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Gemischte Aufgaben zu Funktionen

Hier findest du gemischte Aufgaben zu Funktionen. Lerne, Graphen zu skizzieren, Funktionsterme zu bestimmen und weitere Größen von Funktionen zu berechnen!

  1. 1

    Gib den Term einer Funktion ff an, die folgende Bedingungen erfüllt.

      • Die Funktion geht für x1x \rightarrow 1 gegen -\infty;

      • der Graph der Funktion ist streng monoton steigend;

      • die Funktion ist stetig.

  2. 2

    Gegeben ist der Graph der Funktion f(x)f(x). Skizziere den Graphen der Funktion g(x)g(x).

    Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7622_x0BX027GUz.xml
    1. g(x)=2f(x)g\left(x\right)=-2\cdot f\left(x\right)

  3. 3

    Welcher Graph gehört zu welcher Funktion?  Begründe deine Entscheidung!

    1. f(x)=(x+1)2+3f\left(x\right)=-\left(x+1\right)^2+3

    2. g(x)=12x2+x+2g\left(x\right)=\frac12x^2+x+2

    3. h(x)=(2x)(x+3)h\left(x\right)=\left(2-x\right)\left(x+3\right)

    Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7620_8Ys2lErubM.xml
  4. 4
  5. 5
  6. 6

    Gibt es stetige Funktionen mit den folgenden Eigenschaften? Falls ja, gib ein Beispiel an; falls nein, begründe deine Entscheidung.

    1. f(0)=0,f(1)=1,f(x)<1 xDff(0)=0, \quad f(1)=1, \quad f'(x) \lt 1 ~\forall x \in \mathbb{D}_f

    2. f(1)=0,f(1)=0,f(x)0 xDff(-1)=0, \quad f(1)=0, \quad f'(x) \neq 0 ~\forall x \in \mathbb{D}_f

    3. f(x)>0,f(x)=f(x) xDff'(x) \gt 0, \quad f(-x)=f(x) ~\forall x \in \mathbb{D}_f

    4. f(x)=f(x) xDff'(x)=-f(x) ~\forall x \in \mathbb{D}_f

    5. f(x)f(x)=1 xDff(x)\cdot f'(x)=1 ~\forall x \in \mathbb{D}_f

  7. 7

    Berechne die Tangente an den Graphen der gegebenen Funktion ff zum gegebenen Punkt PP.

      • f:xx2f: x \mapsto x^2

      • P(?16)P( ?|16)

      • f:xln(x)1f: x \mapsto \ln(x)-1

      • P(e2?)P\left(e^2|?\right)

  8. 8

    Gegeben ist die Funktion g:xx141g: x \mapsto \sqrt{\dfrac{x-1}{4}}-1.

    Erkläre, wie der Funktionsterm g(x)g(x) aus h(x)=xh(x)=\sqrt{x} entstanden ist.

  9. 9

    Gib den Term einer nicht-linearen Funktion ff an, für die gilt: f(x)x  xR|f(x)| \leq |x| ~~\forall x \in \mathbb{R}. Mache deine Wahl plausibel.

  10. 10

    Begründe kurz, warum folgende Aussagen gelten.

    1. Ist der Graph einer in R\mathbb{R} definierten, integrierbaren Funktion tt punktsymmetrisch zum Ursprung, dann gilt für alle aRa \in \mathbb{R}: aat(x)dx=0\displaystyle \int_{-a}^a t(x)\mathrm{d}x =0

  11. 11

    Ordne die auf [1;[[1;\infty[ definierten Funktionen mit einer kurzen Begründung den Graphen zu.

    a) f(x)=(x1)f(x)=\sqrt{(x-1)}

    b) g(x)=ln(x)g(x)=\ln(x)

    c) h(x)=sin(0.1x1)h(x)=\sin(0.1x-1)

    g
    h
    f
  12. 12

    Ordne die Funktionen f1,f2,f3f_1, f_2, f_3 und f4f_4 den Graphen zu und begründe deine Wahl kurz.

    f1:x1x2\displaystyle f_1: x \mapsto \frac{1}{x^2}

    f2:xx21+x2\displaystyle f_2: x \mapsto \frac{x^2}{1+x^2}

    f3:x11+x2\displaystyle f_3: x \mapsto \frac{1}{1+x^2}

    f4:x1x4\displaystyle f_4: x \mapsto \frac{1}{x^4}

    f_2
    h
    f
    j
  13. 13

    Betrachte die Funktion f(x)=exp(x)4exp(x)+4f(x) = \frac{\exp(x) -4}{\exp(x) +4}. Der Graph der Funktion ist GfG_f und ihr Definitionsbereich Df=RD_f = \mathbb{R}.

    Bild
    1. Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts SS von GfG_f mit der y-Achse.

      Berechne anschließend die Koordinaten des Schnittpunkts SS von GfG_f mit der x-Achse.

    2. Bestimme das Verhalten von f(x)f(x) für xx \rightarrow \infty und xx\rightarrow - \infty.

    3. Untersuche das Monotonieverhalten von GfG_f mit Hilfe der ersten Ableitung von ff.

    4. W (ln 4 | 0) ist der einzige Wendepunkt von GfG_f. Zeige, dass die Gerade n mit der Gleichung y=x+ln4y = -x + \ln 4 durch W verläuft und auf der Wendetangente senkrecht steht.

    5. Verschiebe GfG_f um ln 4 nach links, um den Graphen GfG_{f^*} zu erhalten und gib ff^* an. Zeige, dass GfG_{f^*} punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Welche Bedeutung hat in diesem Fall der Punkt W für GfG_f?

  14. 14

    Gegeben ist die Funktion f(x)=ln(x2)xf(x)=\dfrac {ln(x^2)}{x} mit Df=DmaxD_f=D_{max}.

    1. Gib die Definitionsmenge DfD_f, die Gleichung aller Asymptoten und das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs an.

    2. Untersuche die angegebene Funktion auf Symmetrie.

    3. Untersuche die Funktion auf gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen.

    4. Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion und gib Lage und Art aller Extremstellen an.

    5. Zeige, dass F(x)=14(ln(x2))2F(x)= \frac 1 4 (ln(x^2))^2 eine Stammfunktion von ff ist und bestimme den Funktionsterm derjenigen Stammfunktion, die durch den Punkt P(15)P(1|5) verläuft.

  15. 15

    Für jedes aRa \in \mathbb{R} ist die Funktion faf_a definiert durch fa(x)=eax+eaxf_a(x)= e^{-ax}+e^{ax}.

    1. Begründe, dass die Funktionenschar faf_a den gemeinsamen Punkt P(02)P(0|2) besitzt.

    2. Begründe außerdem ohne abzuleiten, dass PP ein globales Minimum ist. Als mögliche Hilfestellung erhältst du die Graphen der Funktionen exe^x und e2xe^{2x}.

      e
    3. faf_a werde an der Gerade y=2y=2 gespiegelt. Gib den Funktionsterm der neuen Funktionenschar gag_a an.


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