Aufgaben

Gib den Term einer Funktion %%f%% an, die folgende Bedingungen erfüllt.

  • Die Funktion geht für %%x \rightarrow 1%% gegen %%-\infty%%;
  • der Graph der Funktion ist streng monoton steigend;
  • die Funktion ist stetig.

Funktionsterm aufstellen

Um es sich möglichst einfach zu machen, kann man auf eine bekannte Funktion mit ähnlichen Eigenschaften zurückgreifen. Zum Beispiel ist der natürliche Logarithmus %%\ln%% stetig und streng monoton steigend. Es gilt außerdem %%\lim_{x \to 0} \ln(x) = - \infty%%

Man kann den Logarithmus also verschieben, um %%f(x)=\ln(x-1)%% zu erhalten. %%f%% hat die gewünschten Eigenschaften.

Gegeben ist der Graph der Funktion %%f(x)%%. Skizziere den Graphen der Funktion %%g(x)%%.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7622_x0BX027GUz.xml

%%g\left(x\right)=\frac12f\left(x\right)%%

Graphen zeichnen

%%g\left(x\right)=\frac12f\left(x\right)%%

Lese zuerst den Scheitel von %%f(x)%% ab.

%%S=(1;-1)%%

Schreibe die Funktion %%f(x)%% in Scheitelform.

Bemerkung: Die Scheitelform wird noch für die nächsten Teilaufgaben benötigt. Also reicht es die an dieser Stelle zu bestimmen und in den anderen Teilaufgaben auf die hier getätigten Umformungsschritte zu verweisen.

%%f\left(x\right)=\left(x-1\right)^2-1%%

Bestimme nun %%g(x)%%.

%%g\left(x\right)=\frac12\cdot f(x)=\frac12\left[\left(x-1\right)^2-1\right]%%

%%=\frac12\left(x-1\right)^2-\frac12%%

Zeichne den Graphen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7634_WrRPJPXn2d.xml

%%g\left(x\right)=-2\cdot f\left(x\right)%%

Graphen zeichnen

%%g\left(x\right)=-2\cdot f\left(x\right)%%

Lese zuerst den Scheitel von %%f(x)%% ab.

%%S=(1;-1)%%

Schreibe die Funktion %%f(x)%% in Scheitelform.

%%f\left(x\right)=\left(x-1\right)^2-1%%

Bestimme nun %%g(x)%%.

%%g\left(x\right)=-2\left[\left(x-1\right)^2-1\right]%%

%%g\left(x\right)=-2\left(x-1\right)^2+2%%

Zeichne den Graphen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7628_7vZXFTuIEj.xml

%%g\left(x\right)=f\left(x\right)+1,5%%

%%g\left(x\right)=\left[f\left(x\right)\right]^2%%

Welcher Graph gehört zu welcher Funktion?  Begründe deine Entscheidung!

  1. %%f\left(x\right)=-\left(x+1\right)^2+3%%

  2. %%g\left(x\right)=\frac12x^2+x+2%%

  3. %%h\left(x\right)=\left(2-x\right)\left(x+3\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7620_8Ys2lErubM.xml

Funktionsgleichung einem Graphen zuordnen

%%f\left(x\right)=-\left(x+1\right)^2+3%%

Da die Funktion in der Scheitelform ist, kannst du den Scheitel ablesen.

%%S=(-1;3)%%

Überprüfe, welcher Graph diesen Scheitel besitzt.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Funktion %%f(x)%% gehört zum Graphen %%B(x)%%, da dieser Graph den Scheitel %%S=(-1;3)%% besitzt und da die Parabel nach unten geöffnet ist, was auf die negative Steigung der Funktion zurückzuführen ist.

%%g\left(x\right)=\frac12x^2+x+2%%

Setze %%x=0%%, um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bestimmen.

%%S_y=(0;2)\in g(x)%%

Überprüfe, welcher Graph diesen Schnittpunkt mit der y-Achse besitzt.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Funktion %%g(x)%% gehört zum Graphen %%A(x)%%. Die Eindeutgkeit wird sichergestellt, da dieser Graph die y-Achse im Punkt %%S_y=(0;2)%% schneidet und da diese Parabel die einzige ist, die nach oben geöffnet ist, also eine positive Steigung hat.

%%h\left(x\right)=\left(2-x\right)\left(x+3\right)%%

Aus dieser Form lassen sich leicht die Nullstellen ermitteln. Setze die x-Werte ein, die dazu führen, dass immer einer der beiden Faktoren 0 ist.

%%P_{x_1}=(2;0)%%

%%P_{x_2}=(-3;0)%%

Überprüfe, welche der Funktionen diese beiden Nullstellen besitzt.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Funktion %%h(x)%% gehört zum Graphen %%C(x)%%, weil dieser die zwei Nullstellen %%P_{x_1}=(2;0)%% und %%P_{x_2}=(-3;0)%% besitzt.

Außerdem ist die Parabel nach unten geöffnet. Somit ist der Streckungsfaktor negativ.

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Graphen von %%f(x)%% und %%g(x)%%?

Stelle die Scheitelpunktgleichungen auf und vergleiche diese.

Geogebra File: /uploads/legacy/7567_jOHimT2dxq.xml

Funktionsgleichung eines Graphen ermitteln

Lese den Scheitelpunkt der Funktion %%f(x)%% ab:

%%S=(1;4)%%

Verwende die Scheitelform, um die Gleichung zu ermitteln.

%%f(x)=a_f\cdot(x-1)^2+4%%

Setze eine Punkt mit gut ablesbaren Koordinaten ein.

Mit %%P=(0;3)%% gilt:

%%f\left(0\right)=a_f+4%%

%%\Rightarrow\;3=a_f+4%%

%%\left|-4\right.%%

%%-1=a_f%%

Setze %%a_f%% in die Funktion ein.

%%f\left(x\right)=-\left(x-1\right)^2+4%%

Lese den Scheitelpunkt der Funktion %%g(x)%% ab:

%%S=(1;2)%%

Verwende die Scheitelform, um die Gleichung der Funktion ermitteln.

%%g(x)=a_g\cdot(x-1)^2+2%%

Setze eine Punkt mit gut ablesbaren Koordinaten ein.

Mit %%P=(3;0)%% gilt:

%%g\left(3\right)=a_g\cdot2^2+2%%

%%\Rightarrow0=4\cdot a_g+2%%

%%\left|-2\right.%%

%%-2=4a_g%%

%%\left|:4\right.%%

%%-0,5=a_g%%

Setze %%a_g%% in die Funktion ein.

%%g\left(x\right)=-0,5\left(x-1\right)^2+2%%

Ermittle die Unterschiede bzw. Gemeinsamkeiten der Funktion.

Die Scheitelpunkte und der Streckungsfaktor sind unterschiedlich. Die beiden Funktionen schneiden die x-Achse beide in den Punkten %%P_1\left(\left.3\;\right|\;0\right)%% und %%P_2\left(\left.-1\;\right|\;0\right)%%.

Geogebra File: /uploads/legacy/7569_Uav4xclo5t.xml

Funktionsgleichung eines Graphen ermitteln

Lese den Scheitelpunkt %%S%% von %%f(x)%% ab:

%%S=(1;1)%%

Verwende die Scheitelform, um die Gleichung zu ermitteln.

%%f\left(x\right)=a_f\left(x-1\right)^2-1%%

Setze einen Punkt ein, dessen Koordinaten man gut ablesen kann.

Mit %%P=(0;0)%% gilt:

%%f\left(0\right)=a_f-1%%

%%\Rightarrow\;0=a_f-1%%

%%\left|+1\right.%%

%%a_f=1%%

Setze %%a_f%% in die Gleichung ein.

%%f\left(x\right)=\left(x-1\right)^2-1%%

Lese den Scheitelpunkt von %%g(x)%% ab:

%%S=(1;1)%%

Verwende die Scheitelform, um die Gleichung zu ermitteln.

%%g\left(x\right)=a_g\left(x-1\right)^2+1%%

Setze einen Punkt ein, dessen Koordinaten man gut ablesen kann.

Wähle z.B. %%P=(0;2)%%. Mit %%P%% gilt:

%%g\left(0\right)=a_g+1%%

%%\Rightarrow\;2=a_g+1%%

%%\left|-1\right.%%

%%a_g=1%%

Setze %%a_g%% in die Funktion ein.

%%g\left(x\right)=\left(x-1\right)^2+1%%

Ermittle die Unterschiede bzw. Gemeinsamkeiten der Funktion

Die beiden Funktionen haben den gleichen Streckungsfaktor %%a%% und die gleiche x-Komponente des Scheitelpunktes. Die Funktionen unterscheiden sich lediglich in der y-Koponente des Scheitels.

Geogebra File: /uploads/legacy/7571_mKplilr6Iz.xml

Funktionsgleichung eines Graphen ermitteln

Lese den Scheitelpunkt von %%f(x)%% ab:

%%S=(2;1)%%

Verwende die Scheitelform, um die Gleichung zu ermitteln.

%%f\left(x\right)=a_f\cdot\left(x-2\right)^2+1%%

Setze eine Punkt mit gut ablesbaren Koordinaten ein.

Mit %%P=(1;2)%% gilt:

%%f\left(1\right)=a_f+1%%

%%\Rightarrow\;2=a_f+1%%

%%\left|-1\right.%%

%%a_f=1%%

Setze %%a_f%% in die Gleichung ein.

%%g\left(x\right)=\left(x-2\right)^2+1%%

Lese den Scheitelpunkt von %%g(x)%% ab:

%%S=(2;1)%%

Verwende die Scheitelform, um die Gleichung zu ermitteln.

%%g\left(x\right)=a_g\cdot\left(x-2\right)^2-1%%

Setze eine Punkt mit gut ablesbaren Koordinaten ein.

Mit %%P=(1;-2)%% gilt:

%%f\left(1\right)=a_g-1%%

%%\Rightarrow\;-2=a_g-1%%

%%\left|+1\right.%%

%%-1=a_g%%

Setze %%a_g%% in die Gleichung ein.

%%g\left(x\right)=-\left(x-2\right)^2+1%%

Ermittle die Unterschiede bzw. Gemeinsamkeiten der Funktion

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%g(x)%% ist die Spiegelung von %%f(x)%% an der x-Achse.

Ordne jedem Funktionsgraphen einen der folgenden Funktionsterme zu.

  1. %%f_1\left(x\right)=x^2+1%%    

  2. %%f_2(x)=-2x^2+2x%%

  3. %%f_3\left(x\right)=2x+1%%

  4. %%f_4\left(x\right)=-2x^2+2x+1%%

  5. %%f_5(x)=2-0,5x%%

  6. %%f_6\left(x\right)=0,5\left(x+2\right)^2+1%%                                  

Geogebra File: /uploads/legacy/6374_h5JDgmhCnM.xml

Funktionsterm einem Graphen zuordnen

Bestimme den Scheitel der Funktion:

Dazu musst du den Scheitel aus dem Graphen ablesen.

%%S=\left(0,5;0,5\right)%%

Gehe nun ausgehend vom Scheitel 1 Einheit nach rechts, um den Streckungsfaktor der Parabel zu bestimmen.

%%P=\left(1,5;-1,5\right)\in Graph%%

Die Differenz der y-Werte der beiden Punkte beträgt 2 Einheiten. Da die Funktion, eine Parabel, nach unten geöffnet ist, also insbesondere die Steigung %%\leq0%% ist, muss der Streckungsfaktor -2 heißen.

Überprüfe nun, welche der Funktionen diese Eigenschaften erfüllt. Es existieren in der Funktionenauswahl zwei Parabeln mit Streckungsfaktor -2. Aber nur eine der beiden läuft durch den Punkt %%P%%. Teste dies, indem du den Punkt in die Funktionsgleichung einsetzt.

%%P\in f_2%%.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der Graph entspricht der Funktion %%f_2\left(x\right)=-2x^2+2x%%.

Geogebra File: /uploads/legacy/6376_ONLJ0WbYTd.xml

Funktionsterm einem Graphen zuordnen

Lese den y-Achsenabschnitt %%t%% als Funktionswert an der Stelle %%x=0%% ab.

%%P_1=\left(0;1\right)%%

Der y-Achsenabschnitt %%t%% entspricht 1. Bestimme nun die Steigung %%m%% der Gerade. Dies gelingt, indem ein zweiten Punkt %%P_2%% auf dem Graphen gewählt und der Differenzenquotient von %%P_1%% und %%P_2%% bestimmt wird.

Wähle z.B. den Punkt %%P_2=(1;3)%% auf der Gerade.

%%m=\frac{3-1}{1-0}=\frac21=2%%

Mittels Steigung und y-Achsenabschnitt lässt sich die Gerade eindeutig bestimmen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;f_3\left(x\right)=2x+1%%

Geogebra File: /uploads/legacy/6378_IEN26g5OEZ.xml

Funktionsterm einem Graphen zuordnen

Vorgehensweise: Bestimmte den Scheitel und den Streckungsfaktor der Parabel.

%%S=\left(-2;1\right)%%

Der Scheitel %%S%% lässt sich direkt aus der Zeichnung ablesen.

Zur Bestimmung des Streckungsfaktors lese den Funktionswert einer von der Scheitelstelle genau 1 Einheit entfernten Stelle ab. Also wähle z.B. %%P=(-1;1,5)%%.

Die Differenz der beiden y-Werte von %%P%% und %%S%% beträgt %%0,5%% Einheiten. Also beträgt nach der Wahl von %%S%% und %%P%% der Streckungsfaktor %%0,5%%.

Überprüfe, welche Funktion diese Eigenschaften erfüllt.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der Graph entspricht dem Graphen der Funktion %%f_6\left(x\right)=0,5\left(x+2\right)^2+1%%

Geogebra File: /uploads/legacy/6380_hfcG8kJwWu.xml

Funktionsterm einem Graphen zuordnen

Bestimme den Punkt beim x-Wert 0.

Lese diesen aus dem Graphen ab. Dadurch bestimmst du den y-Achsenabschnitt.

%%P_1=\left(0;2\right)%%

Der y-Achsenabschnitt beträgt somit %%2%%. Gehe nun eine Einheit nach rechts um die Steigung des Graphen zu bestimmen.

%%P_2=\left(1;1,5\right)%%

Die Differenz der y-Werte der beiden Punkte beträgt 0,5. %%P_2-P_1=(1;-0,5)%%. Somit beträgt die Steigung der Gerade- %%m=0,5%%.

Überprüfe, welche Funktion diese Eigenschaften erfüllt.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der Graph passt zu der Funktion %%f_5\left(x\right)=2-0,5x%%.

Geogebra File: /uploads/legacy/6382_TqCa8yxT44.xml

Funktionsterm einem Graphen zuordnen

Bestimme den Scheitel der Funktion.

Dazu musst du den Scheitel %%S%% aus dem Graphen ablesen.

%%S=\left(0,5;1,5\right)%%

Gehe nun ausgehend vom Scheitel 1 Einheit nach rechts, um den Streckungsfaktor zu bestimmen.

%%P=\left(1,5;-0,5\right)%% liegt auf dem Graphen und die x-Komponente von %%P%% ist eine Einheit von der von %%S%% entfernt.

Die Differenz der beiden y-Werte beträgt 2. Da die Funktion im positiven Bereich abnimmt, ist die Steigung negativ, also -2.

Überprüfe welche Funktion zu diesen Eigenschaften passt, also welche Funktion eine Parabel mit Streckungsfaktor -2 ist und die durch %%P%% geht.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der Graph passt zu der Funktion %%f_4=-2x^2+2x+1%%

Geogebra File: /uploads/legacy/6384_g9XoDwiRvp.xml

Funktionsterm einem Graphen zuordnen

Vorgehensweise: Aus der Grafik lässt sich ablesen, dass es sich hier um eine quadratische Funktion handelt. Um diese eindeutig zu bestimmen, bestimme den Scheitel und Streckungsfaktor. Denn die Scheitelpunktsform einer quadratischen Funktion lautet:

$$f(x)=a\ast(x-d)^2+e$$ mit %%a%% Streckungsfaktor %%S=(d;e)%% Scheitelpunkt und %%a,d,e\in\mathbb{R}%%.

Bestimme also zunächst den Scheitel der Funktion durch Ablesen.

%%S=\left(0;1\right)%%

Gehe nun ausgehend vom Scheitel 1 Einheit nach rechts, um den Streckungsfaktor zu bestimmen.

%%P=\left(1;2\right)%% liegt auf dem Graphen.

Der Differenzenquotient beider Punkte ist 1, also beträgt der Streckungsfaktor %%a=1%%.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der Graph gehört also zu der Funktion %%f_1\left(x\right)=x^2+1%%.

Gibt es stetige Funktionen mit den folgenden Eigenschaften? Falls ja, gib ein Beispiel an; falls nein, begründe deine Entscheidung.

%%f(0)=0, \quad f(1)=1, \quad f'(x) \lt 1 ~\forall x \in \mathbb{D}_f%%

Nein, eine solche Funktion gibt es nicht. Begründung:

Die Funktion %%f: x \mapsto x%% liefert die beiden Funktionswerte %%f(0)=0%% und %%f(1)=1%%, hat aber Steigung 1. Hat nun eine Funktion mit %%f(0)=0%% immer eine Steigung kleiner 1, wie gefordert, dann ist sie für positive %%x%% immer kleiner als %%f%% und erreicht nie den Punkt %%(1|1)%%.

%%f(-1)=0, \quad f(1)=0, \quad f'(x) \neq 0 ~\forall x \in \mathbb{D}_f%%

Nein, eine solche Funktion gibt es nicht. Begründung:

Bei stetigen Funktionen liegt zwischen zwei Nullstellen immer ein Extremum, da der Funktionsgraph "umkehren" muss, um wieder die x-Achse zu erreichen. Da an der Stelle des Extremums immer %%f'(x_E)=0%% gilt, sind die Bedingungen nicht erfüllt.

%%f'(x) \gt 0, \quad f(-x)=f(x) ~\forall x \in \mathbb{D}_f%%

Nein, eine solche Funktion gibt es nicht. Begründung:

Die zweite Bedingung zeigt dir, dass der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll. Dann kann der Funktionsgraph aber nicht gleichzeitig streng monoton steigen %%(f'(x) \gt 0 ~\forall x \in \mathbb{D}_f)%%, wie du dir anhand einer Skize veranschaulichen kannst.

%%f(x)\cdot f'(x)=1 ~\forall x \in \mathbb{D}_f%%

Ja, eine solche Funktion existiert. Um das besser erkennen zu können kannst du die Gleichung umschreiben: %%\displaystyle \begin{align} &f(x)\cdot f'(x) &= &1\\ \Leftrightarrow &f'(x)&= &\frac{1}{f(x)} \end{align}%%

Nun suchst du eine Funktion, die beim Ableiten selbst im Nenner auftaucht. Das gilt für die Wurzelfuntion mit %%\left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}%%. Den störenden Faktor %%\frac{1}{2}%% wirst du nun durch das Nachdifferenzieren los, wenn du die Wurzelfunktion geeignet veränderst:

%%\displaystyle \left(\sqrt{2x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{2x}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x}}%%.

Die gesuchte Funktion ist damit %%f: x \mapsto \sqrt{2x}%%.

Berechne die Tangente an den Graphen der gegebenen Funktion %%f%% zum gegebenen Punkt %%P%%.

  • %%f: x \mapsto x^2%%
  • %%P( ?|16)%%

Schnittpunkt bestimmen

Setze die bekannte y-Koordinate ein und löse nach x auf.

%%\begin{align} &16=x^2 \\ \Leftrightarrow &x=\pm 4 \end{align}\\ \Rightarrow P(4|16)\\ \Rightarrow P'(-4|16)%%

Tangente an P bestimmen

Berechne die Ableitung am Punkt %%P%%.

%%\begin{align} f'(x)&=2x\\ f'(4)&=8 \end{align}%%

Damit hast du die Steigung %%m%%. Setze damit die Tangentengleichung an und löse nach %%t%% auf.

%%\begin{align} y&=mx+t\\ 16&=8\cdot 4+t\\ 16&=32+t\\ \Rightarrow t&=-16 \end{align}%%

%%\Rightarrow y=8x-16%%

Tangente an P' bestimmen

Berechne die Ableitung am Punkt %%P'%%.

%%\begin{align} f'(x)&=2x\\ f'(-4)&=-8 \end{align}%%

Damit hast du die Steigung %%m'%%. Setze damit die Tangentengleichung an und löse nach %%t'%% auf.

%%\begin{align} y'&=m'x+t'\\ 16&=-8\cdot -4+t'\\ 16&=32+t'\\ \Rightarrow t'&=-16 \end{align}%%

%%\Rightarrow y'=-8x-16%%

  • %%f: x \mapsto \ln(x)-1%%
  • %%P\left(e^2|?\right)%%

Schnittpunkt bestimmen

Setze die %%x%%-Koordinate in %%f%% ein und löse nach %%y%% auf.

%%\begin{align} y&=\ln\left(e^2\right)-1\\ y&=2\ln(e)-1\\ y&=2-1=1 \end{align}\\ \Rightarrow P\left(e^2\left|1\right)\right.%%

Tangente bestimmen

Bestimme die Ableitung an der Stelle %%e^2%%.

%%\begin{align} f'(x)&=\dfrac{1}{x}\\ f'(e^2)&=\dfrac{1}{e^2} \end{align}%%

Stelle die Tangentengleichung auf, mit der Ableitung am Punkt %%P%% als Steigung und berechne %%t%%

%%\begin{align} y &= mx+t\\ 1 &= \dfrac{1}{e^2}\cdot e^2 +t \\ \Rightarrow t&=0 \end{align}%%

%%y=\dfrac{1}{e^2}x%%

Gegeben ist die Funktion %%g: x \mapsto \sqrt{\dfrac{x-1}{4}}-1%%.

Erkläre, wie der Funktionsterm %%g(x)%% aus %%h(x)=\sqrt{x}%% entstanden ist.

Veränderungen von Funktionstermen

Die Start- und Zielfunktionen sind gegeben durch %%h: x\mapsto \sqrt{x}%% und %%g: x \mapsto \sqrt{\dfrac{x-1}{4}}-1%%.

Um die Veränderungen besser zu erkennen, schreibst du die Funktion %%g%% noch etwas um:

%%g(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{4}}-1= \dfrac{1}{2}\sqrt{x-1}-1%%.

Jetzt erkennst du folgendes: Die Funktion %%h%% wurde

  • um 1 nach rechts verschoben: %%\dfrac{1}{2}\sqrt{x\underline{-1}}-1%%,

  • um 1 nach unten verschoben: %%\dfrac{1}{2}\sqrt{x-1}\underline{-1}%% und

  • um den Faktor %%\frac{1}{2}%% gestaucht: %%\underline{\dfrac{1}{2}}\sqrt{x-1}-1%%

um die Funktion %%g%% zu erhalten.

Gib den Term einer nicht-linearen Funktion %%f%% an, für die gilt: %%|f(x)| \leq |x| ~~\forall x \in \mathbb{R}%%. Mache deine Wahl plausibel.

Die Eigenschaft %%|f(x)| \leq |x| ~\forall x \in \mathbb{R}%% bedeutet, dass der Wert der gesuchten Funktion %%f%% immer zwischen den beiden Winkelhalbierenden %%y=x%% und %%y=-x%% liegen muss. Insbesondere gilt das für %%x=0%%. Damit weißt du: %%f(0)=0%%. Um zu verhindern, dass die Funktion %%f%% irgendwo den Bereich verlässt, verwendest du am besten ein Funktion, die eine Steigung hat, die kleiner ist, als die Steigung von %%y=x%% (die ist 1) und größer als die Steigung von %%y=-x%% (die ist -1).

Variante 1:

Eine Funktion, die immer zwischen -1 und 1 liegt, ist der Kosinus. Verwendest du den Kosinus als Steigung, dann ist die Stammfunktion des Kosinus, die durch %%(0|0)%% geht, die gesuchte Funktion:

%%f(x)=\sin(x)%%

Variante 2:

Du kannst auch den Bereich für die Steigung noch weiter einschränken, z. B. auf %%]0;1[%%. Das ist der Wertebereich der Funktion %%g: x\mapsto \dfrac{1}{1+x^2}%% (Da der Nenner immer größer ist als der Zähler, wird der Funktionswert nie größer als 1 und da %%x^2%% immer positiv ist, wird der Funktionswert nie kleiner als 0).

Wieder ist diejenige Stammfunktion von %%g%%, die durch %%(0|0)%% geht die gesuchte Funktion. Eine Stammfunktion findest du möglicherweise in einer Formelsammlung:

%%f(x)=\arctan(x)%%

Anschauung

Anschauung

Für jedes %%a \in \mathbb{R}%% ist die Funktion %%f_a%% definiert durch %%f_a(x)= e^{-ax}+e^{ax}%%.

a) Begründe, dass die Funktionenschar %%f_a%% den gemeinsamen Punkt %%P(0|2)%% besitzt.

b) Begründe außerdem ohne abzuleiten, dass %%P%% ein globales Minimum ist. Als mögliche Hilfestellung erhältst du die Graphen der Funktionen %%e^x%% und %%e^{2x}%%. e

c) %%f_a%% werde an der Gerade %%y=2%% gespiegelt. Gib den Funktionsterm der neuen Funktionenschar %%g_a%% an.

Teilaufgabe a)

Setze %%x=0%% in %%f_a(x)%% ein.

%%\displaystyle f_a(0)=e^{-a\cdot0}+e^{a\cdot 0} =2%%

Also liegt der Punkt %%P(0|2)%% unabhängig von %%a%% immer auf dem Graphen von %%f_a%%.

Teilaufgabe b)

Aus den Graphen erkennst du Folgendes:

  • Die %%e%%- Funktion ist stets positiv,
  • Für positive %%x%% ist %%e^{ax} \gt 1%%,
  • Die Differenz %%\left(e^{ax}-1\right)-\left(e^{a(-x)}-1\right) \geq 0%%, da %%e^{ax}%% für größere %%x%% immer stärker ansteigt (Der Abstand zur gestrichelten Linie ist rechts größer als links).

Damit ist %%\displaystyle f\_a(x)=2 + e^{ax}-1 + e^{-ax}-1 = 2+ \underbrace{\left(e^{ax}-1\right) - \left(e^{-ax}-1\right)}\_{\geq 0} + \underbrace{2e^{-ax}}\_{\geq 0} \geq 2%% und der Punkt %%P%% hat den kleinstmöglichen y-Wert (%%y=2%%) und ist damit ein globales Minimum.

Teilaufgabe c)

Beim Spiegeln an der x-Achse setzt du vor die Funktion ein Minus. Betrachte jetzt den Punkt %%P%%.

Beim Spiegeln an der Achse %%y=2%% bleibt er an Ort und Stelle. Spiegelst du ihn aber an der x-Achse, lautet der Spiegelpunkt %%P'(0|-2)%%. Um die Koordinaten wieder anzupassen, musst du den Punkt um 4 in positive y-Richtung verschieben. Das funktioniert auch mit der ganzen Funktion.

Als Funktionenschar %%g\_a%% erhältst du %%\displaystyle g_a(x)=-\left(e^{-ax}+e^{ax}\right) +4%%

Anschauung

anschauung

Begründe kurz, warum folgende Aussagen gelten.

Ist der Graph einer in %%\mathbb{R}%% definierten, integrierbaren Funktion %%t%% punktsymmetrisch zum Ursprung, dann gilt für alle %%a \in \mathbb{R}%%: %%\displaystyle \int_{-a}^a t(x)\mathrm{d}x =0%%

Begründung

Es gilt für alle zum Ursprung punktsymmetrischen Funktionen %%p%%: %%\displaystyle \int_{-a}^0p(x)\mathrm{d}x= -\int_0^a p(x) \mathrm{d}x%%.

Damit gilt für die Funktion %%t%%:

%%\displaystyle \int_{-a}^a t(x)\mathrm{d}x =\int_{-a}^0 t(x)\mathrm{d}x+\int_0^a t(x)\mathrm{d}x=-\int_0^a t(x)\mathrm{d}x+\int_0^a t(x)\mathrm{d}x=0%%

Ordne die auf %%[1;\infty[%% definierten Funktionen mit einer kurzen Begründung den Graphen zu.

a) %%f(x)=\sqrt{(x-1)}%%

b) %%g(x)=\ln(x)%%

c) %%h(x)=\sin(0.1x-1)%%

g

h

f

Begründung

%%f(x)%% gehört zu Graph 3, da die Wurzelfunktion am linken Definitionsrand eine unendliche Steigung hat, wie du aus der Ableitung ablesen kannst.
Ein weiterer Hinweis ist die Tatsache, dass diese Wurzelfunktion eine um 1 nach rechts verschobene Wurzelfunktion ist und damit durch (2|1) verläuft, da die Funktion %%w(x)=\sqrt x%% durch (1|1) verlaufen würde.

%%h(x)%% gehört zu Graph 2, da die Sinusfunktion die einzige ist, die wieder sinkt und der Graph rechts ebenfalls leicht absinkt.

%%g(x)%% gehört zu Graph 1. Diese Zuordnung funktioniert am leichtesten über das Ausschlussverfahren.

Oder, als Begründung zur Zuordnung von g: Die ln-Funktion steigt langsamer als die Wurzelfunktion (deshalb muss Graph 3 die Wurzelfunktion sein), aber er fällt nicht, wie es Graph 2 tut.

Ordne die Funktionen %%f_1, f_2, f_3%% und %%f_4%% den Graphen zu und begründe deine Wahl kurz.

%%\displaystyle f_1: x \mapsto \frac{1}{x^2}%%

%%\displaystyle f_2: x \mapsto \frac{x^2}{1+x^2}%%

%%\displaystyle f_3: x \mapsto \frac{1}{1+x^2}%%

%%\displaystyle f_4: x \mapsto \frac{1}{x^4}%%

f_2

h

f

j

Funktionen zuordnen

Die Graphen %%G_{f_1}%% und %%G_{f_4}%% von %%f_1%% und %%f_4%% haben eine Polstelle bei %%x=0%% und den Grenzwert 0 im Unendlichen. Allerdings ist - ähnlich wie bei %%x^2%% und %%x^4%% - %%f_4 \gt f_1%% für %%|x| \lt 1%% und %%f_4 \lt f_1%% für %%|x| \gt 1%%. %%f_1%% gehört damit zum Graphen links unten und %%f_4%% zum Graphen rechts unten.

Für %%f_2%% gilt: %%f_2(0)=0%%. Also gehört %%f_2%% zum Graphen links oben. (Außerdem ist %%\displaystyle \lim_{x\rightarrow\pm\infty} f_2(x)=1%%, wie du am Graphen sehen kannst).

Mit der gleichen Überlegung für %%f_3%% erhältst du %%f_3(0)=1%% und %%\displaystyle\lim_{x \rightarrow \pm \infty}f_3(x)=0%% und damit den Graphen rechts oben.

Betrachte die Funktion %%f(x) = \frac{\exp(x) -4}{\exp(x) +4}%%.
Der Graph der Funktion ist %%G_f%% und ihr Definitionsbereich %%D_f = \mathbb{R}%%.

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Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts %%S%% von %%G_f%% mit der y-Achse.

Berechne anschließend die Koordinaten des Schnittpunkts %%S%% von %%G_f%% mit der x-Achse.

Schnittpunkt mit der x-Achse berechnen

Um den Schnittpunkt des Graphen %%G_f%% mit der x-Achse zu berechnen, berechne die Nullstelle der Funktion.

%%\displaystyle \frac{e^x - 4}{e^x + 4} = 0%%

Multipliziere %%e^x +4%% auf beiden Seiten. Da die Exponentialfunktion nie negativ wird, kannst auf beiden Seiten den Ausdruck multiplizieren.

%%\displaystyle e^x-4 = 0%%

Bringe 4 auf die andere Seite.

%%\displaystyle e^x = 4%%

Wende den Logarithmus als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion an.

%%\displaystyle x = \ln 4%%

Die y-Koordinate der Nullstelle ist 0. Gib den Schnittpunkt an.

%%\displaystyle S_x = \left(\ln 4 \left|\right. 0\right)%%

Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen

Um den Schnittpunkt des Graphen %%G_f%% mit der y-Achse zu berechnen, setze %%x= 0%% in die Funktion ein.

%%\displaystyle f(0) = \frac{e^0 - 4}{e^0+4}%%

%%\displaystyle = \frac{1 - 4}{1+4}%%

Führe die Subtraktion und die Addition aus.

%%= \displaystyle -\frac{3}{5}%%

Gib den Schnittpunkt an.

%%\displaystyle S_y = \left(0 \left|\right. -\frac{3}{5}\right)%%

Bestimme das Verhalten von %%f(x)%% für %%x \rightarrow \infty%% und %%x\rightarrow - \infty%%.

%%\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{e^x -4} {e^x+4}%%

Klammere im Zähler und im Nenner je %%e^x%% aus.

%%\displaystyle = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{e^x\left(1 - 4 \cdot e^{-x}\right)} {e^x\left( 1 + 4\cdot e^{-x}\right)}%%

Kürze %%e^x%%.

%%\displaystyle = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1 - 4 \cdot e^{-x}} { 1 + 4\cdot e^{-x}}%%

Führe die Grenzwertbetrachtung durch. Dabei wird %%\lim \limits_{x \rightarrow \infty} e^{-x} = 0%%.

%%\displaystyle = \frac{1 - 0} { 1 + 0} =1%%

Bestimme das Verhalten für %%x \rightarrow -\infty%%.

%%\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow - \infty} \frac{e^x -4} {e^x+4}%%

Führe die Grenzwertbetrachtung durch. Dabei wird %%\lim \limits_{x \rightarrow - \infty} e^{x} = 0%%.

= %%\displaystyle \frac{0 -4} {0+4}%%

Forme um.

= %%\displaystyle \frac{-4} {4} = -1%%

Untersuche das Monotonieverhalten von %%G_f%% mit Hilfe der ersten Ableitung von %%f%%.

Berechne die Ableitung

Bilde die erste Ableitung der Funktion.

%%\displaystyle f'(x) = \left(\frac{e^x-4}{e^x + 4}\right)'%%

Wende die Quotientenregel an.

%%\displaystyle = \frac{e^x(e^x+4) - e^x(e^x-4)}{(e^x+4)^2}%%

Löse die Klammer im Zähler auf.

%%\displaystyle = \frac{e^{2x} +4 e^x - e^{2x} + 4 e^x}{(e^x+4)^2}%%

Vereinfache den Zähler.

%%\displaystyle = \frac{8 e^x}{(e^x+4)^2}%%

Bestimme das Monotonieverhalten

Da die erste Ableitung der Funktion %%\displaystyle f'(x) = \frac{8 e^x}{(e^x+4)^2}%% für alle x-Werte größer als Null ist, ist die Funktion streng monoton steigend.

Dass %%\displaystyle f'(x) = \frac{8 e^x}{(e^x+4)^2} > 0%% für alle x-Werte gilt, sieht man an der Exponentialfunktion im Zähler und dem quadratischen Ausdruck im Nenner. Beide sind stets größer als 0.

W (ln 4 | 0) ist der einzige Wendepunkt von %%G_f%%.
Zeige, dass die Gerade n mit der Gleichung %%y = -x + \ln 4%% durch W verläuft und auf der Wendetangente senkrecht steht.

Zeige, dass die Gerade n durch W verläuft

Um zu zeigen, dass die Gerade %%n: -x + \ln 4%% durch den Punkt W (ln 4 | 0) verläuft, setze den x-Wert in Geradengleichung ein.

%%-(\ln 4) + \ln 4 = 0%%

Prüfe, ob dies mit der y-Koordinate des Punkts W übereinstimmt.

Da der Funktionswert der Geraden n an der Stelle der x-Koordinate des Punkts W mit der y-Koordinate des Punkts W übereinstimmt, liegt W auf der Geraden n.

Bestimme die Wendetangente

Stelle für die Wendetangente zunächst eine allgemeine Geradengleichung auf.

%%W: y = m_W \cdot x + t%%

Berechne die Steigung der Wendetangente über die Steigung der Funktion im Wendepunkt W (ln 4 | 0).

%%m_W = f'(\ln 4) = 8 \cdot \frac{e^{\ln 4}}{(e^{\ln 4 }+ 4)^2}%%

Vereinfache indem du verwendest, dass der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist.

%%= 8 \cdot \frac{4}{(4+4)^2} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2}%%

Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Wendetangente, indem du forderst, dass diese auch durch den Wendepunkt gehen muss.

Zeige, dass die Wendetangente senkrecht auf der Geraden n steht

Gegeben ist die Funktion %%f(x)=\dfrac {ln(x^2)}{x}%% mit %%D_f=D_{max}%%.

Gib die Definitionsmenge %%D_f%%, die Gleichung aller Asymptoten und das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs an.

Definitionsmenge bestimmen

Bei der Bestimmung der Definitionsmenge musst du hier zweierlei Sachen beachten:

Die Definitionslücke im Nenner entspricht der Nullstelle im Nenner. In unserem Fall also:

%%x=0 \Rightarrow D_f=\mathbb{R}\backslash\{0\}%%

Die Definitionsmenge der %%\ln%%-Funktion ist %%D_{\ln}=\mathbb{R}^+%%. Da das Argument des natürlichen Logarithmus %%x^2%% ist, kann es nie negativ werden. Die einzige Stelle, an der es Probleme gibt, ist die Null. Da diese bereits ausgeschlossen ist, lautet der Definitionsbereich

%%D_f= \mathbb R \backslash \{0\}%%

Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs

Um die Gleichung aller Asymptoten leicht angeben zu können, untersuchst du zuerst das Verhaten an den Rändern des Definitionsbereichs. Die Ränder sind

  • %%\infty%% und %%-\infty%%
  • %%0^+%% und %%0^-%% (Also annähernd an die Null von rechts bzw. von links)

Die Formelsammlung oder Merkhilfe liefert
%%\lim_{x\rightarrow\pm\infty} \frac{\ln(x^2)}{x}=0%%

Für %%x\rightarrow 0%% gilt %%\lim_{x\rightarrow 0}\ln(x^2)=-\infty%%, da das Quadrat innen den Verlauf des Logarithmus nicht verändert. Teilt man durch ein sehr kleines %%x%%, also eine Zahl die fast 0 ist, so wird der Betrag des Ergebnisses sogar nochmal größer.
Insgesamt gilt deshalb:

%%\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\ln(x^2)}x=-\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{\ln(x^2)}x=+\infty%%

Asymptotengleichungen

Die senkrechten Asymptoten lassen sich aus der Definitionsmenge ableiten, Die waagerechte Asymptote kannst du hier aus dem Verhalten im Unendlichen ableiten.

senkrechte Asymptote: %%x=0%%
waagerechte Asymptote: %%y=0%%

Untersuche die angegebene Funktion auf Symmetrie.

Symmetrieverhalten bestimmen

Um diese Aufgabe zu lösen, brauchst du Wissen zur Symmetrie von Graphen.

%%f(x)=\dfrac{ln(x^2)}x%%

Setze %%-x%% in die Funktion ein.

%%f(-x)= \dfrac {ln((-x)^2)}{-x}%%

Hat %%-x%% einen geraden Exponenten, so kann das Minus weggelassen werden. Bei einem ungeraden Exponenten zieht man das Minus nach vorne.

%%=-\dfrac{ln(x^2)}x%%

Vergleiche mit %%f(x)%%.

%%=-f(x)%%

Insgesamt gilt also %%f(-x)=-f(x)%% und damit ist die Funktion punktsymmetrisch.

Untersuche die Funktion auf gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen.

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Um diese Aufgabe zu lösen, musst du wissen, wie man die Schnittpunkte mit beiden Koordinatenachsen berechnet.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist dort, wo der x-Wert 0 ist. Er hat die Form %%T(0|t)%% und wird berechnet, indem man %%0%% einsetzt.

%%f(0)=\dfrac{\ln 0^2}0%%

Da man weder durch %%0%% teilen darf, noch %%0%% in den %%\ln%% einsetzen darf, gibt es diesen Funktionswert nicht. Es gibt also keinen Schnittpunkt mit der y-Achse.

Schnittpunkte mit der x-Achse

Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind die Nullstellen. Sie haben die Form %%N(x_N|0)%% Berechne sie, indem du die Funktion mit 0 gleichsetzt.

%%f(x)=0%%

Setze den Funktionsterm gleich 0.

%%\dfrac{\ln(x^2)}x=0%%

%%|\cdot x%%

Multipliziere mit x, damit es keinen Nenner mehr gibt.

%%\ln(x^2)=0%%

%%|e^\Box%%

Löse den %%\ln%% mithilfe seiner Umkehrfunktion %%e%% auf.

%%x^2=e^0%%

Berechne %%e^0%%.

%%x^2=1%%

%%|\pm\sqrt\Box%%

Ziehe die Wurzel. Beachte, dass es sowohl eine positive als auch eine negative Lösung geben kann.

%%x_1=1%%
%%x_2=-1%%

Die zwei Schnittpunkte mit der x-Achse sind %%N_1(1|0)%% und %%N_2(-1|0)%%.

Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion und gib Lage und Art aller Extremstellen an.

Monotonie und Extremstellen

Zur Lösung der Aufgabe musst du das Monotonieverhalten bestimmen. In dieser Aufgabe bestimmst du das Verhalten mithilfe einer Monotonietabelle,natürlich ist es auch mithilfe der 2. Ableitung möglich.

1. Ableitung bilden

Zum Ableiten benötigst du

  • die Quotientenregel, wegen des Bruches.
  • die Ableitung vom %%\ln%%.
  • die Kettenregel, wegen des %%x^2%% im %%\ln%%.

%%f(x)=\dfrac{\ln(x^2)}x%%

Wende zuerst die Quotientenregel an. (%%\Box'%%) bedeutet die Ableitung von %%\Box%%.

%%f'(x)=\dfrac{(\ln(x^2))'\cdot x - (x)'\cdot \ln(x^2)}{x^2}%%

Die Ableitung von %%x%% ist %%1%%. Bide die Ableitung von %%\ln(x^2)%% mithilfe der Kettenregel und der Ableitungsregel vom %%\ln%%.

%%f'(x)=\dfrac{\frac 1 {x^2} \cdot 2x\cdot x - 1\cdot \ln(x^2)}{x^2}%%

Verrechne.

%%f'(x)=\dfrac{2-\ln(x^2)}{x^2}%%

Nullstellen der Ableitung bestimmen

Die Nullstellen der ersten Ableitung sind die Punkte, in der die Funktion die Steigung Null und somit waagerechte Tangenten besitzt. Diese Punkte sind die Kandidaten für die Extremstellen.

%%f'(x)=\dfrac{2-\ln(x^2)}{x^2}%%

Setze die Ableitung gleich 0.

%%\dfrac{2-\ln(x^2)}{x^2}=0%%

%%|\cdot x^2%%

Multipliziere mit %%x^2%%, um den Nenner zu entfernen.

%%2-\ln(x^2)=0%%

%%|+\ln(x^2)%%

Bringe den %%\ln%% isoliert auf eine Seite.

%%2=\ln(x^2)%%

Verwende die Logarithmus-Rechenregel:
%%\ln(x^r)=r\cdot \ln(x)%%

%%2=\ln (x^2)%%

%%|e^\Box%%

Mit der e-Funktion kannst du den %%\ln%% aufheben.

%%e^2=x^2%%

%%|\sqrt\Box%%

Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel.

%%x=\pm e%%

Es gibt also die zwei Extremstellen-Kandidaten %%e%% und %%-e%%.

Monotonietabelle

In der Monotonietabelle betrachtest du jeweils die Bereiche links und rechts von deiner Extremstelle und Polstellen untersuchst, wie sich die Ableitung und somit die Steigung in diesen Bereichen verhält.

%%x%%

%%x<-e%%

%%x=-e%%

%%-e<x<0%%

%%x=0%%

%%0<x<e%%

%%x=e%%

%%x>e%%

%%f'(x)%%

%%<0%%

%%0%%

%%>0%%

/

%%>0%%

%%0%%

%%<0%%

%%G_f%%

smf

TIP

sms

POL

sms

HOP

smf

smf= streng monoton fallend
sms= streng monoton steigend
TIP= Tiefpunkt/Minimum
HOP= Hochpunkt/Maximum
POL= Polstelle der Funktion

Lage und Art der Extremstellen

Die x-Koordinate und die Art der Extremstelle ergibt sich direkt aus der Erstellung der Tabelle.

Die Nullstellen %%e%% und %%-e%% der Ableitung liefern jeweils einen Extrempunkt.
Die Tabelle sagt dir ausßerdem, dass bei %%e%% ein Hochpunkt liegt und bei %%-e%% ein Tiefpunkt.

Um die Lage der Extremstelle anzugeben, muss noch die y-Koordinate berechnet werden. Setze dazu in die Funktion %%f%% ein:

Hochpunkt:
%%f(e)= \dfrac{ln(e^2)}{e}= \dfrac 2 e%%
%%\Rightarrow HOP(e|\frac 2 e)%%

Tiefpunkt Der Tiefpunkt kann auch mittels %%f(-e)%% ausgerechnet werden. Du kannst aber auch die Punktsymmetrie ausnutzen:
%%\Rightarrow TIP(-e|-\frac 2 e)%%

Zeige, dass %%F(x)= \frac 1 4 (ln(x^2))^2%% eine Stammfunktion von %%f%% ist und bestimme den Funktionsterm derjenigen Stammfunktion, die durch den Punkt %%P(1|5)%% verläuft.

Stammfunktionen

Um zu zeigen, dass eine Funktion Stammfunktion einer anderen Funktion ist, ist es am einfachsten, den Stammfunktionskandidaten abzuleiten.

%%F(x)=\frac 1 4 (\ln(x^2))^2%%

Zur Ableitung benötigst du zweimal die Kettenregel und die Ableitungsregel des %%\ln%%.

%%F'(x)=2\cdot \frac 1 4 (\ln(x^2))\cdot \frac 1 {x^2} \cdot 2x%%

Berechne.

%%F'(x)= \dfrac{\ln(x^2)}{x^2}=f(x)%%

Ja, F ist eine Stammfunktion von f.

Gesucht ist nun die Stammfunktion, die durch den Punkt %%P(1|5)%% verläuft.

Alle Stammfunktionen von f haben für %%c \in \mathbb R%% die Gestalt $$F_c(x)=\frac 1 4 (\ln(x^2)^2 +c$$

Setze den Punkt in die allgemeine Stammfunktion ein:

%%5= \frac 1 4 (\ln(1^2))^2+ c%%

Berechne auf der rechten Seite mithilfe von %%\ln(1)=0%%.

%%5= c%%

Gesucht ist also die Stammfunktion $$F_5(x)=\frac 1 4 (\ln(x^2))^2 +5$$

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