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Aufgaben zum Rechnen mit Bruchtermen

  1. 1

    Vereinfache:

  2. 2

    Vereinfache so weit wie möglich.

    1. a+bbaba\dfrac{a+b}b-\dfrac{a-b}a

    2. cc28c+162c26c+8\dfrac c{c^2-8c+16}-\dfrac2{c^2-6c+8}

    3. bca2+acabac+c2+a2+c2a2c+ac2\dfrac{b-c}{a^2+ac}-\dfrac{a-b}{ac+c^2}+\dfrac{a^2+c^2}{a^2c+ac^2}

    4. 10u211u625u24\dfrac{10u^2-11u-6}{25u^2-4}

    5. c2+c20c2+c+30\dfrac{c^2+c-20}{-c^2+c+30}

    6. 7r2s12(rs)    (2sr2r)221rs2\dfrac{7r^2s}{12\left(r-s\right)}\;\cdot\;\dfrac{(2\mathrm{sr}-2r)^2}{21\mathrm{rs}^2}

    7. (66a2)3:(4xy2)21(2a2b)3(3x2y3)3  :  2a3b5\dfrac{\left(\frac66a^2\right)^3:\left(\frac{4x}{y^2}\right)^2}{\frac1{\left(2a^2b\right)^3\cdot\left(3x^2y^3\right)^3}}\;:\;\dfrac{2a^3b}5

    8. 23b2+(3b2)256b2(43a2b)3  :  (2a3)25a3b2\dfrac{\frac23b^2+\left(\frac{3b}2\right)^2-\frac56b^2}{\left(\frac43a^2b\right)^3}\;:\;\dfrac{\left(\frac{2a}3\right)^2}{\frac{5a^3}{b^2}}

  3. 3

    Erweitere die folgenden Brüche entsprechend.

  4. 4

    Bringe die folgenden Brüche jeweils auf den gleichen Nenner.

  5. 5

    Berechne den Term mit Unbekannten und kürze so weit wie möglich.

  6. 6

    Der gut durchtrainierte Hobbyradrennfahrer Walter bewältigt einen 20 km langen Anstieg in 2,0 Stunden; seine Durchschnittsgeschwindigkeit dabei beträgt also 10kmh10\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}.

    Oben angekommen dreht Walter sofort um und fährt die 20 km wieder zurück ins Tal.

    Seine Durchschnittsgeschwindigkeit  v\overline v für die Gesamtstrecke lässt sich mit dem Term

    berechnen.

    Kann Walter für die Gesamtstrecke eine Durchschnittsgeschwindigkeit von  20kmh20\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} erreichen?

  7. 7

    Fasse jeweils zu einem Bruch zusammen. In welchen Fällen ändert sich durch die Umformung die maximale Definitionsmenge?

    1. 2xx2+x\dfrac2x-\dfrac x2+x

    2. a3a23a2aa+3\frac{a-3}{a^2-3a}\cdot\frac{2a}{a+3}

    3. 1x3x+2:3xx+21-\frac{x-3}{x+2}:\frac{3-x}{x+2}

  8. 8

    Vereinfache so weit wie möglich.

    1. 2x:4x2x:\frac4x

    2. 22xx12-\frac{2x}{x-1}

    3. 6+2zz2+6z+9\frac{6+2z}{z^2+6z+9}

    4. 3z+33z3\frac3{z+3}-\frac3{z-3}

  9. 9

    Multipliziere die folgenden Brüche.

  10. 10

    Dividiere die folgenden Brüche.

    1. 9c10ab  :  6ac25b\dfrac{9c}{10ab}\;:\;\dfrac{6ac}{25b}

    2. (2uv2)318w4  :  4uv4(3uw)2\dfrac{\left(2uv^2\right)^3}{18w^4}\;:\;\dfrac{4uv^4}{\left(3uw\right)^2}

  11. 11

    Benutze binomische Formeln um die Brüche zu kürzen

  12. 12

    Bestimme die Definitionsmenge:

  13. 13

    Vereinfache:

    1.     JC    J\dfrac{\;\;\displaystyle\frac JC\;\;}J

    2. J  JC  \dfrac J{\;\displaystyle\frac JC\;}

    3.   1x22  11x\dfrac{\;{\displaystyle\frac1{x^2}}-2\;}{1-\displaystyle\frac1x}

  14. 14

    Vereinfache:

  15. 15

    Vereinfache:

  16. 16

    Bringe auf einen Bruchstrich: 1R1+1R2+1R1+R2\frac1{R_1}+\frac1{R_2}+\frac1{R_1+R_2}

  17. 17

    Kürze vollständig.

    1. 2x+4x4\dfrac{2x+4x}4

    2. 6f4(gh)5(2fg)3h2\dfrac{6f^4(gh)^5}{(2fg)^3h^2}

    3. x42x315x2+32x16x33x2+3x1\dfrac{x^4-2x^3-15x^2+32x-16}{x^3-3x^2+3x-1}

  18. 18

    Vereinfache folgende Funktionen so weit wie möglich, indem du die binomischen Formel anwendest.

    1. f(x)=(x+1)(x1)+1x3\displaystyle f(x)= \frac{(x+1)\cdot (x-1)+1}{x^3}

    2. g(z)=(z+3)26z93z3g(z)=\dfrac{(z+3)^2-6z-9}{3z^3}

    3. h(t)=t28t+162(t4)\displaystyle h(t)= \frac{t^2-8t+16}{2(t-4)}

  19. 19

    Vereinfache die Funktionen, indem du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringst.

    1. f(x)=5x4+12\displaystyle f(x)= \frac {5x}{4}+\frac{1}{2}

    2. g(x)=6x23x2\displaystyle g(x)= \frac{6}{x}-\frac{2}{3x^2}

    3. h(x)=1(x+1)x(x+1)2\displaystyle h(x)= \frac{1}{(x+1)}-\frac{x}{(x+1)^2}

  20. 20

    Vereinfache die Funktion durch Ausklammern und Kürzen.

    1. f(x)=4x2+2x2x2(2x+1)\displaystyle f(x)= \frac{4x^2+2x}{2x^2(2x+1)}

    2. g(x)=2x226\displaystyle g(x)= \frac{2x^2-2}{6}

    3. h(x)=12x3+4x4x2+8x\displaystyle h(x)= \frac{12x^3+4x}{4x^2+8x}

  21. 21

    Kürze die Bruchterme so weit wie möglich.

    Dazu kann es notwendig sein, im Zähler oder im Nenner einen Faktor auszuklammern!

    1. Kürze den Bruchterm so weit wie möglich!

    2. Kürze den Bruchterm so weit wie möglich!

    3. Kürze den Bruchterm so weit wie möglich!

  22. 22

    Vereinfache beide Terme soweit wie möglich, falls dies möglich ist.

    1. 9x3x6x2\frac{9x}{3x-6x^2}

    2. 44+x2\frac{4}{4+x^2}

      Begründe, dass die Termwerte von b) nicht größer als 1 werden können, unabhängig davon, welche Zahl man für xx einsetzt.

  23. 23

    Gegeben ist der Term  T(x)=12x+5T\left(x\right)=-\frac{1}{2}x+5 . Setze für xx die Werte 1;2;2,5;1 ; 2 ; 2{,}5 ; 3133\frac{1}{3} ;6;8; 6 ; 8 ein und trage die Termwerte in einer Tabelle zusammen. Der Tabelle kannst du Wertepaare (xT(x))(x | T(x) ), z. B. (2T(2))(2 | T(2) ), entnehmen und als Koordinaten des Punktes (24)(2|4) deuten.

    1. Trage für die Wertepaare aus der Tabelle die zugehörigen Punkte in ein Koordinatensystem ein.

    2. Zeichne vom Punkt (2T(2))(2 | T(2) ) die Lote auf die xx- und yy-Achse; es entsteht ein Rechteck. Zeichne auch für den Punkt (6T(6))(6 | T(6)) das entsprechende Rechteck ein. Suche den Wert für xx, bei dem das zu (xT(x))(x | T(x)) gehörende Rechteck einen möglichst großen Flächeninhalt hat.

  24. 24

    Gegeben ist der Term T(x)=52xx3T\left(x\right)=\dfrac{5-2x}{x-3}.

    1. Erstelle eine Tabelle für die Werte von xx und T(x)T(x). Setze für xx die folgenden Werte in die Tabelle ein: 4,5-4{,}5; 4-4; 32-\frac32 ; 00; 11; 2122\frac12 ; 3133\frac13; 44

    2. Beschreibe, was für ein Problem an der Stelle x=3x=3 auftritt.


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