Aufgaben

Beschreibe den charakteristischen Verlauf der folgenden Funktionen.

%%f(x) = -9x^2 + 7x -3%%

Charakteristischer Verlauf einer Polynomfunktion

Der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion kann mit ein paar Regeln vorhergesagt werden.

%%f%% ist eine eine quadratische Funktion, da der größte Exponent %%2%% ist. Wir wissen, dass das Verhalten im Unendlichen vom Grad des Polynoms, sowie vom Vorzeichen des ersten Koeffizienten (nach Sortierung der Terme nach fallenden Exponenten) abhängt.

Für sehr kleine Werte von %%x%% (damit sind negative %%x%%-Werte mit sehr großem Betrag gemeint), sowie sehr große Werte von %%x%% dominiert also der Term %%-9x^2%%. Dieser ist negativ für jedes %%x%%. Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion %%f%%:

"Von links unten nach rechts unten".

Also ungefähr so:

%%f(x)=2x^2+3x^6+1%%

Charakteristischer Verlauf einer Polynomfunktion

Wir wissen, dass der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion vom Grad der Polynomfunktion und vom Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten abhängt.

%%f(x)=2x^2+3x^6+1%%

Sortiere den Term nach fallenden Exponenten.

%%f(x)=3x^6+2x^2+1%%

Lese den Grad der Funktion und das Vorzeichen des ersten Koeffizienten ab.

Die Funktion hat den Grad 6 und das Vorzeichen des ersten Koeffizienten (nach der Sortierung) ist positiv.

Für sehr kleine Werte von %%x%% (damit sind negative %%x%%-Werte mit sehr großem Betrag gemeint), sowie sehr große Werte von %%x%% dominiert also der Term %%3x^6%%. Dieser ist positiv für jedes %%x%%. Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion %%f%% von links oben nach rechts oben.

Parabel

Da die Polynomfuktion nur Potenzen mit geradem Exponenten enthält, ist die Funktion symmetrisch zur Y-Achse.

%%f(x)=(x-3)(x+4)(2-x)%%

Charakteristischer Verlauf einer Polynomfunktion

Wir wissen, dass der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion vom Grad der Polynomfunktion und vom Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten abhängt.

%%f(x)=(x-3)(x+4)(2-x)%%

Der Grad der Funktion f(x) ergibt sich aus der Summe der Grade der einzelnen Faktoren.

f ist das Produkt von drei Linearfaktoren. Alle drei Faktoren haben den Grad 1.

Grad %%f(x) =1+1+1=3%%

Somit ist f ein Polynom dritten Grades.

In den Faktoren taucht die Variable x zweimal mit positivem Vorzeichen und einmal mit negativem Vorzeichen auf. Das Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten %%x^3%% ist also negativ.

%%-x^3%% ist positiv, wenn %%x%% negativ ist und negativ, wenn %%x%% positiv ist.

Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion %%f%% von links oben nach rechts unten.

Parabel

Da die Polynomfuktion sowohl Potenzen mit geradem als auch ungeradem Exponenten enthält, ist die Funktion weder symmetrisch zur Y-Achse noch punktsymmetrisch.

%%g(x) = (x-1)(x+3)^2(x+1)%%

Erste Variante:
Wir multiplizieren zuerst die Terme aus.

%%\begin{align} g(x) &= (x-1)(x+3)^2(x+1)\\ &= (x-1)(x^2+6x+9)(x+1)\\ &= (x^3 + 5x^2 +3x -9)(x+1)\\ &= x^4 +6x^3 +8x^2 -6x -9 \end{align}%%

Zuerst rechnen wir %%(x+3)^2%% aus.

Jetzt multiplizieren wir linke und mittlere Klammern.

Als letztes wird die rechte Klammer multipliziert.

Jetzt hat %%g%% eine schöne Gestalt, an der wir den charakteristischen Verlauf ablesen können. Der Grad der Funktion %%g%% ist %%4%%. Der Term %%x^4%% dominiert also für große Werte von %%x%%. Da der Koeffizient vor dem %%x^4%% gleich %%+1%% ist und %%x^4%% selbst positiv ist für alle %%x%%, hat %%g%% den charakteristischen Verlauf "Von links oben nach rechts oben".

Zweite variante (etwas fortgeschrittener):
Zuerst ermitteln wir den Grad dieser Funktion ohne ausmultiplizieren der Terme.
Da %%g%% das Produkt von vier Linearfaktoren ist ( der Faktor %%(x+3)%% hat den Exponenten %%2%% ) ist %%g%% ein Polynom vierten Grades. In allen Faktoren taucht die Variable %%x%% mit positivem Vorzeichen auf. Diese zwei Informationen genügen um den charakteristischen Verlauf von %%g%% angeben zu können. Dieser ist nämlich "Von links oben, nach rechts oben".

Der Graph von %%f%% sieht so aus:

(Anmerkung: Das Bild zeigt den "genauen" Verlauf des Graphen von %%f%% und nicht nur einen ungefähren Verlauf; selbstverständlich kannst du die Einzelheiten (z. B. wie tief der Graph nach unten geht usw.) aus der obigen Betrachtung allein noch nicht wissen.)

Graph von f

%%h(x) = 3x(1-x^2)^2(x+7)%%

Bei der Funktion %%h%% müssen wir etwas vorsichtiger sein. Es scheint so als wäre %%h%% in Linearfaktoren zerlegt, doch wenn man genauer hinschaut fällt auf, dass die mittlere Klammer %%(1-x^2)^2%% kein Linearfaktor ist. Dort taucht ein %%x^\color{red}{2}%% auf!

Das ist nicht schlimm. Weil wir aber diese Klammer nicht ausmultiplizieren wollen ( "Mathematiker sind faul" ) müssen wir uns ein paar Überlegungen für dieses Polynom machen.

Was brauchen wir über %%(1-x^2)^2%% zu wissen?

Wir interessieren uns schließlich für den größten Exponenten, der nach ausmultiplizieren der Klammer bleibt. Dieser berechnet sich als das Produkt vom größten Exponenten in der Klamer mit dem Exponenten der Klammer. In unserem Fall wird also %%4 = 2·2%%, der größte Exponent in %%(1-x^2)^2%% sein.

Stellen wir uns das Ausmultiplizieren der Klammer im Kopf vor, so stellen wir fest: Nur indem wir %%-x^2%% mit sich selbst multiplizieren, erreichen wir die Potenz %%x^4%%.

Somit ist der Koeffizient vor dieser Potenz gleich %%1 = (-1)^2%%.

Jetzt können wir endlich weiterrechnen :)

Weiter geht's mit %%h%%

Da %%h%% das Produkt von drei Funktionen ist, erhalten wir den Grad von %%h%% indem wir die Grade dieser Funktionen aufsummieren. Der Grad von %%h%% ist also %%6 = 1+4+1%%. Der Koeffizient vor der größten Potenz in %%h%% ist das Produkt der Koeffizienten vor den größten Potenzen in den einzelnen Faktoren. Wir berechnen also %%3·1·1 = 3%%.

Die Funktion %%h%% sieht also so aus: %%h(x) = 3x^6 + …%% wobei " … " dafür steht, dass wir Terme mit niedrigeren Exponenten einfach ignorieren.

Da %%h%% einen geraden Grad hat und ihr erster Koeffizient positiv ist, ist ihr charakteristische Verlauf "Von links oben nach rechts oben".

Also ungefähr so:

%%f(x)=(x+1)(2-x)(1+x^2)%%

Charakteristischer Verlauf einer Polynomfunktion

Wir wissen, dass der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion vom Grad der Polynomfunktion und vom Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten abhängt.

Der Grad der Funktion f(x) ergibt sich aus der Summe der Grade der einzelnen Faktoren.

%%f(x)=(x+1)(2-x)(1+x^2)%%

f ist das Produkt von drei Linearfaktoren. Die ersten beiden Faktoren haben den Grad 1, der dritte Faktor hat den Grad 2.

Grad %%f(x) =1+1+2=4%%

Somit ist f ein Polynom vierten Grades.

In den Faktoren taucht die Variable x zweimal mit positivem Vorzeichen und einmal mit negativem Vorzeichen auf. Das Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten %%x^4%% ist also negativ.

%%-x^4%% ist negativ, wenn %%x%% negativ ist und negativ, wenn %%x%% positiv ist.

Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion %%f%% von links unten nach rechts unten.

Da die Polynomfuktion sowohl Potenzen mit geradem als auch ungeradem Exponenten enthält, ist die Funktion weder symmetrisch zur Y-Achse noch punktsymmetrisch.

Parabel

$$i(x)=-5x^k-(x-1)^{k+1}$$

Die Funktion %%i%% erfordert zusätzliche Überlegungen als die anderen, denn %%k%% ist kein fester Wert. Es liegt an uns zu untersuchen, was für verschiedene Werte von %%k%% mit der Funktion %%i%% passiert.

Doch bevor wir loslegen, schauen wir uns %%i%% nochmal genauer an.
Der Grad von %%i%% ist gleich %%k+1%%, denn %%k+1%% ist immer größer als %%k%%. Das erspart uns schon mal einiges an Arbeit. Wir wissen ja, dass nur der Teil mit der größten Potenz für den charakteristischen Verlauf von Bedeutung ist.

Wie ist dann der charakteristische Verlauf vom Term %%-(x-1)^{k+1}%%?
Hier müssen wir wirklich unterscheiden, was für verschiedene Werte von %%k%% passiert.

Wenn %%k%% ungerade ist, dann ist %%k+1%% gerade. Der Koeffizient vor dieser Klammer ist gleich %%-1%%. Somit hat %%i%% für %%k%% ungerade den charakteristischen Verlauf "von links unten nach rechts unten".

Also ungefähr so:

Wenn %%k%% gerade ist, dann ist %%k+1%% ungerade. Der Koeffizient vor der Klammer ist weiterhin gleich %%-1%%. Somit ist der charakteristische Verlauf von %%i%% "von links oben nach rechts unten".

Also ungefähr so:

Ordne die Graphen den richtigen Funktionen zu und gib jeweils eine kurze Begründung an. Zu zwei Funktionen gibt es keinen Graphen.

Graph A

Graph B

Graph C

Graph D

Graph E

Graph F


%%f(x) = -0.5x+1%%

%%g(x) = -2x^2%%

%%h(x) = x^2-x-1%%

%%i(x) = -3x^6 + 6x^5 -2x^2 +1%%

%%k(x) = x^3 - x^2 + 2.5%%

%%l(x) = 1%%

%%m(x) = -x^5 + 2x^2%%

%%n(x) = x^6 + x^4%%

Ganzrationale Funktionen

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die sich aus Polynomen zusammensetzt.

Graph A

Funktionsterm zu Graph A?

Graph A verläuft von links unten nach rechts unten.

Also muss

In Frage kommen daher

  • Funktion %%g%% mit %%g(x) = -2x^2%% und
  • Funktion %%i%% mit %%i(x) = -3x^6 + 6x^5 -2x^2 +1%%.

Funktion %%g%% scheidet aus, da ihr Graph eine Parabel sein müsste.

%%\Rightarrow%% Ergebnis: Graph A gehört zur Funktion %%i%%.

Graph B

Funktionsterm zu Graph B?

Graph B verläuft von links oben nach rechts oben.

Also muss

  • der höchste Exponent der zugehörigen Polynomfunktion gerade
  • und der zugehörige Koeffizient positiv sein.

In Frage kommen daher:

  • Funktion %%h%% mit %%h(x) = x^2-x-1%% und
  • Funktion %%n%% mit %%n(x) = x^6 + x^4%%.

Um zwischen %%h%% und %%n%% zu unterscheiden, musst du also noch eine weitere Eigenschaft betrachten:

  • Der Graph von Funktion %%n%% wird achsensymmetrisch zur y-Achse sein (Der Funktionsterm von %%n%% enthält nur gerade Potenzen von %%x%% und
    damit ist %%f(-x)=f(x)%% ).
  • Der Graph von Funktion %%h%% wird keine Symmetrie zur y-Achse aufweisen.

Graph B ist nicht achsensymmetrisch zur y-Achse.

Daher

  • kommt Funktion %%n%% nicht in Frage.

%%\Rightarrow%% Ergebnis: Graph B gehört zur Funktion %%h%%.

Graph C

Funktionsterm zu Graph C?

Graph C verläuft von links unten nach rechts oben.

Also muss

  • der höchste Exponent der zugehörigen Polynomfunktion ungerade
  • und der zugehörige Koeffizient positiv sein.

In Frage kommt daher nur:

  • Funktion %%k%% mit %%k(x) = x^3 - x^2 + 2.5%%

%%\Rightarrow%% Ergebnis: Graph C gehört zur Funktion %%k%%.

Graph D

Funktionsterm zu Graph D?

Graph D gehört zu einer konstanten Funktion.

In Frage kommt daher nur:

  • Funktion %%l%% mit %%l(x) =1%%

%%\Rightarrow%% Ergebnis: Graph D gehört zur Funktion %%l%%.

Graph E

Funktionsterm zu Graph E?

Graph E verläuft von links oben nach rechts unten.

Also muss

  • der höchste Exponent der zugehörigen Polynomfunktion ungerade
  • und der zugehörige Koeffizient negativ sein.

In Frage kommen daher:

  • Funktion %%f%% mit %%f(x) = -0.5x+1%% und
  • Funktion %%m%% mit %%m(x) = -x^5 + 2x^2%%.

Funktion %%f%% scheidet aber aus, da sie eine lineare Funktion ist und deshalb ihr Graph eine Gerade sein müsste.

%%\Rightarrow%% Ergebnis: Graph E gehört zur Funktion %%m%%.

Graph F

Funktionsterm zu Graph F?

Graph F verläuft von links oben nach rechts unten.

Also muss

  • der höchste Exponent der zugehörigen Polynomfunktion ungerade
  • und der zugehörige Koeffizient negativ sein.

In Frage kämen daher wieder %%f%% und %%m%%.
Aber du erkennst leicht:

  • Graph F ist eine Gerade.

Also muss die zu Graph F gehörende Funktion linear sein; das heißt, dass ihre Funktionsgleichung die Form %%y=mx+t%% haben muss.

In Frage kommt daher nur:

  • Funktion %%f%% mit %%f(x) = -0.5x+1%%

%%\Rightarrow%% Ergebnis: Graph F gehört zur Funktion %%f%%.

Zusammenfassung:

Graph A: %%i%%
Graph B: %%h%%
Graph C: %%k%%
Graph D: %%l%%
Graph E: %%m%%
Graph F: %%f%%

keinen passenden Graphen: %%g%% und %%n%%

a) Begründe, warum die Funktion %%f(x) = 2x^6 - 3x^5 + x^2 - 10%% nicht achsensymmetrisch ist.

b) Verändere die Funktionsgleichung an möglichst wenig Stellen um eine achsensymmetrische Funktion zu bekommen.

Achsensymmetrie zur y-Achse

Teilaufgabe a)

Die Funktion %%f%% ist nicht achsensymmetrisch zur %%y%%-Achse, da in einem Exponenten %%5%% vorkommt und %%5%% ungerade ist.

Teilaufgabe b)

Man muss nur den Exponenten %%5%% abändern und zwar zu einer geraden Zahl.

Mögliche Lösung: %%f(x) = 2x^6 - 3x^4 + x^2 - 10%%

Welcher Funktionsterm gehört zum Graph?

Stimmt nicht :( Der Graph dieser Funktion wäre nicht achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse, da ein Exponent (bei %%x^5%%) eine ungerade Zahl ist.

Das kann nicht stimmen, da der Graph der Funktion %%f(x)=-x^4%% nach unten geöffnet ist.

Das stimmt nicht ganz. Der Graph schaut zwar ähnlich aus geht aber durch den Punkt (1|2). Der Graph mit dem Funktionsterm %%x^2%% verläuft durch den Punkt (1|1),

Sehr gut! Der Funktionsgraph ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse und geht durch den Punkt (1|2).

Bestimme bei folgenden Funktionen die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

%%f(x)=(x-2)^2-1%%

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion (%%x%%, %%y%%) gleich %%0%% gesetzt.

Schnittpunkte mit der x-Achse

Die Schnittpunkte mit der %%x%%-Achse sind die Nullstellen der Funktion. Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den %%y%%-Wert gleich Null setzt.

%%\begin{array}{rcl} f(x)=(x-2)^2-1&=&0&|+1\\ (x-2)^2&=&1&|\sqrt{}\\ x_{1,2}-2&=&\pm1&|+2\\ x_{1,2}&=&\pm1+2\\ x_{1}&=&1\\ x_{2}&=&3 \end{array}%%

Die Schnittpunkte mit der %%x%%-Achse liegen bei %%A(1\vert0)%% und %%B(3\vert0)%%.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Um den Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse zu ermitteln, muss für den %%x%%-Wert %%0%% eingesetzt werden.

%%f(0)=(0-2)^2-1%%

%%\phantom{f(0)}=(-2)^2-1%%

%%\phantom{f(0)}=4-1=3%%

Der Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse liegt bei %%C(0\vert3)%%.

%%\;%%

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

%%g(x)=x^3+2x^2-3x%%

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion (%%x%%, %%y%%) gleich %%0%% gesetzt.

Schnittpunkte mit der x-Achse

Die Schnittpunkte mit der %%x%%-Achse sind die Nullstellen der Funktion. Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den %%y%%-Wert gleich Null setzt.

%%g(x)=x^3+2x^2-3x=0%%

Kleinste Potenz von %%x%% ausklammern.

%%0=x\cdot(x^2+2x-3)%%

Ein Produkt wir dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

%%\Rightarrow x_1=0%%

Setze die Klammer gleich Null.

%%x^2+2x-3=0%%

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot 1}%%

%%\displaystyle \phantom{x_{2,3}}=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}%%

%%x_2=\dfrac{2}{2}=1%%

%%x_3=\dfrac{-6}{2}=-3%%

Die Schnittpunkte mit der %%x%%-Achse liegen bei %%A(-3\vert0)%% und %%B(0\vert0)%% und %%C(1\vert0)%%.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Um den Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse zu ermitteln, muss für den %%x%%-Wert %%0%% eingesetzt werden.

%%g(0)=0^3+2\cdot0^2-3\cdot0%%

%%\phantom{g(0)}=0+0-0=0%%

Der Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse liegt bei %%B(0\vert0)%%.

%%\;%%

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

%%h(x)=0{,}5x^4-8%%

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion (%%x%%, %%y%%) gleich %%0%% gesetzt.

Schnittpunkte mit der x-Achse

Die Schnittpunkte mit der %%x%%-Achse sind die Nullstellen der Funktion. Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den %%y%%-Wert gleich Null setzt.

%%\begin{array}{rcl} h(x)=0{,}5x^4-8&=&0&|+8\\ 0{,}5x^4&=&8&|\cdot2\\ x^4&=&16&|\sqrt[4]{}\\ x_{1,2}&=&\pm2\\ x_{1}&=&-2\\ x_{2}&=&2 \end{array}%%

Die Schnittpunkte mit der %%x%%-Achse liegen bei %%A(-2\vert0)%% und %%B(2\vert0)%%.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Um den Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse zu ermitteln, muss für den %%x%%-Wert %%0%% eingesetzt werden.

%%h(0)=0{,}5\cdot0^4-8%%

%%\phantom{h(0)}=0-8=-8%%

Der Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse liegt bei %%C(0\vert-8)%%.

%%\;%%

Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen

Bestimme bei folgenden Funktionen den Definitionsbereich, die Nullstellen, das Symmetrieverhalten, die Grenzwerte und die Wertemenge.

%%f(x)=-x^4-2x^2+3%%

Definitionsbereich festlegen

Der Definitionsbereich gibt an, welche %%x%%-Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.

Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit %%x%% enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion %%D_f=ℝ%%.

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%f(x)=-x^4-2x^2+3=0%%

In %%f(x)%% wird %%x^2%% durch %%u%% ersetzt, wodurch man die Funktion %%f(u)%% erhält.

%%f(u)=-u^2-2u+3=0%%

%%\displaystyle u_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot(-1)\cdot3}}{2\cdot (-1)}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle \phantom{u_{1,2}}=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{-2}%%

Unter der Wurzel addieren.

%%\displaystyle \phantom{u_{1,2}}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{-2}%%

%%\displaystyle \phantom{u_{1,2}}=\frac{2\pm4}{-2}%%

%%u_1=-3%%

Fall 1: %%+%%

%%u_2=1%%

Fall 2: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{1,2}^2=u_1=-3%%

Für %%\sqrt{-3}%% gibt es keine reelle Lösung.

%%x_{3,4}^2=u_2=1%%

Wurzel ziehen.

%%x_{3,4}=\pm1%%

Da es für %%x_{1,2}%% keine reelle Lösung gibt, sind %%x_{3,4}%% die einzigen Nullstellen von %%f(x)%%.

Die Funktion %%f(x)%% hat zwei Nullstellen bei %%x_3=-1%%, %%x_4=1%%.

Symmetrieverhalten

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Alle Exponenten zur Basis %%x%% sind gerade.

%%\Rightarrow%% Achsensymmetrie bezüglich der %%y%%-Achse.

Durch Berechnung

%%f(x)=-x^4-2x^2+3%%

Prüfen ob %%f(x)=f(-x)%%. Setze dafür %%-x%% in %%f(x)%% ein.

%%f(-x)=-(-x)^4-2(-x)^2+3%%

Umformen.

%%\phantom{f(-x)}=-x^4-2x^2+3=f(x)%%

%%\Rightarrow%% Achsensymmetrie zur %%y%%-Achse

Grenzwertbetrachtung

Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.

%%D_f=ℝ%%

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen %%\pm\infty%% betrachtet werden.

Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.

gegen %%+\infty%%

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\overset{\overset{\rightarrow-\infty}︷}{-x^4}-\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{2x^2}+3=-\infty%%

gegen %%-\infty%%

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\overset{\overset{\rightarrow-\infty}︷}{-x^4}-\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{2x^2}+3=-\infty%%

Wertemenge bestimmen

Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Anhand der Grenzwerte kannst du erkennen, dass der Graph der Funktion eine nach unten geöffnete Parabel ist. Somit beschreibt der Scheitelpunkt den höchsten Punkt des Graphen. Da die Funktion achsensymmetrisch ist, liegt die %%x%%-Koordinate des Scheitelpunkts zwischen den Nullstellen, also bei %%x=0%%.

Der Scheitelpunkt liegt also bei %%S(0|f(0))%%.

Berechne %%f(0)%%.

%%f(0)=-0^4-2\cdot0^2+3=3%%

Gib die Wertemenge an.

%%\mathbb {W_f}=]-\infty; 3]%%

%%g(x)=x^2+2x+1%%

Definitionsbereich festlegen

Der Definitionsbereich gibt an, welche %%x%%-Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.

Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit %%x%% enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion %%D_g=ℝ%% .

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%g(x)=x^2+2x+1%%

Setze %%g(x)=0%%.

%%x^2+2x+1=0%%

%%(x+1)^2=0%%

%%x_{1,2}= -1%%

Die Funktion %%g(x)%% hat eine doppelte Nullstelle bei %%x_{1,2}=-1%%.

Symmetrieverhalten

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Da nicht alle Exponenten zur Basis %%x%% gerade sind, ist %%g%% nicht achsensymmetrisch bezüglich zur %%y%%-Achse.

Da nicht alle Exponenten zur Basis %%x%% ungerade sind, ist %%g%% nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Somit besitzt %%g%% also keine Symmetrie bezüglich der %%y%%-Achse oder des Ursprungs.

Durch Berechnung

%%g(x)=x^2+2x+1%%

Prüfen ob %%g(x)=g(-x)%%. Setze dafür %%-x%% in %%g(x)%% ein.

%%g(-x)=(-x)^2+2\cdot(-x)+1%%

%%\phantom{g(-x)}=x^2-2x+1\neq g(x)%%

%%\Rightarrow%% keine Achsensymmetrie zur %%y%%-Achse

Prüfen ob %%g(x)=-g(-x)%%.

%%-g(-x)=-(x^2-2x+1)=-x^2+2x-1\neq g(x)%%

%%\Rightarrow%% keine Punktymmetrie zum Ursprung

Somit liegt bei %%g%% keine Symmetrie bezüglich der %%y%%-Achse oder des Ursprungs vor.

Grenzwertbetrachtung

Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.

%%D_g=ℝ%%

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen %%\pm\infty%% betrachtet werden.

Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.

gegen %%+\infty%%

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{x^2}+\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{2x}+1=\infty%%

gegen %%-\infty%%

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{x^2}+\overset{\overset{\rightarrow-\infty}︷}{2x}+1=\infty%%

Wertemenge bestimmen

Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Anhand der Grenzwerte kannst du erkennen, dass der Graph der Funktion eine nach oben geöffnete Parabel ist. Somit beschreibt der Scheitelpunkt den tiefsten Punkt des Graphen. Da die Funktion eine doppelte Nullstelle bei %%x_{1,2}=-1%% besitzt, ist die Nullstelle zugleich der Scheitelpunkt.

Der Scheitelpunkt liegt also bei %%S(-1|0)%%.

Gib die Wertemenge an.

%%\mathbb {W_f}=[0; \infty[%%

%%h(x)=-x^3+4x%%

Definitionsbereich festlegen

Der Definitionsbereich gibt an, welche %%x%%-Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.

Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit %%x%% enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion %%D_h=ℝ%% .

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

Ausklammern

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über das Ausklammern.

%%h(x)=-x^3+4x%%

Klammere %%x%% aus (kleinster vorkommender Exponent von %%x%%).

%%h(x)=x\cdot(-x^2+4)%%

Setze %%h(x)=0%%.

%%x\cdot(-x^2+4)=0%%

Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist!

%%\Rightarrow x_1=0%%

Setze die Klammer gleich Null und löse nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rcl} -x^2+4&=&0&|+x^2\\ 4&=&x^2&|\sqrt{}\\ \pm2&=&x_{2,3}\\ \end{array}%%

Die Funktion %%h(x)%% hat drei Nullstellen bei %%x_1=0%%, %%x_2=-2%% und %%x_3=2%%.

Symmetrieverhalten

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Alle Exponenten von %%x%% sind ungerade.

%%\Rightarrow%% Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

Durch Berechnung

%%h(x)=-x^3+4x%%

Prüfen ob %%h(x)=h(-x)%%. Setze dafür %%-x%% in %%h(x)%% ein.

%%h(-x)=-(-x)^3+4\cdot(-x)%%

%%\phantom{h(-x)}=x^3-4x\neq h(x)%%

%%\Rightarrow%% keine Achsensymmetrie zur %%y%%-Achse

Prüfen ob %%h(x)=-h(-x)%%.

%%-h(-x)=-(x^3-4x)%%

%%\phantom{h(-x)}=-x^3+4x=h(x)%%

%%\Rightarrow%% Punktymmetrie bezügöich des Ursprungs

Grenzwertbetrachtung

Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.

%%D_h=ℝ%%

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen %%\pm\infty%% betrachtet werden.

gegen %%+\infty%%

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\overset{\overset{\rightarrow-\infty}︷}{-x^3}+\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{4x}=-\infty%%

gegen %%-\infty%%

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{-x^3}+\overset{\overset{\rightarrow-\infty}︷}{4x}=\infty%%

Wertemenge bestimmen

Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Da es sich um eine ganzrationale Funktion 3. Grades handelt, wird der Wertebereich nicht eingeschränkt. Somit lautet die Wertemenge:

%%\mathbb {W_f}=\mathbb{R}%%

%%i(x)=x^3-4x^2-3x+18%%

Definitionsbereich festlegen

Der Definitionsbereich gibt an, welche %%x%%-Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.

Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit %%x%% enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion %%D_i=ℝ%% .

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%i(x)=x^3-4x^2-3x+18=0%%

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. %%-2%% in %%i(x)%% ein.

%%i(-2)=(-2)^3-4\cdot(-2)^2-3\cdot(-2)+18%%

%%\phantom{i(-2)}=-8-16+6+18=0%%

Die Funktion %%i(x)%% hat an der Stelle %%x_1=-2%% eine Nullstelle. Da %%i(-2)=0%%, wissen wir, dass %%i(x)%% den dazugehörigen Linearfaktor %%(x+2)%% besitzt.

Führe nun die Polynomdivision %%i(x):(x+2)%% durch.

%%\begin{array}{-}\;\;\;(x^3-4x^2-3x+18):(x+2)=x^2-6x+9\\\underline{-(x^3+2x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-6x^2-3x\\\;\;\;\;\;\;\underline{-(-6x^2-12x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;9x+18\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(9x+18)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Die Funktion %%g(x)%% wird dann %%0%%, sobald mindestens einer der Faktoren gleich %%0%% ist. Da die Nullstelle %%x_1=-2%% bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von %%i%% bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich %%0%% setzt.

%%x^2-6x+9=0%%

%%(x-3)^2=0%%

%%x_{2,3}=3%%

Die Funktion %%i(x)%% hat eine einfache Nullstelle bei %%x_1=-2%% und eine doppelte Nullstelle bei %%x_{2,3}=3%%.

Symmetrieverhalten

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Da nicht alle Exponenten zur Basis %%x%% gerade sind, ist %%i%% nicht achsensymmetrisch bezüglich zur %%y%%-Achse.

Da nicht alle Exponenten zur Basis %%x%% ungerade sind, ist %%i%% nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Somit besitzt %%i%% also keine Symmetrie bezüglich der %%y%%-Achse oder des Ursprungs.

Durch Berechnung

%%i(x)=x^3-4x^2-3x+18%%

Prüfen ob %%i(x)=i(-x)%%. Setze dafür %%-x%% in %%i(x)%% ein.

%%i(-x)=(-x)^3-4\cdot(-x)^2-3\cdot(-x)+18%%

%%\phantom{i(-x)}=-x^3-4x^2+3x+18\neq i(x)%%

%%\Rightarrow%% keine Achsensymmetrie zur %%y%%-Achse

Prüfen ob %%i(x)=-i(-x)%%.

%%-i(-x)=-(-x^3-4x^2+3x+18)%%

%%\phantom{-i(-x)}=x^3+4x^2-3x-18\neq i(x)%%

%%\Rightarrow%% keine Punktymmetrie zum Ursprung

Somit liegt bei %%i%% keine Symmetrie bezüglich der %%y%%-Achse oder des Ursprungs vor.

Grenzwertbetrachtung

Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.

%%D_i=ℝ%%

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten gegen %%\pm\infty%% betrachtet werden.

Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.

gegen %%+\infty%%

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{x^3}-\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{4x^2}-\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{3x}+18=\infty%%

gegen %%-\infty%%

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\overset{\overset{\rightarrow-\infty}︷}{x^3}-\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{4x^2}-\overset{\overset{\rightarrow-\infty}︷}{3x}+18=-\infty%%

Wertemenge bestimmen

Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Da es sich um eine ganzrationale Funktion 3. Grades handelt, wird der Wertebereich nicht eingeschränkt. Somit lautet die Wertemenge:

%%\mathbb {W_f}=\mathbb{R}%%

Es ist die Funktion %%f(x)=x^3−3x−2%% gegeben.

  1. Bestimme Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte von %%G_f%% . Zeichne %%G_f%% .

  2. Berechne die Gleichungen der Tangente t und Normale n im Wendepunkt.

  3. Berechne den Inhalt der beiden Flächenstücke, die von %%G_f%% und der Normalen n begrenzt sind.

Teilaufgabe a

Nullstellenbestimmung

%%f(x)=x^3-3x-2%%

Setze die Funktion gleich 0.

%%0=x^3-3x-2%%

Die erste Nullstelle muss erraten werden.

Durch ausprobieren ermittelt man %%x_1=-1%%

Mit Polynomdivision wird jetzt eine neue Gleichung aufgestellt.

%%\begin{array}{l}\;\;\left(x^3\;\;\;\;\;\;-3x-2\right):\left(x+1\right)=x^2-x-2\\\underline{-\left(x^3+x^2\right)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;-x^2-3x\\\;\;\;\underline{-\left(-x^2-x\right)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-2x-2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-\left(-2x-2\right)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Die vereinfachte Funktion wird gleich 0 gesetzt um die beiden anderen Nullstellen zu ermitteln.

%%0=x^2-x-2%%

Die Mitternachtsformel lässt sich anwenden.

%%x_{2,3}=\dfrac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot1}%%

%%\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)=1-\left(-8\right)=9%%

%%\phantom{x_{1,2}}=\dfrac{1\pm\sqrt9}2%%

%%\phantom{x_{1,2}}=\dfrac{1\pm3}2%%

 

%%x_2=\dfrac42=2;\;x_3=\dfrac{-2}2=-1%%

 

Die Funktion hat demnach eine Nullstelle %%x_2=\left(2\vert0\right)%%

und eine doppelte Nullstelle %%x_{1,3}=\left(-1\vert0\right)%%

 

%%f(x)=x^3-3x-2%%

Funktion ableiten.

%%f'(x)=3x^2-3%%

Funktion ableiten.

%%f''(x)=6x%%

 

 

 

Extrema bestimmen

%%f'(x)=3x^2-3%%

Setze die erste Ableitung gleich 0.

%%0=3x^2-3%%

%%\left|{+3}\right.%%

%%3=3x^2%%

%%\left|{:3}\right.%%

%%1=x^2%%

Die Gleichung trifft zu für %%x_1=1%% und %%x_2=-1%% .

%%x_1=1;\;x_2=-1%%

 

 

 

Extremum %%x=1%%

 

%%f(x)=x^3-3x-2%%

Gefundenes x einsetzen.

%%f(1)=1^3-3\cdot1-2=-4%%

 

%%f''(x)=6x%%

Gefundenes x einsetzen.

%%f''(1)=6\cdot1=6%%

Da %%f''(1)>0%% hat %%f\left(x\right)%% an der Stelle %%\left(1\vert-4\right)%% einen Tiefpunkt .

%%\mathrm{TP}=\left(1\vert-4\right)%%

 

 

 

Extremum %%x=-1%%

 

%%f(x)=x^3-3x-2%%

Gefundenes %%x%% einsetzen.

%%f(-1)=\left(-1\right)^3-3\cdot\left(-1\right)-2=0%%

 

%%f''(x)=6x%%

Gefundenes %%x%% einsetzen.

%%f''(-1)=6\cdot\left(-1\right)=-6%%

Da %%f''(-1)<0%% hat %%f\left(x\right)%% an der Stelle %%(-1\vert0)%% einen Hochpunkt .

%%\mathrm{HP}=\left(-1\vert0\right)%%

 

 

 

Wendepunkt bestimmen

%%f''(x)=6x%%

Setze die Funktion gleich 0.

%%0=6x%%

%%\left|{:6}\right.%%

%%x=0%%

 

%%f(x)=x^3-3x-2%%

Gefundenes %%x%% einsetzen.

%%f(0)=0^3-3\cdot0-2=-2%%

Damit ergeben sich die Koordinaten %%\left(0\vert-2\right)%%

%%\mathrm{WP}=\left(0\vert-2\right)%%

 

Geogebra File: /uploads/legacy/830.xml

 

Teilaufgabe b

Tangente t aufstellen

%%f'(x)=3x^2-3%%

%%x%%-Wert des Wendepunkts (0) einsetzen.

%%f'(x)=3\cdot0^2-3=-3%%

Das bestimmte m und die Koordinaten des Wendepunkts werden in die allgemeinen Geradengleichung eingesetzt, um t zu bestimmen.

%%-2=-3\cdot0+t%%

 

%%t=-2%%

Mit t und m lässt sich die Gleichung der Tangente aufstellen.

%%y=-3x-2%%

 

 

 

Normale n aufstellen

%%m_t\cdot m_n=-1%%

%%\left|{:m_t}\right.%%

%%m_n=\frac{-1}{m_t}%%

Die Tangentensteigung %%m_t%% einsetzen.

%%m_n=\frac{-1}{-3}=\frac13%%

Das bestimmte m und die Koordinaten des Wendepunkts werden in die allgemeinen Geradengleichung eingesetzt, um t zu bestimmen.

%%-2=\frac13\cdot0+t%%

 

%%t=-2%%

Mit t und m lässt sich die Gleichung der Tangente aufstellen.

%%y=\frac13x-2%%

 

 Geogebra File: /uploads/legacy/836.xml

 

Teilaufgabe c

%%y=\frac13x-2%%

%%f(x)=x^3-3x-2%%

Zur Bestimmung des Integrals werden die Schnittpunkte der beiden Funktionen benötigt. Hierzu beide Funktionen gleichsetzen.

%%\frac13x-2=x^3-3x-2%%

%%\left|{-\frac13x}\right.\;+2%%

%%0=x^3-\frac{10}3x%%

%%0=x\left(x^2-\frac{10}3\right)%%

Die erste Nullstelle liegt bei 0, zur Bestimmung der weiteren Nullstellen wird nur das innere der Klammer betrachtet.

%%0=x^2-\frac{10}3%%

%%\left|{+\frac{10}3}\right.%%

%%x^2=\frac{10}3%%

Wurzel ziehen .

Aufgrund des Quadrates gibt es zwei Lösungen.

%%x=\pm\sqrt{\frac{10}3}%%

Den Integral aufstellen.

Es gibt zwei Flächen die durch die Schnitte entstehen.

Da beide Flächen gleich groß sind, wird nur die rechte Fläche (von 0 bis %%\sqrt{\frac{10}3}%% berechnet und dann mit 2 multipliziert )

%%A=2\cdot\int_0^\sqrt{\frac{10}3}\left(\left(x^3-3x-2\right)-\left(\frac13x-2\right)\right)\mathrm{dx}%%

Klammern auflösen.

  %%\phantom{A}=2\cdot\int_0^\sqrt{\frac{10}3}\left(x^3-3x-2-\frac13x+2\right)\mathrm{dx}%%

Gleiche Elemente zusammenfassen.

  %%\phantom{A}=2\cdot\int_0^\sqrt{\frac{10}3}\left(x^3-\frac{10}3x\right)\mathrm{dx}%%

  %%\phantom{A}=2\cdot\left[\frac14x^4-\frac{10}{3\cdot2}x^2\right]_0^\sqrt{\frac{10}3}%%

In die Klammer wird für x der rechte Schnittpunkt ( %%\sqrt{\frac{10}3}%% ) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken (0) gerechnet.

  %%\phantom{A}=2\cdot\left(\left[\frac14\sqrt{\frac{10}3}^4-\frac53\sqrt{\frac{10}3}^2\right]-\left[\frac14\left(0\right)^4-\frac53\left(0\right)^2\right]\right)%%

Inneren Klammern auflösen.

  %%\phantom{A}=2\cdot\left(\frac14\cdot\left(\frac{10}3\right)^2-\frac53\cdot\frac{10}3\right)%%

In der Klammer die Elemente multiplizieren .

  %%\phantom{A}=2\cdot\left(\frac{25}3-\frac{50}9\right)%%

In der Klammer die Elemente subtrahieren .

  %%\phantom{A}=2\cdot\frac{25}9=\frac{50}9%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die gesuchte Fläche hatt den Flächeninhalt %%\frac{50}9\approx5,56%% Flächeneinheiten

Diskutiere folgende Funktionen und zeichne die Graphen der Funktionen in ein geeignetes Koordinatensystem.

Tipp

Überlege dir zunächst, welche Aspekte bei einer Diskussion betrachtet werden:

  • Definitionsbereich
  • Nullstellen
  • Symmetrieverhalten
  • Extrem- und Wendepunkte
  • Grenzwerte
  • Monotonie
Zu text-exercise-group 3811:
Karina-MOS 2018-11-13 15:20:52
"Diskutiere" ist sehr unkonkret, besser wäre eine konkrete Aufgabenstellung ("Berechne die Nullstellen sowie alle Extrempunkte und Wendepunkte" oder ähnliches
Jonathan 2018-11-14 12:57:58
Hallo Karina-MOS,
vielen Dank für den Hinweis. Ich habe jetzt erst einmal zu der Aufgabenstellung einen Tipp hinzugefügt, der die konkreten Bearbeitungspunkte beinhaltet. Gerne kannst du uns dazu auch nochmal Feedback geben, ob diese Aufgabenstellung ausreicht oder noch verbessert weden müsste.
LG,
Jonathan
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%%f(x)=x^3-x^2-x+1%%

Definitionsbereich festlegen

Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit %%x%%  enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion %%D_f=ℝ%% .

 

Nullstellenbestimmung

Erste Nullstelle ermitteln

 

%%f\left(x\right)=x^3-x^2-x+1%%

Um die Nullstellen von %%f\left(x\right)%% zu bestimmten, wird %%f\left(x\right)=0%% gesetzt.

%%x^3-x^2-x+1=0%%

Die erste Nullstelle muss erraten werden. 

%%f(1)=1^3-1^2-1+1=0%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm{NS}}_1=\left(1\vert0\right)%%

Ermittle die restlichen Nullstellen, da es sich um ein Polynom dritten Grades handelt, mit der Polynomdivision.

 

Polynomdivision

%%\begin{array}{l}\;\;\left(x^3-x^2-x+1\right)\div\left(x-1\right)=x^2-1\\\underline{-\left(x^3-x^2\right))\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-x+1\\\;\;\;\;\;\;\;\underline{-\left(-x+1\right)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Setze die erhaltene Funktion gleich 0.

%%x^2-1=0%%

 

        %%x^2=1%%

Ziehe die Wurzel aus  %%x^2%%  und  %%1%% .

    %%\sqrt{x^2}=\sqrt1%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;x_2=1%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;x_3=-1%%

 

 

Symmetrieverhalten

Durch Betrachtung

 

Die Exponenten zur Basis x sind sowohl gerade als auch ungerade.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der Graph ist weder achsen- noch punktsymmetrisch

 

Durch Berechnung

Prüfen ob %%f(x)=f(-x)%%

Hiermit wird geprüft ob der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft

%%x^3-x^2-x+1=\left(-x\right)^3-\left(-x\right)^2-\left(-x\right)+1%%

 

%%x^3-x^2-x+1\;\neq\;-x^3-x^2+x+1%%

 

Der Graph ist nicht achsensymmetrisch, da  %%f\left(x\right)\neq f\left(-x\right)%% .

 

Prüfen ob %%f(-x)=-f(x)%%

Hiermit wird geprüft ob der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft.

%%\left(-x\right)^3-\left(-x\right)^2-\left(-x\right)+1=-\left(x^3-x^2-x+1\right)%%

 

%%-x^3-x^2+x+1\neq-x^3+x^2+x-1%%

 

Der Graph ist nicht punktsymmetrisch, da %%f(-x)=-f(x)%% .

 

Ableitungen

Erste Ableitung

 

%%f(x)=x^3-x^2-x+1%%

 

%%f'(x)=3x^2-2x-1%%

 

 

 

 Zweite Ableitung

%%f'(x)=3x^2-2x-1%%

Die erste Ableitung von  %%f(x)%%  als Ausgangspunkt für die zweite Ableitung.

%%f''(x)=6x-2%%

 

 

 

Extrema bestimmen

  %%f'(x)=0%%

Die Extrema der Funktion sind die Nullstellen der ersten Ableitung.

%%3x^2-2x-1\;=\;0%%

Da  %%f'(x)%%  ein Polynom zweiten Grades ist, können seine Nullstellen mit Hilfe der  Mitternachtsformel bestimmt werden.

%%x_{1,2}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)}}{2\cdot3}%%

 

%%x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4-(-12)}}6%%

 

%%x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}6=\frac{2\pm\sqrt{16}}6%%

 

%%x_{1,2}=\frac{2\pm4}6%%

%%\sqrt{16}=4%%

%%x_1=\frac{2+4}6=\frac66=1%%

Der erste  %%x%% -Wert, der in die erste Ableitung der Funktion  %%f(x)%%  eingesetzt 0 ergibt.

%%x_2=\frac{2-4}6=\frac{-2}6=-\frac13%%

Der zweite %%x%% -Wert, der in die erste Ableitung der Funktion %%f(x)%%  eingesetzt 0 ergibt.

 

1. Extremum

%%f\left(x\right)=x^3-x^2-x+1%%

%%x%%-Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.

%%f\left(1\right)=1^3-1^2-1+1=1-1-1+1=0%%

 

%%f\left(1\right)=0%%

 

 

 

Untersuchen ob Hoch- oder Tiefpunkt

 

%%f''\left(x\right)=6x-2%%

 

%%f''\left(1\right)=6\cdot1-2=4%%

Da  %%f''\left(2\right)>0%%  hat  %%f\left(x\right)%%  an der Stelle  %%\left(1\vert0\right)%%  einen Tiefpunkt .

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{TP}=\left(1\vert0\right)%%

 

 

 

2. Extremum

%%f\left(x\right)=x^3-x^2-x+1%%

%%x%% -Wert des zweiten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.

%%f\left(-\frac13\right)=\left(-\frac13\right)^3-\left(-\frac13\right)^2-\left(-\frac13\right)+1%%

 

%%\;\;\;\;f\left(-\frac13\right)=-\frac1{27}-\frac19+\frac13+1%%

Bilde den gemeinsamen Nenner  der Summanden .

%%\;\;\;\;f\left(-\frac13\right)=-\frac1{27}-\frac{1\cdot3}{9\cdot3}+\frac{1\cdot9}{3\cdot9}+\frac{1\cdot27}{1\cdot27}%%

 

%%\;\;\;\;f\left(-\frac13\right)=-\frac1{27}-\frac3{27}+\frac9{27}+\frac{27}{27}%%

 

%%\;\;\;\;f\left(-\frac13\right)=\frac{32}{27}%%

 

 

 

Untersuchen ob Hoch- oder Tiefpunkt

 

%%f''\left(x\right)=6x-2%%

 

%%f''\left(-\frac13\right)=6\cdot\left(-\frac13\right)-2=-4%%

Da %%f''\left(-\frac{1}{3}\right)<0%% hat %%f\left(x\right)%% an der Stelle %%\left(-\frac{1}{3}\vert\frac{32}{27}\right)%% einen Hochpunkt .

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{HP}=\left(-\frac13\vert\frac{32}{27}\right)%%

 

 

 

Wendepunkte bestimmen

%%f''\left(x\right)=6x-2%%

 

%%f''\left(x\right)=0%%

 

%%6x-2=0%%

 

      %%6x=2%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%x=\frac26=\frac13%%

 

 

 

Wendepunkt %%x=\frac13%%

%%f\left(x\right)=x^3-x^2-x+1%%

Gefundenes  %%x%%  aus der Nullsetzung der zweiten Ableitung in  %%f\left(x\right)%%  einsetzen.

%%f\left(\frac13\right)=\frac13^3-\frac13^2-\frac13+1%%

 

%%f\left(\frac13\right)=\frac1{27}-\frac19-\frac13+1%%

Bilde einen gemeinsamen Nenner für alle Summanden.

%%f\left(\frac13\right)=\frac1{27}-\frac3{27}-\frac9{27}+\frac{27}{27}%%

 

%%f\left(\frac13\right)=\frac{16}{27}%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{WP}\left(\frac13\vert\frac{16}{27}\right)%%

Erster und einziger Wendepunkt der Funktion gefunden bei  %%\left(\frac13\vert\frac{16}{27}\right)%%

 

 

Grenzwertbetrachtung

%%D_f=ℝ%%

Da die  Funktion  keine  Definitionslücken  hat, muss nur das Verhalten gegen %%\pm\infty%%  betrachtet werden.

 

 

gegen  %%+\infty%%

Weil keine Potenz jemals so groß werden kann, wie die Potenz dritten Grades, muss zur Grenzwertbetrachtung nur  %%x^3%%  betrachtet werden.

%%\lim_{x\rightarrow\infty}\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷{x^3}}-\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷{x^2}}-\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷x}+1=%%

 

%%=\lim_{x\rightarrow\infty}x^3=\infty%%

 

 

 

gegen  %%-\infty%%

 

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\overset{\rightarrow-\infty}{\overset︷{x^3}}-\overset{\rightarrow-\infty}{\overset︷{x^2}}-\overset{\rightarrow-\infty}{\overset︷x}+1=%%

 

%%=\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3=-\infty%%

 

 

Monotonieverhalten

Die Monotonie der Funktion wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

Monotonietabelle

Graph

 

 Geogebra File: /uploads/legacy/1038.xml

%%f(x)=2x^4-4x^2+1%%

Definitionsbereich bestimmen

Da die Funktion ganzrational ist und keine Wurzeln oder Logarithmen aufweist, lautet der Definitionsbereich der Funktion  %%D_f=ℝ%% .

 

 

Nullstellenbestimmung

%%f(x)=0%%

Setze f(x) gleich 0 um die Nullstellen von  %%G_f%%  zu bestimmen.

%%2x^4-4x^2+1=0%%

Bei dieser Gleichung findet man durch das systematische Einsetzen von ganzzahligen Werten keine Nullstelle . Durch Substitution allerdings lässt sich aus der biquadratischen Gleichung ein Polynom zweiten Grades formen.

%%f\left(x\right)=2x^4-4x^2+1%%

 

 

 

1. Ableitung

 

%%f'\left(x\right)=8x^3-8x%%

 

 

 

2. Ableitung

 

%%f''\left(x\right)=24x^2-8%%

 

 

 

%%f\left(x\right)=2x^4-4x^2+1%%

 

%%f'\left(x\right)=0%%

Setze die erste Ableitung der Funktion gleich  %%0%% , um die Extrema von  %%G_f%%  zu bestimmen.

%%8x^3-8x=0%%

%%x%%  wird ausgeklammert.

%%\;\;\Rightarrow\;\;x\cdot\left(8x^2-8\right)=0%%

 

%%x_1=0%%

 

 

 

%%8x^2-8=0%%

 

%%8x^2=8%%

%%\vert\;:8%%

%%x^2=1%%

%%\vert\;\sqrt\;%%

%%x_2=1%%

 

%%x_3=-1%%

 

 

 

1. Extremum

Zur Bestimmung des  %%y%% -Werts der Extremums muss der erste der gefundenen  %%x%% -Werte in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.

%%f\left(0\right)=1%%

Um herauszufinden ob der gefundene Wert ein Hoch-  oder Tiefpunkt  ist, wird der  %%x%% -Wert in die zweite  Ableitung  eingesetzt.

%%f''\left(0\right)=24\cdot0-8=-8%%

Da %%f''\left(0\right)\;<\;0%% befindet sich an der Stelle %%\left(0\vert1\right)%% ein Hochpunkt.

%%\mathrm{HP}=\left(0\vert1\right)%%

 

 

 

2. Extremum

 

%%f\left(1\right)=2\cdot1^4-4\cdot1^2+1=-1%%

Um herauszufinden ob der gefundene Wert ein Hoch-  oder Tiefpunkt  ist, wird der %%x%% -Wert in die zweite Ableitung eingesetzt.

%%f''\left(1\right)=24\cdot1^2-8=16%%

Da  %%f''\left(1\right)\;>\;0%%  befindet sich an der Stelle  %%\left(1\vert-1\right)%%  ein Tiefpunkt.

%%\mathrm{TP}=\left(1\vert-1\right)%%

 

 

 

3. Extremum

Zur Bestimmung des  %%y%% -Werts des Extremums muss der zweite der gefundenen  %%x%% -Werte in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.

%%f\left(-1\right)=2\cdot\left(1\right)^4-4\cdot\left(1\right)^2+1=-1%%

Um herauszufinden ob der gefundene Wert ein Hoch-  oder Tiefpunkt  ist, wird der  %%x%% -Wert in die zweite Ableitung  eingesetzt.

%%f''\left(-1\right)=24\cdot\left(-1\right)^2-8=16%%

Da  %%f''\left(-1\right)\;>\;0%% befindet sich an der Stelle  %%\left(-1\vert-1\right)%%  ein Tiefpunkt.

%%\mathrm{TP}=\left(-1\vert-1\right)%%

 

 

 

Wendepunkte

x-Koordianten

 

%%f'\left(x\right)=8x^3-8x%%

 

%%f''\left(x\right)=24x^2-8%%

 

%%f''\left(x\right)=0%%

 

%%24x^2-8=0%%

%%\vert\;+8%%

%%24x^2=8%%

%%\vert\;:24%%

%%x^2=\frac8{24}=\frac13%%

%%\vert\;\sqrt\;%%

%%x_1=\frac1{\sqrt3}%%

 

%%x_2=-\frac1{\sqrt3}%%

 

 

 

y-Koordinaten

 

%%f_1\left(\sqrt{\frac13}\right)=2\cdot\sqrt{\frac13}^4-4\cdot\sqrt{\frac13}^2+1=-\frac19%%

 

%%f_2\left(-\sqrt{\frac13}\right)=2\cdot\left(-\sqrt{\frac13}\right)^4-4\cdot\left(-\sqrt{\frac13}\right)^2+1=-\frac19%%

 

 

 

Ergebnis

 

%%{\mathrm{WP}}_1=\left(\sqrt{\frac13}\vert-\frac19\right)%%

 

%%{\mathrm{WP}}_2=\left(-\sqrt{\frac13}\vert-\frac19\right)%%

 

 

 

Grenzwertbetrachtung

%%D_f=ℝ%%

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten der Funktion für %%x=\pm\infty%%  betrachtet werden.

 

 

gegen %%+\infty%%

Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.

%%\lim_{x\rightarrow\infty}\;\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{2x^4}-\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{4x^2}+1=\infty%%

 

 

 

gegen %%-\infty%%

 

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{2x^4}-\overset{\overset{\rightarrow\infty}︷}{4x^2}+1=\infty%%

 

 

 

Durch Betrachtung

 

Die Exponenten zur Basis   %%x%%  sind alle gerade. Daraus folgt, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse verläuft.

 

 

Durch Berechnung

 

%%f\left(x\right)=2x^4-4x^2+1%%

 

%%\begin{array}{l}f\left(-x\right)=2\cdot\left(-x\right)^4-4\cdot\left(-x\right)^2+1\\\;\;\;\;\;\;\;=2\cdot x^4-4\cdot x^2+1\end{array}%%

 

%%f\left(x\right)=f\left(-x\right)%%

 

Da  %%f\left(x\right)%%  gleich  %%f\left(-x\right)%% , ist der Graph achsensymmetrisch .

 

 

 

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

Monotonietabelle

Graph

Geogebra File: /uploads/legacy/1074.xml

%%f(x)=x^3-2x^2%%

Definitionsbereich festlegen

Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit  %%x%%  enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion   %%\mathbb{D}_f=ℝ%% .

Nullstellenbestimmung

Erste Nullstelle ermitteln

Um die Nullstellen von %%f\left(x\right)%% zu bestimmten, wird %%f\left(x\right)=0%% gesetzt.

%%f\left(x\right)=0%%

%%x^3-2x^2=0%%

Klammere %%x^2%% aus und betrachte die Faktoren einzeln.

%%x^2(x-2)=0%%

%%\Rightarrow{\mathrm{NS}}_1\left(0\vert0\right), \mathrm{NS}_2( 2|0)%%

%%f\left(x\right)=x^3-2x^2%%

Erste Ableitung

%%f'\left(x\right)=3x^2-4x%%

Zweite Ableitung

%%f''\left(x\right)=6x-4%%

x-Koordinaten bestimmen

%%f'\left(x\right)=0%%

%%3x^2-4x=0%%

%%x%% ausklammern und die Faktoren einzeln betrachten.

%%x(3x-4)=0%%

%%\Leftrightarrow x=0%% oder %%3x-4=0%%

%%\Rightarrow x_1=0, x_2=\dfrac{4}{3}%%

y-Koordianten bestimmen

Setze die gefundenen %%x%% -Werte in %%f%% ein, um die %%y%% -Koordinaten der Extema zu erhalten.

%%f\left(x_1\right)=f\left(0\right)=0%%

da 0 eine Nullstelle ist.

%%f\left(x_2\right)=f\left(\frac43\right)=\left(\frac43\right)^3-2\cdot\left(\frac43\right)^2=-\frac{32}{27}%%

Prüfung auf Hoch- oder Tiefpunkt

%%f''\left(x\right)=6x-4%%

Setze die gefundenen  %%x%% -Werte in  %%f''%%  ein, um zu bestimmen, ob es sich bei den Extrema um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

%%f''\left(x_1\right)=f''\left(0\right)=-4%%

%%f'' \lt 0\Rightarrow\mathrm{HP}\left(0\vert0\right)%%

%%f''\left(x_4\right)=f''\left(\frac43\right)=6\cdot\frac43-4=4%%

%%f''>0 \Rightarrow\mathrm{TP}\left(\frac43\left|-\frac{32}{27}\right)\right.%%

%%f''\left(x\right)=6x-4%%

Die zweite Ableitung wird gleich 0 gesetzt, um Wendepunkte zu bestimmen.

x-Koordinate des Wendepunkts

%%f''\left(x\right)=0%%

%%\begin{align} 6x_W-4=0 & |+4\\ 6x_W=4 &|:6 \end{align}%%

%%x_W=\dfrac46=\dfrac23%%

y-Koordinate des Wendepunkts

%%f(x)=x^3-2x^2%%

Das gefundene  %%x_W%% wird in die Funktion %%f%% eingesetzt um die  %%y%% -Koordinate des Wendepunkts zu bestimmen.

%%f\left(\dfrac23\right)=\left(\dfrac23\right)^3-2\cdot\left(\dfrac23\right)^2=-\dfrac{16}{27}%%

%%\mathrm{WP}\left(\frac23\left|-\frac{16}{27}\right)\right.%%

Grenzwertbetrachtung

%%\mathbb{D}_f=ℝ%%

Da die Funktion keine Definitionslücken aufweist, muss nur das Verhalten für  %%x\rightarrow\pm\infty%%  untersucht werden.

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\lim_{x \rightarrow \infty} \overbrace{x^3}^{\rightarrow \infty}-2\cdot \overbrace{x^2}^{\rightarrow \infty}=\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)%%

 

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\;\overset{\rightarrow-\infty}{\overset︷{x^3}}-2\cdot\overset{\rightarrow+\infty}{\overset︷{x^2}}=-\infty%%

Geht  %%x%%  gegen  %%-\infty%% , so geht auch  %%y%%  gegen  %%-\infty%% .

 

Durch Betrachtung

 

%%f\left(x\right)=x^3-2\cdot x^2%%

 

Die Exponenten zur Basis  %%x%%  sind sowohl gerade als auch ungerade. Daraus folgt, dass der Graph weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch verläuft.

 

 

Durch Berechnung

 

%%f\left(x\right)=x^3-2x^2%%

 

%%f\left(-x\right)=-x^3-2\cdot x^2%%

 

Da  %%f\left(-x\right)%%  weder gleich  %%f\left(x\right)%%  noch  %%-f\left(x\right)%%  ist, weist die Funktion keine Symmetrie auf.

 

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt. 

Monotonietabelle

 

Graph

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/933.xml

%%f(x)=\frac12x^4-\frac32x^2+2%%

Definitionsbereich festlegen

Da die Variable der Funktion weder im Nenner eines Bruchs , noch in einem Logarithmusterm oder in einer Diskriminante vorkommt, können in der Funktion keine Definitionslücken vorkommen. Also liegt der Definitionsbereich von  %%f\left(x\right)%%  in ganz  %%ℝ%% .

 

Nullstellenbestimmung

%%f(x)=\frac12x^4-\frac32x^2+2%%

Um aus dem Polynom vierten Grades ein Polynom zweiten Grad zu erzeugen, wird das Substitutionsverfahren angewendet.

%%z=x^2%%

 

%%f\left(x\right)=\frac12z^2-\frac32z+2%%

Die Nullstellen von einem Polynom zweiten Grades, werden jetzt mit der Mitternachtsformel ermittelt.

%%\frac{\frac32\pm\sqrt{\frac94-4\cdot\frac12\cdot2}}{2\cdot\frac12}=\frac{\frac32\pm\sqrt{\frac94-\frac{16}4}}1%%

 

%%=\frac{\frac32\pm\sqrt{-\frac74}}1%%

Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine reellen Nullstellen .

Die Funktion  %%f\left(x\right)%%  hat keine Nullstellen.

 

 

 

%%f\left(x\right)=\frac12x^4-\frac32x^2+2%%

 

 

 

Erste Ableitung

 

%%f'\left(x\right)=2x^3-3x%%

 

 

 

Zweite Ableitung

 

%%f''\left(x\right)=6x^2-3%%

 

 

 

Extrema bestimmen

%%f'\left(x\right)=0%%

Die erste Ableitung wird gleich  %%0%%  gesetzt.

%%2x^3-3x=0%%

 

Da alle Koeffizienten multiplikativ an die Variable  %%x%%  gekoppelt sind, liegt das erste Extremum auf der Ordinate.

%%x_1=0%%

 

%%2x^3-3x%%

%%2x%%  ausklammern

%%2x\cdot\left(x^2-1,5\right)%%

 

%%\left(x^2-1,5\right)=0%%

%%\vert\;+1,5%%  

%%x^2=1,5%%

%%\vert\;\sqrt\;%%

%%x_{2,3}=\pm\sqrt{1,5}%%

 

%%x_2=\sqrt{1,5}%%

 

%%x_3=-\sqrt{1,5}%%

 

 

 

1. Extremum  %%\left(x=0\right)%%

 

%%f(x)=\frac12x^4-\frac32x^2+2%%

 

%%f\left(0\right)=2%%

 

%%f''\left(0\right)=6\cdot0^2-3=-3%%

Da  %%f''\left(0\right)%%  kleiner  %%0%% , befindet sich an der ermittelten Stelle ein Hochpunkt .

%%\mathrm{HP}=\left(0\vert2\right)%%

 

 

 

2. Extremum  %%\left(x=\sqrt{1{,}5}\right)%%

 

%%f(x)=\frac12x^4-\frac32x^2+2%%

 

%%f\left(\sqrt{1{,}5}\right)=\frac78%%

 

%%f''\left(\sqrt{1{,}5}\right)=\frac12\cdot\sqrt{1{,}5}^4-\frac32\cdot\sqrt{1{,}5}^2-3%%

Da  %%f''\left(0\right)%%  größer  %%0%% , befindet sich an der ermittelten Stelle ein  Tiefpunkt .

%%\mathrm{TP}=\left(\sqrt{1{,}5}\vert0,875\right)%%

 

 

 

3. Extremum  %%\left(x=-\sqrt{1{,}5}\right)%%

 

%%f(x)=\frac12x^4-\frac32x^2+2%%

 

%%f\left(-\sqrt{1{,}5}\right)=\frac78%%

 

%%f''\left(-\sqrt{1{,}5}\right)=\frac12\cdot\left(-\sqrt{1{,}5}^4\right)-\frac32\cdot\left(-\sqrt{1{,}5}^2\right)-3%%

Da  %%f''\left(0\right)%%  größer  %%0%% , befindet sich an der ermittelten Stelle ein  Tiefpunkt .

%%\mathrm{TP}=\left(-\sqrt{1{,}5}\vert0{,}875\right)%%

 

 

%%f''\left(x\right)=6x^2-3%%

 

 

 

x-Koordinaten bestimmen

 

%%f''\left(x\right)=0%%

 

%%6x^2-3=0%%

%%\vert\;+3%%

%%6x^2=3%%

%%\vert\;:6%%

%%x^2=\frac36=\frac12%%

%%\vert\;\sqrt\;%%

%%x_{W_1}=\sqrt{\frac12}%%

 

%%x_{W_2}=-\sqrt{\frac12}%%

 

 

 

y-Koordinaten bestimmen

 

%%f\left(x_{W_1}\right)=f\left(\sqrt{\frac12}\right)%%

 

%%f\left(\sqrt{\frac12}\right)=\frac12\cdot\sqrt{\frac12}^4-\frac32\cdot\sqrt{\frac12}^2+2%%

 

%%f\left(\sqrt{\frac12}\right)=1{,}375=\frac{11}8=1\frac38%%

 

 

 

%%f\left(x_{W_2}\right)=f\left(-\sqrt{\frac12}\right)%%

 

%%f\left(-\sqrt{\frac12}\right)=\frac12\cdot\left(-\sqrt{\frac12}^4\right)-\frac32\cdot\left(-\sqrt{\frac12}^2\right)+2%%

 

%%f\left(-\sqrt{\frac12}\right)=1{,}375=\frac{11}8=1\frac38%%

 

 

 

Ergebnis

 

%%{\mathrm{WP}}_1=\left(\sqrt{\frac12}\vert\frac{11}8\right)%%

 

%%{\mathrm{WP}}_2=\left(-\sqrt{\frac12}\vert\frac{11}8\right)%%

 

 

Grenzwertbetrachtung

%%D_f=ℝ%%

Da die Funktion keine Definitionslücken hat, muss nur das Verhalten der Funktion für  %%x\rightarrow\pm\infty%%  betrachtet werden.

 

gegen  %%+\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow\infty}\frac12\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷{x^4}}-\frac32\cdot\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷{x^2}}+2=\infty%%

 

%%\lim_{x\rightarrow\infty}=\infty%%

 

 

 

gegen  %%-\infty%%

 

  %%\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac12\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷{x^4}}-\frac32\cdot\overset{\rightarrow\infty}{\overset︷{x^2}}+2=\infty%%

 

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}=\infty%%

 

 

Durch Betrachtung

 

Da alle Exponenten zur Basis %%x%% gerade sind, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch .

 

Durch Berechnung

%%f\left(x\right)\overset?=f\left(-x\right)%%

 

%%\frac12x^4-\frac32x^2+2\overset?=\frac12\left(-x\right)^4-\frac32\left(-x\right)^2+2%%

 

%%\frac12x^4-\frac32x^2+2=\frac12x^4-\frac32x^2+2%%

 

 

 

 

Monotonieverhalten

Die Monotonie wird mit Hilfe einer Tabelle bestimmt.

Monotonietabelle

Graph

Geogebra File: /uploads/legacy/1111.xml

Bestimme alle Hoch-, Tief- bzw. Terrassenpunkte des Graphen von f.

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac1{12}\cdot\left(3\mathrm x^4+4\mathrm x^3-12\mathrm x^2\right)%%

Zur Bestimmung der Hoch-, Tief- und Terrassenpunkte einer Funktion %%f%% benötigst du die Ableitungen von %%f%%.

Ableitungen

Die Ableitung einer Funktion %%f%% an einer Stelle %%x%% gibt die Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle an.

Erste Ableitung

%%f(x)=\frac{1}{12}\left(3x^4+4x^3-12x^2\right)%%

Mithilfe der Ableitungsregeln ableiten.

%%f'(x)=\frac{1}{12}\left(12x^3+12x^2-24x\right)%%

%%\phantom{f'(x)}=x^3+x^2-2x%%

Zweite Ableitung

%%f'(x)=x^3+x^2-2x%%

Die erste Ableitung von %%f(x)%% als Ausgangspunkt für die zweite Ableitung.

%%f''(x)=3x^2+2x-2%%

Extrema bestimmmen

Die Extrema der Funktion sind die Nullstellen der ersten Ableitung.

%%f'(x)=0%%

%%f'(x)%% gleich %%0%% setzen.

%%0=x^3+x^2-2x%%

%%\phantom{0}=x\cdot(x^2+x-2)%%

Die erste Nullstelle kann nun abgelesen werden, da %%x%% als alleinstehender Faktor ausgeklammert werden konnte.

%%\Rightarrow\; x_1=0%%

Klammer gleich %%0%% setzen.

%%x^2+x-2=0%%

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}%%

Wurzel ziehen.

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-1\pm3}{2}%%

%%x_2=1%%

Fall 1: %%+%%

%%x_3=-2%%

Fall 2: %%-%%

1. Extremum

%%f(x)=\frac{1}{12}\left(3x^4+4x^3-12x^2\right)%%

%%x%%-Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.

%%f(0)=\frac{1}{12}\left(3\cdot0^4+4\cdot0^3-12\cdot0^2\right)%%

%%\phantom{f(0)}=\frac{1}{12}\left(0+0-0\right)=0%%

Untersuchen ob Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt

%%f''(x)=3x^2+2x-2%%

%%x%%-Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in %%f''(x)%% einsetzen.

%%f''(0)=3\cdot0^2+2\cdot0-2=-2%%

Da %%f''(0)<0%% hat %%f\left(x\right)%% an der Stelle %%(0\vert0)%% einen Hochpunkt .

%%\;\;\Rightarrow\;\mathrm{HP}=\left(0\vert0\right)%%

2. Extremum

%%f(x)=\frac{1}{12}\left(3x^4+4x^3-12x^2\right)%%

%%x%%-Wert des zweiten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.

%%f(1)=\frac{1}{12}\left(3\cdot1^4+4\cdot1^3-12\cdot1^2\right)%%

%%\phantom{f(1)}=\frac{1}{12}\left(3+4-12\right)=\frac{1}{12}\cdot\left(-5\right)=-\frac{5}{12}%%

Untersuchen ob Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt

%%f''(x)=3x^2+2x-2%%

%%x%%-Wert des zweiten gefundenen Extrempunkts in %%f''(x)%% einsetzen.

%%f''(1)=3\cdot1^2+2\cdot1-2=3%%

Da %%f''\left(1\right)>0%% hat %%f\left(x\right)%% an der Stelle %%\left(1\vert-\frac{5}{12}\right)%% einen Tiefpunkt .

%%\;\;\Rightarrow\;\mathrm{TP}=\left(1\vert-\frac{5}{12}\right)%%

3. Extremum

%%f(x)=\frac{1}{12}\left(3x^4+4x^3-12x^2\right)%%

%%x%%-Wert des dritten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.

%%f(-2)=\frac{1}{12}\left(3\cdot(-2)^4+4\cdot(-2)^3-12\cdot(-2)^2\right)%%

%%\phantom{f(-2)}=\frac{1}{12}\left(48-32-48\right)=\frac{1}{12}\cdot(-32)%%

%%\phantom{f(-2)}=-\frac{32}{12}=-\frac{8}{3}%%

Untersuchen ob Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt

%%f''(x)=3x^2+2x-2%%

%%x%%-Wert des dritten gefundenen Extrempunkts in %%f''(x)%% einsetzen.

%%f''(-2)=3\cdot(-2)^2+2\cdot(-2)-2=6%%

Da %%f''\left(-2\right)>0%% hat %%f\left(x\right)%% an der Stelle %%\left(-2\vert-\frac{8}{3}\right)%% einen Tiefpunkt .

%%\;\;\Rightarrow\;\mathrm{TP}=\left(-2\vert-\frac{8}{3}\right)%%

Der Graph von %%f%% hat einen Tiefpunkt bei %%\mathrm{T_1}\left(-2\vert-\frac{8}{3}\right)%%, einen Hochpukt bei %%\mathrm{H}(0\vert0)%% und einen Tiefpunkt bei %%\mathrm{T_2}\left(1\vert-\frac{5}{12}\right)%%.

Untersuche den Graphen %%G_f%% der Funktion %%f%% mit %%f(x) = -3x^4-2x^2+5%% soweit, sodass du ihn zeichnen kannst.

Ohne Wertetabelle ist es immer geschickt, sich über den Verlauf des Graphens Gedanken zu machen. Hilfreich hierbei sind vor allem erst einmal Nullstellen. Danach schaust du dir das Verhalten der Funktion im Unendlichen an. Um die Nullstellen herauszufinden gibt es zwei Möglichkeiten. Einmal kann man sie bei Polynomen mit einem Grad größer als zwei mit derPolynomdivision herausfinden oder bei dem Grad vier bietet sich auch die Substitution an.

Lösung 1: mit Polynomdivision

1. Schritt: Nullstellen raten

Schaue dir beim raten von Nullstellen die letzte Ziffer ohne ein %%x%% an, wie kannst du die %%5%% in ein Produkt aufteilen? Zum Beispiel in %%1%% und %%5%%.
Probiere es mit %%1%%:
$$f(1) = -3\cdot 1^4 -2 \cdot 1^2 + 5 = 0$$
Super, eine Nullstelle gefunden!

2. Schritt: Polynomdivision um weitere Nullstellen zu finden

$$(-3x^4-2x^2+5):(x-1) = -3x^3-3x^2-5x-5$$ Du weißt nicht mehr wie das geht? Schaue hier: Polynomdivision.
Jetzt liegt hier eine Polynomfunktion dritten Grades vor, du musst die Polynomdivision also nochmal durchführen.
Dazu rätst du die nächste Nullstelle, diese ist %%-1%%.
$$(-3x^3-3x^2-5x-5):(x+1) = -3x^2-5$$
Nun musst du nur noch %%-3x^2-5%% nach einer weiteren Nullstelle untersuchen.

$$-3x^2-5 = 0$$

$$-3x^2 = 5$$

$$x^2 = \frac {5}{-3}$$

Jetzt sollte man die Wurzel ziehen um auf das %%x%% zu kommen. Dann würde aber etwas negatives unter der Wurzel stehen, dies ist nicht erlaubt. Also gibt es keine weitere Nullstelle.

3. Schritt: Verhalten im Unendlichen

Setze jetzt überall da wo in der Funktion ein %%x%% steht ein %%\infty%% bzw. %%-\infty%% ein und schaue was raus kommt. Allerdings darfst du das nur in Anführungszeichen schreiben, da dies eigentlich keine mathematische Ausdrucksweise ist und somit nur eine inoffizielle Lösung aber eine gute Hilfe um sich das besser vorstellen zu können.

$$"f(\infty)=-3\cdot \infty^4-2\cdot \infty^2+5"$$

Schaue dir jetzt das Vorzeichen vor dem höchsten Exponenten/Grad an: hier steht ein Minus. Also kommt insgesamt Minus Unendlich raus.

$$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)\;=\;-\infty$$

$$"f(-\infty)=-3\cdot(-\infty)^4-2\cdot(-\infty)^2+5"$$

Bei geraden Exponenten wird das Minus in der Klammer wieder zu einem Plus und du kommst auf das selbe Ergebnis.

$$\lim_{x\;\rightarrow-\infty}f(x)\:=-\infty$$

Der Verlauf ist also "von unten nach unten".

4. Schritt: Symmetrie

Es können drei Fälle eintreten: Achsensymmetrie, Punktsymmetrie, keine Symmetrie.
Ersetze dafür jedes %%x%% mit einem %%-x%%.

$$f(-x)=-3\cdot(-x)^4-2\cdot(-x)^2+5$$

Jetzt musst du dir die Exponenten/Potenzen anschauen, hier sind das nur gerade, also fallen unsere Minuszeichen vor den %%x%% weg. Damit bist du wieder bei der Funktion gelandet.

$$f(-x)=f(x)$$

Welche Symmetrie war das? Richtig, die Achsensymmetrie.

5. Schritt: y-Achsen Abschnitt

Um den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse zu ermitteln, muss für den %%x%%-Wert %%0%% eingesetzt werden. $$f(0)=-3\cdot 0^4 -2\cdot 0^2 + 5= 5$$

6. Schritt: Graphen zeichnen

Graph von f (x)

Lösung 2: durch Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%z%%) ersetzt.

$$f(x)=-3x^4-2x^2+5$$

Ersetze nun jedes %%x^2%% mit %%z%%.

$$f(z)=-3z^2-2z+5$$

Aus dieser quadratischen Funktion kannst du jetzt die Nullstellen mit Hilfe der Mitternachtsformel ausrechnen.

%%z_1=-\frac{5}{3}%% und %%z_2=1%%

Nun musst du rücksubstituieren.

$$z_1=(x_1)^2$$
$$z_2=(x_2)^2$$

Um auf %%x_1%% und %%x_2%% zu kommen musst du also die Wurzel aus %%z_1%% und %%z_2%% ziehen. Das funktioniert allerdings nur bei %%z_2%%, da %%z_1%% negativ ist.
Aber Achtung: Nur die Wurzel ziehen ist keine Äquivalenzumformung, deshalb musst du die %%\pm\sqrt{z}%% ziehen.

$$x_1=1$$ $$x_2=-1$$

So bist du wieder bei den Nullstellen von oben angekommen und kannst bei Schritt 3: Verhalten im Unendlichen weiter machen.

Zeichne die Graphen der folgenden Funktionen:

Zu text-exercise-group 13939: Aufgabe 9
chdieter 2016-05-23 14:46:24
Aufgabe sollte bestenfalls im Abschnitt "quadratische Funktionen" erscheinen. Noch fehlen die Lösungen. Außerdem: zwei Teilaufgaben sind identisch.
Antwort abschicken

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-3\mathrm x^2%%

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm x^2-2%%

Skizziere den Graphen %%G_f%% der Funktion %%f%% mit %%f(x)=-3x^4+2x^2+5%% nur durch Überlegung und ohne Wertetabelle.

Zuerst wird die Funktion in die einzelnen Terme aufgeteilt.

Betrachte %%-3x^4%%. Das Vorzeichen sagt dir, dass eine nach unten geöffnete Polynomfunktion vierten Grades vorliegt. Diese ist durch den Faktor 3 relativ schmal.
Da hier der höchste Exponent der Funktion vorliegt, sieht die Funktion nach außen betrachtet aus, wie eine Funktion vierten Grades.

Betrachte %%+2x^2%%. Das Vorzeichen sagt dir, dass eine nach oben geöffnete Parabel vorliegt, die durch den Faktor 2 ebenfalls etwas schmaler wird.
Da hier der kleinste Exponent vorliegt, sieht die Funktion bei kleinen x-Werten, also in der Umgebung von Null, so aus wie eine Parabel.

Betrachte %%+5%%. Hier liegt keine Verknüpfung mit einem x vor, deswegen ist die 5 die Verschiebung auf der y-Achse, und zwar in die positive Richtung.

Es liegen also nur gerade Exponenten/Potenzen vor. Dies sagt dir, dass der Graph symmetrisch ist.

Die Terme wieder zusammen in der Funktion ergibt dann das:

Graph zu -3x^4+2x^2+5

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