Aufgaben zum Abstand
Hier findest du Übungsaufgaben zum Abstand in der Geometrie. Lerne, den Abstand zwischen Punkten und/oder weiteren Objekten zu berechnen.
- 1
Berechne den Abstand der folgenden Punkte.
A(5∣−2)B(3 ∣6)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
Für den Abstand zweier Punkte in der Ebene setzt man die Punkte in die folgende Formel ein:
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
d=(3−5)2+(6−(−2))2
=(−2)2+82
d=4+64=68
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(2∣−2∣1), B(4∣−4∣2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2ein.
d=(4−2)2+(−4−(−2))2+(2−1)2
d=22+(−2)2+12
d=4+4+1=9=3
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(−1∣−2∣2), B(−2∣−4∣4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(−2−(−1))2+(−4−(−2))2+(4−2)2
d=(−1)2+(−2)2+22
d=1+4+4=9=3
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(6∣0∣1), B(1∣0∣1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(1−6)2+(0−0)2+(1−1)2
d=(−5)2+02+02
d=25=5
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(8∣9∣10), B(2∣6∣8)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(2−8)2+(6−9)2+(8−10)2
d=(−6)2+(−3)2+(−2)2
d=36+9+4=49=7
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(0∣0∣6), B(0∣0∣0)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(0−0)2+(0−0)2+(6−0)2
d=02+02+62
d=36=6
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(37∣21∣5), B(13∣14∣5)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(13−37)2+(14−21)2+(5−5)2
d=(−24)2+(−7)2+02
d=576+49=625=25
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(1∣2∣1), B(2∣3∣−2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(2−1)2+(3−2)2+(−2−1)2
d=12+12+(−3)2
d=1+1+9=11
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(4∣−3∣1), B(−2∣−2∣−2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(−2−4)2+(−2−(−3))2+(−2−1)2
d=(−6)2+(1)2+(−3)2
d=36+1+9=46
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(7∣3∣4), B(0∣−4∣−7)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(0−7)2+(−4−3)2+(−7−4)2
d=(−7)2+(−7)2+(−11)2
d=49+49+121=219
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(13∣17∣6), B(35∣20∣14)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(35−13)2+(20−17)2+(14−6)2
d=222+32+82
d=484+9+64=557
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(3∣−2∣−1∣4), B(−1∣−6∣3∣0)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Für den Abstand zweier Punkte in höheren Dimensionen geht man analog vor.
d=(−1−3)2+(−6−(−2))2+(3−(−1))2+(0−4)2
d=(−4)2+(−4)2+42+(−4)2
d=16+16+16+16=64=8
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 2
Berechne den Abstand der Gerade zur Ebene.
E:1−1−3∘x−0−1−1=0
g:x=31−1+λ⋅1−21
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenengleichungen
Lösung mit Hessescher Normalenform
Erstelle von der Ebene E die Hessesche Normalenform, indem die Ebenengleichung mit ∣n∣1 multipliziert wird.
∣n∣=12+(−1)2+(−3)2=11
EHNF:111⋅1−1−3∘x−0−1−1=0
Da die Gerade parallel zur Ebene verläuft (u∘n=0) kann der Abstand der Geraden zur Ebene durch den Abstand eines Punktes von der Geraden z.B. des Aufpunktes A von der Ebene bestimmt werden.
OA=31−1
Setze OA in EHNF ein:
d(A;E)=====111⋅1−1−3∘31−1−0−1−11111−1−3∘320111(3−2+0)111111
Antwort: Der Abstand der Geraden g zur Ebene E beträgt 111.
Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden
E:1−1−3∘x−0−1−1=0,
g:x=31−1+λ⋅1−21=a+λv
h:x=31−1+μ⋅1−1−3
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden h mit der Ebene E. Setze dazu die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.
0 = 1−1−3∘31−1+μ⋅1−1−3−0−1−1 ↓ Vereinfache.
0 = 1−1−3∘320+μ⋅1−1−3 ↓ Berechne das Skalarprodukt.
0 = 3+μ+(−1)⋅(2−μ)+(−3)⋅(−3μ) ↓ Multipliziere die Klammern aus.
0 = 3+μ−2+μ+9μ ↓ Fasse zusammen.
0 = 1+11μ −1 ↓ Löse nach μ auf.
−1 = 11μ :11 μ = −111 Setze μ=−111 in die Hilfsgerade h ein, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.
S=31−1+(−111)⋅1−1−3=11321112−118
Berechne den Abstand der Punkte A und S.
d(A;S) = (1132−3)2+(1112−1)2+(−118−(−1))2 = (−111)2+(111)2+(113)2 = 1211+1211+1219 = 12111 = 111 Antwort: Der Abstand der Geraden g zur Ebene E beträgt 111.
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:x=21−3+λ⋅1−21+μ⋅−212,
g:x=12−3+σ⋅−1−47
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenengleichung
Lösung mit Hessescher Normalenform
Wandle die Ebene in Normalenform um:
Berechne den Normalenvektor:
nE=1−21×−212=−5−4−3
⇒E:−5−4−3∘x−21−3=0
Erstelle von der Ebene E die Hessesche Normalenform, indem die Ebenengleichung mit ∣n∣1 multipliziert wird.
∣n∣=(−5)2+(−4)2+(−3)2=50
Da die Gerade parallel zur Ebene verläuft (u∘n=0) kann der Abstand der Geraden zur Ebene durch den Abstand eines Punktes von der Geraden z.B. des Aufpunktes A von der Ebene bestimmt werden.
OA=12−3
Setze OA in EHNF ein:
d(A;E)=====501⋅−5−4−3∘12−3−21−3501−5−4−3∘−110501(5−4+0)501501
Antwort: Der Abstand der Geraden g zur Ebene E beträgt 501=102.
Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden
E:x=21−3+λ⋅1−21+μ⋅−212,
g:x=12−3+σ⋅−1−47=a+σ⋅v
Wandle die Ebene in Koordinatenform um:
Berechne den Normalenvektor, um die Ebene zunächst in Normalenform umwandeln zu können.
nE=1−21×−212=−5−4−3
⇒E:−5−4−3∘x−21−3=0
Wandle die Ebene in Koordinatenform um.
E:−5x1−4x2−3x3+5=0
Stelle nun eine Hilfsgerade h auf, die durch den Aufpunkt a der Geraden g verläuft und die orthogonal zur Ebene E liegt.
D.h. der Normalenvektor der Ebene E ist der Richtungsvektor der Hilfsgerade h.
h:x=12−3+τ⋅−5−4−3
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden h mit der Ebene E.
0 = −5⋅(1−5τ)+(−4)⋅(2−4τ)+(−3)⋅(−3−3τ)+5 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
0 = −5+25τ−8+16τ+9+9τ+5 ↓ Fasse zusammen.
0 = 1+50τ −1 ↓ Löse nach τ auf.
−1 = 50τ :50 τ = −501 Setze τ=−501 in die Hilfsgerade h ein, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.
S=12−3+(−501)⋅−5−4−3=10112552−50147
Berechne den Abstand der Punkte A und S.
d(A; S) = (1011−1)2+(2552−2)2+(−50147−(−3))2 = (101)2+(252)2+(503)2 = 1001+6254+25009 = 501 = 102 Antwort: Der Abstand der Geraden g zur Ebene E beträgt 102.
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 3
Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden.
g:x=1−32+λ⋅12−3 , h:x=1443+μ⋅2−30
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
Stelle eine Hilfsebene H in Parameterform auf, die die
Gerade g enthält und die parallel zur Geraden h verläuft.
D.h. der Aufpunkt a der Geraden g ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden g ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden h ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.
H:x=1−32+λ⋅12−3+μ⋅2−30
H:−9−6−7∘x−1−32=0
H:−9x1−6x2−7x3+5=0
Stelle eine Hilfsgerade k auf, die durch den Aufpunkt c der Geraden h verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene H liegt.
D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.
k:x=1443+σ⋅−9−6−7
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden k mit der Hilfsebene H.
0 = −9⋅(14−9σ)+(−6)⋅(4−6σ)+(−7)⋅(3−7σ)+5 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
0 = −126+81σ−24+36σ−21+49σ+5 ↓ Fasse zusammen.
0 = −166+166σ +166 ↓ Löse nach σ auf.
166 = 166σ :166 1 = σ Setze σ=1 in die Hilfsgerade k ein, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.
S=1443+1⋅−9−6−7=5−2−4
Berechne den Abstand der Punkte a und S.
d(a;S) = (5−14)2+(−2−4)2+(−4−3)2 = (−9)2+(−6)2+(−7)2 = 81+36+49 = 166 Der Abstand der windschiefen Geraden beträgt also 166.
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=110+λ⋅14−3, h:x=000+μ⋅10−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
Stelle eine Hilfsebene H in Parameterform auf, die die
Gerade g enthält und die parallel zur Geraden h verläuft.
D.h. der Aufpunkt a der Geraden g ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden g ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden h ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.
H:x=100+λ⋅14−3+μ⋅10−2
H:−8−1−4∘x−110=0
H:−8x1−x2−4x3+9=0
Stelle eine Hilfsgerade k auf, die durch den Aufpunkt a(Koordinatenursprung!) der Geraden h verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene H liegt.
D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.
k:x=000+σ⋅−8−1−4
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden g mit der Hilfsebene H.
0 = −8⋅(−8σ)+(−1)⋅(−σ)+(−4)⋅(−4σ)+9 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
0 = 64σ+σ+16σ+9 ↓ Fasse zusammen.
0 = 9+81σ −9 ↓ Löse nach σ auf.
−9 = 81σ :81 −91 = σ Setze σ=−91 in die Hilfsgerade k ein, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.
S=−91⋅−8−1−4=989194
Berechne den Abstand der Punkte a und S.
d(a;S) = (98)2+(91)2+(94)2 = 8164+811+8116 = 8181 = 1 Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=614+λ⋅−311, h:x=5413+μ⋅11−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
Stelle eine Hilfsebene H in Parameterform auf, die die
Gerade g enthält und die parallel zur Geraden h verläuft.
D.h. der Aufpunkt a der Geraden g ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden g ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden h ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.
H:x=614+λ⋅−311+μ⋅11−2
H:−3−5−4∘x−614=0
H:−3x1−5x2−4x3+39=0
Stelle eine Hilfsgerade k auf, die durch den Aufpunkt a der Geraden h verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene H liegt.
D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.
k:x=5413+σ⋅−3−5−4
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden g mit der Hilfsebene H.
0 = −3⋅(5−3σ)−5⋅(4−5σ)+(−4)⋅(13−4σ)+39 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
0 = −15+9σ−20+25σ−52+16σ+39 0 = −48+50σ +48 ↓ Löse nach σ auf.
48 = 50σ :50 2524 = σ Setze σ=2524 in die Hilfsgerade k ein, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.
S=5413+2524⋅−3−5−4=2553−5425229
Berechne den Abstand der Punkte a und S.
d(a;S) = (2553−5)2+(−54−4)2+(25229−13)2 = (−2572)2+(−524)2+(−2596)2 = 6255184+25576+6259216 = 251152 = 5242 Hast du eine Frage oder Feedback?
- 4
Berechne den Abstand der beiden parallelen Geraden.
g:x=111+λ⋅1−21, h:x=13−1+μ⋅−24−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier paralleler Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene H in Normalenform auf, die durch den Aufpunkt der Gerade h verläuft und die orthogonal zur Geraden g liegt.
Wähle P=13−1 als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf: H:nH∘(x−P)=0 .
H:nH∘(x−P) = 0 H:1−21∘x1x2x3−13−1 = 0 H:x1−1+(−2)⋅(x2−3)+x3+1 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
H:x1−1−2x2+6+x3+1 = 0 ↓ Fasse zusammen.
H:x1−2x2+x3+6 = 0 Bestimme den Schnittpunkt S der Geraden g mit der Hilfsebene H.
(1+λ)+(−2)⋅(1−2λ)+(1+λ)+6 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
1+λ−2+4λ+1+λ+6 = 0 ↓ Fasse zusammen.
6+6λ = 0 ↓ Löse nach λ auf.
λ = −1 Setze λ=−1 in die Gerade g ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
S=111+(−1)⋅1−21=030
Berechne den Abstand der Punkte P und S.
d(P;S) = (0−1)2+(3−3)2+(0−(−1))2 = (−1)2+12 = 2 Hast du eine Frage oder Feedback?
- 5
Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene mit dem Projektionsverfahren.
E:1−23∘x−120=0, P(3∣−1∣2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Die Formel zur Berechnung des Abstands mit Hilfe des Projektionsverfahrens lautet:
wobei n der Normalenvektor der Ebene, a der Aufpunkt der Ebene und p der Ortsvektor des Punktes ist.
Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.
d = 1−231−23∘3−12−120 = 12+(−2)2+323−1+(−2)⋅(−1−2)+3⋅2 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
= 1+4+92+6+6 ↓ Fasse zusammen.
= 1414 = 1414 ↓ Forme 14 um.
= 1414⋅14 ↓ Kürze.
= 14 Hast du eine Frage oder Feedback?
E:111+λ⋅211+μ⋅113, P(1∣−3∣1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Die Formel zur Berechnung des Abstands mit Hilfe des Projektionsverfahrens lautet: d=∣n∣n∘[p−a], wobei n der Normalenvektor der Ebene, a der Aufpunkt der
Ebene und p der Ortsvektor des Punktes ist.
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene E.
211×113=2−51
Setze die Werte in die Formeln ein.
d = 2−512−51∘1−31−111 ↓ Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.
= 22+(−5)2+12(−5)⋅(−3−1) ↓ Fasse zusammen.
= 4+25+120 = 3020 = 3020 Hast du eine Frage oder Feedback?
E:−32−6∘x+27=0, P(2∣−4∣1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Die Formel zur Berechnung des Abstands mit Hilfe des Projektionsverfahrens lautet: d=∣n∣n∘[p−a], wobei
n der Normalenvektor der Ebene, a der Aufpunkt der
Ebene und p der Ortsvektor des Punktes ist.
Finde zunächst einen Aufpunkt a der Ebene E, d.h. suche einen möglichst einfachen Punkt, der die Ebenengleichung erfüllt.
z. B. a=900
Setze die Werte in die Formel ein.
d = −32−6−32−6∘2−41−900 ↓ Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.
= (−3)2+22+(−6)2−3⋅(2−9)+2⋅(−4)+(−6)⋅1 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
= 9+4+3621−8−6 ↓ Fasse zusammen.
= 497 = 77 = 1 Hast du eine Frage oder Feedback?
- 6
Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren.
E:1−23∘x−120=0, P(3∣−1∣2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punkts zur Ebene
Stelle zunächst eine Hilfsgerade h auf, die durch den
Punkt P verläuft und die orthogonal zur Ebene E liegt.
Der Richtungsvektor der Hilfsgeraden h ist der Normalenvektor der Ebene E.
h:x=3−12+λ⋅1−23
Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene. Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.
1−23∘3−12+λ⋅1−23−120=0
Berechne das Skalarprodukt.
3+λ−1+(−2)⋅(−1−2λ−2)+3⋅(2+3λ)=0
3+λ−1+2+4λ+4+6+9λ=0
14λ+14=0
Löse nach λ auf.
λ=−1
Setze λ=−1 in die Hilfsgerade h ein, um den Lotfußpunkt L zu bestimmen.
L=3−12+(−1)⋅1−23=21−1
Berechne den Abstand der Punkte P und L.
d(P;L)=(2−3)2+(1−(−1))2+(−1−2)2
=(−1)2+22+(−3)2
=1+4+9=14
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:X=111+λ⋅211+μ⋅113, P(1∣−3∣1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punkts zur Ebene
Stelle zunächst eine Hilfsgerade h auf, die durch den
Punkt P verläuft und die orthogonal zur Ebene E liegt.
Berechne das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren, um einen, zur Ebene E, orthogonalen Vektor zu erhalten.
211×113=2−51
Stelle nun die Gleichung der Hilfsgeraden auf.
h:x=1−31+σ⋅2−51
Um den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene zu bestimmen, wandle die Ebene von Parameterform in Normalenform um.
E:2−51∘x−111=0
Setze die Geradengleichung in die Ebenengleichung in Normalenform ein.
Berechne das Skalarprodukt.
2−51∘1−31+σ⋅2−51−111=0
2⋅(1+2σ−1)+(−5)⋅(−3−5σ−1)+1+σ−1=0
2+4σ−2+15+25σ+5+1+σ−1=0
30σ+20=0
σ=−32
Setze σ=−32 in die Hilfserade h ein, um den Lotfußpunkt L zu bestimmen.
L=1−31+(−32)⋅2−51=−313131
Berechne den Abstand der Punkte P und L.
d(P;L)=(−31−1)2+(31−(−3))2+(31−1)2
=(−34)2+(310)2+(−32)2
=916+9100+94
=9120=2310=3020
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:−32−6∘x+27=0 , P(2∣−4∣1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punkts zur Ebene
Stelle zunächst eine Hilfsgerade h auf, die durch den Punkt P verläuft und die orthogonal zur Ebene E liegt.
Der Richtungsvektor der Hilfsgeraden h ist der Normalenvektor der Ebene E.
h:x=2−41+λ⋅−32−6
Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene. Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in (leicht veränderter) Normalenform ein.
−32−6∘2−41+λ⋅−32−6+27=0
Berechne das Skalarprodukt.
−3⋅(2−3λ)+2⋅(−4+2λ)+(−6)⋅(1−6λ)+27=0
−6+9λ−8+4λ−6+36λ+27=0
49λ+7=0
λ=−71
Setze λ=−71 in die Hilfserade h ein, um den Lotfußpunkt L zu bestimmen.
L=2−41+(−71)⋅−32−6=717−730713
Berechne den Abstand der Punkte P und L .
d(P;L)=(717−2)2+(−730−(−4))2+(713−1)2
=(73)2+(−72)2+(76)2
=499+494+4936=1
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 7
Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene.
P(4∣3∣1), E:3x1+x2−2x3−5=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=31−2
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=31−2=32+12+(−2)2=9+1+4=14
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):141⋅(3x1+x2−2x3−5)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E) = 141⋅(3⋅4+3−2⋅1−5) = 141⋅8 = 148 ≈ 2,138 Hast du eine Frage oder Feedback?
P(−1∣1∣0), E:x1+2x2−x3−3=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E. Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=12−1
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=12−1=12+22+(−1)2=1+4+1=6
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):61⋅(x1+2x2−x3−3)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E) = 61⋅(−1+2−3) = 61⋅(−2) = 62 ≈ 0,816 Hast du eine Frage oder Feedback?
P(1∣8∣5), E:2x1−x2+2x3−7=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=2−12
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=2−12=22+(−1)2+22=4+1+4=9=3
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):31⋅(2x1−x2+2x3−7)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene HNF(E):31⋅(2x1−x2+2x3−7)=0 ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E) = 31⋅(2−8+2⋅5−7) = 31⋅(−3) = 33 = 1 Hast du eine Frage oder Feedback?
P(0∣8∣15), E:4x1−3x2+x3−2=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3überein.
n=4−31
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=4−31=42+(−3)2+12=16+9+1=26
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):261⋅(4x1−3x2+x3−2)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E) = 261⋅(−3⋅8+15−2) = 261⋅(−11) = 2611 ≈ 2,157 Hast du eine Frage oder Feedback?
P(2∣−1∣3), E:5x1+x2+x3−1=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=511
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=511=52+12+12=25+1+1=27
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):271⋅(5x1+x2+x3−1)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E) = 271⋅(5⋅2−1+3−1) = 271⋅11 = 2711 ≈ 2,117 Hast du eine Frage oder Feedback?
P(7∣8∣9), E:x1+x2+3=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand des Koordinatenursprungs von einer Ebene berechnen
Bestimme zuerst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3überein.
n=110
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=110=12+12=2
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt a der Ebene E gilt n∘a=−3
HNF(E):−21⋅(x1+x2+3)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E) = −21⋅(7+8+3) = −21⋅18 = 218 = 92 ≈ 12,728 Hast du eine Frage oder Feedback?
P(5∣−4∣6), E:x3+2=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=001
Der Normalenvektor ist bereits normiert.
n=001=12=1
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt a der Ebene E gilt n∘a=−2
HNF(E):−1⋅(x3+2)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=∣−1⋅(6+2)∣=8
Hast du eine Frage oder Feedback?
P(1∣3∣3), E:10x1−7x2+2x3−5=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=10−72
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=10−72=102+(−7)2+22=100+49+4=153
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):1531⋅(10x1+−7x2+2x3−5)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E) = 1531⋅(10−7⋅3+2⋅3−5) = 1531⋅10 = 15310 ≈ 0,808 Hast du eine Frage oder Feedback?
P(2∣0∣7), E:8x1+3x2−5x3=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=83−5
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=83−5=82+32+(−5)2=64+9+25=98
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):981⋅(8x1+3x2−5x3)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E) = 981⋅(8⋅2−5⋅7) = 981⋅−19 = 9819 ≈ 1,919 Hast du eine Frage oder Feedback?
P(100∣200∣50), E:9x1−4x2−7x3−11=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=9−4−7
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=9−4−7=92+(−4)2+(−7)2=81+16+49=146
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):1461⋅(9x1−4x2−7x3−11)=0
Setze nun den Ortsvektor des Punktes P in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E) = 1461⋅(9⋅100−4⋅200−7⋅50−11) = 1461⋅(−261) = 146261 ≈ 21,601 Hast du eine Frage oder Feedback?
- 8
Berechne den Abstand des Koordiantenursprungs von der Ebene.
E:x1+x2−x3−1=0
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=11−1
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=11−1=12+12+(−1)2=3
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):31⋅(x1+x2−x3−1)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=31⋅(−1)=31≈0,577
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:4x1+5x2−3x3−8=0
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=45−3
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=45−3=42+(5)2+(−3)2
=16+25+9=50
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):501⋅(4x1+5x2−3x3−8)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=501⋅(−8)=508≈1,131
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:x2−x3+2=0
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=01−1
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=01−1=12+(−1)2=2
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt a der Ebene E gilt n∘a=−2
HNF(E):−21⋅(x2−x3+2)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=−21⋅2=22≈1,414
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:x1−x3+2=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=10−1
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=10−1=12+(−1)2=2
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt a der Ebene E gilt n∘a=−2
HNF(E):−21⋅(x1−x3+2)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=−21⋅2=22≈1,414
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:18x1−13x2+7x3−22=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=18−137
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=18−137=182+(−13)2+72
=364+169+49=542
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):5421⋅(18x1−13x2+7x3−22)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=5421⋅(−22)=54222≈0,945
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:2x1+8x2−5x3+10=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=28−5
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=28−5=22+82+(−5)2
=4+64+25=93
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt a der Ebene E gilt n∘a=−2
HNF(E):−931⋅(2x1+8x2−5x3+10)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=−931⋅10=9310≈1,037
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:12x1+2x2+5x3−31=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=1225
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=1225=122+22+52
=144+4+25=173
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):1731⋅(12x1+2x2+5x3−31)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=1731⋅(−31)=17331≈2,357
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:100x1−13x2+43x3−126=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene E.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von x1, x2 und x3 überein.
n=100−1343
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
n=100−1343=1002+(−13)2+432
=10000+169+1849=12018
Stelle nun die Gleichung der Ebene E in Hessenormalform auf.
HNF(E):120181⋅(100x1−13x2+43x3−126)=0
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs (0) in die Hessenormalform der Ebene E ein, um den Abstand zu bestimmen.
d(0;E)=120181⋅(−126)=12018126≈1,149
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 9
Berechne den Abstand des Punktes von der Geraden.
P(1∣−3∣−3), g:x=21−3+λ⋅−131
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene H in Normalenform auf, die durch den Punkt P verläuft und die orthogonal zur Geraden g liegt.
⇒nH=−131
Wähle P als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf: H:nH∘(x−P)=0.
H:−131∘x1x2x3−1−3−3=0
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
(−1)⋅(x1−1)+3⋅(x2+3)+1⋅(x3+3) = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
−x1+1+3x2+9+x3+3 = 0 Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden g mit der Hilfsebene H, setze dazu die Koordinaten von g in H ein und berechne λ:
−(2−λ)+3⋅(1+3λ)+(−3+λ)+13 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
−2+λ+3+9λ−3+λ+13 = 0 ↓ Fasse zusammen.
11λ+11 = 0 −11 11λ = −11 :11 λ = −1 Setze λ=−1 in die Gerade g ein, um den Lotfußpunkt L zu bestimmen.
L=21−3+(−1)⋅−131=3−2−4
Berechne den Abstand der Punkte P und L.
d(P;L)=(3−1)2+(−2−(−3))2+(−4−(−3))2
=22+12+(−1)2
=4+1+1=6
Alternative Lösung
Berechne den Lotfußpunkt L mit dem Skalarprodukt. Da der Lotvektor und der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zueinander stehen müssen, muss deren Skalarprodukt 0 ergeben.
LP ist der Lotvektor mit L als Lotfußpunkt, n ist der Richtungsvektor von g. L wird nun durch die Geradengleichung von g ersetzt, da L ein Punkt auf g sein soll. A ist der Aufpunkt von g.
P−(A+λ⋅n)∘n = 0 ↓ Setze ein.
1−3−3−21−3−λ⋅−131∘−131 = 0 ↓ Berechne das Skalarprodukt
(1−2+λ)⋅(−1)+(−3−1−3λ)⋅3+(−3+3−λ)⋅1 = 0 ↓ Vereinfache
1−λ−12−9λ−λ = 0 11λ+11 = 0 −11 11λ = −11 :11 λ = −1 Da jetzt λ bekannt ist, kannst du wie oben fortfahren. Berechne zuerst den Lotfußpunkt, indem du λ=−1 in die Geradengleichung einsetzt. Dann berechne die Länge von LP.
Hast du eine Frage oder Feedback?
P(5∣0∣0), g:x=111+λ⋅211
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene H in Normalenform auf, die durch den Punkt P verläuft und die orthogonal zur Geraden g liegt.
⇒nH=211
Wähle P als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:
H:nH∘(x−P)=0.
H:211∘x1x2x3−500=0
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
2⋅(x1−5)+1⋅x2+1⋅x3 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
2x1−10+x2+x3 = 0 Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden g mit der Hilfsebene H, setze dazu die Koordinaten von g in H ein und berechne λ:
2⋅(1+2λ)+(1+λ)+(1+λ)−10 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
2+4λ+1+λ+1+λ−10 = 0 ↓ Fasse zusammen.
6λ−6 = 0 +6 6λ = 6 :6 λ = 1 Setze λ=1 in die Gerade g ein, um den Lotfußpunkt L zu bestimmen.
L=111+1⋅211=322
Berechne den Abstand der Punkte P und L.
d(P;L)=(3−5)2+22+22
=22+22+22
=4+4+4=12=23
Hast du eine Frage oder Feedback?
P(−2∣3∣10), g:x=123+λ⋅−432
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene H in Normalenform auf, die durch den Punkt P verläuft und die orthogonal zur Geraden g liegt.
⇒nH=−432
Wähle P als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:
H:nH∘(x−P)=0.
H:−432∘x1x2x3−−2310=0
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
(−4)⋅(x1+2)+3⋅(x2−3)+2⋅(x3−10) = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
−4x1−8+3x2−9+2x3−20 = 0 ↓ Fasse zusammen.
−4x1+3x2−2x3−37 = 0 Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden g mit der Hilfsebene H, setze dazu die Koordinaten von g in H ein und berechne λ:
−4⋅(1−4λ)+3⋅(2+3λ)+2⋅(3+2λ)−37 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
−4+16λ+6+9λ+6+4λ−37 = 0 ↓ Fasse zusammen.
29λ−29 = 0 +29 29λ = 29 :29 λ = 1 Setze λ=1 in die Gerade g ein, um den Lotfußpunkt L zu bestimmen.
L=123+1⋅−432=−355
Berechne den Abstand der Punkte P und L.
d(P;L)=(−3−(−2))2+(5−3)2+(5−10)2
=(−1)2+22+(−5)2
=1+4+25=30
Hast du eine Frage oder Feedback?
P(5∣−1∣−2,5), g:x=3−63+λ⋅03−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen
Stelle zunächst eine Hilfsebene H in Normalenform auf, die durch den Punkt P verläuft und die orthogonal zur Geraden g liegt.
⇒nH=03−2
Wähle P als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:
H:nH∘(x−P)=0.
H:03−2∘x1x2x3−5−1−2,5=0
Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:
3⋅(x2+1)−2⋅(x3+2,5) = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
3x2+3−2x3−5 = 0 Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden g mit der Hilfsebene H, setze dazu die Koordinaten von g in H ein und berechne λ:
3⋅(−6+3λ)−2⋅(3+−2λ)−2 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
−18+9λ−6+4λ−2 = 0 ↓ Fasse zusammen.
−26+13λ = 0 +26 13λ = 26 :13 λ = 2 Setze λ=2 in die Gerade g ein, um den Lotfußpunkt L zu bestimmen.
L=3−63+2⋅03−2=30−1
Berechne den Abstand der Punkte P und L.
d(P;L)=(3−5)2+(0−(−1))2+(−1−(−2,5))2
=22+12+1,52
=4+1+2,25=7,25
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 10
Berechne den Abstand der beiden Ebenen.
E:−236∘x−012=0, F:x=142+λ⋅320+μ⋅0−21
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Ebenen berechnen
Stelle eine Hilfsgeraden h auf, die durch den Aufpunkt a der Ebene F verläuft und die orthogonal zur Ebene E liegt.
D.h. der Normalenvektor der Ebene E ist der Richtungsvektor der Hilfsgeraden h.
h:x=142+σ⋅−236
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden h mit der Ebene E. Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.
−236∘142+σ⋅−236−012 = 0 ↓ Vereinfache.
−236∘130+σ⋅−236 = 0 ↓ Berechne das Skalarprodukt.
−2⋅(1−2σ)+3⋅(3+3σ)+6⋅(6σ) = 0 ↓ Multipliziere die Klammer aus.
−2+4σ+9+9σ+36σ = 0 ↓ Fasse zusammen.
7+49σ = 0 ↓ Löse nach σ auf.
σ = −71 ↓ Setze σ=−71 in die Hilfsgerade h ein, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.
S=142+(−71)⋅−236 = 7972578 ↓ Berechne den Abstand der Punkte a und S.
d(A2;S) = (79−1)2+(725−4)2+(78−2)2 = (72)2+(−73)2+(−76)2 = 494+499+4936 = 4949 = 1 Hast du eine Frage oder Feedback?
E:x=−122+λ⋅10−2+μ⋅2−13, F:x=3−1−2+σ⋅3−11+τ⋅1−15
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Ebenen berechnen
Berechne den Normalenvektor der Ebene E, um sie zunächst in Normalenform umwandeln zu können.
nE=10−2×2−13=−2−7−1
⇒E:−2−7−1∘x−−122=0
Wandle die Ebene in Koordinatenform um.
E:−2x1−7x2−x3+14=0
Stelle eine nun Hilfsgeraden h auf, die durch den Aufpunkt a
der Ebene F verläuft und die orthogonal zur Ebene E liegt.
D.h. der Normalenvektor der Ebene E ist der Richtungsvektor der Hilfsgeraden h.
h:x=3−1−2+ν⋅−2−7−1
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden h mit der Ebene E.
−2⋅(3−2ν)+(−7)⋅(−1−7ν)+(−1)⋅(−2−ν)+14 = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
−6+4ν+7+49ν+2+ν+14 = 0 ↓ Fasse zusammen.
17+54v = 0 ↓ Löse nach v auf.
v = −5417 Setze ν=−5417 in die Hilfsgerade h ein, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.
S = 3−1−2+(−5417)⋅−2−7−1 = 27985465−5491 ↓ Berechne den Abstand der Punkte a und S.
d(a;S) = (2798−3)2+(5465−(−1))2+(−5491−(−2))2 = (2717)2+(54119)2+(5417)2 = 729289+291614161+2916289 = 54289 = 3617 Hast du eine Frage oder Feedback?
E:2−35∘x−0−1−1=0, E:−46−10∘x−120=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Ebenen berechnen
Stelle eine Hilfsgeraden h auf, die durch den Aufpunkt a der Ebene F verläuft und die orthogonal zur Ebene E liegt.
D.h. der Normalenvektor der Ebene E ist der Richtungsvektor der Hilfsgeraden h.
h:x=120+λ⋅2−35
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden h mit der Ebene E. Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.
2−35∘120+λ⋅2−35−0−1−1 = 0 ↓ Vereinfache.
2−35∘131+λ⋅2−35 = 0 ↓ Berechne das Skalarprodukt.
2⋅(1+2λ)+(−3)⋅(3−3λ)+5⋅(1+5λ) = 0 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
2+4λ−9+9λ+5+25λ = 0 ↓ Fasse zusammen.
−2+38λ = 0 ↓ Löse nach λ auf.
λ = 191 ↓ Setze λ=191 in die Hilfsgerade h ein, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.
S = 120+191⋅2−35=19211935195 ↓ Berechne den Abstand der Punkte a und S.
d(a;S) = (1921−1)2+(1935−2)2+(195)2 = (192)2+(−193)2+(195)2 = 3614+3619+36125 = 36138 = 192 = 382 Hast du eine Frage oder Feedback?
- 11
Gegeben sind der Punkt P(4∣6∣−2) und die Gerade
g:OX=401+r⋅−111.
Berechne den Abstand des Punktes P von der Geraden g. Gib außerdem den Lotfußpunkt an.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe eine zu g orthogonale Hilfsebene, die den Punkt P enthält.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand Punkt Gerade
1. Erstelle die Normalenform der Hilfsebene H:n∘(OX−OA)=0.
Dabei ist n=−111der Richtungsvektor der Geraden g und für OA setzt du den Ortsvektor, der zum Punkt P gehört ein: OP=46−2
H:−111∘OX−46−2=0
2. Berechne den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene H:
g∩H:−111∘401+r⋅−111−46−2=0
Fasse die beiden Vektoren in den eckigen Klammern zusammen.
−111∘0−63+r⋅−111=0
Berechne zunächst das Skalarprodukt :
(−1)⋅(−r)+1⋅(−6+r)+1⋅(3+r)=0
Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:
r−6+r+3+r=0⇒3⋅r=3 mit der Lösung r=1.
Berechne den Lotfußpunkt F: Setze dazu r=1 in die Geradengleichung g ein:
OXF=401+1⋅−111=312.
Der Lotfußpunkt F hat die Koordinaten: F(3∣1∣2) .
3. Berechne den Lotvektor: PF=312−46−2=−1−54.
Berechne den gesuchten Abstand d(P,F) als Länge des Lotvektors ∣PF∣:
d(P,F)=∣PF∣=(−1)2+(−5)2+42=1+25+16=42≈6,48
Antwort: Der Punkt P hat von der Geraden g den Abstand 42≈6,48LE und der Lotfußpunkt hat die Koordinaten F(3∣1∣2).
- 12
Gegeben sind der Punkt P(0∣1∣2) und die Gerade
g:OX=201+r⋅010.
Berechne den Abstand des Punktes P von der Geraden g. Gib auch den Lotfußpunkt an.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe, dass der Verbindungsvektor (Lotvektor) eines Punktes F auf der Geraden g zum Punkt P senkrecht auf dem Richtungsvektor u der Geraden g steht.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand Punkt Gerade
1. Der Punkt F liegt auf der Geraden g (F∈g) , d.h. für den Punkt F gilt: F(2∣r∣1)
2. Berechne den Vektor PF=OF−OP=2r1−012=2r−1−1
3. Der Vektor PF steht senkrecht auf dem Richtungsvektor u der Geraden g; d.h. das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren hat den Wert Null :
⇒PF∘u=0.
2r−1−1∘010=0⇒r−1=0, mit der Lösung r=1
4. Setze r=1 in den Vektor PF ein ⇒ PF=21−1−1=20−1
5. Der gesuchte Abstand d(P,F) ist die Länge des Vektors PF, d.h. der Betrag des Vektors.
d(P,F)=∣PF∣=(2)2+(0)2+(−1)2=4+0+1=5≈2,24
6. Setzt du r=1 in F(2∣r∣1) ein, erhältst du die Koordinaten des Lotfußpunktes: F(2∣1∣1)
Antwort: Der Punkt P hat von der Geraden g den Abstand 5≈2,24LE. Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten F(2∣1∣1).
Methode kürzester Abstand
Unter allen Verbindungsstrecken [PA] bis [PG] ist die kürzeste [PF] (in der Abbildung rot eingezeichnet) von diesen Verbindungsstrecken diejenige, die orthogonal (senkrecht) zu der Geraden g ist. Die Länge dieser kürzesten Verbindungsstrecke entspricht dem Abstand des Punktes P zur Geraden g. Der Lotfußpunkt F ist ein Punkt der Geraden g. Der Lotvektor PF steht senkrecht auf dem Richtungsvektor u der Geraden g. Die Gleichung PF∘u=0 liefert einen Wert für den Parameter r. Damit können der Punkt F und der Vektor PF berechnet werden. Der Betrag des Vektors PF (seine Länge) ergibt den Abstand des Punktes P von der Geraden g.
- 13
Gegeben sind der Punkt P(−1∣4∣3) und die Ebene
E:OX=123+r⋅321+s⋅222
Berechne den Abstand des Punktes P von der Ebene E.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe die Hessesche Normalenform.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes zur Ebene
Die gegebene Parameterform der Ebene E wird zunächst in die Normalenform umgewandelt. Dazu berechnest du den Normalenvektor n als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene.
n=321×222=2−42mit Faktor 2 verkürzt gilt: n=1−21
Anschließend setzt du diesen Normalenvektor n und den Aufpunkt aus der Parameterform für OA in die Normalenform n∘(OX−OA)=0 ein.
E:1−21∘OX−123=0
Aus dieser Normalenform entsteht die Hessesche Normalenform indem du die Ebenengleichung durch den Betrag des Normalenvektors ∣n∣ teilt.
∣n∣=12+(−2)2+12=6 .
EHNF:611−21∘OX−123=0
Um den Abstand d(P;E) des Punktes P von der Ebene E zu berechnen, setzt du den Vektor OP für OX in die Hessesche Normalenform ein:
d(P;E)=611−21∘−143−123=611−21∘−220=61(−2−4+0)=6−6=6
Antwort: Der Punkt P hat somit den Abstand 6≈2,45LE von der Ebene E.
Nachteil dieser Methode: Es wird nur der Abstand berechnet. Der Lotfußpunkt kann nicht angegeben werden.
- 14
Gegeben sind der Punkt P(5∣−5∣6) und die Ebene
E: 2x1−2x2+x3=8.
Gesucht ist der Abstand des Punktes P von der Ebene E.
Gib auch den Lotfußpunkt an.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe das Lotfußpunktverfahren.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lotfußpunkt
1. Erstelle die Gleichung der Lotgeraden h.
Der Normalenvektor der Ebene n=2−21ist der Richtungsvektor und der Punkt P ist der Aufpunkt der Geraden h. (Der Vektor OP heißt auch Stützvektor der Geraden.)
Lotgerade h:OX=5−56+r⋅2−21
2. Berechne den Schnittpunkt F zwischen der Geraden h und der Ebene E:
h∩H
8 = 2⋅(5+2r)−2⋅(−5−2r)+1⋅(6+r) ↓ Klammern auflösen
8 = 10+4r+10+4r+6+r ↓ Terme zusammenfassen
8 = 9r+26 −26 −18 = 9r :9 r = −2 Setze r=−2 in die Geradengleichung h ein, um den Lotfußpunkt zu berechnen:
OXF=5−56+(−2)⋅2−21=5−4−5+46−2=1−14
Der Lotfußpunkt F hat die Koordinaten: F(1∣−1∣4).
3. Berechne den Vektor PF=OF−OP=1−14−5−56=−44−2
4. Berechne den gesuchten Abstand d(P,F) als Länge des Lotvektors ∣PF∣:
d(P,F)=∣PF∣=(−4)2+42+(−2)2=16+16+4=36=6
Antwort: Der Punkt P hat von der Ebene E den Abstand 6LE und der Lotfußpunkt F hat die Koordinaten F(1∣−1∣4).
Erstelle die Gleichung einer Geraden h, die senkrecht zur Ebene E steht und durch den Punkt P verläuft. Dabei ist der Normalenvektor n der Ebene gleich dem Richtungsvektor der Geraden h und der Punkt P liefert den Aufpunkt (Stützvektor) der Geraden h. Der Schnittpunkt von g und E ergibt den Lotfußpunkt F.
- 15
Gegeben sind die beiden parallelen Geraden
g:OX=255+r⋅113und h:OX=s⋅−2−2−6
Berechne ihren Abstand.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand Punkt Gerade
Einen Punkt auf der Geraden h erhältst du z.B. für s=1. Du berechnest dann den Abstand dieses Punktes von der Geraden g.
OX=1⋅−2−2−6=−2−2−6
1. Erstelle die Normalenform der Hilfsebene H:n∘(OX−OA)=0.
Dabei ist n=113der Richtungsvektor der Geraden g und für OA setzt du den oben berechneten Ortsvektor −2−2−6ein.
H:113∘OX−−2−2−6=0
2. Berechne den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene H:
g∩H:113∘255+r⋅113−−2−2−6=0
Fasse die beiden Vektoren in den eckigen Klammern zusammen.
113∘4711+r⋅113=0
Berechne zunächst das Skalarprodukt :
1⋅(4+r)+1⋅(7+r)+3⋅(11+3r)=0
Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:
4+r+7+r+33+9r=0⇒11⋅r=−44 mit der Lösung r=−4.
Lotfußpunkt F: Setze r=−4 in die Geradengleichung g ein:
OXF=255+(−4)⋅113=−21−7.
Der Lotfußpunkt F auf der Geraden g hat die Koordinaten: F(−2∣1∣−7) .
3. Berechne den Lotvektor: PF=−21−7−−2−2−6=03−1.
Berechne den gesuchten Abstand d(P,F) als Länge des Lotvektors ∣PF∣:
d(P,F)=∣PF∣=02+32+(−1)2=0+9+1=10≈3,16
Antwort: Der Punkt P hat von der Geraden g den Abstand 10≈3,16LE.
Der Fall paralleler Geraden lässt sich auf die Abstandberechnung eines Punktes von einer Geraden zurückführen. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene H.
- 16
Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden
g:OX=0−11+r⋅1−10 und
h:OX=14−2+s⋅2−32
Berechne ihren Abstand und die Lotfußpunkte auf den beiden Geraden.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe eine Hilfsebene H in Parameterform, die die Gerade h enthält. Als zweiten Richtungsvektor von H verwendest du den Normalenvektor, der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Geraden steht. Wandle die Ebene in die Normalenform um.
Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden k, die senkrecht zu g ist und in H liegt.
Schneide k mit g und mit h.
1. Berechne zunächst den Normalenvektor: n1=u×v=1−10×2−32=−2−2−1oder n1=221
H: OX=OB+r⋅v+s⋅n1=14−2+r⋅2−32+s⋅221
Die Parametergleichung von H wird in die Normalenform umgewandelt:
n2=v×n1=2−32×221=−7210
Für den Vektor OA in der Normalenform setzt du den Aufpunkt OB der Geraden h ein.
⇒H: n2∘(OX−OB)=−7210∘OX−14−2=0
2. Berechne den Schnittpunkt Fg der Geraden g mit der Ebene H.
g∩H: −7210∘0−11+r⋅1−10−14−2=0
Fasse die beiden Vektoren in den eckigen Klammern zusammen.
−7210∘−1−53+r⋅1−10=0
Berechne zunächst das Skalarprodukt :
(−7)⋅(−1+r)+2⋅(−5−r)+10⋅3=0
Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:
7−7r−10−2r+30=0⇒27−9⋅r=0 mit der Lösung r=3.
Lotfußpunkt Fg: Setze r=3 in die Geradengleichung g ein:
OXF=0−11+3⋅1−10=3−41.
Der Lotfußpunkt Fg hat die Koordinaten: Fg(3∣−4∣1).
3. Bestimme die Lotgerade k, die senkrecht zu g ist und in H liegt.
kLot: OX=OFh+r⋅n1=3−41+r⋅221
4. Berechne den Schnittpunkt Fh der Geraden h mit der Lotgeraden k.
h∩k:14−2+r⋅2−32=3−41+s⋅221
Forme die Gleichung um ⇒ −28−3=r⋅−23−2+s⋅221
Du erhältst 3 Gleichungen:
(I):−2(II):8(III):−3===−2r3r−2r+++2s2ss
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um eine der Variablen zu eliminieren.
Rechne zum Beispiel: (I)−(III)
(I):−2(II):8(III):−3===−2r3r−2r+++2s2ss
1=0r+1s⇒s=1
Aus (III)⇒−3=−2r+1⇒r=2
5. Berechne den Vektor OFh und dann den Vektor FgFh.
OFh=14−2+2⋅2−32=5−22
Der Lotfußpunkt Fh hat die Koordinaten: Fh(5∣−2∣2).
FgFh=5−22−3−41=221
6. Berechne den Abstand der beiden Geraden als Betrag des Vektors d(g,h)=∣FgFh∣.
d(g,h)=∣FgFh∣=22+22+12=4+4+1=9=3
Antwort: Die beiden Geraden haben den Abstand 3LE. Zusätzlich hast du die beiden Lotfußpunkte auf den beiden Geraden berechnet: Fg(3∣−4∣1) und Fh(5∣−2∣2).
- 17
Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden
g:OX=0−11+r⋅1−10 und
h:OX=14−2+r⋅2−32
Berechne ihren Abstand.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe eine Hilfebene H in Normalenform, die den Aufpunkt der Geraden h enthält. Der Normalenvektor n der Ebene H steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Geraden. Verwende zur Abstandberechnung die Hessesche Normalenform.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
1. Berechne zunächst den Normalenvektor:
n=u×v=1−10×2−32=−2−2−1oder n=221
In die Normalenform H: n∘(OX−OA)=0 wird der berechnete Normalenvektor und der Aufpunkt der Geraden h eingesetzt (h∈H).
⇒H: 221∘OX−14−2=0
2. Schreibe die Normalenform der Ebene H als Koordinatenform:
2x1+2x2+x3−(2+8−2)=0 ⇒2x1+2x2+x3−8=0
3. Berechne den Betrag des Normalenvektor ∣n∣ und wandle die Koordinatenform der Ebene in die Hessesche Normalenform um. Der Normalenvektor der Ebene H ist n=221.
∣n∣=22+22+12=9=3
HHNF: 32x1+2x2+x3−8=0
4. Setze die Koordinaten des Aufpunktes der Geraden g in die Hessesche Normalenform ein:
d(g,k)=32⋅0+2⋅(−1)+1⋅1−8=3−9=∣−3∣=3
Antwort: Die beiden Geraden haben den Abstand 3LE.
Nachteil: Die Lotfußpunkte können nicht berechnet werden.
- 18
Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden
g:OX=501+r⋅−411 und
h:OX=537+s⋅21−2
Berechne ihren Abstand und die beiden Lotfußpunkte auf den Geraden.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe, dass der kürzeste Verbindungsvektor d zwischen den beiden Geraden senkrecht auf ihnen steht. Erstelle eine Vektorgleichung vom Punkt P∈g über den Verbindungsvektor d=d⋅n0 zum Punkt Q∈h. Die Lösung der Vektorgleichung liefert den Abstand d und die beiden Lotfußpunkte.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
Berechne zunächst den Normalenvektor
n=u×v=−411×21−2=−3−6−6
Der mit Faktor (−3) verkürzte Vektor lautet: n=122.
Sein Betrag ist: ∣n∣=12+22+22=1+4+4=9=3
Berechne den Normaleneinheitsvektor n0=∣n∣n=31⋅122=313232
Erstelle die Vektorgleichung (I) OP+d⋅n0=OQ
501+r⋅−411+d⋅313232=537+s⋅21−2
Sortiere die Vektorgleichung um:
0−3−6=+r⋅4−1−1+d⋅−31−32−32+s⋅21−2
Du erhältst 3 Gleichungen:
(I):0(II):−3(III):−6===4r−r−r−−−31d32d32d++−2ss2s
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren.
Rechne zum Beispiel: (II)−(III)
(I):0(II):−3(III):−6===4r−r−r−−−31d32d32d++−2ss2s
3=0r+0d+3s⇒s=1
Setze s=1 in Gleichung (I) und (II) ein:
(I′):0(II′):−3==4r−r−−31d32d++21
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um eine der Variablen zu eliminieren.
Rechne zum Beispiel: 4⋅(II′)+(I′)
(I′):04⋅(II′):−12==4r−4r−−31d38d++24
−12=0r−39d+6⇒−18=−3d⇒d=6
d=6 ist der gesuchte Abstand der beiden Geraden.
d eingesetzt in (II′)⇒−3=−r−312+1⇒−4=−r−4⇒r=0
Setze r=0 in g ein, um den Lotfußpunkt P zu berechnen: OXP=501+0⋅−411=501.
Setze s=1 in h ein, um den Lotfußpunkt Q zu berechnen: OXQ=537+1⋅21−2=745.
Antwort: Die beiden Geraden haben den Abstand d=6LE.
Die beiden Fußpunkte haben die Koordinaten P(5∣0∣1) und Q(7∣4∣5).
- 19
Gegeben sind eine Gerade g:OX=143+r⋅111 und eine Ebene
E: x1+2x2−3x3=6.
Berechne ihren Abstand und den Lotfußpunkt.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe eine Lotgerade.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand Punkt zur Ebene
Der Normalenvektor der Ebene E lautet: n=12−3. Mit dem Aufpunkt 143 der Geraden g erhältst du die Gleichung der Lotgeraden h.
h:OX=143+r⋅12−3
Berechne den Lotfußpunkt F, indem du die Lotgerade h mit der Ebene E schneidest. Setze h in E ein:
h∩E:1⋅(1+r)+2⋅(4+2r)−3⋅(3−3r)=6
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
1+r+8+4r−9+9r=6⇒ 14r=6⇒r=146=73
Setze r=73 in die Geradengleichung h ein, um den Lotfußpunkt F zu berechnen:
OXF=143+73⋅12−3=143+7376−79=710734712
Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten F(710∣734∣712).
Berechne den Vektor PF=OF−OP=710734712−143=7376−79.
Der Abstand d(g,E) zwischen der Geraden g und der Ebene E ist der Betrag des Lotvektors PF:
d(g,E)=PF=(73)2+(76)2+(−79)2=499+4936+4981=49126=718≈1,6
Antwort: Die Gerade hat von der Ebene den Abstand ≈1,6 LE und die Koordinaten des Lotfußpunktes lauten F(710∣734∣712).
Erstelle aus dem Normalenvektor der Ebene E und dem Aufpunkt (Stützvektor) der Geraden g eine Lotgerade h. Der Schnittpunkt von h mit E liefert den Lotfußpunkt.
- 20
Gegeben sind die Gerade g:OX=143+r⋅111 und die Ebene
E: x1+2x2−3x3=6
Die Gerade g ist parallel zur Ebene E.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe die Hessesche Normalenform.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform
Abstandsberechnung:
1. Erstelle die Hessesche Normalenform aus der Koordinatenform:
EHNF=12+22+(−3)2x1+22−3x3−6=14x1+22−3x3−6=0
2. Setze den Aufpunkt der Geraden 143 (in der Abbildung ist das der Punkt P) in die Hessesche Normalenform ein:
d(P,E)=141⋅1+2⋅4−3⋅3−6=14−6=146≈1,6
Der Abstand d(P,E) ist gleich dem Abstand d(g,E) der Geraden g von der Ebene E.
Antwort: Die Gerade g ist parallel zur Ebene E und hat von ihr einen Abstand von ≈1,6 LE.
Wähle einen Punkt auf der Geraden und bestimme den Abstand dieses Punktes von der Ebene.
- 21
Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen in der Koordinatenform:
E1: 2x1−3x2+x3=4 und E2: 2x1−3x2+x3=7
Berechne ihren Abstand mit Hilfe der Berechnung des Abstandes eines Punktes der Ebene E1 zur Ebene E2.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
1. Finde einen Punkt auf der Ebene E1: z.B. den Punkt P(1∣0∣2)
Prüfe, ob P∈E ist. Setze P in E ein: 2⋅1−3⋅0+1⋅2=4⇒2+2=4✓
2. Erstelle von E2 die Hessesche Normalenform:
EHNF2=22+(−3)2+122x1−3x2+x3−7=4+9+12x1−3x2+x3−7=142x1−3x2+x3−7=0
3. Berechne den Abstand des Punktes P von E2:
∣d(P,E2)∣=142⋅1−3⋅0+2−7=14−3=143≈0,8
Antwort: Die beiden Ebenen haben einen Abstand von ≈0,8LE.
- 22
Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen in der Koordinatenform:
E1: 2x1−3x2+x3=4 und E2: 2x1−3x2+x3=7. Berechne ihren Abstand.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe die Abstände beider Ebenen vom Koordinatenursprung.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand Punkt Ebene
1. Erstelle von beiden Ebenen die Hessesche Normalenform:
EHNF1=22+(−3)2+122x1−3x2+x3−4=142x1−3x2+x3−4=0
EHNF2=22+(−3)2+122x1−3x2+x3−7=142x1−3x2+x3−7=0
2. Setze in beide Hesseschen Normalenformen den Koordinatenursprung O(0∣0∣0) ein:
d(O,E1)=142⋅0−3⋅0+1⋅0−4=14−4=144
d(O,E2)=142⋅0−3⋅0+1⋅0−7=14−7=147
Bei beiden Berechnungen sind die Werte in den Betragsstrichen negativ, d.h. beide Ebenen liegen oberhalb des Koordinatenursprungs.
⇒d(E1,E2)=∣d(O,E1)−d(O,E2)∣=144−147=143≈0,8
Antwort: Die beiden Ebenen haben einen Abstand von ≈0,8LE.
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?
