD_f=ℝ.

Graph

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/3102_EUnFLsTt7q.xml

Diskutiere folgende Funktionen

%%f(x)=\frac1{e^x-1}%%

%%f(x)=\frac1{e^x-1}%%

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%e^x-1=0%%

%%\mid+1%%

%%e^x=1%%

Logarithmus anwenden.

%%x=\ln(1)=0%%

Somit ist der maximale Definitionsbereich %%D_f = \mathbb{R}\setminus\{0\}%%.

Nullstellenbestimmung

Da im Zähler keine Elemente, die %%x%% enthalten, vorkommen, hat die Funktion keine Nullstellen.

Ableitungen

1. Ableitung

%%f(x)=\frac1{e^x-1}%%

Eliminiere mithilfe der Potenzgesetze den Bruch.

%%\phantom{f(x)}={\textstyle\left(e^x-1\right)}^{-1}%%

Bestimme die Ableitung mithilfe der Kettenregel.

%%f'\left(x\right)=-1\cdot\left(e^x-1\right)^{-2}\cdot e^x%%

Eliminiere mithilfe der Potenzgesetze den Bruch.

%%\phantom{f'\left(x\right)}=-\frac{e^x}{\left(e^x-1\right)^2}%%

2. Ableitung

%%f'\left(x\right)=-\frac{e^x}{\left(e^x-1\right)^2}%%

Berechne die Ableitungen von Zähler (%%u'%%) und Nenner (%%v'%%).

%%u'=e^x,\;v'=2\cdot\left(e^x-1\right)\cdot e^x%%

Wende die Quotientenregel an.

%%f''\left(x\right)=\frac{e^x\cdot\left(e^x-1\right)^2-e^x\cdot2\cdot\left(e^x-1\right)\cdot e^x}{\left(e^x-1\right)^4}%%

Kürze mit %%\left(e^x-1\right)%%.

%%\phantom{f''(x)}=\frac{e^x\cdot\left(e^x-1\right)-e^x\cdot2\cdot e^x}{\left(e^x-1\right)^3}%%

Multipliziere aus.

%%\phantom{f''(x)}=\frac{e^{2x}-e^x-2e^{2x}}{\left(e^x-1\right)^3}%%

Fasse gleiche Elemente zusammen.

%%\phantom{f''(x)}=\frac{-e^{2x}-e^x}{\left(e^x-1\right)^3}%%

Klammere %%-e^x%% aus.

%%\phantom{f''(x)}=-\frac{e^x\left(e^x+1\right)}{\left(e^x-1\right)^3}%%

Extrema bestimmen

%%f'\left(x\right)=-\frac{e^x}{\left(e^x-1\right)^2}%%

Zum Bestimmen der Extrema wird der Zähler der ersten Ableitung gleich Null gesetzt.

%%e^x=0%%

Die %%e%%-Funktion besitzt keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion keine Nullstelle besitzt.

%%f''(x)=-\frac{e^x\left(e^x+1\right)}{\left(e^x-1\right)^3}%%

Zum Bestimmen der Wendepunkte wird der Zähler der zweiten Ableitung gleich Null gesetzt.

%%e^x\left(e^x+1\right)=0%%

Die %%e%%-Funktion ist nie negativ oder gleich Null, deswegen sind weder das Innere der Klammer noch %%e^x%% vor der Klammer gleich Null.

Also besitzt %%f%% keine Wendepunkte.

Grenzwertbetrachtung

%%D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}%%

Da die Funktion eine Definitionslücken hat, muss das Verhalten gegen 0 und %%\pm\infty%% betrachtet werden.

gegen 0

%%\lim_{x\rightarrow0^-}\frac1{\underbrace{\underbrace{e^x}_{\rightarrow1^-}-1}_{\rightarrow0^-}}=-\infty%%

Annäherung von links

%%\lim_{x\rightarrow0^+}\frac1{\underbrace{\underbrace{e^x}_{\rightarrow1^+}-1}_{\rightarrow0^+}}=+\infty%%

Annäherung von rechts

gegen %%-\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac1{\underbrace{e^x}_{\rightarrow0}-1}=-1%%

gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1{\underbrace{e^x}_{\rightarrow+\infty}-1}=0%%

Symmetrieverhalten

%%f(x)=\frac1{e^x-1}%%

Setze %%-x%% für %%x%% ein.

%%f(-x)=\frac1{e^{-x}-1}%%

Wende die Potenzgesetze an.

%%\phantom{f(-x)}=\frac1{{\frac1{e^x}}-1}%%

Da %%f(-x)%% weder %%f(x)%% noch %%-f(x)%% ist, ist die Funktion weder achsensymmetrisch zur %%y%%-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mithilfe einer Tabelle bestimmt:

%%x < 0%%

%%x = 0%%

%%0 < x%%

Vorzeichen von %%f'(x)%%

    -

\

    -

%%G_f%%

%%\downarrow%%

\

%%\downarrow%%

%%f(x)=e^{-x}%%

Definitionsbereich festlegen

Da die Funktion keine Brüche, Wurzeln oder andere Dinge enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, ist der Definitionsbereich der Funktion %%D_f=\mathbb{R}%%.

Nullstellenbestimmung

Die %%e%%-Funktion besitzt auf %%D_f=\mathbb{R}%% keine Nullstelle, weshalb die betrachtete Funktion %%f%% ebenfalls keine besitzt.

Ableitungen

1. Ableitung

%%f(x)=e^{-x}%%

Die Ableitung von %%e^{-x}%% ist %%e^{-x} \cdot (-1)%%.

%%f'(x)=-e^{-x}%%

2. Ableitung

%%f'(x)=-e^{-x}%%

Die Ableitung von %%-e^{-x}%% ist %%-e^{-x} \cdot (-1)%%.

%%f''(x)=e^{-x}%%

Extrema bestimmen

Da %%f'(x)=-e^{-x}%% nie Null wird, hat die Funktion keine Extrema.

Wendepunkte bestimmen

Da %%f''(x)=e^{-x}%% nie Null wird, hat die Funktion keine Wendepunkte.

Grenzwertbetrachtung

%%D_f=\mathbb{ℝ}%%

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen  %%\pm\infty%% betrachtet werden.

gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\to\infty} \underbrace{e^{-x}}_{\to 0} = 0%%

Damit besitzt %%f%% eine horizontale Asymptote bei 0 für die Annäherung an %%-\infty%%.

gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\to-\infty}\underbrace{e^{-x}}_{\to \infty}=\infty%%

Symmetrieverhalten

%%f(x)=e^{-x}%%

Ersetze %%x%% durch %%-x%%.

%%f(-x)=e^{-(-x)}=e^x%%

Da %%f\left(-x\right)%% weder %%-f\left(x\right)%% noch  %%f\left(x\right)%% ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.

Monotonieverhalten

Um die Monotonie zu ermitteln, betrachte das Vorzeichen von %%f'(x)%%. Da %%f'(x)%% keine Nullstellen aufweist, ändert sich die Steigung von %%f(x)%% auch nicht. Betrache die Steigung daher an einer beliebigen Stelle, z. B. %%x=0%%:

$$f'(0)=-e^{-0}=-1 < 0$$

Damit ist die Funktion streng monoton fallend in %%D_f = \mathbb{R}%%.

Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und Extrema der folgenden Funktion:

%%f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}%%.

%%f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}%%

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%e^{2x}-5=0%%

%%\mid +5%%

%%e^{2x}=5%%

Wende den Logarithmus an.

%%2x=\ln(5)%%

%%\mid\,:2%%

%%x=\frac{\ln(5)}{2}%%

Damit ist der maximale Definitionsbereich %%D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\ln(5)}2\right\}%%.

Nullstellenbestimmung

%%f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}%%

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%e^x-4=0%%

%%\mid +4%%

%%e^x=4%%

Wende den Logarithmus an.

%%x=\ln(4)%%

Die einzige Nullstelle ist %%(\ln(4) \mid 0)%%.

Ableitungen

1. Ableitung

%%f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}%%

%%u'=e^x,\;v'=2e^{2x}%%

Wende die Quotientenregel an.

%%f'\left(x\right)=\frac{e^x\cdot\left(e^{2x}-5\right)-2e^{2x}\cdot\left(e^x-4\right)}{\left(e^{2x}-5\right)^2}%%

Löse die Klammern auf.

%%\phantom{f'(x)}=\frac{e^{3x}-5e^x-2e^{3x}+8e^{2x}}{\left(e^{2x}-5\right)^2}%%

Fasse gleiche Elemente zusammen.

%%\phantom{f'(x)}=\frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^2}%%

2. Ableitung

%%f'\left(x\right)=\frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^2}%%

Berechne die Ableitung von Zähler (%%u'%%) und Nenner (%%v'%%).

%%u'=-3e^{3x}+16e^{2x}-5e^x,\;v'=\left(e^{2x}-5\right)\cdot2\cdot2e^{2x}%%

Wende die Quotientenregel an.

%%f''(x)=\frac{(-3e^{3x}+16e^{2x}-5e^x)\cdot(e^{2x}-5)^2-(e^{2x}-5)\cdot 2 \cdot 2e^{2x}\cdot(-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x)}{(e^{2x}-5)^4}%%

Kürze  mit %%\left(e^{2x}-5\right)%% .

%%\phantom{f''(x)}=\frac{\left(-3 e^{3 x}+16 e^{2 x}-5 e^ x\right)\cdot\left( e^{2 x}-5\right)-2\cdot2 e^{2 x}\cdot\left(- e^{3 x}+8 e^{2 x}-5 e^ x\right)}{\left( e^{2 x}-5\right)^3}%%

Löse die Klammern auf.

%%\phantom{f''(x)}=\frac{-3e^{5x}+16e^{4x}-5e^{3x}+15e^{3x}-80e^{2x}+25e^x+4e^{5x}-32e^{4x}+20e^{3x}}{\left(e^{2x}-5\right)^3}%%

Fasse gleiche Elemente zusammen.

%%\phantom{f''(x)}=\frac{e^{5x}-16e^{4x}+30e^{3x}-80e^{2x}+25e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^3}%%

Extrema bestimmen

%%f'\left(x\right)=\frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^2}%%

Es wird nur der Zähler der 1. Ableitung gleich 0 gesetzt, da ein Bruch 0 wird, wenn der Zähler 0 wird.

%%-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x=0%%

Substitution

%%u=e^x%%

%%-u^3+8u^2-5u=0%%

Klammere %%u%% aus.

%%u\cdot\left(-u^2+8u-5\right)=0%%

Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.

%%\;\;\Rightarrow\;\;u_1=0%%

Für weitere Extrema wird nur das Innere der Klammer betrachtet.

%%-u^2+8u-5=0%%

Wende die Mitternachtsformel an.

%%u_{2,3}=\frac{-8\pm\sqrt{64-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-5\right)}}{2\cdot\left(-1\right)}%%

Unter der Wurzel subtrahieren .

%%\phantom{u_{2,3}}=\frac{-8\pm\sqrt{44}}{-2}%%

2 lässt sich aus der Wurzel ziehen.

%%\phantom{u_{2,3}}=\frac{-8\pm2\sqrt{11}}{-2}%%

%%u_2=\frac{-8+2\sqrt{11}}{-2}=4-\sqrt{11}%%

%%u_3=\frac{-8-2\sqrt{11}}{-2}=4+\sqrt{11}%%

Resubstitution

%%u_1=e^{x_1}%%

%%0=e^{x_1}%%

Die Exponentialfunktion ist immer größer als 0. Die Gleichung ist daher nicht lösbar und %%x_1%% keine Nullstelle.

%%u_2=e^{x_2}%%

%%4-\sqrt{11}=e^{x_2}%%

Wende den Logarithmus an.

%%\ln\left(4-\sqrt{11}\right)=x_2%%

%%u_3=e^{x_3}%%

%%4+\sqrt{11}=e^{x_3}%%

Wende den Logarithmus an.

%%\ln(4+\sqrt{11})=x_3%%

%%y%%-Werte bestimmen

%%f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}%%

%%x_2%%  einsetzen.

%%f\left(\ln\left(4-\sqrt{11}\right)\right)=\frac{\mathrm e^{\ln\left(4-\sqrt{11}\right)}-4}{\mathrm e^{2\cdot\ln\left(4-\sqrt{11}\right)}-5}=\frac{4-\sqrt{11}-4}{\left(4-\sqrt{11}\right)^2-5}=\frac{-\sqrt{11}}{16-8\sqrt{11}+11-5}=\frac{-\sqrt{11}}{22-8\sqrt{11}}=\frac1{8-2\sqrt{11}}%%

%%\left(\ln\left(4-\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8-2\sqrt{11}}\right)\right.%%

Erster Extrempunkt

%%f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}%%

%%x_3%% einsetzen.

%%f\left(\ln\left(4+\sqrt{11}\right)\right)=\frac{ e^{\ln\left(4+\sqrt{11}\right)}-4}{ e^{2\cdot\ln\left(4+\sqrt{11}\right)}-5}=\frac{4+\sqrt{11}-4}{\left(4+\sqrt{11}\right)^2-5}=\frac{\sqrt{11}}{22+8\sqrt{11}}=\frac1{8+2\sqrt{11}}%%

%%\left(\ln\left(4+\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8+2\sqrt{11}}\right.\right)%%

Zweiter Extrempunkt

Art der Extrema bestimmen

%%f''\left(x\right)=\frac{e^{5x}-16e^{4x}+30e^{3x}-80e^{2x}+25e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^3}%%

%%x_2%%  einsetzen.

Die 2. Ableitung ist größer 0, da Zähler und Nenner beide kleiner 0 sind. Also liegt an der Stelle %%x_2%% ein Tiefpunkt vor.

%%\left(\ln\left(4-\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8-2\sqrt{11}}\right)\right.%%

%%f''\left(\ln(4+\sqrt{11})\right) = \frac{e^{5 \cdot \ln(4+\sqrt{11})} -16e^{4 \cdot \ln(4 +\sqrt{11})}+30e^{3 \cdot \ln(4 +\sqrt{11})}-80e^{2 \cdot \ln(4 + \sqrt{11})}+25e^{\ln(4+\sqrt{11})} }{(e^{2 \cdot \ln(4-\sqrt{11})} + 5)^3}%%

Die 2. Ableitung ist kleiner 0, da der Zähler kleiner und der Nenner größer 0 ist. Also liegt an der Stelle %%x_3%% ein Hochpunkt vor.

%%\left(\ln\left(4+\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8+2\sqrt{11}}\right.\right)%%

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