Aufgaben

Vereinfache:

$$\frac{45x-20}{36x^2-16x}$$

Ausklammern

Um diesen Term zu vereinfachen, musst du ausklammern. Sieh dir dazu Zähler und Nenner einzeln an! Kandidaten zum Ausklammern findest du, indem du dir für jede Zahl die Primfaktorzerlegung anschaust und nach möglichst großen, gemeinsamen Faktoren suchst.

%%\frac{45x-20}{36x^2-16x}%% %%=%%

%%=\frac{5\cdot 9 \cdot x - 5\cdot 4}{4\cdot 9\cdot x^2-4\cdot 4\cdot x}%%

Klammere im Zähler %%5%% und im Nenner %%4x%% aus.

%%=\frac{5\left(9x-4\right)}{4x\left(9x-4\right)}%%

Kürze %%(9x-4)%% aus Zähler und Nenner.

%%=\frac5{4x}%%

$$\frac{\left(ab\right)^2}{a^3b-a^2b^3}$$

Terme umformen

Hier werden unter anderem Kenntnisse zu Termumformungen benötigt.

%%\frac{\left(ab\right)^2}{a^3b-a^2b^3}=%%

Wende im Zähler das Potenzgesetz %%(ab)^x=a^x\cdot b^x%% an und klammere im Nenner den Faktor %%a^2b%% aus.

%%=\frac{a^2b^2}{a^2b\left(a-b^2\right)}%%

Kürze %%\mathrm a^2\mathrm b%% .

%%=\frac b{a-b^2}%%

Vereinfache so weit wie möglich.

Zu text-exercise-group 4367:
Nish 2018-04-01 17:04:55
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Alle Teilaufgaben sollten mal auf mathematishe Korrektheit und noch bei Gelegenheit nach den aktuellen Aufgabenlösungsrichtlinien (http://de.serlo.org/90400) überarbeitet werden.
LG,
Nish
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%%\dfrac{a+b}b-\dfrac{a-b}a%%

Brüche vereinfachen

Bei dieser Aufgabe musst du wissen, wie du Brüche kürzt und erweiterst.

%%\frac{a+b}b-\frac{a-b}a=%%

Bilde den Hauptnenner ( %%a\cdot b%% ) und erweitere beide Brüche auf diesen.

%%=\frac{(a+b)\cdot a}{b\cdot a}-\frac{(a-b)\cdot b}{a\cdot b}%%

Fasse die beiden Brüche zu einen zusammen.

%%=\frac{(a+b)\cdot a-(a-b)\cdot b}{b\cdot a}%%

%%=\frac{a^2+ab-ab+b^2}{b\cdot a}%%

Berechne im Zähler %%ab-ab%%.

%%=\frac{a^2+b^2}{b\cdot a}%%

%%\dfrac c{c^2-8c+16}-\dfrac2{c^2-6c+8}%%

Terme vereinfachen

%%\frac c{c^2-8c+16}-\frac2{c^2-6c+8}=%%

Wende die 2. binomische Formel  und den Satz von Vieta an.

%%=\frac c{\left(c-4\right)^2}-\frac2{\left(c-4\right)(c-2)}%%

Bilde den Hauptnenner %%((c-4)^2(c-2))%%.

%%=\frac{c(c-2)-\left[2(c-4)\right]}{(c-4)^2(c-2)}%%

%%=\frac{c^2-2c-\left[2c-8\right]}{(c-4)^2(c-2)}%%

%%=\frac{c^2-2c-2c+8}{(c-4)^2(c-2)}%%

%%=\frac{c^2-4c+8}{(c-2)(c-4)^2}%%

%%\dfrac{b-c}{a^2+ac}-\dfrac{a-b}{ac+c^2}+\dfrac{a^2+c^2}{a^2c+ac^2}%%

%%\frac{b-c}{a^2+ac}-\frac{a-b}{ac+c^2}+\frac{a^2+c^2}{a^2c+ac^2}=%%

Mache die Nenner übersichtlicher, um den Hauptnenner leichter zu finden.

%%=\frac{b-c}{a \cdot (a+c)}-\frac{a-b}{c \cdot (a+c)}+\frac{a^2+c^2}{a \cdot c \cdot ( a+c)}%%

Bilde den Hauptnenner %%(a \cdot c \cdot (a+c))%% und erweitere beide Brüche auf diesen.

%%=\frac{c \cdot(b-c)}{a \cdot c\cdot (a+c)}-\frac{a \cdot (a-b)}{a \cdot c \cdot (a+c)}+\frac{a^2+c^2}{a \cdot c \cdot ( a+c)}=%%

Schreibe den Term auf einen Bruchstrich.

%%=\frac{c\cdot(b-c)-{a\cdot(a-b)+a^2+c^2}}{a\cdot c\cdot(a+c)}%%

Vereinfache den Zähler.

%%=\frac{bc-c^2-{a^2+ab+a^2+c^2}}{a\cdot c\cdot(a+c)}%%

%%=\frac{bc+ab}{a\cdot c\cdot(a+c)}%%

%%=\frac{b(a+c)}{a\cdot c\cdot(a+c)}%%

Kürze %%(a+c)%%

%%=\frac b{\mathrm{ac}}%%

%%\dfrac{7r^2s}{12\left(r-s\right)}\;\cdot\;\dfrac{(2\mathrm{sr}-2r)^2}{21\mathrm{rs}^2}%%

Brüche vereinfachen

Bei dieser Aufgabe musst du wissen, wie du Brüche kürzt und erweiterst.

%%\dfrac{7r^2s}{12\left(r-s\right)}\;\cdot\;\dfrac{(2\mathrm{sr}-2r)^2}{21\mathrm{rs}^2}%%

Kürze zunächst alles, was man schonmal kürzen kann. Hier die %%7%% mit der %%21%%, %%r^2%% mit %%r%% und %%s%% mit %%s^2%%.

%%=\dfrac{r}{12\left(r-s\right)}\;\cdot\;\dfrac{(2\mathrm{sr}-2r)^2}{3\mathrm{s}}%%

Nun kannst du in der Klammer %%(2sr-2r)^2%% die %%2r%% ausklammern.

%%=\dfrac{r}{12\left(r-s\right)}\;\cdot\;\dfrac{(2\mathrm{r}(s-1))^2}{3\mathrm{s}}%%

Löse nun die Klammer oben mithilfe der Potenzgesetze auf.

%%=\dfrac{r}{12\left(r-s\right)}\;\cdot\;\dfrac{4r^2(s-1)^2}{3\mathrm{s}}%%

Kürze die %%4%% mit der %%12%% und fasse zusammen.

%%=\dfrac{r^3(s-1)^2}{9s\left(r-s\right)}%%

%%\dfrac{\left(\frac66a^2\right)^3:\left(\frac{4x}{y^2}\right)^2}{\frac1{\left(2a^2b\right)^3\cdot\left(3x^2y^3\right)^3}}\;:\;\dfrac{2a^3b}5%%

Rechnen mit Brüchen

%%\dfrac{\left(\frac66a^2\right)^3:\left(\frac{4x}{y^2}\right)^2}{\frac1{\left(2a^2b\right)^3\cdot\left(3x^2y^3\right)^3}}\;:\;\dfrac{2a^3b}5=%%

Löse die Klammern mithilfe der Potenzgesetze auf.

%%=\dfrac{a^6:\frac{16x^2}{y^4}}{\frac1{8a^6b^3\cdot27x^6y^9}}\;:\;\dfrac{2a^3b}5%%

Multipliziere im Zähler des ersten Bruchs mit dem Kehrbruch.

%%=\dfrac{\displaystyle\frac{a^6y^4}{16x^2}}{\frac1{216a^6b^3x^6y^9}}\;:\;\dfrac{2a^3b}5%%

Der mittlere Bruchstrich entspricht einem "Geteilt", deshalb kannst du stattdessen mit dem Kehrbruch multiplizieren. Gleiches bei dem zweiten Bruch.

%%=\frac{a^6y^4}{16x^2}\cdot\;{\textstyle\frac{216a^6b^3x^6y^9}1}\cdot\;\frac5{2a^3b}%%

Kürze mit %%8a^3bx^2%%.

%%=\frac{a^6y^4}2\cdot\;{\textstyle\frac{27a^3b^2x^4y^9}1}\cdot\;\frac52%%

%%=\frac{135a^9b^2x^4y^{13}}4%%

%%\dfrac{\frac23b^2+\left(\frac{3b}2\right)^2-\frac56b^2}{\left(\frac43a^2b\right)^3}\;:\;\dfrac{\left(\frac{2a}3\right)^2}{\frac{5a^3}{b^2}}%%

Rechnen mit Brüchen

%%\dfrac{\frac23b^2+\left(\frac{3b}2\right)^2-\frac56b^2}{\left(\frac43a^2b\right)^3}\;:\;\dfrac{\left(\frac{2a}3\right)^2}{\frac{5a^3}{b^2}}=%%

Löse die Klammern mithilfe der Potenzgesetze auf.

%%=\dfrac{\frac23b^2+\frac{9b^2}4-\frac56b^2}{\frac{64}{27}a^6b^3}\;:\;\dfrac{\frac{4a^2}9}{\frac{5a^3}{b^2}}=%%

Multipliziere mit dem Kehrbruch.

%%=\dfrac{b^2\cdot\left(\frac23+\frac94-\frac56\right)}{\frac{64}{27}a^6b^3}\;\cdot\dfrac{\frac{5a^3}{b^2}}{\frac{4a^2}9}=%%

Multipliziere die beiden Brüche und kürze im Zähler mit %%b^2%%.

%%=\dfrac{5a^3\cdot\left(\frac23+\frac94-\frac56\right)}{\frac{64}{27}a^6b^3\cdot\frac{4a^2}9}%%

Bilde im Zähler den Hauptnenner (12) und erweitere alle Brüche auf diesen.

Multipliziere im Nenner aus.

%%=\dfrac{5a^3\cdot\left(\frac8{12}+\frac{27}{12}-\frac{10}{12}\right)}{\frac{256a^8b^3}{243}}%%

Berechne das Innere der Klammer %%\left(\frac{25}{12}\right)%%.

%%=\dfrac{\frac{125a^3}{12}}{\frac{256a^8b^3}{243}}%%

Der mittlere Bruchstrich entspricht einem "Geteilt", stattdessen kannst du deswegen mit dem Kehrbruch multiplizieren.

%%=\frac{125a^3}{12}\cdot\frac{243}{256a^8b^3}%%

Multipliziere und kürze mit %%3a^3%%.

%%=\frac{10125}{1024a^5b^3}%%

Berechne den Term mit Unbekannten und kürze so weit wie möglich.

$$\frac{13}{6h^2}+1-\frac4{21h}$$

%%\frac{13}{6h^2}+1-\frac4{21h}=%%

Bilde den Hauptnenner %%\left(42h^2\right)%% und erweitere die Brüche auf diesen.

%%=\frac{13\cdot7}{6h^2\cdot7}+\frac{1\cdot42h^2}{1\cdot42h^2}-\frac{4\cdot2h}{21h\cdot2h}%%

%%=\frac{91}{42h^2}+\frac{42h^2}{42h^2}-\frac{8h}{42h^2}%%

Schreibe die Brüche auf einen gemeinsamen Bruchstrich.

%%=\frac{42h^2-8h+91}{42h^2}%%

Der gut durchtrainierte Hobbyradrennfahrer Walter bewältigt einen 20 km langen Anstieg in 2,0 Stunden; seine Durchschnittsgeschwindigkeit dabei beträgt also %%10\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}%%. Oben angekommen dreht Walter sofort um und fährt die 20 km wieder zurück ins Tal.

Seine Durchschnittsgeschwindigkeit  %%\overline v%% für die Gesamtstrecke lässt sich mit dem Term %%\overline v=\frac{40\;\mathrm{km}}{2,0\;\mathrm{h}+t_\mathrm{Tal}}%% berechnen.

Kann Walter für die Gesamtstrecke eine Durchschnittsgeschwindigkeit von  %%20\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}%% erreichen?

Gegeben:  %%s_1=20\mathrm{km},\;t=2,0\mathrm{h},\;\overline{v_1}=10\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}},{\overline v}_\mathrm{Ges}=\frac{40\;\mathrm{km}}{2,0\;\mathrm{h}+t_\mathrm{Tal}}%%

%%\mathrm{ges}.:\;\mathrm{Annahme}:\;{\overline v}_\mathrm{Ges}=20\frac{\mathrm{km}}h\;\mathrm{korrekt}?%%

Annahme: %%{\overline v}_\mathrm{Ges}=20\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}%%

%%{\overline v}_\mathrm{Ges}=\frac{40\;\mathrm{km}}{2,0\;{\mathrm{h}}+t_\mathrm{Tal}}%%

Setze %%\;{\overline v}_\mathrm{Ges}=20\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}%% ein.

%%20\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=\frac{40\;\mathrm{km}}{2,0\;{\mathrm{h}}+t_\mathrm{Tal}}%%

%%\vert\cdot\;\left(2,0\;\mathrm{h}+t_\mathrm{Tal}\right)%%

%%20\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\cdot\left(2,0\;\mathrm{h}+t_\mathrm{Tal}\right)=40\;\mathrm{km}%%

%%\vert\;:\;20\frac{\mathrm{km}}h%%

%%2,0\;\mathrm{h}+t_\mathrm{Tal}=\frac{40\;\mathrm{km}}{20\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}}%%

%%2,0\;\mathrm{h}+t_\mathrm{Tal}=2\mathrm{h}%%

%%\vert\;-2,0\;\mathrm{h}%%

%%t_\mathrm{Tal}=2\mathrm{h}-2\mathrm{h}%%

%%t_\mathrm{Tal}=0\mathrm{h}%%

%%\;\;\rightarrow%%  Die Annahme kann nicht korrekt sein, da Walter nicht in 0h den Berg wieder hinabfahren kann.

Vereinfache beide Terme, falls dies möglich ist.

a) %%\dfrac{9x}{3x-6x^2}%%

b) %%\dfrac4{4+x^2}%%

Begründe, dass die Termwerte von Teilaufgabe b) nicht größer als 1 werden können, unabhängig davon welche Zahl man für %%x%% einsetzt.

a) %%\frac{9x}{3x-6x^2}=%%

%%=\frac{9x}{3x\;(1-2x)}%%

kürze 3%%x%%.

%%=\frac3{1-2x}%%

b) %%\frac4{4+x^2}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% keine Vereinfachung möglich

Begründung, warum die Termwerte von Teilaufgabe b) nie größer als 1 werden können

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% egal welche Zahl man für %%x%% einsetzt, bleibt der Nenner immer größer als der Zähler, da negative Zahlen im Quadrat positiv werden.

Fasse jeweils zu einem Bruch zusammen. In welchen Fällen ändert sich durch die Umformung die maximale Definitionsmenge?

$$1-\frac{2-y}y$$

%%1-\frac{2-y}y%%

%%D_f=ℝ\backslash\left\{0\right\}%%

Zusammenfasssung zu einem Bruch

%%1-\frac{2-y}y=%%

Bilde den Hauptnenner.

%%=\frac{y-\left(2-y\right)}y%%

%%=\frac{y-2+y}y%%

%%=\frac{2y-2}y%%

Neue Definitionsmenge bestimmen

%%\Rightarrow%% Die maximale Definitionsmenge bleibt gleich.

$$\frac x{x-x^2}-\frac3{1-x}$$

%%\frac x{x-x^2}-\frac3{1-x}=%%

Klammere %%x%% aus.

%%=\frac x{x\cdot\left(1-x\right)}-\frac3{1-x}%%

Lese die Definitionslücken ab.

%%D_f=ℝ\backslash\left\{1;0\right\}%%

%%\frac x{x\cdot\left(1-x\right)}-\frac3{1-x}=%%

Kürze mit %%x%%.

%%=\frac1{1-x}-\frac3{1-x}%%

%%=-\frac2{1-x}%%

%%-\frac2{1-x}%%

Lese die Definitionslücke ab.

%%D_f=ℝ\backslash\left\{1\right\}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der Definitionsbereich ändert sich.

$$\frac t{t-a}+\frac2t+1$$

%%\frac t{t-a}+\frac2t+1%%

Die Zähler dürfen nicht 0 sein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;t\neq a\wedge t\neq0%%

%%\frac t{t-a}+\frac2t+1=%%

Bilde den Hauptnenner %%t\cdot\left(t-a\right)%% und erweitere alle Brüche auf diesen.

%%=\frac{t\cdot t}{t\cdot\left(t-a\right)}+\frac{2\cdot\left(t-a\right)}{t\cdot\left(t-a\right)}+\frac{t\cdot\left(t-a\right)}{t\cdot\left(t-a\right)}%%

%%=\frac{t^2+2\cdot\left(t-a\right)+t\cdot\left(t-a\right)}{t\cdot\left(t-a\right)}%%

Multipliziere im Zähler die Klammern aus.

%%=\frac{2t^2+2t-2a-at}{t\cdot\left(t-a\right)}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der Definitionsbereich verändert sich nicht.

Verändern würde er sich nur, wenn sich %%t%% oder %%a%% kürzen lassen würden.

%%\frac{a-3}{a^2-3a}\cdot\frac{2a}{a+3}%%

Gebrochen-rationale Funktionen

Definitionsmenge bestimmen

%%\frac{a-3}{a^2-3a}\cdot\frac{2a}{a+3}%%

%%=\frac{a-3}{a(a-3)}\cdot\frac{2a}{a+3}%%

%%D_f=ℝ\backslash\left\{-3;\;0;\;3\right\}%%

 

 

 

Zusammenfassung zu einem Bruch

 

%%\frac{a-3}{a(a-3)}\cdot\frac{2a}{a+3}=%%

%%=\frac{\left(a-3\right)\cdot2a}{a\left(a-3\right)\cdot\left(a+3\right)}%%

Bruch mit %%a\cdot\left(a-3\right)%% kürzen.

%%=\frac2{a+3}%%

 

 

Neue Definitionsmenge

%%D_f=ℝ\;\backslash\;\left\{-3\right\}%%

 

%%1-\frac{x-3}{x+2}:\frac{3-x}{x+2}%%

Gebrochen-rationale Funktionen

Definitionsmenge

%%1-\frac{x-3}{x+2}:\frac{3-x}{x+2}=%%

mit dem Kehrwert multiplizieren

%%=1-\frac{x-3}{x+2}\cdot\frac{x+2}{3-x}%%

%%D_f=ℝ\backslash\left\{-2;\;3\right\}%%

 

 

 

Zusammenfassung zu einem Bruch

 

%%1-\frac{x-3}{x+2}:\frac{3-x}{x+2}=%%

mit dem Kehrwert multiplizieren

%%=1-\frac{x-3}{x+2}\cdot\frac{x+2}{3-x}=%%

(x+2)  kürzen

%%=1-\frac{x-3}{3-x}=%%

-1 im Zähler ausklammern

%%=1-\frac{-(3-x)}{3-x}=%%

(3-x)  kürzen

%%=1-(-1)=%%

%%=2%%

 

Neue Definitionsmenge bestimmen

%%D_f=ℝ%%

 

Vereinfache so weit wie möglich.

%%2-\frac{2x}{x-1}%%

Bruchterme zusammenfassen

 

%%2-\frac{2x}{x-1}=%%

Hauptnenner bilden.

%%=\frac{2\left(x-1\right)}{\;\;x-1}-\frac{2x}{x-1}=%%

 

%%=\frac{2x-2-2x}{x-1}=%%

 

%%=\frac{-2}{x-1}=%%

Wenn man will, kann man zur besseren Darstellung das Minuszeichen vor den Bruchstrich ziehen.

%%=-\frac2{x-1}%%

 

 

%%\frac3{z+3}-\frac3{z-3}%%

Bruchterme zusammenfassen

%%\frac3{z+3}-\frac3{z-3}=%%

Hauptnenner bilden und alle Brüche mit diesem erweitern.

%%=\frac{3\cdot\left(z-3\right)}{\left(z+3\right)\left(z-3\right)}-\frac{3\cdot\left(z+3\right)}{\left(z-3\right)\left(z+3\right)}=%%

Ausmultiplizieren.

%%=\frac{3z-9}{\left(z+3\right)\left(z-3\right)}-\frac{3z+9}{\left(z+3\right)\left(z-3\right)}=%%

Auf einen Bruchstrich schreiben. Klammer setzen.

%%=\frac{3z-9-\left(3z+9\right)}{\left(z+3\right)\left(z-3\right)}=%%

Klammer im Zähler auflösen.

%%=\frac{3z-9-3z-9}{\left(z+3\right)\left(z-3\right)}=\;%%

Zähler zusammenfassen.

%%=\frac{-18}{\left(z+3\right)\left(z-3\right)}%%

 

Gegeben ist der Term %%T\left(x\right)=\frac{5-2x}{x-3}%% .

a) Erstelle eine Tabelle für die Werte von %%T(x)%%, wenn für %%x%% die Zahlen %%-4,5%%; %%-4%%; %%-\frac32%% ; %%0%%; %%1%%; %%2\frac12%% ; %%3\frac13%% sowie %%4%% eingesetzt werden.

b) Welche Probleme bereitet %%x=3%% ?

Teilaufgabe a)

 

Terme aufstellen

%%x=-4,5%%

 

%%T\left(x\right)=\frac{5-2x}{x-3}%%

Für  %%x\;-4,5%% einsetzen.

%%T\left(-4,5\right)=\frac{5-2\cdot\left(-4,5\right)}{\left(-4,5\right)-3}=%%

 

                  %%=\frac{5-\left(-9\right)}{-7,5}=%%

 

                  %%=\frac{14}{-7,5}=%%

Mit 2 erweitern.

                  %%=-\frac{28}{15}%%

 

 

 

%%x=-4%%

 

%%T\left(x\right)=\frac{5-2x}{x-3}%%

Für  %%x\;-4%% einsetzen.

%%T\left(-4\right)=\frac{5-2\cdot\left(-4\right)}{\left(-4\right)-3}=%%

 

              %%=\frac{5+8}{-7}=%%

 

              %%=-\frac{13}7%%

 

 

 

%%x=-\frac32%%

 

%%T\left(x\right)=\frac{5-2x}{x-3}%%

Für %%x\;-\frac32%% einsetzen.

%%T\left(-\frac32\right)=\frac{5-2\cdot\left(-\frac32\right)}{x-\left(-\frac32\right)}=%%

Im Nenner den Hauptnenner bilden.  %%\rightarrow\;x\;\mathrm{mit}\;2%% erweitern .

                 %%=\frac{5-\left(-\frac62\right)}{\frac{2x}2+\frac32}=%%

Im Zähler den Hauptnenner bilden. %%\;\rightarrow\;\;5\;\mathrm{mit}\;2%% erweitern .

                 %%=\frac{\frac{10}2+\frac62}{\frac{2x+3}2}=%%

 

                 %%=\frac{\frac{16}2}{\frac{2x+3}2}=%%

Zähler vereinfachen. Mit 2 kürzen .

                 %%=\frac8{\frac{2x+3}2}=%%

Zähler mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren.

                 %%=8\cdot\frac2{2x+3}%%

 

                 %%=\frac{16}{2x+3}%%

 

 

 

%%x=0%%

 

%%T\left(x\right)=\frac{5-2x}{x-3}%%

Für %%x\;0%% einsetzen.

%%T\left(0\right)=\frac{5-2\cdot0}{0-3}=%%

 

          %%=\frac{5-0}{-3}=%%

 

          %%=-\frac53%%

 

 

 

%%x=1%%

 

%%T\left(x\right)=\frac{5-2x}{x-3}%%

Für %%x\;1%% einsetzen.

%%T\left(1\right)=\frac{5-2\cdot1}{1-3}=%%

 

          %%=\frac{5-2}{-2}=%%

 

          %%=-\frac32%%

 

 

 

%%x=2\frac12%%

 

%%T\left(x\right)=\frac{5-2x}{x-3}%%

Für %%x\;2\frac12%% einsetzen.

%%T\left(2\frac12\right)=\frac{5-2\cdot\left(2\frac12\right)}{2\frac12-3}=%%

Umformen der ganzen Zahl 2 zu einem Bruch .

                %%=\frac{5-2\cdot\frac52}{\frac52-3}=%%

Im Nenner den Hauptnenner bilden. 3 mit 2 erweitern .

                %%=\frac{5-2\cdot\frac52}{\frac52-\frac62}=%%

 

                %%=\frac{5-\frac{10}2}{-\frac12}=%%

Zähler vereinfachen. Mit 2 kürzen .

                %%=\frac{5-5}{-\frac12}=%%

o geteilt durch irgendeine Zahl ist immer 0.

                %%=0%%

 

 

 

%%x=3\frac13%%

 

%%T\left(x\right)=\frac{5-2x}{x-3}%%

Für %%x\;3\frac13%%

%%T\left(3\frac13\right)=\frac{5-2\cdot3\frac13}{3\frac13-3}=%%

Im Zähler die ganze Zahl 3 in einen Bruch umformen.

                %%=\frac{5-2\cdot\frac{10}3}{3\frac13-3}=%%

 

                %%=\frac{5-\frac{20}3}{3\frac13-3}=%%

Im Zähler 5 mit 3 erweitern.

                %%=\frac{\frac{15}3-\frac{20}3}{3\frac13-3}=%%

                %%=\frac{-\frac53}{\;\;\frac13}=%%

                %%=-\frac53\cdot\frac31=%%

Um 3 kürzen.

                %%=5%%

 

 

 

%%x=4%%

 

%%T\left(x\right)=\frac{5-2x}{x-3}%%

Für %%x\;4%% einsetzen.

%%T\left(4\right)=\frac{5-2\cdot4}{4-3}=%%

 

          %%=\frac{5-8}1=%%

 

          %%=-3%%

 

 

Werte für x %%-4,5%% %%-4%% %%-\frac32%% %%0%% %%1%% %%2\frac12%% %%3\frac13%% %%4%%
%%T\left(x\right)=\frac{5-2x}{x-3}%% %%=-\frac{28}{15}%% %%x=-\frac32%% %%T\left(-\frac32\right)=\frac{16}{2x+3}%% %%T\left(0\right)=-\frac53%% %%T\left(1\right)=-\frac32%% %%T\left(2\frac12\right)=0%% %%T\left(3\frac13\right)=5%% %%T\left(4\right)=-3%%

 

Teilaufgabe b)

 

%%T\left(x\right)=\frac{5-2x}{x-3}%%

 

Würde für %%x\;3%% eingesetzt werden, stünde im Nenner %%0%% .

 

Da aber im Nenner nie %%0%% stehen darf, ist dort eine Definitionslücke .

 

Gegeben ist der Term  %%T\left(x\right)=-\frac12x+5%% . Setze für %%x%% die Werte 1 ; 2 ; 2,5 ; %%3\frac13%% ; 6 ; 8 ein und trage die Termwerte in einer Tabelle zusammen. Der Tabelle kannst du Wertepaare %%(x | T(x) )%%, z. B. %%(2 | T(2) )%%, entnehmen und als Koordinaten des Punktes %%(2 |4)%% deuten.

  1. Trage für die Wertepaare aus der Tabelle die zugehörigen Punkte in ein Koordinatensystem ein.

  2. Zeichne vom Punkt %%(2 | T(2) )%% die Lote auf die %%x%%- und %%y%%-Achse; es entsteht ein Rechteck. Zeichne auch für den Punkt %%(6 | T(6))%% das entsprechende Rechteck ein. Suche den Wert für %%x%%, bei dem das zu %%(x | T(x))%% gehörende Rechteck einen möglichst großen Flächeninhalt hat

Terme und Gleichungen

a. Tabelle 

%%1%%

%%2%%

%%2,5%%

%%3\frac13%%

%%6%%

%%8%%

%%T(x)=-\frac12 x+5%%

%%4,5%%

%%4%%

%%4\frac14%%

%%4\frac23%%

%%2%%

%%1%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2137_JOpfS4BTJ7.xml

%%x\cdot\left(-\frac12x+5\right)=%%

%%=-\frac12x^2+5x%%

%%=-\frac12\left(x^2-10x\right)+0%%

Klammere %%-\frac12%% aus.

%%=-\frac12\left(x^2-10x+25-25\right)+0%%

Ergänze mit %%\left(\frac{10}2\right)^2=25%%.

%%=-\frac12\left(\left(x-5\right)^2-25\right)+0%%

Fasse mit der Bionomischen Minusformel zusammen.

%%=-\frac12\left(x-5\right)^2+12,5%%

Multipliziere teilweise aus.

%%x=5%%

%%y=12,5%%

Der %%y%%- Wert 12,5 ist der Extremwert des Flächeninhaltes d.h. der Flächeninhalt des Rechtecks ist bei den Werten %%x%% = 5 und %%y%% = 12,5 am größten und beträgt 12,5 %%\mathrm{cm}^2%%

Multipliziere die folgenden Brüche.

$$\frac{17r^4s^3}{54t^5}\;\cdot\;\frac{24st^2}{85r^2}$$

%%\frac{17r^4s^324st^2}{54t^585r^2}=%%

Klammere %%r^2%% aus.

%%=\frac{r^2(17r^2s^324st^2)}{54t^585r^2}%%

Kürze mit %%r^2%%.

%%=\frac{17r^2s^324st^2}{54t^585}%%

Kürze mit %%t^2%%.

%%=\frac{17r^2s^3 24s}{54t^3 85}%%

%%=\frac{408r^2s^4}{4590t^3}%%

%%\vert\;:102%%

%%=\frac{4r^2s^4}{45t^3}%%

$$\frac{7m^2}{12n^3}\;\cdot\;\left(\frac{3n^2}{7m}\right)^2$$

%%\frac{7m^2}{12n^3}\cdot\left(\frac{3n^2}{7m}\right)^2=%%

Quadriere den rechten Bruch.

%%=\frac{7m^29n^4}{12n^349m^2}%%

Kürze mit %%m^2%%.

%%=\frac{7\cdot9n^4}{12n^3\cdot49}%%

Kürze mit 7.

%%=\frac{9n^4}{12n^3\cdot7}%%

Kürze mit %%n^3%%.

%%=\frac{9n}{12\cdot7}%%

Kürze mit 3.

%%=\frac{3n}{28}%%

Dividiere die folgenden Brüche.

%%\dfrac{9c}{10ab}\;:\;\dfrac{6ac}{25b}%%

%%\frac{9c}{10\mathrm{ab}}\;:\;\frac{6\mathrm{ac}}{25b}=%%

%%=\frac{9c}{10ab}\;\cdot\;\frac{25b}{6ac}%%

%%=\frac{(9c)\cdot(25b)}{(10ab)\cdot(6ac)}%%

%%=\frac{225cb}{60a^2bc}%%

Kürze %%cb%% und %%bc%%.

%%=\frac{225}{60a^2}%%

Kürze mit 15.

%%=\frac{15}{4a^2}%%

Benutze binomische Formeln um die Brüche zu kürzen

$$\frac{x^4+18x^2+89}{\left(x^2+9\right)^2}$$

%%\frac{x^4+18x^2+89}{\left(x^2+9\right)^2}%%

Der Zähler ist fast eine binomische Formel, bis auf die Zahl 89. Wäre die Zahl 81, könntest du die 1. binomische Formel anwenden.

%%=\frac{x^4+18x^2+81+8}{\left(x^2+9\right)^2}%%

Teile den Bruch in 2 Brüche auf.

%%=\frac{x^4+18x^2+81}{\left(x^2+9\right)^2}+\frac8{\left(x^2+9\right)^2}%%

Wende im Zähler des ersten Bruches die 1. binomische Formel an.

%%=\frac{\left(x^2+9\right)^2}{\left(x^2+9\right)^2}+\frac8{\left(x^2+9\right)^2}%%

Kürze.

%%=1+\frac8{\left(x^2+9\right)^2}%%

Vereinfache:

%%\frac{{\displaystyle\frac1{x^2}}-2}{1-\displaystyle\frac1x}%%

%%\frac{{\displaystyle\frac1{x^2}}-2}{1-\displaystyle\frac1x}=%%

Bringe Zähler und Nenner auf den Hauptnenner.

%%=\frac{\displaystyle\frac{1-2x^2}{x^2}}{\displaystyle\frac{x-1}x}%%

%%=\frac{1-2x^2}{x^2}\cdot\frac x{x-1}%%

%%=\frac{\left(1-2x^2\right)x}{x^2\left(x-1\right)}%%

%%=\frac{1-2x^2}{x\left(x-1\right)}%%

Vereinfache:

$$\frac{74x-34}{x+1}\cdot\frac{x^2+1}{74x+34}$$

%%\frac{74x-34}{x+1}\cdot\frac{x^2+1}{74x+34}=%%

%%=\frac{\left(74x-34\right)\left(x^2+1\right)}{\left(x+1\right)\left(74x+34\right)}%%

Klammere die 2 aus.

%%=\frac{2\left(37x-17\right)\left(x^2+1\right)}{\left(x+1\right)\cdot2\left(37x+17\right)}%%

Kürze die 2.

%%=\frac{\left(37x-17\right)\left(x^2+1\right)}{\left(x+1\right)\left(37x+17\right)}%%

Du kannst nicht weiter vereinfachen, da %%x^2+1%% nicht faktorisiert und nicht weiter gekürzt werden kann.

$$\frac{az}{z-a}:\frac{a^2z^3}{az-a^2}$$

%%\frac{az}{z-a}:\frac{a^2z^3}{az-a^2}=%%

Klammere a im Nenner des zweiten Bruchs aus.

%%=\frac{az}{z-a}:\frac{a^2z^3}{a(z-a)}%%

Division durch einen Bruch %%\rightarrow%% Multiplikation mit dem Kehrwert.

%%=\frac{az\cdot a\left(z-a\right)}{\left(z-a\right)\cdot a^2z^3}%%

Fasse die Faktoren mit Potenzschreibweise zusammen.

%%=\frac{a^2\cdot z\left(z-a\right)}{\left(z-a\right)\cdot a^2z^3}%%

Kürze %%a^2z\;(z-a)%%.

%%=\frac1{z^2}%%

Vereinfache:

$$\frac1{x-1}-\frac1{x+2}$$

%%\frac1{x-1}-\frac1{x+2}%% %%=%%

Erweitere auf den Hauptnenner (x-1)(x+2).

%%=\frac{x+2}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}-\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}%%

%%=\frac{x+2-\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}%%

%%=\frac3{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}%%

$$\frac{6x^2+5}{36x^2-16x}+\frac{3x}{8-18x}$$

%%\frac{6x^2+5}{36x^2-16x}+\frac{3x}{8-18x}=%%

Klammere 4x im ersten Bruch und -2 im zweiten Bruch aus.

%%=\frac{6x^2+5}{4x\left(9x-4\right)}-\frac{3x}{2\left(9x-4\right)}%%

Erweitere auf den Hauptnenner 4x (9x-4).

%%=\frac{6x^2+5}{4x\left(9x-4\right)}-\frac{3x2x}{4x\left(9x-4\right)}%%

%%=\frac{6x^2+5-6x^2}{4x\left(9x-4\right)}%%

%%=\frac5{4x\left(9x-4\right)}%%

$$\frac{6x+11}{2x+4}-\frac{2x+5}{x^2+2x}-3$$

%%\frac{6x+11}{2x+4}-\frac{2x+5}{x^2+2x}-3=%%

Klammere 2 im ersten Bruch und x im zweiten Bruch aus.

%%=\frac{6x+11}{2\left(x+2\right)}-\frac{2x+5}{x\left(x+2\right)}-3%%

Erweitere auf den Hauptnenner %%2x(x+2)%%.

%%=\frac{\left(6x+11\right)x}{2x\left(x+2\right)}-\frac{\left(2x+5\right)\cdot2}{2x\left(x+2\right)}-\frac{3\cdot2x\left(x+2\right)}{2x\left(x+2\right)}%%

%%=\frac{6x^2+11x-\left(4x+10\right)-\left(6x^2+12x\right)}{2x\left(x+2\right)}%%

%%=\frac{6x^2+11x-4x-10-6x^2-12x}{2x\left(x+2\right)}%%

Subtrahiere im Zähler.

%%=\frac{-5x-10}{2x\left(x+2\right)}%%

Klammere %%- 5%% im Zähler aus.

%%=\frac{-5\left(x+2\right)}{2x\left(x+2\right)}%%

Kürze (x+2).

%%=-\frac5{2x}%%

Bringe auf einen Bruchstrich: %%\frac1{R_1}+\frac1{R_2}+\frac1{R_1+R_2}%%

Kürze vollständig

%%\dfrac{x^4-2x^3-15x^2+32x-16}{x^3-3x^2+3x-1}%%

Faktorisieren

Faktorisiere den Nenner durch Ermittlung der Nullstellen.

 

%%\textstyle x^3-3x^2+3x-1%%

Rate die erste Nullstelle. Kandidat %%x=1%%

%%\textstyle1^3-3\cdot1^2+3\cdot1-1=1-3+3-1=0%%

Polynomdivision durch %%x-1%%.

%%(x^3-3x^2+3x-1):(x-1)=%%

Führe die Polynomdivison durch.

%%= x^2-1%%

Berechne weitere Nullstellen.

%%x^2-1=0%%

Löse auf.

%%x^2=1\;\Rightarrow x=\pm1%%

%%\textstyle x^3-3x^2+3x-1=\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)%%

Zähler faktorisieren

%%x^4-2x^3-15x^2+32x-16%%

Rate die erste Nullstelle. Kandidat %%x=1%%

%%\textstyle1^4-2\cdot1^3-15\cdot1^2+32\cdot1-16=%%

%%\textstyle=1-2-15+32-16=0%%

Führe Polynomdivision durch %%x-1%% aus.

%%\left(x^4-2x^3-15x^2+32x-16\right):\left(x-1\right)=%%

%%=\left(x^3-x^2-16x+16\right)%%

Rate weitere Nullstelle. Kandidat wieder %%x=1%%.

%%1^3-1^2-16\cdot1+16=0%%

Polynomdivision durch %%x-1%% .

%%\left(x^3-x^2-16x+16\right):\left(x-1\right)=%%

%%= x^2-16%%

Berechne weitere Nullstellen.

%%x=\pm4%%

%%x^4-2x^3-15x^2+32x-16=\left(x-1\right)^2\cdot\left(x+4\right)\cdot\left(x-4\right)%%

Zähler durch Nenner

%%\frac{x+1}{\left(x-4\right)\cdot\left(x+4\right)}%%

Vereinfache folgende Funktionen so weit wie möglich, indem du die binomischen Formel anwendest.

%%\displaystyle f(x)= \frac{(x+1)\cdot (x-1)+1}{x^3}%%

Vereinfache den Zähler, indem du die binomische Formel anwendest.

%%\displaystyle f(x)= \frac{(x+1)\cdot(x-1)+1}{x^3}%%

Wende die 3. binomische Formel im Zähler an.

%%\phantom{f(x)}\displaystyle = \frac{x^2-1+1}{x^3}%%

Fasse den Zähler zusammen.

%%\phantom{f(x)}\displaystyle = \frac{x^2}{x^3}%%

Kürze den Bruch mit %%\displaystyle x^2%%.

%%\phantom{f(x)}\displaystyle = \frac{1}{x}%%

Die vollständig vereinfachte Funktion ist %%\space%% %%f(x)\displaystyle = \frac{1}{x}%%.

%%g(z)=\dfrac{(z+3)^2-6z-9}{3z^3}%%

Vereinfache den Zähler, indem du die binomische Formel anwendest.

%%g(z)=\dfrac{(z+3)^2-6z-9}{3z^3}%%

Wende die 1. binomische Formel im Zähler an.

%%\phantom{g(z)}=\dfrac{z^2+6z+9-6z-9}{3z^3}%%

Fasse den Zähler zusammen.

%%\phantom{g(z)}=\dfrac{z^2}{3z^3}%%

Kürze den Faktor %%z^2%%.

%%\phantom{g(z)}=\dfrac{1}{3z}%%

Die vollständig vereinfachte Funktion ist %%\space \displaystyle g(z)=\dfrac{1}{3z}%%.

%%\displaystyle h(t)= \frac{t^2-8t+16}{2(t-4)}%%

Vereinfache den Zähler, indem du die binomische Formel anwendest.

%%\displaystyle h(t)= \frac{t^2-8t+16}{2(t-4)}%%

Wende die 2. binomische Formel im Zähler an.

%%\phantom {h'(t)}\displaystyle = \dfrac {(t-4)^2}{2(t-4)}%%

Kürze den Bruch mit %%\displaystyle (t-4)%%.

%%\phantom {h'(t)}\displaystyle = \dfrac {t-4}{2}%%

Die vollständig vereinfachte Funktion ist %%\space%% %%h(t)\displaystyle = \frac{t-4}{2}%%.

Vereinfache die Funktionen, indem du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringst.

%%\displaystyle f(x)= \frac {5x}{4}+\frac{1}{2}%%

Bilde den gemeinsamen Nenner der beiden Brüche, um sie addieren zu können.

%%\displaystyle f(x)= \frac {5x}{4}+\frac{1}{2}%%

Erweitere %%\dfrac{1}{2}%% mit %%\color{#ff6600}2%%, um den gemeinsamen Nenner %%4%% zu erhalten.

%%\displaystyle \phantom{f(x)}= \frac {5x}{4}+\frac{1\cdot\color{#ff6600}2}{2\cdot\color{#ff6600}2}%%

Verrechne den 2. Bruch.

%%\displaystyle \phantom{f(x)}= \frac {5x}{4}+\frac{2}{4}%%

Addiere die beiden Brüche.

%%\displaystyle \phantom{f(x)}= \frac {5x+2}{4}%%

Die Funktion, die du hier erhältst, ist %%\displaystyle f(x)= \frac {5x+2}{4}%% .

%%\displaystyle g(x)= \frac{6}{x}-\frac{2}{3x^2}%%

Bilde den gemeinsamen Nenner der beiden Brüche, um sie subtrahieren zu können.

%%\displaystyle g(x)= \frac{6}{x}-\frac{2}{3x^2}%%

Erweitere %%\dfrac{6}{x}%% mit %%\color{#ff6600}{3x}%%, um den gemeinsamen Nenner %%3x^2%% zu erhalten.

%%\displaystyle \phantom{g(x)}= \frac{6\cdot \color{#ff6600}{3x}}{x\cdot \color{#ff6600}{3x}}-\frac{2}{3x^2}%%

Verrechne den 1. Bruch.

%%\displaystyle \phantom{g(x)}= \frac{18x}{3x^2}-\frac{2}{3x^2}%%

Subtrahiere die beiden Brüche.

%%\displaystyle \phantom{g(x)}= \frac{18x-2}{3x^2}%%

Die Funktion, die du hier erhältst, ist %%\displaystyle g(x)= \frac{18x-2}{3x^2}%% .

%%\displaystyle h(x)= \frac{1}{(x+1)}-\frac{x}{(x+1)^2}%%

Bilde den gemeinsamen Nenner der beiden Brüche, um die Funktion vereinfachen zu können.

%%\displaystyle h(x)= \frac{1}{(x+1)}-\frac{x}{(x+1)^2}%%

Erweitere %%\displaystyle \frac{1}{(x+1)}%% mit %%\color{#ff6600}{(x+1)}%% um den gemeinsamen Nenner %%\color{#ff6600}{(x+1)^2}%% zu erhalten.

%%\displaystyle \phantom{h(x)}= \frac{1\cdot\color{#ff6600}{(x+1)}}{(x+1)\cdot\color{#ff6600}{(x+1)}}-\frac{x}{(x+1)^2}%%

Verrechne den 1. Bruch.

%%\displaystyle \phantom{h(x)}= \frac{{x+1}}{(x+1)^2}-\frac{x}{(x+1)^2}%%

Subtrahiere die beiden Brüche.

%%\displaystyle\phantom{ h(x)}= \frac{x+1-x}{(x+1)^2}%%

Verrechne den Zähler.

%%\displaystyle \phantom{h(x)}= \frac{1}{(x+1)^2}%%

Die vereinfachte Funktion, die du hier erhältst, ist %%\displaystyle h(x)= \frac{1}{(x+1)^2}%% .

Vereinfache die Funktion durch Ausklammern und Kürzen.

%%\displaystyle f(x)= \frac{4x^2+2x}{2x^2(2x+1)}%%

Vereinfache die Funktion, indem du zuerst ausklammerst und danach kürzt.

%%\displaystyle f(x)= \frac{4x^2+2x}{2x^2(2x+1)}%%

Klammere den Faktor %%\color{#ff6600}{2x}%% im Zähler aus.

%%\phantom {f(x)}= \dfrac{\color{#ff6600}{2x}\cdot (2x+1)}{2x\cdot x\cdot(2x+1)}%%

Kürze den Bruch mit dem Faktor %%2x%%.

%%\phantom {f(x)}= \dfrac{2x+1}{ x\cdot(2x+1)}%%

Kürze den Bruch mit dem Faktor %%2x+1%%.

%%\phantom {f(x)}= \dfrac{1}{x}%%

Die vereinfachte Funktion ist %%\space \displaystyle f(x)=\frac{1}{x}%%.

%%\displaystyle g(x)= \frac{2x^2-2}{6}%%

Vereinfache die Funktion, indem du zuerst ausklammerst und danach kürzt.

%%\displaystyle g(x)= \frac{2x^2-2}{6}%%

Klammere den Faktor %%\color{#ff6600}{2}%% im Zähler und Nenner aus.

%%\phantom {g(x)}= \dfrac{\color{#ff6600}{2}\cdot (x^2-1)}{\color{#ff6600}{2}\cdot 3}%%

Kürze den Bruch mit dem Faktor %%{2}%%.

%%\phantom {g(x)}= \dfrac{x^2-1}{3}%%

Die vereinfachte Funktion ist %%\space \displaystyle g(x)=\frac{x^2-1}{3}%%.

%%\displaystyle h(x)= \frac{12x^3+4x}{4x^2+8x}%%

Vereinfache die Funktion, indem du zuerst ausklammerst und danach kürzt.

%%\displaystyle h(x)= \frac{12x^3+4x}{4x^2+8x}%%

Klammere den Faktor %%\color{#ff6600}{4x}%% im Zähler und Nenner aus.

%%\phantom {h(x)}= \dfrac{\color{#ff6600}{4x}\cdot (3x^2+1)}{\color{#ff6600}{4x}\cdot (x+2)}%%

Kürze den Bruch mit dem Faktor %%4x%%.

%%\phantom {h(x)}= \dfrac{3x^2+1}{x+2}%%

Die vereinfachte Funktion ist %%\space \displaystyle h(x)= \dfrac{3x^2+1}{x+2}%%.

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