Aufgaben zum Rechnen mit Bruchtermen

Vereinfache:

\displaystyle \frac{45x-20}{36x^2-16x}

\displaystyle \frac{\left(ab\right)^2}{a^3b-a^2b^3}

2

Vereinfache so weit wie möglich.

$\dfrac{a+b}b-\dfrac{a-b}a$

$\dfrac c{c^2-8c+16}-\dfrac2{c^2-6c+8}$

$\dfrac{b-c}{a^2+ac}-\dfrac{a-b}{ac+c^2}+\dfrac{a^2+c^2}{a^2c+ac^2}$

$\dfrac{10u^2-11u-6}{25u^2-4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenform einer quadratischen Gleichung
Nenner vereinfachen
$\frac{10u^2-11u-6}{25u^2-4}$
$\frac{10u^2-11u-6}{(5u-2)\cdot (5u+2)}$
Die dritte binomische Formel auf den Nenner anwenden.
Zähler seperat faktorisieren
${10u^2-11u-6}=0$
Zähler separat mit Hilfe der Mitternachtsformel faktorisieren.
$u_{1{,}2}=\frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2-4 \cdot 10 \cdot (-6)}}{2 \cdot 10}$
$u_{1{,}2}=\frac{11 \pm \sqrt{121+240}}{20}$
$u_{1{,}2}=\frac{11 \pm \sqrt{361}}{20}$
$u_{1{,}2}=\frac{11 \pm 19}{20}$
Eine quadratische Gleichung der Form $a x^{2} + b x + c = 0$ besitzt Nullstellen bei
$x_{1{,}2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$u_{1}=\frac{30}{20}=\frac{3}{2}$
$u_{2}=-\frac{8}{20}=-\frac{2}{5}$
Wir erhalten die beiden Nullstellen $u_{1}$ und $u_{2}$ .
Normalform allgemein:
$f(x)=a \cdot x^2+b \cdot x+c$
Nullstellenform allgemein:
$f(x)=a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2)$
Normalform hier:
$a \cdot u^2+b \cdot u+c$
Nullstellenform hier:
$a \cdot (u-u_1) \cdot (u-u_2)$
$a$ wird neben den gefundenen Nullstellen $u_{1}$ und $u_{2}$ in die Nullstellenformel eingesetzt.
$10\cdot(u-\frac{3}{2})\cdot(u-(-\frac{2}{5}))$
$10 \cdot (u- \frac{3}{2}) \cdot (u+\frac{2}{5})$
Günstige Umschreibung des Faktors und anschließendes Ausmultiplizieren.
$2 \cdot 5 \cdot (u- \frac{3}{2}) \cdot (u+\frac{2}{5})$
$2 \cdot (u- \frac{3}{2}) \cdot 5 \cdot (u+\frac{2}{5})$
$(2 \cdot u- 2 \cdot \frac{3}{2}) \cdot (5 \cdot u+ 5 \cdot \frac{2}{5})$
$(2u- 3) \cdot (5u+2)$
Der ursprüngliche Zähler wurde faktorisiert.
$(2u-3)\cdot(5u+2)=10u^2-11u-6$
$\frac{10u^2-11u-6}{(5u-2) \cdot (5u+2)}=\frac{(2u- 3) \cdot (5u+2)}{(5u-2) \cdot(5u+2)}=\frac{(2u- 3)}{(5u-2)}$
Der vereinfachte Term lautet $\frac{(2u-3)}{(5u-2)}$ .
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$\dfrac{c^2+c-20}{-c^2+c+30}$

$\dfrac{7r^2s}{12\left(r-s\right)}\;\cdot\;\dfrac{(2\mathrm{sr}-2r)^2}{21\mathrm{rs}^2}$

$\dfrac{\left(\frac66a^2\right)^3:\left(\frac{4x}{y^2}\right)^2}{\frac1{\left(2a^2b\right)^3\cdot\left(3x^2y^3\right)^3}}\;:\;\dfrac{2a^3b}5$

$\dfrac{\frac23b^2+\left(\frac{3b}2\right)^2-\frac56b^2}{\left(\frac43a^2b\right)^3}\;:\;\dfrac{\left(\frac{2a}3\right)^2}{\frac{5a^3}{b^2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche kürzen und erweitern

Löse die Klammern mithilfe der Potenzgesetze auf.

$\displaystyle \dfrac{\frac23b^2+\left(\frac{3b}2\right)^2-\frac56b^2}{\left(\frac43a^2b\right)^3}\;:\;\dfrac{\left(\frac{2a}3\right)^2}{\frac{5a^3}{b^2}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\frac23b^2+\frac{9b^2}4-\frac56b^2}{\frac{64}{27}a^6b^3}\;:\;\dfrac{\frac{4a^2}9}{\frac{5a^3}{b^2}}$
	↓	Multipliziere mit dem Kehrbruch.
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle \dfrac{b^2\cdot\left(\frac23+\frac94-\frac56\right)}{\frac{64}{27}a^6b^3}\;\cdot\dfrac{\frac{5a^3}{b^2}}{\frac{4a^2}9}$
	↓	Multipliziere die beiden Brüche und kürze im Zähler mit $b^{2}$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{5a^3\cdot\left(\frac23+\frac94-\frac56\right)}{\frac{64}{27}a^6b^3\cdot\frac{4a^2}9}$
	↓	Bilde im Zähler den Hauptnenner (12) und erweitere alle Brüche auf diesen. Multipliziere im Nenner aus.
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5a^3\cdot\left(\frac8{12}+\frac{27}{12}-\frac{10}{12}\right)}{\frac{256a^8b^3}{243}}$
	↓	Berechne das Innere der Klammer $\left(\frac{25}{12}\right)$ .
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\frac{125a^3}{12}}{\frac{256a^8b^3}{243}}$
	↓	Der mittlere Bruchstrich entspricht einem "Geteilt", stattdessen kannst du deswegen mit dem Kehrbruch multiplizieren.
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle \dfrac{125a^3}{12}\cdot\dfrac{243}{256a^8b^3}$
	↓	Multipliziere und kürze mit $3 a^{3}$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{10125}{1024a^5b^3}$

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3

Erweitere die folgenden Brüche entsprechend.

$\displaystyle \frac{41\mathrm{ab}^5}{37a^2d^4}=\frac{779a^3b^9}?$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme
$\frac{779a^3b^9}{703a^4b^4d^4}$
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$\displaystyle \frac{3\left(a+b\right)^2}{5\mathrm{abcd}}=\frac?{255a^2b^2c^2d^2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme
$\frac{153\left(a+b\right)^2\mathrm{abcd}}{255a^2b^2c^2d^2}$
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4

Bringe die folgenden Brüche jeweils auf den gleichen Nenner.

$\displaystyle \frac{3fg^2}{48f^2g^4},\;\;\frac{2h^5}{112fgh},\;\;\;\frac81$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme
Für jeden Term im Nenner wird das kgV bestimmt. Für die Formvariablen (hier f, g, h) werden die jeweils höchsten Potenzen ermittelt. Damit ist dann der Hauptnenner fertig. Der für jeden Zähler korrekte Erweiterungsfaktor kann dann ermittelt werden.
Das kgV $(48; 112)$ wird ermittelt:
$48=16\cdot 3=2^4\cdot 3\\112=16\cdot 7=2^4\cdot 7$
Erkenntnis aus der Primfaktorzerlegung:
Bestimme für das kgV die höchste vorkommende Potenz aller Primfaktoren.
Primzahl $2$ hat die Vielfachheit $4$
Primzahl $3$ hat die Vielfachheit $1$
Primzahl $7$ hat die Vielfachheit $1$
Somit gilt: kgV $(48; 112)$ $=2^4\cdot 3^1\cdot 7^1=336$
Für die Formvariablen (hier $f, g, h$ ) werden die jeweils höchsten Potenzen ermittelt:
$f$ hat die höchste Potenz $2$
$g$ hat die höchste Potenz $4$
$h$ hat die höchste Potenz $1$
$\;\Rightarrow\;f^2\cdot g^4\cdot h$
Der Hauptnenner ist demnach $336\cdot f^2\cdot g^4\cdot h$
Ermittlung des Erweiterungsfaktors und Durchführung der Erweiterung
Der Bruch $\dfrac{3fg^2}{48f^2g^4}$ muss mit $7\cdot h$ erweitert werden, denn $\dfrac{336\cdot f^2\cdot g^4\cdot h}{48\cdot f^2\cdot g^4}=7\cdot h$ .
$\;\Rightarrow\;\dfrac{3fg^2}{48f^2g^4}\cdot \dfrac{7h}{7h}=\dfrac{21\mathrm{fg}^2h}{336f^2g^4h}$
Der Bruch $\dfrac{2h^5}{112fgh}$ muss mit $3\cdot f\cdot g^3$ erweitert werden, denn $\dfrac{336\cdot f^2\cdot g^4\cdot h}{112\cdot f\cdot g\cdot h}=3\cdot f\cdot g^3$ .
$\;\Rightarrow\; \dfrac{2h^5}{336f^2g^4h}\cdot \dfrac{3\cdot f\cdot g^3}{3\cdot f\cdot g^3}=\dfrac{6\mathrm{fg}^3h^5}{336f^2g^4h}$
Der Bruch $\dfrac{8}{1}$ muss mit dem Hauptnenner $336\cdot f^2\cdot g^4\cdot h$ erweitert werden:
$\;\Rightarrow\;\dfrac{8}{1}\cdot \dfrac{336\cdot f^2\cdot g^4\cdot h}{336\cdot f^2\cdot g^4\cdot h}=\dfrac{2688f^2g^4h}{336f^2g^4h}$
Ergebnis:
$\dfrac{21\mathrm{fg}^2h}{336f^2g^4h};\;\;\;\;\dfrac{6\mathrm{fg}^3h^5}{336f^2g^4h};\;\;\;\;\dfrac{2688f^2g^4h}{336f^2g^4h}$
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Für jeden Term im Nenner wird das kgV bestimmt.
Für die Formvariablen (hier f, g, h) werden die jeweils höchsten Potenzen ermittelt. Damit ist dann der Hauptnenner fertig.

5

Berechne den Term mit Unbekannten und kürze so weit wie möglich.

\displaystyle \frac{u}{2v}-\frac{v}{2u}

\displaystyle \frac{13}{6h^2}+1-\frac4{21h}

6

Der gut durchtrainierte Hobbyradrennfahrer Walter bewältigt einen 20 km langen Anstieg in 2,0 Stunden; seine Durchschnittsgeschwindigkeit dabei beträgt also $10\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ .

Oben angekommen dreht Walter sofort um und fährt die 20 km wieder zurück ins Tal.

Seine Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline v$ für die Gesamtstrecke lässt sich mit dem Term

\displaystyle \overline v=\frac{40\;\mathrm{km}}{2{,}0\;\mathrm{h}+t_\mathrm{Tal}}

berechnen.

Kann Walter für die Gesamtstrecke eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $20\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ erreichen?

Ja, Walter kann eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $20\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ erreichen.
Nein, Walter kann eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $20\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ nicht erreichen.

7

Fasse jeweils zu einem Bruch zusammen. In welchen Fällen ändert sich durch die Umformung die maximale Definitionsmenge?

$\dfrac2x-\dfrac x2+x$

\displaystyle 1-\frac{2-y}y

\displaystyle \frac x{x-x^2}-\frac3{1-x}

\displaystyle \frac t{t-a}+\frac2t+1

$\frac{a-3}{a^2-3a}\cdot\frac{2a}{a+3}$

$1-\frac{x-3}{x+2}:\frac{3-x}{x+2}$

8

Vereinfache so weit wie möglich.

$2x:\frac4x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche multiplizieren
$\frac{2x}{\left(\frac{4}{x}\right)}=\frac{2x^2}{4}=\frac{x^2}{2}$
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$2-\frac{2x}{x-1}$

$\frac{6+2z}{z^2+6z+9}$

$\frac3{z+3}-\frac3{z-3}$

9

Multipliziere die folgenden Brüche.

\displaystyle \frac{17r^4s^3}{54t^5}\;\cdot\;\frac{24st^2}{85r^2}

\displaystyle \frac{7m^2}{12n^3}\;\cdot\;\left(\frac{3n^2}{7m}\right)^2

10

Dividiere die folgenden Brüche.

$\dfrac{9c}{10ab}\;:\;\dfrac{6ac}{25b}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Division von Brüchen
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll} \dfrac{9c}{10\mathrm{ab}}\;:\;\dfrac{6\mathrm{ac}}{25b} &=& \dfrac{9c}{10ab}\;\cdot\;\dfrac{25b}{6ac} \\\\ &=&\dfrac{(9c)\cdot(25b)}{(10ab)\cdot(6ac)} \\\\ &=& \dfrac{225cb}{60a^2bc} &\vert \text{Kürze } cb \text{ und } bc \\\\ &=& \dfrac{225}{60a^2} &\vert \text{Kürze mit} 15 \\\\ &=& \dfrac{15}{4a^2} \end{array}$

$\displaystyle \frac{a+b}{b}-\frac{a-b}{a}$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(a+b\right)\cdot a}{b\cdot a}-\frac{\left(a-b\right)\cdot b}{a\cdot b}$
	↓	Fasse die beiden Brüche zu einen zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{(a+b)\cdot a-(a-b)\cdot b}{b\cdot a}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{a^2+ab-ab+b^2}{b\cdot a}$
	↓	Berechne im Zähler $a b - a b$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{a^2+b^2}{b\cdot a}$

	$\displaystyle \displaystyle\frac{\left(\frac{6}{6}a^2\right)^3:\left(\frac{4x}{y^2}\right)}{\displaystyle\frac{1}{\left(2a^2b\right)^3\cdot\left(3x^2y^3\right)^3}}:\frac{2a^3b}{5}$
	↓ Löse die Klammern mithilfe der Potenzgesetze auf
$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{a^6:\frac{16x^2}{y^4}}{\displaystyle\frac{1}{8a^6b^3\cdot27x^6y^9}}:\frac{2a^3b}{5}$
	↓ Multipliziere im Zähler des ersten Bruchs mit dem Kehrbruch
$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a^6y^4}{16x^2}}{\displaystyle\frac{1}{216a^6b^3x^6y^9}}:\frac{2a^3b}{5}$
	↓ Der mittlere Bruchstrich entspricht einem "Geteilt", deshalb kannst du stattdessen mit dem Kehrbruch multiplizieren. Gleiches bei dem zweiten Bruch.
$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{a^6y^4}{16x^2}\cdot\frac{216a^6b^3x^6y^9}{1}\cdot\frac{5}{2a^3b}$
	↓ Kürze mit $8 a^{3} b x^{2}$ .
$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{a^6y^4}{2}\cdot\frac{27a^3b^2x^4y^9}{1}\cdot\frac{5}{2}$
	↓ Multipliziere.
$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{135}{4}a^9b^2x^4y^{13}$

$\displaystyle \dfrac u{2v}-\dfrac v{2u}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{u\cdot u}{2vu}-\dfrac{v\cdot v}{2uv}$
	↓	Schreibe auf gemeinsamen Bruchstrich
	$=$	$\displaystyle \dfrac{u^2-v^2}{2uv}$

$\displaystyle \dfrac{13}{6h^2}+1-\dfrac4{21h}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{13\cdot7}{6h^2\cdot7}+\dfrac{1\cdot42h^2}{1\cdot42h^2}-\dfrac{4\cdot2h}{21h\cdot2h}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{91}{42h^2}+\dfrac{42h^2}{42h^2}-\dfrac{8h}{42h^2}$
	↓	Schreibe die Brüche auf einen gemeinsamen Bruchstrich.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{42h^2-8h+91}{42h^2}$

$\displaystyle \overline{v}_{Ges}$	$=$	$\displaystyle \frac{40\ \text{km}}{2{,}0\ \text{h}+t_{ }}$
	↓	Setze $\;{\overline v}_\mathrm{Ges}=20\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ ein.
$\displaystyle 20\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$	$=$	$\displaystyle \frac{40\ \text{km}\ }{2{,}0\ \text{h}+\ t_{\text{Tal}}}$	$\displaystyle \cdot\ \left(2{,}0\text{h}+t_{ }\right)$
$\displaystyle 20\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot\left(2{,}0\text{h}+t_{\text{Tal}}\right)$	$=$	$\displaystyle 40\ \text{km}\$	$\displaystyle :20\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$
$\displaystyle 2{,}0\text{h}+t_{\text{Tal}}$	$=$	$\displaystyle \frac{40\text{km}\ }{20\ \frac{\text{km}\ }{\text{h}\ }}$
$\displaystyle 2{,}0\ \text{h}+t_{\text{Tal}}$	$=$	$\displaystyle 2{,}0\text{h}\$	$\displaystyle -2{,}0\ \text{h}\$
$\displaystyle t_{\text{Tal}\ }$	$=$	$\displaystyle 0\text{h}\$

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Nenner vereinfachen

Zähler seperat faktorisieren

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Das kgV $(48; 112)$ wird ermittelt:

Für die Formvariablen (hier $f, g, h$ ) werden die jeweils höchsten Potenzen ermittelt:

Ermittlung des Erweiterungsfaktors und Durchführung der Erweiterung

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Gebrochen-rationale Funktionen

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Neue Definitionsmenge bestimmen

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$\displaystyle \frac{45x-20}{36x^2-16x}$	$=$	$\displaystyle \frac{5\cdot9\cdot x-5\cdot4}{4\cdot9\cdot x^2-4\cdot4\cdot x}$
	↓	Klammere im Zähler $5$ und im Nenner $4 x$ aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{5\left(9x-4\right)}{4x\left(9x-4\right)}$
	↓	Kürze $(9 x - 4)$ aus Zähler und Nenner.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{4x}$

$\displaystyle \frac{\left(ab\right)^2}{a^3b-a^2b^3}$	$=$	$\displaystyle \frac{a^2b^2}{a^2b\left(a-b^2\right)}$
	↓	Kürze $\mathrm a^2\mathrm b$ .
	$=$	$\displaystyle \frac b{a-b^2}$

$\displaystyle \frac{c}{c^2-8c+16}-\frac{2}{c^2-6c+8}$	$=$
	↓	Wende die 2. binomische Formel und den Satz von Vieta an
	$=$	$\displaystyle \frac{c}{\left(c-4\right)^2}-\frac{2}{\left(c-4\right)\left(c-2\right)}$
	↓	Bilde den Hauptnenner $((c - 4)^{2} (c - 2))$
	$=$	$\displaystyle \frac{c(c-2)-\left[2(c-4)\right]}{(c-4)^2(c-2)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{c^2-2c-\left[2c-8\right]}{(c-4)^2(c-2)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{c^2-2c-2c+8}{(c-4)^2(c-2)}$
	↓	Subtraktion
	$=$	$\displaystyle \frac{c^2-4c+8}{(c-2)(c-4)^2}$

$\displaystyle \frac{b-c}{a^2+ac}-\frac{a-b}{ac+c^2}+\frac{a^2+c^2}{a^2c+ac^2}$	$=$
	↓	Mache die Nenner übersichtlicher, um den Hauptnenner leichter zu finden.
	$=$	$\displaystyle \frac{b-c}{a\cdot(a+c)}-\frac{a-b}{c\cdot(a+c)}+\frac{a^2+c^2}{a\cdot c\cdot(a+c)}$
	↓	Bilde den Hauptnenner $(a \cdot c \cdot (a+c))$ und erweitere beide Brüche auf diesen.
	$=$	$\displaystyle \frac{c\cdot(b-c)}{a\cdot c\cdot(a+c)}-\frac{a\cdot(a-b)}{a\cdot c\cdot(a+c)}+\frac{a^2+c^2}{a\cdot c\cdot(a+c)}$
	↓	Schreibe den Term auf einen Bruchstrich
	$=$	$\displaystyle \frac{c\cdot(b-c)-a\cdot(a-b)+a^2+c^2}{a\cdot c\cdot(a+c)}$
	↓	Vereinfache den Zähler
	$=$	$\displaystyle \frac{bc-c^2-a^2+ab+a^2+c^2}{a\cdot c\cdot(a+c)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{bc+ab}{a\cdot c\cdot(a+c)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{b\left(a+c\right)}{a\cdot c\cdot(a+c)}$
	↓	Kürze $\left(a+c\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{b}{ac}$

$\displaystyle \frac{c^2+c-20}{-c^2+c+30}$	$=$
	$=$	$\displaystyle \frac{(c-4)\cdot(c+5)}{(c+5)\cdot(-c+6)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{c-4}{-c+6}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{c-4}{c-6}$

$\displaystyle \frac{7r^2s}{12\left(r-s\right)}\cdot\frac{\left(2sr-2r\right)^2}{21rs^2}$	$=$
	↓	Kürze zunächst alles, was man schonmal kürzen kann. Hier die $7$ mit der $21$ , $r^{2}$ mit $r$ und $s$ mit $s^{2}$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{r}{12\left(r-s\right)}\cdot\frac{\left(2sr-2r\right)^2}{3s}$
	↓	Nun kannst du in der Klammer $(2 s r - 2 r)^{2}$ die $2 r$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \frac{r}{12\left(r-s\right)}\cdot\frac{\left(2r\left(s-1\right)\right)^2}{3s}$
	↓	Löse nun die Klammer oben mithilfe der Potenzgesetze auf.
	$=$	$\displaystyle \frac{r}{12\left(r-s\right)}\cdot\frac{4r^2\left(s-1\right)^2}{3s}$
	↓	Kürze die $4$ mit der $12$ und fasse zusammen
	$=$	$\displaystyle \frac{r3\left(s-1\right)^2}{9s\left(r-s\right)}$

$\displaystyle \frac{2}{x}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{2}+x$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{0\right\}$
	↓	Zusammenfassung zu einem Bruch
$\displaystyle \frac{2}{x}-\frac{x}{2}+x$	$=$
	↓	Bilde den Hauptnenner
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{2x}-\frac{x^2}{2x}+\frac{2x^2}{2x}$
	$=$	$\displaystyle \frac{x^2+4}{2x}$
	↓	Neue Definitionsmenge bestimmen
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{0\right\}$

$\displaystyle 1-\frac{2-y}{y}$	$=$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{0\right\}$
	↓	Zusammenfassen zu einem Bruch; den Hauptnenner bilden
	$=$	$\displaystyle \frac{y-\left(2-y\right)}{y}$
	$=$	$\displaystyle \frac{y-2+y}{y}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2y-2}{y}$

$\displaystyle \frac{x}{x-x^2}-\frac{3}{1-x}$	$=$
	↓	Klammere $x$ aus
	$=$	$\displaystyle \frac{x}{x\cdot\left(1-x\right)}-\frac{3}{1-x}$
	↓	Lese die Definitionslücken ab.
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{1;0\right\}$
	↓	Bruch berechnen
$\displaystyle \frac{x}{x\cdot\left(1-x\right)}-\frac{3}{1-x}$	$=$
	↓	Kürze mit $x$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x}$
	↓	Subtrahiere die Brüche
	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{1-x}$
	↓	Lese die Definitionslücke ab
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{1\right\}$

$\displaystyle \frac{t}{t-a}+\frac{2}{t}+1$	$=$
	↓	Bilde den Hauptnenner $t\cdot\left(t-a\right)$ und erweitere alle Brüche auf diesen
	$=$	$\displaystyle \frac{t\cdot t}{t\cdot\left(t-a\right)}+\frac{2\cdot\left(t-a\right)}{t\cdot\left(t-a\right)}+\frac{t\cdot\left(t-a\right)}{t\cdot\left(t-a\right)}$
	↓	Addiere
	$=$	$\displaystyle \frac{t^2+2\cdot\left(t-a\right)+t\cdot\left(t-a\right)}{t\cdot\left(t-a\right)}$
	↓	Multipliziere im Zähler die Klammern aus und fasse zusammen
	$=$	$\displaystyle \frac{2t^2+2t-2a-at}{t\cdot\left(t-a\right)}$

$\displaystyle \frac{a-3}{a^2-3a}\cdot\frac{2a}{a+3}$	$=$
	↓	a ausklammern
	$=$	$\displaystyle \frac{a-3}{a\cdot\left(a-3\right)}\cdot\frac{2a}{a+3}$
	↓	Definitionslücken ablesen
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{-3;\ 0;\ 3\right\}$
	↓	Zusammenfassen zu einem Bruch
$\displaystyle \frac{a-3}{a\cdot\left(a-3\right)}\cdot\frac{2a}{a+3}$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(a-3\right)\cdot2a}{a\cdot\left(a-3\right)\cdot\left(a+3\right)}$
	↓	Bruch mit $a\cdot\left(a-3\right)$ kürzen
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{a+3}$
	↓	neue Definitionsmenge bestimmt
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{-3\right\}$

$\displaystyle 1-\frac{x-3}{x+2}:\ \frac{3-x}{x+2}$	$=$
	↓	mit dem Kehrwert multiplizieren
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{x-3}{x+2}\cdot\frac{x+2}{3-x}$
	↓	Definitionsbereich ablesen
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{-2;\ 3\right\}$
	↓	Zusammenfassen zu einem Bruch
$\displaystyle 1-\frac{x-3}{x+2}:\ \frac{3-x}{x+2}$	$=$
	↓	mit dem Kehrwert multiplizieren
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{x-3}{x+2}\cdot\frac{x+2}{3-x}$
	↓	$(x + 2)$ kürzen
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{x-3}{3-x}$
	↓	-1 im Zähler ausklammern
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{-\left(3-x\right)}{3-x}$
	↓	$(3 - x)$ kürzen
	$=$	$\displaystyle 1-\left(-1\right)$
	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Neue Definitionsmenge bestimmen/ablesen
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ$

$\displaystyle 2-\frac{2x}{x-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{2\left(x-1\right)}{\;\;x-1}-\frac{2x}{x-1}$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle \frac{2x-2-2x}{x-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-2}{x-1}$
	↓	(ggf. zur besseren Anschauung)
	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{x-1}$

$\displaystyle \frac{6+2z}{z^2+6z+9}$	$=$
	↓	Wende eine binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \frac{6+2z}{\left(z+3\right)^2}$
	↓	Im Zähler die $2$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \frac{2\left(3+z\right)}{\left(z+3\right)^2}$
	↓	Kürze mit $(z + 3)$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{z+3}$

$\displaystyle \frac{3}{z+3}-\frac{3}{z-3}$	$=$
	↓	Hauptnennerbildung und Brüche mit diesem erweitern.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\cdot\left(z-3\right)}{\left(z+3\right)\left(z-3\right)}-\frac{3\cdot\left(z+3\right)}{\left(z-3\right)\left(z+3\right)}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3z-9}{\left(z+3\right)\left(z-3\right)}-\frac{3z+9}{\left(z+3\right)\left(z-3\right)}$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{3z-9-\left(3z+9\right)}{\left(z+3\right)\left(z-3\right)}$
	↓	Klammer im Zähler auflösen.
	$=$	$\displaystyle \frac{3z-9-3z-9}{\left(z+3\right)\left(z-3\right)}$
	↓	Zähler zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-18}{\left(z+3\right)\left(z-3\right)}$

$\displaystyle \frac{17r^4s^324st^2}{54t^585r^2}$	$=$
	↓	Klammere $r^{2}$ aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{r^2(17r^2s^324st^2)}{54t^585r^2}$
	↓	Kürze mit $r^{2}$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{17r^2s^324st^2}{54t^585}$
	↓	Kürze mit $t^{2}$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{17r^2s^324s}{54t^385}$
	↓	Multipliziere.
	$=$	$\displaystyle \frac{408r^2s^4}{4590t^3}$	$\displaystyle :102$
	$=$	$\displaystyle \frac{4r^2s^4}{45t^3}$

$\displaystyle \frac{7m^2}{12n^3}\cdot\left(\frac{3n^2}{7m}\right)^2$	$=$
	↓	Quadriere den rechten Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{7m^29n^4}{12n^349m^2}$
	↓	Kürze mit $m^{2}$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{7\cdot9n^4}{12n^3\cdot49}$
	↓	Kürze mit 7.
	$=$	$\displaystyle \frac{9n^4}{12n^3\cdot7}$
	↓	Kürze mit $n^{3}$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{9n}{12\cdot7}$
	↓	Kürze mit 3.
	$=$	$\displaystyle \frac{3n}{28}$

Aufgaben zum Rechnen mit Bruchtermen

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Nenner vereinfachen

Zähler seperat faktorisieren

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Das kgV(48;112)(48;112)(48;112) wird ermittelt:

Für die Formvariablen (hier f,g,hf, g, hf,g,h) werden die jeweils höchsten Potenzen ermittelt:

Ermittlung des Erweiterungsfaktors und Durchführung der Erweiterung

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Gebrochen-rationale Funktionen

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Neue Definitionsmenge bestimmen

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Das kgV $(48; 112)$ wird ermittelt:

Für die Formvariablen (hier $f, g, h$ ) werden die jeweils höchsten Potenzen ermittelt: