Aufgaben zum Aufstellen von Geradengleichungen
- 1
Bestimme die Gleichung der Geraden g, die parallel zur Geraden h ist und durch den Punkt P geht.
h: y=3x−2; P(1|0)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
y=3x−2 ; P(1|0)
m=3
Geradengleichung aufstellen
Setze m (3) und P(1|0) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
0 = 3⋅1+t −3 ↓ Gleichung nach t auflösen.
t = −3 Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
⇒ Geradengleichung: y=3x−3
Hast du eine Frage oder Feedback?
h: y=x−4; P(1|2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
y=x−4 ; P(1|2)
m=1
Gleichung aufstellen
Setze m (1) und P(1|2) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
2 = 1+t −1 ↓ Gleichung nach t auflösen.
t = 1 Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
⇒ Geradengleichung: y=x+1
Hast du eine Frage oder Feedback?
h: y=4x; P(5|18)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
y=4x ; P(5|18)
m=4
Gleichung aufstellen
Setze m (4) und P(5|18) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
18 = 4⋅5+t −20 ↓ Gleichung nach t auflösen.
t = −2 Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
⇒ Geradengleichung: y=4x−2
Hast du eine Frage oder Feedback?
h: y=−2x+1; P(-1|4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
y=−2x+1 ; P(-1|4)
m=−2
Gleichung aufstellen
Setze m (-2) und P(-1|4) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
4 = −2⋅(−1)+t −2 ↓ Gleichung nach t auflösen.
t = 2 Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
⇒Geradengleichung: y=−2x+2
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 2
Funktionsgleichung bestimmen.
Eine Gerade hat die Steigung a1 und verläuft durch den Punkt P. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.
a1=21 P(4∣−2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Allgemeine Geradengleichung: y=m⋅x+t
hier ist m=a1
f(x) = a1⋅x+t ↓ Setze a1=21 in die allgemeine Geradengleichung ein.
f(x) = 21x+t ↓ Setze P in f(x) ein.
−2 = 21⋅4+t −2 ↓ löse nach t auf
t = −4 ↓ Setze t in f(x) ein.
f(x)=21x−4
Bestimmung des Schnittpunkts mit der y-Achse
Gesucht ist der sogenannte y-Achsenabschnitt (hier: t), also wo y=f(0)=0 und x=0 ist.
Da die allgemeine Geradengleichung
f(x)=m⋅x+t lautet, gilt immer für
f(0)=m⋅0+t=t.
Hier ist t=−4
⇒ Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0∣−4)
Bestimmung des Schnittpunkts mit der x-Achse
f(x) = 0 ↓ Gesucht ist hier ein x mit f(x) =0 und somit y=0 ist. Setze Funktionsgleichung gleich 0.
21x−4 = 0 +4 21x = 4 :21 x = 214 ↓ Du dividierst durch einen Bruch → Multipliziere mit dem Kehrwert.
x = 4⋅2 x = 8 ⇒ Schnittpunkt mit der x-Achse bei (8∣0)
Zeichnung
Hast du eine Frage oder Feedback?
a1=43P(1∣−3)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Allgemeine Geradengleichung:
f(x) = a1⋅x+t ↓ t: y-Achsenabschnitt
Setze a2=43 in die allgemeine Geradengleichung ein.
f(x) = 43x+t ↓ Setze P(1/-3) in f(x) ein.
−3 = 43⋅1+t ↓ −3 = 43+t −43 t = −3−43 ↓ t = −3,75 ↓ Setze t in f(x) ein.
f(x)=43x−3,75
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze f(x)=0, um die Nullstellen zu bestimmen.
43x−3,75 = 0 +3,75 43x = 3,75 :43 x = 3,75:43 ↓ Du dividierst durch einen Bruch → Multipliziere mit dem Kehrwert.
x = 3,75⋅34 ↓ x = 5 Also ist der Schnittpunkt mit der x-Achse bei (5∣0)
Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse.
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist bei (0∣−3,75)
Zeichung
Hast du eine Frage oder Feedback?
a1=2P(3∣−1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Allgemeine Geradengleichung: Hier mit m=a2
f(x) = a1⋅x+t ↓ t: y-Achsenabschnitt
Setze a3=2 in die allgemeine Geradengleichung ein.
f(x) = 2x+t ↓ Setze P(3/-1) in f(x) ein.
−1 = 2⋅3+t ↓ −1 = 6+t −6 t = −1−6 ↓ t = −7 ↓ Setze t in f(x) ein.
f(x)=2x−7
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze f(x)=0, um die Nullstellen zu bestimmen.
2x−7 = 0 +7 2x = 7 :2 x = 7:2 ↓ x = 3,5 ⇒ Der Schnittpunkt mit der x-Achse bei (27∣0).
Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse.
⇒ Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0∣−7)
Zeichnung
Hast du eine Frage oder Feedback?
a1=54P(23∣4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Allgemeine Geradengleichung:
f(x) = a1⋅x+t ↓ t: y-Achsenabschnitt
Setze a4=54 in die allgemeine Geradengleichung ein.
f(x) = 54x+t ↓ Setze P(23∣4) in f(x) ein.
4 = 54⋅23+t ↓ Kürze den Bruch mit 2.
4 = 52⋅3+t ↓ 4 = 56+t −56 t = 4−56 ↓ Schreibe 4 als Bruch mit 4 im Nenner.
t = 520−56 ↓ t = 514 t = 2,8 ↓ Setze t in f(x) ein.
f(x)=54x+2,8
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze f(x)=0, um die Nullstellen zu bestimmen.
54x+2,8 = 0 −2,8 54x = −2,8 :54 x = −2,8:54 ↓ x = −27 x = −3,5 ⇒ Der Schnittpunkt mit der x-Achse bei (−27∣0)
Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse.
Hier ist t=2,8=514
⇒ Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0∣514).
Zeichnung
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 3
Funktionsgleichung bestimmen.
Eine Gerade verläuft durch die Punkte P1 und P2 . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.
P1(2∣1)P2(5∣4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
1)1=m⋅2+t2)4=m⋅5+t
1)−2)−3 = −3m :(−3) m = 1 Setze m in 1) ein.
1 = 1⋅2+t −2 t = −1 Setze t und m in die allgemeine Geradengleichung ein.
y=x−1⇒f(x)=x−1
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen
x−1 = 0 +1 xN = 1 Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist S1(1∣0)
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt (t) ⇒S2(0∣−1)
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte S1 und S2oder die beiden vorgegebenen Punkte P1 und P2.
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach rechts und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
Hast du eine Frage oder Feedback?
P1(−3∣−2)P2(2∣3)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
1)−2=m⋅(−3)+t2)3=m⋅2+t
1)−2)−5 = −5m :(−5) m = 1 ↓ Setze m in 2) ein.
3 = 2+t −2 t = 1 ↓ Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
y = x+1⇒f(x)=x+1 Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen
x+1 = 0 −1 xN = −1 Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist S1(−1∣0).
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt ⇒S(0∣1)
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte S1 und S2
oder die beiden vorgegebenen Punkte P1 und P2.
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach rechts und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
Hast du eine Frage oder Feedback?
P1(−2∣3)P2(4∣−1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Setze P1 und P2 in die allgemeine Geradengleichung ein.
y=mx+t
Wende das Additionsverfahren an.
3=−2m+t
−1=4m+t
1) - 2)
↓ 4 = −6m :(−6) m = −64 ↓ Kürze mit 2.
m = −32 ↓ Setze m in 1) ein
3 = −2(−32)+t ↓ 3 = 34+t −34 t = 3−34 ↓ t = 132 ↓ Setze m und t in die allg. Geradengleichung ein.
y = −32x+132 Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0 ein, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu erhalten
−32x+132 = 0 −132 −32x = −132=−35 :(−32) x = −32−35 ↓ xN = −35⋅(−23) = 25=2,5 Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist S1(25∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt ⇒S(0∣35)
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte S1 und S2,
oder die beiden vorgegebenen Punkte P1 und P2.
Hast du eine Frage oder Feedback?
P1(−4∣−1)P2(3∣1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
y=mx+t
Setze P1 und P2 in die allgemeine Geradengleichung ein.
1)−1=−4m+t2)1=3m+t
Wende das Additionsverfahren an. Berechne 1)−2)
−2 = −7m :(−7) m = 72 ↓ Setze m in 2) ein.
1 = 72⋅3+t −76 t = 1−76 t = 71 Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
y=72x+71⇒f(x)=72x+71
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen
72x+71 = 0 −71 72x = −71 :72 x = 72−71 ↓ Dividiere die Brüche. → Multipliziere mit dem Kehrwert.
x = −71⋅27 xN = −21 Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist S1(−21∣0).
Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt ⇒S2(0∣71)
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte S1 und S2,
oder die beiden vorgegebenen Punkte P1 und P2.
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung sieben nach rechts und zwei nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
Hast du eine Frage oder Feedback?
P1(−3∣29)P2(4∣−1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
y=mx+t
Setze P1 und P2 in die allgemeine Geradengleichung ein.
1)29=−3m+t2)−1=4m+t
Wende das Additionsverfahren an. Berechne 1)−2):
211 = −7m :(−7) m = −7211 m = −1411 Setze m in 2) ein.
−1 = −1411⋅4+t −1 = −1444+t +1444 t=1430
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
y=−1411x+1430
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen.
−1411x+1430 = 0 −1430 −1411x = −1430 :(−1411) ↓ Dividiere die Brüche. Das heißt multipliziere mit dem Kehrbruch.
x = −1430⋅(−1114) xN = 1130 Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist S1(1130∣0)
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt ⇒S(0∣1430)
Zeichnung
Verbinde die beiden vorgegebenen Punkte P1 und P2.
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung 14 nach rechts und 11 nach unten und verbinde diese beiden Punkte.
Hast du eine Frage oder Feedback?
P1(−4∣−2)P2(27∣4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
y=mx+t
Setze P1 und P2 in die allgemeine Geradengleichung ein.
1)−2=−4m+t2)4=3,5m+t
Wende das Additionsverfahren an. Berechne 1)−2):
−6 = −7,5m :(−7,5) m = −7,5−6 m = 0,8 ↓ Setze m in 1) ein.
−2 = 0,8⋅(−4)+t −2 = −3,2+t +3,2 t=1,2
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
y=0,8x+1,2⇒f(x)=0,8x+1,2
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen
0,8x+1,2 = 0 −1,2 0,8x = −1,2 :0,8 x = 0,8−1,2 xN=−1,5
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist S1(−1,5∣0)
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt ⇒S(0∣1,2)
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte S1 und S2,
oder die beiden vorgegebenen Punkte P1 und P2.
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung 1 nach rechts und 0,8 nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 4
Zeichne die folgenden Geraden und gib den Funktionsterm an.
Gf hat die Steigung 43 und schneidet die y-Achse bei −2.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen einer Geradengleichung
Funktionsterm aufstellen
m=43;t=−2
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung y=mx+t ein.
⇒y=43x−2
Gerade zeichnen
Wähle einen beliebigen Punkt auf der Geraden, z. B. den Schnittpunkt mit der y-Achse (0∣−2). Gehe von dort 1 nach rechts und entsprechend der Steigung m=43 nach oben (Alternativ auch die vierfache Länge, um Brüche zu vermeiden: 4 nach rechts und 3 nach oben). Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Gf hat die Steigung 0 und schneidet die y-Achse bei 3.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen einer Geradengleichung
Funktionsterm aufstellen
m=0;t=3
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung y=mx+t ein.
⇒y=3
Gerade zeichnen
Die Gerade verläuft durch den Schnittpunkt mit der y-Achse (0∣3) parallel zur x-Achse, da die Gerade die Steigung 0 hat.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Gf geht durch den Punkt P(−3∣−2) und ist parallel zur x-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen einer Geradengleichung
Funktionsterm aufstellen
Da die Gerade parallel zur x-Achse liegt, ist ihre Steigung 0 ⇒m=0.
Die Gerade geht durch den Punkt (−3∣−2). Da die Steigung 0 ist, hat die Gerade bei x=0 den y-Wert −2.
Ihr y-Achsenabschnitt liegt also bei −2⇒t=−2.
m=0;t=−2
Setze m und t in die allgemeine Funktion y=mx+t ein.
y=−2
Gerade zeichnen
Die Gerade verläuft durch den Schnittpunkt mit der y-Achse (0∣−2) parallel zur x-Achse, da die Gerade die Steigung 0 hat.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Gf geht durch den Punkt P(−4∣2) und ist parallel zur y-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen einer Geradengleichung
Funktionsterm aufstellen
Diese Gerade kann nicht durch eine Funktionsgleichung beschrieben werden. Die Steigung wäre unendlich groß.
Wir können die Gerade aber trotzdem zeichnen.
Gerade zeichnen
Die Gerade verläuft durch den Punkt (−4∣2) parallel zur y-Achse.
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 5
Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch …
den Punkt P(−3∣4) geht und parallel ist zur x-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Parallel zur x-Achse, das heißt die gleiche Steigung wie die x-Achse, also m=0.
m und P in die allgemeine Geradengeleichung einsetzen.
Zur Geradengleichung zusammensetzen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
den Punkt Q(2∣5) geht und parallel ist zur Winkelhalbierenden des 2.Quadranten.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Parallel zur Winkelhalbierenden des 2. Quadranten bedeutet gleiche Steigung.
Die Steigung der Winkelhalbierenden des 2. Quadranten ist -1
m in die Geradengleichung einsetzen und damit t berechnen.
m und t in die allgemeine Geradengleichung einsetzen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
den Punkt R(−4∣2) geht und parallel ist zur y-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Parallel zur y-Achse, d.h. keine Funktionsgleichung, da einem x-Wert unendlich viele y-Werte zugeordnet werden. Die Gerade kann also nur als der x-Wert von R beschrieben werden.
Hast du eine Frage oder Feedback?
den Punkt S(2∣−3) geht und parallel ist zur Winkelhalbierenden des 1.Quadranten.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Parallel zur Winkelhalbierenden des 1. Quadranten bedeutet die gleiche Steigung.
Die Steigung der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten ist 1.
Setze m und S in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach t auf.
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
Hast du eine Frage oder Feedback?
den Ursprung geht und parallel ist zur Geraden AB mit A(−72∣−60) und B(−24∣−20).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Durch den Ursprung, das heißt y-Achsenabschnitt t=0
Parallel zur Geraden AB , bedeutet die gesuchte Gerade hat die gleiche Steigung wie AB .
Berechne die Steigung m mithilfe des Differenzenquotienten .
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 6
Prüfen Sie, ob die Gerade durch P1 und P2 eine Ursprungsgerade ist.
P1(2∣4);P2(−1,5∣−3)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
Setze die beiden Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein:
y=mx+t
1)2)4−3==2m+t−1,5m+t∣⋅(−1)
1)2)43==2m+t1,5m−t
Wende das Additionsverfahren an.
Berechne 1)+2).
7 = 3,5m :3,5 m = 3,57 m = 2 Setze m in eine der beiden Funktionen ein.
4 = 2⋅2+t 4 = 4+t −4 t = 4−4 t = 0 y=2x
Die Gerade durch P1 und P2 ist eine Ursprungsgerade, da für x=0 der y-Wert gleich 0 ist.
Hast du eine Frage oder Feedback?
P1(−1∣3,5);P2(2∣−2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
Setze die beiden Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein:
y=mx+t
1)3,5=−1m+t2)−2=2m+t
Löse das lineare Gleichungssysten zum Beispiel mit dem Additionsverfahren.
Multipliziere dafür zunächst die Gleichung 1) auf beiden Seiten mit (−1)
1)−3,5=m−t2)−2=2m+t
Berechne 1)+2)
−5,5 = 3m −211 = 3m :3 −2⋅311 = m −611 = m Setze m in eine der beiden Gleichungen ein
−2 = 2⋅(−611)+t −2 = −311+t +311 −36+311 = t −35 = t Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung.
m=−611;t=35
y=−611⋅x+35
Die Gerade durch P1 und P2 ist keine Ursprungsgerade, da für x=0 der y-Wert gleich 35 ist.
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 7
Funktiongleichung bestimmen.
Eine Gerade hat den y-Achsenabschnitt t und verläuft durch den Punkt P. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x) und zeichnen Sie den Graphen.
t=−1 P=(2∣3)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Allgemeine Geradengleichung:
y=m⋅x+t
Setze t in die Geradengleichung ein.
f(x)=m⋅x−1
Setze nun den Punkt P in f(x) ein.
3=m⋅2−1
Löse nach m auf.
m=(3+1):2=2
f(x)=2x−1
Zeichnung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
t=3 P(−4∣−3)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Allgemeine Geradengleichung:
y=m⋅x+t
Setze t in die Geradengleichung ein.
f(x)=m⋅x+3
Setze nun den Punkt P in f(x) ein.
−3=m⋅(−4)+3
Löse nach m auf.
m=−4−6=23
f(x)=23x+3
Zeichnung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 8
Stelle die Funktionsgleichung für die Gerade durch die Punkte P(-25|30) und Q(55|-30) auf und berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der x-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung ermitteln
P(-25|30); Q(55|-30)
Ermittle die Steigung m der allgemeinen Geradengleichung mithilfe des Differenzenqotienten .
m=−25−5530−(−30)=−8060=−43
Setze m und die Koordinaten eines Punktes z. B. P(-25|30) in die allgemeine Geradengleichung ein.
30=4−3(−25)+t
Vereinfache: 4−3(−25)=4−3(−25)=43⋅25=475
30 = 475+t −475 ↓ Löse nach t auf.
t = 30−475 t = 445 ↓ Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
⇒y=−43x+445
An der Schnittstelle mit der x-Achse ist der y-Wert 0.
0=4−3x+445
Nach x auflösen. Stelle dafür das x alleine durch: ⋅3−4
Beachte, dass bei beide Summanden multipliziert werden müssen.
0=4⋅3(−3)(−4)x+4⋅345(−4)
4⋅3(−3)(−4)=123⋅4=1212=1
0=x+12−180
0=x−15
Addiere 15
x=15
⇒ Die Gerade schneidet die x-Achse bei S(15|0).
- 9
Zwei Geraden f(x) und g(x) schneiden sich auf der x-Achse in x=4.
Bestimmen Sie mögliche Funktionsterme.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Für diese Aufgabe gibt es keine eindeutige Lösung. Gesucht sind zwei verschiedenen lineare Funktionen, die beide durch den Punkt (4|0) laufen.
Ein sehr einfaches Beispiel wäre f(x)=0, also die x-Achse und g(x)=x−4. f(x) läuft offensichtlich durch (4|0). Für g(x) lässt sich das auch sehr einfach überprüfen: g(4)=4−4=0.
Andere mögliche Funktionen sind: y=−x+4 , y=2x−8 (allgemein y=ax−4a für beliebige a)
Überlege durch welchen Punkt beide Geraden gehen müssen.
Bestimme zwei verschiedene Funktionen, die durch diesen Punkt gehen.
- 10
Berechne die Steigung der Gerade durch die gegebenen Punkte.
A(5∣7), B(−3∣8)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung
A(5∣7),B(−3∣8)
Setze die Punkte in den Differenzenquotient für die Gerade ein.
Die Steigung der Geraden beträgt m=−81.
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(1∣2), B(3∣4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung
A(1∣2),B(3∣4)
Setze die Punkte in den Differenzenquotient für die Gerade ein.
Die Steigung der Geraden beträgt m = 1.
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 11
Welche Steigung hat die Gerade durch die Punkte P(0∣3) und Q(2∣−3) ? Wie lautet also die Funktionsgleichung?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Steigung
Bestimme die Steigung m.
m=△x△y=x2−x1y2−y1
Setze die beiden Punkte in die Formel für die Steigung ein.
m=0−23−(−3)=−26=−3
Funktionsgleichung
Bestimme die Funktionsgleichung.
y=m⋅x+t
Setze m in die allgemeine Geradengleichung ein.
y=−3x+t
Setze einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung ein.
3=−3⋅0+t
t=3
Setze t in die Funktionsgleichung ein.
⇒f(x)=−3x+3
- 12
Stelle die Gleichung der Geraden durch die Punkte P(1∣3) und Q(3∣−1) auf.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Gegeben sind die beiden Punkte P(1∣3) und Q(3∣−1).
Gesucht ist die Gleichung der Geraden, die durch die beiden Punkte geht.
Zur Ermittlung der Geradengleichung überlegst du am Besten erst die allgemeine Form der Geradengleichung:
Bestimmung der Steigung m
Erinnere dich zunächst an die Gleichung für die Steigung einer Geraden:
Setze die Werte x1,x2,y1,y2 aus den Punkten P und Q in die Formel ein.
m=3−1−1−3= 2−4
m=−2
Jetzt weißt du, dass die Gleichung der Geraden durch die Punkte P und Q geht folgendermaßen aussieht:
Als nächstes ermittelst du den y-Achsenabschnitt (t).
Ermittlung des y-Achsenabschnitts t
Um t zu ermitteln setzt du den x- und y-Wert einer der beiden Punkte in die Geradengleichung ein. Hier wird das beispielhaft mit dem Punkt P ausgerechnet.
3=−2⋅1+t
3=−2+t
t=5
Der y-Achsenabschnitt der Funktion ist 5. Damit hast du auch schon die ganze Funktionsgleichung.
y=−2⋅x+5
- 13
Für eine lineare Funktion h(x) gilt:
h(0)=3 und h(−2)=4. Bestimmen Sie h(x) .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen
Bestimme den y-Achsenabschnitt t
Bei einer Funktion ist der y-Achsenabschnitt gleich dem Wert bei x=0.
t=h(0)=3
Bestimme jetzt mit den zwei gegebenen Punkten die Steigung m mit dem Differenzenquotienten.
m=0−(−2)3−4=2−1=−21
Setze zur Geradengleichung zusammen.
⇒y=−21x+3
- 14
Stelle die Gleichung der Geraden mit Steigung m=−34 durch den Punkt P(−2∣−0,5) auf und zeichne sie in ein Koordinatensystem.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung erstellen
Geradengleichung erstellen
m=−34 ; P(−2∣−0,5)
Setze m und P in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach t auf.
−21 = −34⋅(−2)+t ↓ −34⋅(−2)=3(−4)⋅(−2)=38
−21 = 38+t −38 t = −21−38 ↓ Bringe die beiden Brüche auf denselben Nenner.
t = −63−616 ↓ t = −619 ↓ Wandle in einen gemischten Bruch um.
t = −3 61 ↓ Setze t und m in die allgemeine Geradengleichung ein.
⇒ y=−34x−361
Gerade zeichnen
Wähle einen beliebigen Punkt auf der Geraden, z. B. den gegebenen Punkt P(−2∣−0,5). Einen zweiten Punkt findest du, indem du vom Punkt P aus entsprechend der Steigung m=−34, um 1 nach rechts und um 34 nach unten gehst. Du erhältst das gru¨ne Steigungsdreieck. Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
Einfacher findest du den zweiten Punkt, indem du um 3 nach rechts und 4 nach unten gehst. Du erhältst das orangefarbige Steigungsdreieck. (Die Steigung ist dann immer noch m=−34.)
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Stelle die Gleichung der Geraden durch die zwei Punkte auf und zeichne sie.
P(2∣0) und Q(−2∣2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Geradengleichung ermitteln
P(2∣0);Q(−2∣2)
Ermittle die Steigung m der allgemeinen Geradengleichung y=m⋅x+t mithilfe des Differenzenqotienten .
m=−2−22−0=−42=−21
Setze m und die Koordinaten eines Punktes z. B. P(2∣0) in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach t auf.
0=−21⋅2+t +21⋅2
t=1
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
⇒ y=−21x+1
Gerade zeichnen
Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte P(2∣0) und Q(−2∣2) in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.
Hast du eine Frage oder Feedback?
P(0,5∣1,5) und Q(5∣3)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Geradengleichung ermitteln
P(0,5∣1,5);Q(5∣3)
Ermittle die Steigung m der allgemeinen Geradengleichung y=m⋅x+t mithilfe des Differenzenqotienten.
m=5−0,53−1,5=4,51,5=31
Setze m und die Koordinaten eines Punktes z. B. Q(5∣3) in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach t auf.
3=31⋅5+t∣−31⋅5
t=34
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
⇒ y=31x+34
Gerade zeichnen
Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte P(0,5∣1,5) und Q(5∣3) in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.
Hast du eine Frage oder Feedback?
P(−2∣1) und Q(6∣4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Geradengleichung ermitteln
P(−2∣1); Q(6∣4)
Ermittle die Steigung m der allgemeinen Geradengleichung y=m⋅x+t mithilfe des Differenzenqotienten .
m=6−(−2)4−1=83
Setze m und die Koordinaten eines Punktes z. B. P(−2∣1) in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach t auf.
1=83⋅(−2)+t
1=−86+t
1=−43+t∣+43
t=47
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
⇒ y=83x+47
Gerade zeichnen
Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte P(−2∣1) und Q(6∣4) in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.
Hast du eine Frage oder Feedback?
P(−4∣1) und Q(1∣−1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Geradengleichung ermitteln
P(−4∣1); Q(1∣−1)
Ermittle die Steigung m der allgemeinen Geradengleichung y=m⋅x+t mithilfe des Differenzenqotienten.
m=1−(−4)−1−1=−52
Setze m und die Koordinaten eines Punktes z. B. P(−4∣1) in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach t auf.
1=−52⋅(−4)+t
1=58+t∣−58
t=−53
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
⇒ y=−52x−53
Gerade zeichnen
Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte P(−4∣1) und Q(1∣−1) in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Stelle die Gleichung der Geraden auf, die durch den Punkt P(−3∣3) verläuft und die Steigung m=−2 hat. Zeichne die Gerade.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
1. Setze m und die Koordinaten des Punktes P in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach t auf.
2. Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein ⇒y=−2x−3
Gerade zeichnen
Zeichne den gegebenen Punkt P(−3∣3) in das Koordinatensystem ein. Zeichne dann ein Steigungsdreieck, indem Du um 1 nach rechts und um 2 nach unten gehst (m=−2). Trage dort den Punkt Q ab. Verbinde P und Q zu einer Geraden.
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Gegeben sind der y-Achsenabschnitt t=2 und der Punkt P(3∣−1). Berechne die zugehörende Geradengleichung und zeichne die Gerade.
ist die Gleichung der Geraden.Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
1. Setze t und die Koordinaten des Punktes P in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach m auf.
2. Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein ⇒y=−x+2
Gerade zeichnen
Zeichne den gegebenen Punkt P(3∣−1) in das Koordinatensystem ein. Zeichne dann den Punkt Sy(0∣2) (y-Achsenabschnitt t=2) ebenfalls ein und verbinde die Punkte Sy und P zu einer Geraden.
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Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt P geht und senkrecht zur gegebenen Gerade steht.
y=3x+2
P(3∣5)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
Bestimme zunächst die Steigung der zu g(x):y=3x+2 senkrechten Geraden h mit der Formel.
m2=−m11
Setz den Wert ein.
m2=−31
Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung −31.
Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten h mit dem gegebenen Punkt P(3∣5), indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
h(xp):yp=m2xp+b
Setze die Werte ein.
5=−31⋅3+b∣+1
Vereinfache und addiere 1.
6=b⇔b=6
Also lautet die gesuchte Geradengleichung h(x):y=−31x+6.
Hast du eine Frage oder Feedback?
y=0,5x+1
P(1∣2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
Bestimme zunächst die Steigung der zu g(x):y=0,5x+1 senkrechten Geraden h mit der Formel.
m2=−m11
Setz den Wert ein.
m2=−0,51=−211=−2
Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung −2.
Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten h mit dem gegebenen Punkt P(1∣2), indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
h(xp):yp=m2xp+b
Setz die Werte ein.
2=−2⋅1+b ∣+2
Vereinfache und addiere 2.
4=b⇒b=4
Also lautet die gesuchte Geradengleichung h(x):y=−2x+4.
Hast du eine Frage oder Feedback?
y=−5x+6
P(−10∣1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
Bestimme zunächst die Steigung der zu g(x):y=−5x+6 senkrechten Geraden h mit der Formel.
m2=−m11
Setz den Wert ein.
m2=−−51=0,2
Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung 0,2.
Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten h mit dem gegebenen Punkt P(−10∣1), indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
h(xp):yp=m2xp+b
Setz die Werte ein.
1=0,2⋅(−10)+b ∣+2
Vereinfache und addiere 2.
3=b⇒b=3
Also lautet die gesuchte Geradengleichung h(x):y=0,2x+3.
Hast du eine Frage oder Feedback?
y=4x+3
P(2∣−5)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
Bestimme zunächst die Steigung der zu g(x):y=4x+3 senkrechten Geraden h mit der Formel.
m2=−m11
Setz den Wert ein.
m2=−41=−0,25
Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung −0,25.
Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten h mit dem gegebenen Punkt P(2∣−5), indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
h(xp):yp=m2xp+b
Setz die Werte ein.
−5=−0,25⋅2+b +0,5
Vereinfache und addiere 0,5.
−4,5=b⇒b=−4,5
Also lautet die Geradengleichung h(x):y=−0,25x−4,5.
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y=−32x+2
P(4∣6)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
Bestimme zunächst die Steigung der zu g(x):y=−32x+3 senkrechten Geraden h mit der Formel.
m2=−m11
Setz den Wert ein.
m2=−−321=23
Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung 23.
Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten h mit dem gegebenen Punkt P(4∣6), indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
h(xp):yp=m2xp+b
Setz die Werte ein.
6=23⋅4+b ∣−6
Vereinfache und subtrahiere 6.
0=b⇒b=0
Also lautet die Geradengleichung h(x):y=23x.
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y=31x−2
P(2∣5)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
Bestimme zunächst die Steigung der zu g(x):y=31x−2 senkrechten Geraden h mit der Formel.
m2=−m11
Setz den Wert ein.
m2=−311=−3
Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung −3.
Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten h mit dem gegebenen Punkt P(2∣5), indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
h(xp):yp=m2xp+b
Setz die Werte ein.
5=−3⋅2+b ∣+6
Vereinfache und addiere 6.
11=b⇒b=11
Also lautet die Geradengleichung h(x):y=−3x+11.
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Zwei aufeinander senkrecht stehende Geraden schneiden sich in S(−2∣−1) .
Geben Sie mögliche Geradengleichungen an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
Wir haben zwei zueinander senkrechte Geraden mit dem Schnittpunkt (−2,−1). Wie man aus der Angabe schon rauslesen kann, gibt es mehrere Möglichkeiten, zwei solcher Geraden zu wählen. Im Folgenden wird eine Möglichkeit angegeben. Ein gutes Kriterium, um zu überprüfen, ob die zwei gewählten Geraden senkrecht zueinander sind, ist folgendes:
m1⋅m2=−1.
Wähle zum Beispiel die Geraden g mit y=g(x)=x+1 und h mit y=h(x)=−x−3. Dann gilt m1⋅m2=1⋅(−1)=−1und es gilt g(−2)=−1 und h(−2)=−1. Also liegt der Schnittpunkt auf den beiden Geraden und diese sind senkrecht zueinander.
Achtung:
Wählst du zum Beispiel die Gerade y=−1 (eine Parallele zur x-Achse), die durch den Punkt(−2,−1) geht, gibt es genau eine Gerade, nämlich die Gerade, die parallel zur y-Achse steht mit der Geradengleichung x=−2. Diese stehen zwar senkrecht aufeinander, aber x=−2 ist keine Funktion, sondern eine Relation.
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Löse die folgenden Aufgaben.
Welche Steigung hat die Gerade durch die Punkte P(0∣3) und Q(2∣−3)?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: allgemeine Geradengleichung
Gegeben: Punkt P(0∣3) und Punkt Q(2∣−3)
Setze die x-Werte (erste Koordinate) und die y-Werte (zweite Koordinate) in die allgemeine Geradengleichung ein.
3=m⋅0+t
−3=m⋅2+t
Bei der ersten Gleichung kannst du sofort ablesen, dass t=3. Dieses t kannst du in die zweite Gleichung einsetzen, um m auszurechnen.
−3 = m⋅2+3 −3 −6 = m⋅2 :2 −3 = m Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
y=−3x+3
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Stelle die Gleichung der Geraden durch die Punkte P(1∣3) und Q(3∣−1) auf.
Gegeben: Punkt P(1∣3) und Q(3∣−1)
Berechne die Differenz der beiden x-Werte und der beiden y-Werte, um die Steigung zu bestimmen.
x-Werte: 3−1=2
y-Werte: −1−3=−4
Während der x-Wert um 2 steigt, nimmt der y-Wert um 4 ab. Dividiere den y-Wert durch den x-Wert, um die Steigung auszurechnen.
m=2−4=−2
Setze m, den x-Wert und den y-Wert eines der Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein, um t zu bestimmen.
3 = −2⋅1+t 3 = −2+t +2 t = 5 Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein, um die Gleichung der Funktion aufzustellen.
y=−2x+5
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Gegeben sind die Punkte A(40∣220),B(100∣250),C(200∣300),D(80∣240).
Zeichne die Punkte A−D in ein geeignetes Koordinatensystem ein.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
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Bestimme die Geradengleichung der durch die Punkte A−D verlaufenden Gerade.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Betrachte A(40∣220) und B(100∣250).
Wähle aus A: x1=40 und y1=220 und von B: x2=100 und y2=250.
m=ΔxΔy=x2−x1y2−y1=100−40250−220=6030=0,5
Da die Punkte A−D alle auf einer Geraden liegen, reicht es, wenn du dir nur zwei Punkte (beispielsweise A und B) heraussuchst. Mit deren Hilfe bestimmst du die Steigung der Gerade. Hierfür ziehst du die y-Koordinate vom Punkt A von der y-Koordinate vom Punkt B ab, und die x-Koordinate vom Punkt A von der x-Koordinate vom Punkt B.
Nun wird der y-Achsenabschnitt bestimmt, indem man einen Punkt auf der Gerade (zum Beispiel C), in die Geradengleichung y=mx+teinsetzt und nach t auflöst.
Setze Punkt C in die Geradengleichung y=mx+t ein, wobei wir das zuvor berechnete m=0,5 einsetzen:
y = 0,5⋅x+t 300 = 0,5⋅200+t ⇔ t = 200 Damit haben wir sowohl m als auch t bestimmt, so dass unsere Geradengleichung lautet:
y=0,5⋅x+200
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Gib drei weitere Punkte an, die auf der Gerade liegen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Setze drei beliebige x-Werte in die Geradengleichung ein, um den jeweiligen y-Wert zu bekommen, z.B. x1=0,x2=−100 und x3=300.
y = 0,5⋅x+200 y1 = 0,5⋅x1+200 = 0,5⋅0+200 = 200 y2 = 0,5⋅x2+200 = 0,5⋅(−100)+200 =150 y3 = 0,5⋅x3+200 = 0,5⋅300+200 =350 Damit erhalten wir also folgende drei Punkte D,E und F:
D(0∣200),E(−100∣150) und F(300∣350)
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