Aufgaben
Berechne den Abstand der folgenden Punkte.
Zu text-exercise-group 12653:
Nish 2018-11-29 16:00:06+0100
Feedback (Verbesserungswünsche)
Alle Teilaufgaben dieser Aufgabe sollten bitte nach den aktuellen Richtlinien für Aufgabenlösungen (http://de.serlo.org/90400) überarbeitet werden.
Außerdem kann man mit dem Befehl phantom (siehe LaTex-Richtlinie, ) die Gleichheitszeichen auf einer Höhe schreiben. Das sieht optisch nochmal schöner aus. Außerdem sollte man die Spaltenbreiten anpassen, dass die Formel schon angezeigt werden oder gleich die Lösungen mit dem neuen Editor konvertieren.

Danke im Voraus!
LG,
Nish
Nish 2018-11-29 16:04:18+0100
Link für LaTex-Richtlinie: http://de.serlo.org/90410
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A(5    2  )B(3   6  )A\left(5\;|\;-2\;\right) B\left(3\ |\;6\;\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte

Für den Abstand zweier Punkte in der Ebene setzt man die Punkte in die folgende Formel ein:
d=(x2x1)2+(y2y1)2d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
d=(35)2+(6(2))2\mathrm{d}=\sqrt{\left(3-5\right)^2+\left(6-\left(-2\right)\right)^2}
=(2)2+82\mathrm =\sqrt{\left(-2\right)^2+8^2}
d=4+64=68\mathrm d=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}
A(2    2    1)A\left(2\;\left|\;-2\;\left|\;1\right.\right.\right), B(4    4    2)B\left(4\;\left|\;-4\;\left|\;2\right.\right.\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte

In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2- z_1)^2}ein.
d=(42)2+(4(2))2+(21)2d=\sqrt{\left(4-2\right)^2+\left(-4-\left(-2\right)\right)^2+\left(2-1\right)^2}
d=22+(2)2+12\phantom{d}=\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2+1^2}
d=4+4+1=9=3\phantom{d}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt9=3
A(1    2    2)A\left(-1\;\left|\;-2\;\left|\;2\right.\right.\right),    B(2    4    4)B\left(-2\;\left|-\;4\;\left|\;4\right.\right.\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte

In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2x1)(y2y1)(z2z1)d=\sqrt{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2- z_1)} ein.
d=(2(1))2+(4(2))2+(42)2\mathrm d=\sqrt{\left(-2-\left(-1\right)\right)^2+\left(-4-\left(-2\right)\right)^2+\left(4-2\right)^2}
d=(1)2+(2)2+22\phantom{d}=\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-2\right)^2+2^2}
d=1+4+4=9=3\phantom{d}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt9=3
A(6    0    1)A\left(6\;\left|\;0\;\left|\;1\right.\right.\right),    B(1    0    1)B\left(1\;\left|\;0\;\left|\;1\right.\right.\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte

In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2x1)(y2y1)(z2z1)d=\sqrt{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2- z_1)} ein.
d=(16)2+(00)2+(11)2d=\sqrt{\left(1-6\right)^2+\left(0-0\right)^2+\left(1-1\right)^2}
d=(5)2+02+02\phantom{d}=\sqrt{\left(-5\right)^2+0^2+0^2}
d=25=5\phantom{d}=\sqrt{25}=5
A(8    9    10)A\left(8\;\left|\;9\;\left|\;10\right.\right.\right),    B(2    6    8)B\left(2\;\left|\;6\;\left|\;8\right.\right.\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte

In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2x1)(y2y1)(z2z1)d=\sqrt{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2- z_1)} ein.
d=(28)2+(69)2+(810)2d=\sqrt{\left(2-8\right)^2+\left(6-9\right)^2+\left(8-10\right)^2}
d=(6)2+(3)2+(2)2\phantom{d}=\sqrt{\left(-6\right)^2+\left(-3\right)^2+\left(-2\right)^2}
d=36+9+4=49=7\phantom{d}=\sqrt{36+9+4}=\sqrt{49}=7
A(0    0    6)A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;6\right.\right.\right),    B(0    0    0)B\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte

In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2x1)(y2y1)(z2z1)d=\sqrt{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2- z_1)} ein.
d=(00)2+(00)2+(60)2d=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(0-0\right)^2+\left(6-0\right)^2}
d=02+02+62\phantom{d}=\sqrt{0^2+0^2+6^2}
d=36=6\phantom{d}=\sqrt{36}=6
A(37    21    5)A\left(37\;\left|\;21\;\left|\;5\right.\right.\right),    B(13    14    5)B\left(13\;\left|\;14\;\left|\;5\right.\right.\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte

In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2x1)(y2y1)(z2z1)d=\sqrt{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2- z_1)} ein.
d=(1337)2+(1421)2+(55)2d=\sqrt{\left(13-37\right)^2+\left(14-21\right)^2+\left(5-5\right)^2}
d=(24)2+(7)2+02\phantom{d}=\sqrt{\left(-24\right)^2+\left(-7\right)^2+0^2}
d=576+49=625=25\phantom{d}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25
A(1    2    1)A\left(1\;\left|\;2\;\left|\;1\right.\right.\right),    B(2    3    2)B\left(2\;\left|\;3\;\left|\;-2\right.\right.\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte

In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2x1)(y2y1)(z2z1)d=\sqrt{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2- z_1)} ein.
d=(21)2+(32)2+(21)2d=\sqrt{\left(2-1\right)^2+\left(3-2\right)^2+\left(-2-1\right)^2}
d=12+12+(3)2\phantom{d}=\sqrt{1^2+1^2+\left(-3\right)^2}
d=1+1+9=11\phantom{d}=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}
A(4    3    1)A\left(4\;\left|\;-3\;\left|\;1\right.\right.\right),    B(2    2    2)B\left(-2\;\left|\;-2\;\left|\;-2\right.\right.\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte

In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2x1)(y2y1)(z2z1)d=\sqrt{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2- z_1)} ein.
d=(24)2+(2(3))2+(21)2d=\sqrt{\left(-2-4\right)^2+\left(-2-\left(-3\right)\right)^2+\left(-2-1\right)^2}
d=(6)2+(1)2+(3)2\phantom{d}=\sqrt{\left(-6\right)^2+\left(1\right)^2+\left(-3\right)^2}
d=36+1+9=46\phantom{d}=\sqrt{36+1+9}=\sqrt{46}
A(7    3    4)A\left(7\;\left|\;3\;\left|\;4\right.\right.\right),    B(0    4    7)B\left(0\;\left|\;-4\;\left|\;-7\right.\right.\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte

In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2x1)(y2y1)(z2z1)d=\sqrt{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2- z_1)} ein.
d=(07)2+(43)2+(74)2d=\sqrt{\left(0-7\right)^2+\left(-4-3\right)^2+\left(-7-4\right)^2}
d=(7)2+(7)2+(11)2\phantom{d}=\sqrt{\left(-7\right)^2+\left(-7\right)^2+\left(-11\right)^2}
d=49+49+121=219\phantom{d}=\sqrt{49+49+121}=\sqrt{219}
A(13    17    6)A\left(13\;\left|\;17\;\left|\;6\right.\right.\right),    B(35    20    14)B\left(35\;\left|\;20\;\left|\;14\right.\right.\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte

In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2x1)(y2y1)(z2z1)d=\sqrt{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2- z_1)} ein.
d=(3513)2+(2017)2+(146)2d=\sqrt{\left(35-13\right)^2+\left(20-17\right)^2+\left(14-6\right)^2}
d=222+32+82\phantom{d}=\sqrt{22^2+3^2+8^2}
d=484+9+64=557\phantom{d}=\sqrt{484+9+64}=\sqrt{557}
A(3    2    1    4)A\left(3\;\left|\;-2\;\left|\;-1\right.\;\right.\left|\;4\right.\right),    B(1    6    3    0)B\left(-1\;\left|\;-6\;\left|\;3\;\left|\;0\right.\right.\right.\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte

In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Für den Abstand zweier Punkte in höheren Dimensionen geht man analog vor.
d=(13)2+(6(2))2+(3(1))2+(04)2\mathrm d=\sqrt{\left(-1-3\right)^2+\left(-6-\left(-2\right)\right)^2+\left(3-\left(-1\right)\right)^2+\left(0-4\right)^2}
d=(4)2+(4)2+42+(4)2\phantom{d}=\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-4\right)^2+4^2+\left(-4\right)^2}
d=16+16+16+16=64=8\phantom{d}=\sqrt{16+16+16+16}=\sqrt{64}=8

Berechne den Abstand der Gerade zur Ebene.

%%E:\;\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0%%,    %%g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}%%

Abstand einer Gerade von einer Ebene berechnen

%%E:\;\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0%%,

%%g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}=\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{v}%%

Stelle eine Hilfsgerade  %%h%%  auf, die durch den Aufpunkt  %%\overrightarrow{a}%% der Geraden  %%g%%  verläuft und die orthogonal zur Ebene  %%E%%  liegt.

D.h. der Normalenvektor der Ebene  %%E%%  ist der Richtungsvektor der Hilfsgerade  %%h%%.

%%h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}%%

Bestimme den Schnittpunkt   %%S%%  der Hilfsgeraden  %%h%%  mit der Ebene  %%E%%. Setze dazu die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.

%%\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0%%

Vereinfache.

%%\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\right]=0%%

Berechne das  Skalarprodukt.

%%3+\mathrm\mu+\left(-1\right)\cdot\left(2-\mathrm\mu\right)+\left(-3\right)\cdot\left(-3\mathrm\mu\right)=0%%

Multipliziere die Klammern aus.

%%3+\mathrm\mu-2+\mathrm\mu+9\mathrm\mu=0%%

Fasse zusammen.

%%1+11\mathrm\mu=0%%

Löse nach  %%\mathrm\mu%%  auf.

%%\mathrm\mu=-\frac1{11}%%

Setze  %%\mathrm\mu=-\frac1{11}%%  in die Hilfsgerade  %%k%%  ein, um den Schnittpunkt  %%S%%  zu bestimmen.

%%\overrightarrow{ S}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\left(-\frac1{11}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{32}{11}\\\frac{12}{11}\\-\frac8{11}\end{pmatrix}%%

Berechne den Abstand der Punkte   %%\overrightarrow{a}%%  und  %%S%%.

%%d\left(\overrightarrow{a}; S\right)=\sqrt{\left(\frac{32}{11}-3\right)^2+\left(\frac{12}{11}-1\right)^2+\left(-\frac8{11}-\left(-1\right)\right)^2}%%

%%=\sqrt{\left(-\frac1{11}\right)^2+\left(\frac1{11}\right)^2+\left(\frac3{11}\right)^2}%%

%%=\sqrt{\frac1{121}+\frac1{121}+\frac9{121}}%%

%%=\sqrt{\frac{11}{121}}%%

%%=\frac1{\sqrt{11}}%%

%%E:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}%%,

%%g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}-1\\-4\\7\end{pmatrix}%%

Abstand einer Gerade von einer Ebene berechnen

%%E:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}%%,

%%g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}-1\\-4\\7\end{pmatrix}=\overrightarrow{a}+\sigma \cdot \overrightarrow{v}%%

Berechne den Normalenvektor, um die Ebene zunächst in Normalenform umwandeln zu können.

%%\overrightarrow{n}_E=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}%%

%%\Rightarrow\;E:\;\begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\right]=0%%

Wandle die Ebene in Koordinatenform um.

%%E:\;-5x_1-4x_2-3x_3+5=0%%

Stelle nun eine Hilfsgerade %%h%% auf, die durch den Aufpunkt %%\overrightarrow{ a}%% der Geraden %%g%% verläuft und die orthogonal zur Ebene %%E%% liegt.

D.h. der Normalenvektor der Ebene %%E%% ist der Richtungsvektor der Hilfsgerade %%h%%.

%%h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\tau\cdot\begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}%%

Bestimme den Schnittpunkt   %%S%%  der Hilfsgeraden  %%h%%  mit der Ebene  %%E%%.

%%-5 \cdot (1-5\tau)+(-4) \cdot (2-4\tau)+(-3 ) \cdot (-3-3\tau)+5=0%%

Multipliziere die Klammern aus.

%%-5+25\mathrm\tau-8+16\mathrm\tau+9+9\mathrm\tau+5=0%%

Fasse zusammen.

%%1+50\mathrm\tau=0%%

Löse nach  %%\mathrm\tau%%  auf.

%%\mathrm\tau=-\frac1{50}%%

Setze  %%\mathrm\tau=-\frac1{50}%%  in die Hilfsgerade  %%k%%  ein, um den Schnittpunkt  %%S%%  zu bestimmen.

%%\overrightarrow{ S}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\left(-\frac1{50}\right)\cdot\begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{11}{10}\\\frac{52}{25}\\-\frac{147}{50}\end{pmatrix}%%

Berechne den Abstand der Punkte   %%\overrightarrow{ a}%%  und  %%S%%.

%%d\left({\overrightarrow{ a}};\ S\right)=\sqrt{\left(\frac{11}{10}-1\right)^2+\left(\frac{52}{25}-2\right)^2+\left(-\frac{147}{50}-\left(-3\right)\right)^2}%%

%%=\sqrt{\left(\frac1{10}\right)^2+\left(\frac2{25}\right)^2+\left(\frac3{50}\right)^2}%%

%%=\sqrt{\frac1{100}+\frac4{625}+\frac9{2500}}%%

%%=\sqrt{\frac1{50}}=\frac{1}{5\sqrt2}%%

Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden.

g:  x=(132)+λ(123)g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix} ,    h:  x=(1443)+μ(230)h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}

Abstand zweier windschiefer Geraden

Stelle eine Hilfsebene  HH  in Parameterform auf, die die
Gerade  gg  enthält und die parallel zur Geraden  hh  verläuft.
D.h. der Aufpunkt a\overrightarrow{ a}  der Geraden   g\ g  ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden  gg  ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden  hh  ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.
H:  x=(132)+λ(123)+μ(230)H:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}
H:  (967)[x(132)]=0H:\;\begin{pmatrix}-9\\-6\\-7\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}\right]=0

H:  9x16x27x3+5=0H:\;-9x_1-6x_2-7x_3+5=0

Stelle eine Hilfsgerade  kk  auf, die durch den Aufpunkt c\overrightarrow{c}  der Geraden  hh  verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene  HH  liegt.
D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.
k:  x=(1443)+σ(967)k:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}-9\\-6\\-7\end{pmatrix}
Bestimme den Schnittpunkt   SS  der Hilfsgeraden  kk  mit der Hilfsebene  HH.
9(149σ)+(6)(46σ)+(7)(37σ)+5=0-9\cdot\left(14-9\mathrm\sigma\right)+\left(-6\right)\cdot\left(4-6\mathrm\sigma\right)+\left(-7\right)\cdot\left(3-7\mathrm\sigma\right)+5=0
Multipliziere die Klammern aus.
126+81σ24+36σ21+49σ+5=0-126+81\mathrm\sigma-24+36\mathrm\sigma-21+49\mathrm\sigma+5=0
Fasse zusammen.
166+166σ=0-166+166\mathrm\sigma=0
Löse nach  σ\mathrm\sigma  auf.
σ=1\sigma=1
Setze  σ=1\mathrm\sigma=1  in die Hilfsgerade  kk  ein, um den Schnittpunkt  SS  zu bestimmen.
S=(1443)+1(967)=(524)\overrightarrow{S}=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-9\\-6\\-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-2\\-4\end{pmatrix}
Berechne den Abstand der Punkte   a\overrightarrow{ a}  und  SS.
d(a;S)=(514)2+(24)2+(43)2=\mathrm d\left(\overrightarrow{ a}; S\right)=\sqrt{\left(5-14\right)^2+\left(-2-4\right)^2+\left(-4-3\right)^2}=

=(9)2+(6)2+(7)2==\sqrt{\left(-9\right)^2+\left(-6\right)^2+\left(-7\right)^2}=

=81+36+49=166=\sqrt{81+36+49}=\sqrt{166}
Der Abstand der windschiefen Geraden beträgt also \sqrt{166}.


%%g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\-3\end{pmatrix}%%,    %%h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}%%

Abstand zweier windschiefer Geraden

Stelle eine Hilfsebene  %%H%%  in Parameterform auf, die die

Gerade  %%g%%  enthält und die parallel zur Geraden  %%h%%  verläuft.

D.h. der Aufpunkt  %%\overrightarrow{ a}%%  der Geraden  %%g%%  ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden  %%g%%  ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden  %%h%%  ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.

%%H:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\-3\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}%%

%%H:\;\begin{pmatrix}-8\\-1\\-4\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right]=0%%

%%H:\;-8x_1-x_2-4x_3+9=0%%

Stelle eine Hilfsgerade %%k%% auf, die durch den Aufpunkt %%\overrightarrow{ a}%% (Koordinatenursprung!) der Geraden %%h%% verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene %%H%% liegt.

D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.

%%k:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}-8\\-1\\-4\end{pmatrix}%%

Bestimme den Schnittpunkt   %%S%%  der Hilfsgeraden  %%g%%  mit der Hilfsebene  %%H%%.

%%-8\cdot\left(-8\mathrm\sigma\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-\mathrm\sigma\right)+\left(-4\right)\cdot\left(-4\mathrm\sigma\right)+9=0%%

Multipliziere die Klammern aus.

%%64\mathrm\sigma+\mathrm\sigma+16\mathrm\sigma+9=0%%

Fasse zusammen.

%%9+81\mathrm\sigma=0%%

Löse nach  %%\mathrm\sigma%%  auf.

%%\mathrm\sigma=-\frac19%%

Setze  %%\mathrm\sigma=-\frac19%%  in die Hilfsgerade  %%k%%  ein, um den Schnittpunkt  %%S%%  zu bestimmen.

%%\overrightarrow{ S}=-\frac19\cdot\begin{pmatrix}-8\\-1\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac89\\\frac19\\\frac49\end{pmatrix}%%

Berechne den Abstand der Punkte   %%\overrightarrow{ a}%%  und  %%S%%.

%%d\left(\overrightarrow a;S\right)=\sqrt{\left(\frac89\right)^2+\left(\frac19\right)^2+\left(\frac49\right)^2}=%%

%%=\sqrt{\frac{64}{81}+\frac1{81}+\frac{16}{81}}=%%

%%=\sqrt{\frac{81}{81}}=1%%

%%g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}6\\1\\4\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}%%,    %%h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}5\\4\\13\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}%%

Abstand zweier windschiefer Geraden

Stelle eine Hilfsebene  %%H%%  in Parameterform auf, die die

Gerade  %%g%%  enthält und die parallel zur Geraden  %%h%%  verläuft.

D.h. der Aufpunkt  %%\overrightarrow{ a}%%  der Geraden  %%g%%  ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden  %%g%%  ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden  %%h%%  ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.

%%H:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}6\\1\\4\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}%%

%%H:\;\begin{pmatrix}-3\\-5\\-4\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}6\\1\\4\end{pmatrix}\right]=0%%

%%H:\;-3x_1-5x_2-4x_3+39=0%%

Stelle eine Hilfsgerade %%k%% auf, die durch den Aufpunkt %%\overrightarrow{ a}%% der Geraden %%h%% verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene %%H%% liegt.

D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.

%%k:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}5\\4\\13\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}-3\\-5\\-4\end{pmatrix}%%

Bestimme den Schnittpunkt   %%S%%  der Hilfsgeraden  %%g%%  mit der Hilfsebene  %%H%%  .

%%-3\cdot\left(5-3\mathrm\sigma\right)-5\cdot\left(4-5\mathrm\sigma\right)+\left(-4\right)\cdot\left(13-4\mathrm\sigma\right)+39=0%%

Multipliziere die Klammern aus.

%%-15+9\mathrm\sigma-20+25\mathrm\sigma-52+16\mathrm\sigma+39=0%%

Fasse zusammen.

%%-48+50\mathrm\sigma=0%%

Löse nach  %%\mathrm\sigma%%  auf.

%%\sigma=\frac{24}{25}%%

Setze  %%\mathrm\sigma=\frac{24}{25}%%  in die Hilfsgerade  %%k%%  ein, um den Schnittpunkt  %%S%% zu bestimmen.

%%\overrightarrow{ S}=\begin{pmatrix}5\\4\\13\end{pmatrix}+\frac{24}{25}\cdot\begin{pmatrix}-3\\-5\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{53}{25}\\-\frac45\\\frac{229}{25}\end{pmatrix}%%

Berechne den Abstand der Punkte   %%\overrightarrow{ a}%%  und  %%S%%.

%%\mathrm d\left(\overrightarrow{ a}; S\right)=\sqrt{\left(\frac{53}{25}-5\right)^2+\left(-\frac45-4\right)^2+\left(\frac{229}{25}-13\right)^2}=%%

%%=\sqrt{\left(-\frac{72}{25}\right)^2+\left(-\frac{24}5\right)^2+\left(-\frac{96}{25}\right)^2}=%%

%%=\sqrt{\frac{5184}{625}+\frac{576}{25}+\frac{9216}{625}}=%%

%%=\sqrt{\frac{1152}{25}}=\frac{24 \sqrt2}5%%

Berechne den Abstand der beiden parallelen Geraden.

%%g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}%%,    %%h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}%%

Abstand zweier paralleler Geraden berechnen

Stelle zunächst eine Hilfsebene  %%H%%  in Normalenform auf, die durch den Aufpunkt der Gerade  %%h%%  verläuft und die orthogonal zur Geraden  %%g%%  liegt.

%%\Rightarrow\;\overrightarrow{n_H}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}%%

Wähle  %%\overrightarrow{ P}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}%%  als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf: %%H:\;\overrightarrow{n_H}\circ\left(\overrightarrow x-\overrightarrow P\right)=0%%  . 

%%H:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\right]=0%%

%%H:\;x_1-1+\left(-2\right)\cdot\left(x_2-3\right)+x_3+1=0%%

Multipliziere die Klammern aus.

%%H:\;x_1-1-2x_2+6+x_3+1=0%%

Fasse zusammen.

%%H:\;x_1-2x_2+x_3+6=0%%

Bestimme den Schnittpunkt %%S%% der Geraden  %%g%%  mit der Hilfsebene  %%H%%.

%%\left(1+\mathrm\lambda\right)+\left(-2\right)\cdot\left(1-2\mathrm\lambda\right)+\left(1+\mathrm\lambda\right)+6=0%%

Multipliziere die Klammern aus.

%%1+\mathrm\lambda-2+4\mathrm\lambda+1+\mathrm\lambda+6=0%%

Fasse zusammen.

%%6+6\mathrm\lambda=0%%

Löse nach  %%\mathrm\lambda%%  auf.

%%\mathrm\lambda=-1%%

Setze  %%\mathrm\lambda=-1%%  in die Gerade  %%g%%  ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

%%\overrightarrow S=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\left(-1\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}%%

Berechne den Abstand der Punkte   %%P%%  und  %%S%%.

%%d\left(P;S\right)=\sqrt{\left(0-1\right)^2+\left(3-3\right)^2+\left(0-\left(-1\right)\right)^2}0=%%

%%=\sqrt{\left(-1\right)^2+1^2}=\sqrt2%%

Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene mit dem Projektionsverfahren.

%%E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0%%,    %%P\left(3\;\left|\;-1\;\left|\;2\right.\right.\right)%%

Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen

%%d=\left|\frac{\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right]}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|}\right|%%

Die Formel zur Berechnung des Abstands mit Hilfe des Projektionsverfahrens lautet: $$d=\left|\frac{\overrightarrow n\circ\left[\overrightarrow p-\overrightarrow a\right]}{\left|\overrightarrow n\right|}\right|,$$ wobei %%\overrightarrow{ n}%% der Normalenvektor der Ebene, %%\overrightarrow{ a}%% der Aufpunkt der Ebene und %%\overrightarrow{ p}%% der Ortsvektor des Punktes ist.

Berechne das  Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.

   %%=\left|\frac{3-1+\left(-2\right)\cdot\left(-1-2\right)+3\cdot2}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2+3^2}}\right|%%

Multipliziere die Klammern aus.

   %%=\left|\frac{2+6+6}{\sqrt{1+4+9}}\right|%%

Fasse zusammen.

   %%=\left|\frac{14}{\sqrt{14}}\right|=\frac{14}{\sqrt{14}}=\sqrt{14}%%

%%E:\;\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}%%,    %%P\left(1\;\left|\;-3\;\left|\;1\right.\right.\right)%%

Abstand eines Punktes von einer Ebene mit dem Projektionsverfahren berechnen

Die Formel zur Berechnung des Abstands mit Hilfe des Projektionsverfahrens lautet:  %%d=\left|\frac{\overrightarrow n\circ\left[\overrightarrow p-\overrightarrow a\right]}{\left|\overrightarrow n\right|}\right|,%% wobei %%\overrightarrow{ n}%%  der Normalenvektor der Ebene,  %%\overrightarrow a%%  der Aufpunkt der

Ebene und  %%\overrightarrow{ p}%%  der Ortsvektor des Punktes ist.

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene  %%E%%.

%%\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}%%

Setze die Werte in die Formeln ein.

%%d=\left|\frac{\begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}1\\-3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]}{\left|\begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}\right|}\right|%%

Berechne das  Skalarprodukt und den   Betrag des Vektors.

   %%=\left|\frac{\left(-5\right)\cdot\left(-3-1\right)}{\sqrt{2^2+\left(-5\right)^2+1^2}}\right|%%

Fasse zusammen.

   %%=\left|\frac{20}{\sqrt{4+25+1}}\right|%%

   %%=\left|\frac{20}{\sqrt{30}}\right|=\frac{20}{\sqrt{30}}%%

%%E:\;\begin{pmatrix}-3\\2\\-6\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{ x}+27=0%%,    %%P\left(2\;\left|\;-4\;\left|\;1\right.\right.\right)%%

Die Formel zur Berechnung des Abstands mit Hilfe des Projektionsverfahrens lautet:  %%d=\left|\frac{\overrightarrow n\circ\left[\overrightarrow p-\overrightarrow a\right]}{\left|\overrightarrow n\right|}\right|,%% wobei

%%\overrightarrow{ n}%%  der Normalenvektor der Ebene,  %%\overrightarrow{ a}%%  der Aufpunkt der

Ebene und  %%\overrightarrow{ p}%%  der Ortsvektor des Punktes ist.

Finde zunächst einen Aufpunkt %%\overrightarrow{ a}%%  der Ebene  %%\mathrm E%%, d.h. suche einen möglichst einfachen Punkt, der die Ebenengleichung erfüllt.

z. B.  %%\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}9\\0\\0\end{pmatrix}%%

Setze die Werte in die Formel ein.

%%\mathrm d=\left|\frac{\begin{pmatrix}-3\\2\\-6\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}9\\0\\0\end{pmatrix}\right]}{\left|\begin{pmatrix}-3\\2\\-6\end{pmatrix}\right|}\right|%%

Berechne das  Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.

%%=\left|\frac{-3\cdot\left(2-9\right)+2\cdot\left(-4\right)+\left(-6\right)\cdot1}{\sqrt{\left(-3\right)^2+2^2+\left(-6\right)^2}}\right|%%

Multipliziere die Klammern aus.

%%=\left|\frac{21-8-6}{\sqrt{9+4+36}}\right|%%

Fasse zusammen.

%%=\left|\frac7{\sqrt{49}}\right|=\frac77=1%%

Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren.
Zu text-exercise-group 13089: Kein Artikel zum Thema Lotfusspunktverfahren
haberlm 2014-03-17 08:32:46+0100
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E:  (123)[x(120)]=0E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0,    P(3    1    2)P\left(3\;\left|\;-1\;\left|\;2\right.\right.\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punkts zur Ebene

Stelle zunächst eine Hilfsgerade hh  auf, die durch den
Punkt  PP  verläuft und die orthogonal zur Ebene  EE  liegt.
Der Richtungsvektor der Hilfsgeraden  hh  ist der Normalenvektor der Ebene  EE.
h:  x=(312)+λ(123)h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}
Bestimme den Schnittpunkt  der Hilfsgeraden mit der Ebene. Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.
(123)[(312)+λ(123)(120)]=0\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0
Berechne das  Skalarprodukt.
3+λ1+(2)(12λ2)+3(2+3λ)=03+\mathrm\lambda-1+\left(-2\right)\cdot\left(-1-2\mathrm\lambda-2\right)+3\cdot\left(2+3\mathrm\lambda\right)=0
3+λ1+2+4λ+4+6+9λ=03+\mathrm\lambda-1+2+4\mathrm\lambda+4+6+9\mathrm\lambda=0
14λ+14=014\mathrm\lambda+14=0
Löse nach  λ\mathrm\lambda  auf.
λ=1\mathrm\lambda=-1
Setze  λ=1\mathrm\lambda=-1  in die Hilfsgerade  hh  ein, um den Lotfußpunkt  LL  zu bestimmen.
L=(312)+(1)(123)=(211)\overrightarrow{ L}=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}+(-1)\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}
Berechne den Abstand der Punkte PP  und  L\mathrm L.
d(P;L)=(23)2+(1(1))2+(12)2d\left(P;L\right)=\sqrt{\left(2-3\right)^2+\left(1-\left(-1\right)\right)^2+\left(-1-2\right)^2}
=(1)2+22+(3)2=\sqrt{\left(-1\right)^2+2^2+\left(-3\right)^2}
=1+4+9=14=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}
E:  (111)+λ(211)+μ(113)E:\;\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix},     P(1    3    1)\ P\left(1\;\left|\;-3\;\left|\;1\right.\right.\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punkts zur Ebene

Stelle zunächst eine Hilfsgerade hh auf, die durch den
Punkt  PP  verläuft und die orthogonal zur Ebene  E\mathrm E  liegt.
Berechne das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren, um einen, zur Ebene  EE, orthogonalen Vektor zu erhalten.
(211)×(113)=(251)\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}
Stelle nun die Gleichung der Hilfsgeraden auf.
h:  x=(131)+σ(251)h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\-3\\1\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}
Um den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene zu bestimmen, wandle die Ebene von Parameterform in Normalenform um.
E:  (251)[x(111)]=0E:\;\begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]=0
Setze die Geradengleichung in die Ebenengleichung in Normalenform ein.
Berechne das  Skalarprodukt.
(251)[(131)+σ(251)(111)]=0\begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}1\\-3\\1\end{pmatrix}+\mathrm\sigma\cdot\begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]=0
2(1+2σ1)+(5)(35σ1)+1+σ1=02\cdot\left(1+2\mathrm\sigma-1\right)+\left(-5\right)\cdot\left(-3-5\mathrm\sigma-1\right)+1+\mathrm\sigma-1=0
2+4σ2+15+25σ+5+1+σ1=02+4\mathrm\sigma-2+15+25\mathrm\sigma+5+1+\mathrm\sigma-1=0
30σ+20=030\mathrm\sigma+20=0
σ=23\mathrm\sigma=-\frac23
Setze  σ=23\mathrm\sigma=-\frac23  in die Hilfserade  hh  ein, um den Lotfußpunkt  LL zu bestimmen.
L=(131)+(23)(251)=(131313)\overrightarrow L=\begin{pmatrix}1\\-3\\1\end{pmatrix}+\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot \begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\end{pmatrix}
Berechne den Abstand der Punkte   PP  und  LL.
d(P;L)=(131)2+(13(3))2+(131)2d\left(P;L\right)=\sqrt{\left(-\frac13-1\right)^2+\left(\frac13-\left(-3\right)\right)^2+\left(\frac13-1\right)^2}
=(43)2+(103)2+(23)2=\sqrt{\left(-\frac43\right)^2+\left(\frac{10}3\right)^2+\left(-\frac23\right)^2}