Aufgaben zum Rechnen mit Bruchtermen

1
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Vereinfache:
1. $\frac{45 x - 20}{36 x^{2} - 16 x}$
  
  Um diesen Term zu vereinfachen, musst du ausklammern. Sieh dir dazu Zähler und Nenner einzeln an! Kandidaten zum Ausklammern findest du, indem du dir für jede Zahl die Primfaktorzerlegung anschaust und nach möglichst großen, gemeinsamen Faktoren suchst.
  $\frac{45 x - 20}{36 x^{2} - 16 x}$ $=$ $\frac{5 \cdot 9 \cdot x - 5 \cdot 4}{4 \cdot 9 \cdot x^{2} - 4 \cdot 4 \cdot x}$
  ↓
  Klammere im Zähler $5$ und im Nenner $4 x$ aus.
  $=$ $\frac{5 (9 x - 4)}{4 x (9 x - 4)}$
  ↓
  Kürze $(9 x - 4)$ aus Zähler und Nenner.
  $=$ $\frac{5}{4 x}$
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2. $\frac{{(a b)}^{2}}{a^{3} b - a^{2} b^{3}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Termumformungen
  Wende im Zähler das Potenzgesetz $(a b)^{x} = a^{x} \cdot b^{x}$ an und klammere im Nenner den Faktor $a^{2} b$ aus.
  $\frac{{(a b)}^{2}}{a^{3} b - a^{2} b^{3}}$ $=$ $\frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} b (a - b^{2})}$
  ↓
  Kürze $a^{2} b$ .
  $=$ $\frac{b}{a - b^{2}}$
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Vereinfache so weit wie möglich.

$\frac{a + b}{b} - \frac{a - b}{a}$

$\frac{c}{c^{2} - 8 c + 16} - \frac{2}{c^{2} - 6 c + 8}$

$\frac{b - c}{a^{2} + a c} - \frac{a - b}{a c + c^{2}} + \frac{a^{2} + c^{2}}{a^{2} c + a c^{2}}$

$\frac{10 u^{2} - 11 u - 6}{25 u^{2} - 4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenform einer quadratischen Gleichung
Nenner vereinfachen
$\frac{10 u^{2} - 11 u - 6}{25 u^{2} - 4}$
$\frac{10 u^{2} - 11 u - 6}{(5 u - 2) \cdot (5 u + 2)}$
Die dritte binomische Formel auf den Nenner anwenden.
Zähler seperat faktorisieren
$10 u^{2} - 11 u - 6 = 0$
Zähler separat mit Hilfe der Mitternachtsformel faktorisieren.
$u_{1,2} = \frac{- (- 11) \pm \sqrt{(- 11)^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 10}$
$u_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 240}}{20}$
$u_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{361}}{20}$
$u_{1,2} = \frac{11 \pm 19}{20}$
Eine quadratische Gleichung der Form $a x^{2} + b x + c = 0$ besitzt Nullstellen bei
$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$u_{1} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}$
$u_{2} = - \frac{8}{20} = - \frac{2}{5}$
Wir erhalten die beiden Nullstellen $u_{1}$ und $u_{2}$ .
Normalform allgemein:
$f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$
Nullstellenform allgemein:
$f (x) = a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})$
Normalform hier:
$a \cdot u^{2} + b \cdot u + c$
Nullstellenform hier:
$a \cdot (u - u_{1}) \cdot (u - u_{2})$
$a$ wird neben den gefundenen Nullstellen $u_{1}$ und $u_{2}$ in die Nullstellenformel eingesetzt.
$10 \cdot (u - \frac{3}{2}) \cdot (u - (- \frac{2}{5}))$
$10 \cdot (u - \frac{3}{2}) \cdot (u + \frac{2}{5})$
Günstige Umschreibung des Faktors und anschließendes Ausmultiplizieren.
$2 \cdot 5 \cdot (u - \frac{3}{2}) \cdot (u + \frac{2}{5})$
$2 \cdot (u - \frac{3}{2}) \cdot 5 \cdot (u + \frac{2}{5})$
$(2 \cdot u - 2 \cdot \frac{3}{2}) \cdot (5 \cdot u + 5 \cdot \frac{2}{5})$
$(2 u - 3) \cdot (5 u + 2)$
Der ursprüngliche Zähler wurde faktorisiert.
$(2 u - 3) \cdot (5 u + 2) = 10 u^{2} - 11 u - 6$
$\frac{10 u^{2} - 11 u - 6}{(5 u - 2) \cdot (5 u + 2)} = \frac{(2 u - 3) \cdot (5 u + 2)}{(5 u - 2) \cdot (5 u + 2)} = \frac{(2 u - 3)}{(5 u - 2)}$
Der vereinfachte Term lautet $\frac{(2 u - 3)}{(5 u - 2)}$ .
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$\frac{c^{2} + c - 20}{- c^{2} + c + 30}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche kürzen und erweitern
$\frac{c^{2} + c - 20}{- c^{2} + c + 30}$ $=$
$=$ $\frac{(c - 4) \cdot (c + 5)}{(c + 5) \cdot (- c + 6)}$
$=$ $\frac{c - 4}{- c + 6}$
$=$ $- \frac{c - 4}{c - 6}$
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$\frac{7 r^{2} s}{12 (r - s)} \cdot \frac{(2 sr - 2 r)^{2}}{21 {rs}^{2}}$

$\frac{{(\frac{6}{6} a^{2})}^{3} : {(\frac{4 x}{y^{2}})}^{2}}{\frac{1}{{(2 a^{2} b)}^{3} \cdot {(3 x^{2} y^{3})}^{3}}} : \frac{2 a^{3} b}{5}$

$\frac{\frac{2}{3} b^{2} + {(\frac{3 b}{2})}^{2} - \frac{5}{6} b^{2}}{{(\frac{4}{3} a^{2} b)}^{3}} : \frac{{(\frac{2 a}{3})}^{2}}{\frac{5 a^{3}}{b^{2}}}$

3
Erweitere die folgenden Brüche entsprechend.
1. $\frac{41 {ab}^{5}}{37 a^{2} d^{4}} = \frac{779 a^{3} b^{9}}{?}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme
  $\frac{779 a^{3} b^{9}}{703 a^{4} b^{4} d^{4}}$
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2. $\frac{3 {(a + b)}^{2}}{5 abcd} = \frac{?}{255 a^{2} b^{2} c^{2} d^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme
  $\frac{153 {(a + b)}^{2} abcd}{255 a^{2} b^{2} c^{2} d^{2}}$
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4
Bringe die folgenden Brüche jeweils auf den gleichen Nenner.
1. $\frac{3 f g^{2}}{48 f^{2} g^{4}}, \frac{2 h^{5}}{112 f g h}, \frac{8}{1}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme
  Für jeden Term im Nenner wird das kgV bestimmt. Für die Formvariablen (hier f, g, h) werden die jeweils höchsten Potenzen ermittelt. Damit ist dann der Hauptnenner fertig. Der für jeden Zähler korrekte Erweiterungsfaktor kann dann ermittelt werden.
  Das kgV $(48; 112)$ wird ermittelt:
  $\begin{array}{l} 48 = 16 \cdot 3 = 2^{4} \cdot 3 \\ 112 = 16 \cdot 7 = 2^{4} \cdot 7 \end{array}$
  Erkenntnis aus der Primfaktorzerlegung:
  Bestimme für das kgV die höchste vorkommende Potenz aller Primfaktoren.
  Primzahl $2$ hat die Vielfachheit $4$
  Primzahl $3$ hat die Vielfachheit $1$
  Primzahl $7$ hat die Vielfachheit $1$
  Somit gilt: kgV $(48; 112)$ $= 2^{4} \cdot 3^{1} \cdot 7^{1} = 336$
  Für die Formvariablen (hier $f, g, h$ ) werden die jeweils höchsten Potenzen ermittelt:
  $f$ hat die höchste Potenz $2$
  $g$ hat die höchste Potenz $4$
  $h$ hat die höchste Potenz $1$
  $\Rightarrow f^{2} \cdot g^{4} \cdot h$
  Der Hauptnenner ist demnach $336 \cdot f^{2} \cdot g^{4} \cdot h$
  Ermittlung des Erweiterungsfaktors und Durchführung der Erweiterung
  Der Bruch $\frac{3 f g^{2}}{48 f^{2} g^{4}}$ muss mit $7 \cdot h$ erweitert werden, denn $\frac{336 \cdot f^{2} \cdot g^{4} \cdot h}{48 \cdot f^{2} \cdot g^{4}} = 7 \cdot h$ .
  $\Rightarrow \frac{3 f g^{2}}{48 f^{2} g^{4}} \cdot \frac{7 h}{7 h} = \frac{21 {fg}^{2} h}{336 f^{2} g^{4} h}$
  Der Bruch $\frac{2 h^{5}}{112 f g h}$ muss mit $3 \cdot f \cdot g^{3}$ erweitert werden, denn $\frac{336 \cdot f^{2} \cdot g^{4} \cdot h}{112 \cdot f \cdot g \cdot h} = 3 \cdot f \cdot g^{3}$ .
  $\Rightarrow \frac{2 h^{5}}{336 f^{2} g^{4} h} \cdot \frac{3 \cdot f \cdot g^{3}}{3 \cdot f \cdot g^{3}} = \frac{6 {fg}^{3} h^{5}}{336 f^{2} g^{4} h}$
  Der Bruch $\frac{8}{1}$ muss mit dem Hauptnenner $336 \cdot f^{2} \cdot g^{4} \cdot h$ erweitert werden:
  $\Rightarrow \frac{8}{1} \cdot \frac{336 \cdot f^{2} \cdot g^{4} \cdot h}{336 \cdot f^{2} \cdot g^{4} \cdot h} = \frac{2688 f^{2} g^{4} h}{336 f^{2} g^{4} h}$
  Ergebnis:
  $\frac{21 {fg}^{2} h}{336 f^{2} g^{4} h}; \frac{6 {fg}^{3} h^{5}}{336 f^{2} g^{4} h}; \frac{2688 f^{2} g^{4} h}{336 f^{2} g^{4} h}$
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  Für jeden Term im Nenner wird das kgV bestimmt.
  Für die Formvariablen (hier f, g, h) werden die jeweils höchsten Potenzen ermittelt. Damit ist dann der Hauptnenner fertig.
5
Berechne den Term mit Unbekannten und kürze so weit wie möglich.
1. $\frac{u}{2 v} - \frac{v}{2 u}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche subtrahieren
  Bilde zuerst den Hauptnenner $(2 u v)$ und erweitere die Brüche auf diesen.
  $\frac{u}{2 v} - \frac{v}{2 u}$ $=$ $\frac{u \cdot u}{2 v u} - \frac{v \cdot v}{2 u v}$
  ↓
  Schreibe auf gemeinsamen Bruchstrich
  $=$ $\frac{u^{2} - v^{2}}{2 u v}$
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2. $\frac{13}{6 h^{2}} + 1 - \frac{4}{21 h}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche addieren / subtrahieren
  Bilde den Hauptnenner $(42 h^{2})$ und erweitere die Brüche auf diesen.
  $\frac{13}{6 h^{2}} + 1 - \frac{4}{21 h}$ $=$ $\frac{13 \cdot 7}{6 h^{2} \cdot 7} + \frac{1 \cdot 42 h^{2}}{1 \cdot 42 h^{2}} - \frac{4 \cdot 2 h}{21 h \cdot 2 h}$
  ↓
  Multipliziere aus.
  $=$ $\frac{91}{42 h^{2}} + \frac{42 h^{2}}{42 h^{2}} - \frac{8 h}{42 h^{2}}$
  ↓
  Schreibe die Brüche auf einen gemeinsamen Bruchstrich.
  $=$ $\frac{42 h^{2} - 8 h + 91}{42 h^{2}}$
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6
Der gut durchtrainierte Hobbyradrennfahrer Walter bewältigt einen 20 km langen Anstieg in 2,0 Stunden; seine Durchschnittsgeschwindigkeit dabei beträgt also $10 \frac{km}{h}$ .
Oben angekommen dreht Walter sofort um und fährt die 20 km wieder zurück ins Tal.
Seine Durchschnittsgeschwindigkeit $v$ für die Gesamtstrecke lässt sich mit dem Term
$v = \frac{40 km}{2,0 h + t_{Tal}}$
berechnen.
Kann Walter für die Gesamtstrecke eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $20 \frac{km}{h}$ erreichen?
Ja, Walter kann eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $20 \frac{km}{h}$ erreichen.
Nein, Walter kann eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $20 \frac{km}{h}$ nicht erreichen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme
Gegeben: $s_{1} = 20 km, t = 2,0 h, v_{1} = 10 \frac{km}{h}, v_{Ges} = \frac{40 km}{2,0 h + t_{Tal}}$
Annahme: $v_{Ges} = 20 \frac{km}{h}$ ist korrekt.
$v_{G e s}$ $=$ $\frac{40 km}{2,0 h + t_{}}$
↓
Setze $v_{Ges} = 20 \frac{km}{h}$ ein.
$20 \frac{km}{h}$ $=$ $\frac{40 km}{2,0 h + t_{Tal}}$ $\cdot (2,0 h + t_{})$
$20 \frac{km}{h} \cdot (2,0 h + t_{Tal})$ $=$ $40 km$ $: 20 \frac{km}{h}$
$2,0 h + t_{Tal}$ $=$ $\frac{40 km}{20 \frac{km}{h}}$
$2,0 h + t_{Tal}$ $=$ $2,0 h$ $- 2,0 h$
$t_{Tal}$ $=$ $0 h$
$\to$ Die Annahme kann nicht korrekt sein, da Walter nicht in 0h den Berg wieder hinabfahren kann.

Fasse jeweils zu einem Bruch zusammen. In welchen Fällen ändert sich durch die Umformung die maximale Definitionsmenge?

$\frac{2}{x} - \frac{x}{2} + x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Defninitionsbereich einer Funktion
Gebrochen-rationale Funktionen
$\frac{2}{x}$ $=$ $\frac{x}{2} + x$
$D_{f}$ $=$ $ℝ \ {0}$
↓
Zusammenfassung zu einem Bruch
$\frac{2}{x} - \frac{x}{2} + x$ $=$
↓
Bilde den Hauptnenner
$=$ $\frac{4}{2 x} - \frac{x^{2}}{2 x} + \frac{2 x^{2}}{2 x}$
$=$ $\frac{x^{2} + 4}{2 x}$
↓
Neue Definitionsmenge bestimmen
$D_{f}$ $=$ $ℝ \ {0}$
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$1 - \frac{2 - y}{y}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge einer Funktion
$1 - \frac{2 - y}{y}$ $=$
$D_{f}$ $=$ $ℝ \ {0}$
↓
Zusammenfassen zu einem Bruch; den Hauptnenner bilden
$=$ $\frac{y - (2 - y)}{y}$
$=$ $\frac{y - 2 + y}{y}$
$=$ $\frac{2 y - 2}{y}$
Neue Definitionsmenge bestimmen
$\Rightarrow$ Die maximale Definitionsmenge bleibt gleich.
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\frac{x}{x - x^{2}} - \frac{3}{1 - x}

\frac{t}{t - a} + \frac{2}{t} + 1

$\frac{a - 3}{a^{2} - 3 a} \cdot \frac{2 a}{a + 3}$

$1 - \frac{x - 3}{x + 2} : \frac{3 - x}{x + 2}$

Vereinfache so weit wie möglich.

$2 x : \frac{4}{x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche multiplizieren
$\frac{2 x}{(\frac{4}{x})} = \frac{2 x^{2}}{4} = \frac{x^{2}}{2}$
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$2 - \frac{2 x}{x - 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hauptnenner
$2 - \frac{2 x}{x - 1}$ $=$ $\frac{2 (x - 1)}{x - 1} - \frac{2 x}{x - 1}$
↓
Zusammenfassen
$=$ $\frac{2 x - 2 - 2 x}{x - 1}$
$=$ $\frac{- 2}{x - 1}$
↓
(ggf. zur besseren Anschauung)
$=$ $- \frac{2}{x - 1}$
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$\frac{6 + 2 z}{z^{2} + 6 z + 9}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formel
$\frac{6 + 2 z}{z^{2} + 6 z + 9}$ $=$
↓
Wende eine binomische Formel an.
$=$ $\frac{6 + 2 z}{{(z + 3)}^{2}}$
↓
Im Zähler die $2$ ausklammern.
$=$ $\frac{2 (3 + z)}{{(z + 3)}^{2}}$
↓
Kürze mit $(z + 3)$ .
$=$ $\frac{2}{z + 3}$
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$\frac{3}{z + 3} - \frac{3}{z - 3}$

9
Multipliziere die folgenden Brüche.
1. $\frac{17 r^{4} s^{3}}{54 t^{5}} \cdot \frac{24 s t^{2}}{85 r^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplizieren von Brüchen
  $\frac{17 r^{4} s^{3} 24 s t^{2}}{54 t^{5} 85 r^{2}}$ $=$
  ↓
  Klammere $r^{2}$ aus.
  $=$ $\frac{r^{2} (17 r^{2} s^{3} 24 s t^{2})}{54 t^{5} 85 r^{2}}$
  ↓
  Kürze mit $r^{2}$ .
  $=$ $\frac{17 r^{2} s^{3} 24 s t^{2}}{54 t^{5} 85}$
  ↓
  Kürze mit $t^{2}$ .
  $=$ $\frac{17 r^{2} s^{3} 24 s}{54 t^{3} 85}$
  ↓
  Multipliziere.
  $=$ $\frac{408 r^{2} s^{4}}{4590 t^{3}}$ $: 102$
  $=$ $\frac{4 r^{2} s^{4}}{45 t^{3}}$
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2. $\frac{7 m^{2}}{12 n^{3}} \cdot {(\frac{3 n^{2}}{7 m})}^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruch ausmultiplizieren
  $\frac{7 m^{2}}{12 n^{3}} \cdot {(\frac{3 n^{2}}{7 m})}^{2}$ $=$
  ↓
  Quadriere den rechten Bruch.
  $=$ $\frac{7 m^{2} 9 n^{4}}{12 n^{3} 49 m^{2}}$
  ↓
  Kürze mit $m^{2}$ .
  $=$ $\frac{7 \cdot 9 n^{4}}{12 n^{3} \cdot 49}$
  ↓
  Kürze mit 7.
  $=$ $\frac{9 n^{4}}{12 n^{3} \cdot 7}$
  ↓
  Kürze mit $n^{3}$ .
  $=$ $\frac{9 n}{12 \cdot 7}$
  ↓
  Kürze mit 3.
  $=$ $\frac{3 n}{28}$
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Dividiere die folgenden Brüche.

$\frac{9 c}{10 a b} : \frac{6 a c}{25 b}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Division von Brüchen
$\begin{array}{rcll} \frac{9 c}{10 ab} : \frac{6 ac}{25 b} & = & \frac{9 c}{10 a b} \cdot \frac{25 b}{6 a c} \\ = & \frac{(9 c) \cdot (25 b)}{(10 a b) \cdot (6 a c)} \\ = & \frac{225 c b}{60 a^{2} b c} & | Kürze c b und b c \\ = & \frac{225}{60 a^{2}} & | Kürze mit 15 \\ = & \frac{15}{4 a^{2}} \end{array}$
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$\frac{{(2 u v^{2})}^{3}}{18 w^{4}} : \frac{4 u v^{4}}{{(3 u w)}^{2}}$

Benutze binomische Formeln um die Brüche zu kürzen

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1}$ $=$
↓
Benutze die 1. binomische Formel im Zähler.
$=$ $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x + 1}$
↓
Kürze mit (x+1).
$=$ $(x + 1)$
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$\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ $=$
↓
Wende die 3. binomische Formel im Zähler an.
$=$ $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1}$
↓
Kürze $(x + 1)$ .
$=$ $x - 1$
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$\frac{{(x + 3 y)}^{3}}{x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\frac{{(x + 3 y)}^{3}}{x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}}$ $=$
↓
Wende im Nenner die 1. binomische Formel an.
$=$ $\frac{{(x + 3 y)}^{3}}{{(x + 3 y)}^{2}}$
↓
Kürze ${(x + 3 y)}^{2}$ .
$=$ $x + 3 y$
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$\frac{(x + 1) (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\frac{(x + 1) (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 4}$ $=$
↓
Wende die 2. binomische Formel an.
$=$ $\frac{(x + 1) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$
↓
Kürze $(x - 2)$ .
$=$ $\frac{x + 1}{x - 2}$
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\frac{x^{4} + 18 x^{2} + 89}{{(x^{2} + 9)}^{2}}

12
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Bestimme die Definitionsmenge:
1. $\frac{5 x^{2} - a}{36 x^{2} - 16 x}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
  Der Nenner muss immer ungleich null sein.
  Setze den Nenner gleich null:
  $36 x^{2} - 16 x$ $=$ $0$
  ↓
  Klammere $4 x$ aus.
  $4 x \cdot (9 x - 4)$ $=$ $0$
  Du hast die Gleichung $4 x \cdot (9 x - 4) = 0$ erhalten. Wende nun den Satz vom Nullprodukt an.
  $4 x = 0$ oder $9 x - 4 = 0 \Rightarrow x = 0 oder x = \frac{4}{9}$
  Somit ergibt sich die Definitionsmenge zu $𝔻 = ℝ \ {0; \frac{4}{9}}$
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  Der Nenner muss immer ungleich null sein.
  Berechne also, für welchen x-Wert der Nenner null wird.
2. $\frac{1}{x - 6} - \frac{1}{6 x + 1}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
  Der Nenner jedes Bruches muss ungleich null sein.
  Der erste Nenner wird für $x = 6$ null.
  Der zweite Nenner wird gleich null gesetzt:
  $6 x + 1$ $=$ $0$ $- 1$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $6 x$ $=$ $- 1$ $: 6$
  $x$ $=$ $- \frac{1}{6}$
  Somit ergibt sich die Definitionsmenge zu $𝔻 = ℝ \ {- \frac{1}{6}; 6}$
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  Der Nenner jedes Bruches muss ungleich null sein.
  Berechne also, für welchen x-Wert der Nenner null wird.
13
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Vereinfache:
1. $\frac{\frac{J}{C}}{J}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme
  $\frac{\frac{J}{C}}{J}$ $=$ $\frac{J}{C} : J$
  $=$ $\frac{J}{C} \cdot \frac{1}{J}$
  $=$ $\frac{J}{C \cdot J}$
  $=$ $\frac{1}{C}$
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2. $\frac{J}{\frac{J}{C}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme
  $\frac{J}{\frac{J}{C}}$ $=$ $J : \frac{J}{C}$
  $=$ $J \cdot \frac{C}{J}$
  $=$ $\frac{J \cdot C}{J}$
  $=$ $\frac{C}{1}$
  $=$ $C$
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3. $\frac{\frac{1}{x^{2}} - 2}{1 - \frac{1}{x}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme
  Bringe Zähler und Nenner auf den Hauptnenner.
  $\frac{\frac{1}{x^{2}} - 2}{1 - \frac{1}{x}}$ $=$ $\frac{\frac{1 - 2 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x - 1}{x}}$
  ↓
  Dividiere.
  $=$ $\frac{1 - 2 x^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x - 1}$
  $=$ $\frac{(1 - 2 x^{2}) x}{x^{2} (x - 1)}$
  ↓
  Kürze durch x.
  $=$ $\frac{1 - 2 x^{2}}{x (x - 1)}$
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Vereinfache:

$\frac{74 x - 34}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{74 x + 34}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme
Multipliziere.
$\frac{74 x - 34}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{74 x + 34}$ $=$ $\frac{(74 x - 34) (x^{2} + 1)}{(x + 1) (74 x + 34)}$
↓
Klammere die $2$ aus.
$=$ $\frac{2 (37 x - 17) (x^{2} + 1)}{(x + 1) \cdot 2 (37 x + 17)}$
↓
Kürze die $2$ .
$=$ $\frac{(37 x - 17) (x^{2} + 1)}{(x + 1) (37 x + 17)}$
Du kannst nicht weiter vereinfachen, da $x^{2} + 1$ nicht faktorisiert und nicht weiter gekürzt werden kann.
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\frac{a z}{z - a} : \frac{a^{2} z^{3}}{a z - a^{2}}

Vereinfache:

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme
Erweitere auf den Hauptnenner $(x - 1) (x + 2)$ .
$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 2}$ $=$ $\frac{x + 2}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{x - 1}{(x - 1) (x + 2)}$
↓
Subtrahiere.
$=$ $\frac{x + 2 - (x - 1)}{(x - 1) (x + 2)}$
↓
Löse die Klammer auf.
$=$ $\frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$
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$\frac{24 - x}{x + 3} - 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme
Auf den Hauptnenner $(x + 3)$ erweitern.
$\frac{24 - x}{x + 3} - 8$ $=$ $\frac{24 - x}{x + 3} - \frac{8 (x + 3)}{x + 3}$
↓
Klammern ausmultiplizieren.
$=$ $\frac{24 - x - 8 x - 24}{x + 3}$
↓
Subtraktion
$=$ $\frac{- 9 x}{x + 3}$
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\frac{6 x^{2} + 5}{36 x^{2} - 16 x} + \frac{3 x}{8 - 18 x}

\frac{6 x + 11}{2 x + 4} - \frac{2 x + 5}{x^{2} + 2 x} - 3

16
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Bringe auf einen Bruchstrich: $\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{1} + R_{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen
$\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{1} + R_{2}} = \frac{R_{2} (R_{1} + R_{2}) + R_{1} (R_{1} + R_{2}) + R_{1} R_{2}}{R_{1} R_{2} (R_{1} + R_{2})} = \frac{3 R_{1} R_{2} + R_{r}^{2} + R_{1}^{2}}{R_{1} R_{2} (R_{1} + R_{2})}$

Kürze vollständig.

$\frac{2 x + 4 x}{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche kürzen
Addiere im Zähler
$\frac{2 x + 4 x}{4}$ $=$ $\frac{6 x}{4}$
↓
Dividiere durch den gemeinsamen Teiler 2.
$=$ $\frac{3 x}{2}$
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$\frac{6 f^{4} (g h)^{5}}{(2 f g)^{3} h^{2}}$

Löse die Klammern auf
$\frac{6 f^{4} (g h)^{5}}{(2 f g)^{3} h^{2}}$ $=$ $\frac{6 f^{4} g^{5} h^{5}}{8 f^{3} g^{3} h^{2}}$
↓
Kürze mit $2 f^{3} g^{3} h^{2}$ .
$=$ $\frac{3 f g^{2} h^{3}}{4}$
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$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 32 x - 16}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}$

18
Vereinfache folgende Funktionen so weit wie möglich, indem du die binomischen Formel anwendest.
1. $f (x) = \frac{(x + 1) \cdot (x - 1) + 1}{x^{3}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zähler
  Vereinfache den Zähler, indem du die binomische Formel anwendest.
  $f (x)$ $=$ $\frac{(x + 1) \cdot (x - 1) + 1}{x^{3}}$
  ↓
  Wende die 3. binomische Formel im Zähler an.
  $=$ $\frac{x^{2} - 1 + 1}{x^{3}}$
  ↓
  Fasse den Zähler zusammen.
  $=$ $\frac{x^{2}}{x^{3}}$
  ↓
  Kürze den Bruch mit $x^{2}$ .
  $=$ $\frac{1}{x}$
  Die vollständig vereinfachte Funktion ist $f (x) = \frac{1}{x}$ .
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2. $g (z) = \frac{(z + 3)^{2} - 6 z - 9}{3 z^{3}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zähler
  Vereinfache den Zähler, indem du die binomische Formel anwendest.
  $g (z)$ $=$ $\frac{{(z + 3)}^{2} - 6 z - 9}{3 z^{3}}$
  ↓
  Wende die 1. binomische Formel im Zähler an.
  $=$ $\frac{z^{2} + 6 z + 9 - 6 z - 9}{3 z^{3}}$
  ↓
  Fasse den Zähler zusammen.
  $=$ $\frac{z^{2}}{3 z^{3}}$
  ↓
  Kürze den Faktor $z^{2}$ .
  $=$ $\frac{1}{3 z}$
  Die vollständig vereinfachte Funktion ist $g (z) = \frac{1}{3 z}$ .
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3. $h (t) = \frac{t^{2} - 8 t + 16}{2 (t - 4)}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zähler
  Vereinfache den Zähler, indem du die binomische Formel anwendest.
  $h (t)$ $=$ $\frac{t^{2} - 8 t + 16}{2 (t - 4)}$
  ↓
  Wende die 2. binomische Formel im Zähler an.
  $=$ $\frac{{(t - 4)}^{2}}{2 (t - 4)}$
  ↓
  Kürze den Bruch mit $(t - 4)$ .
  $=$ $\frac{t - 4}{2}$
  Die vollständig vereinfachte Funktion ist $h (t) = \frac{t - 4}{2}$ .
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Vereinfache die Funktionen, indem du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringst.

$f (x) = \frac{5 x}{4} + \frac{1}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erweitern von Funktionen
Bilde den gemeinsamen Nenner der beiden Brüche, um sie addieren zu können.
$f (x)$ $=$ $\frac{5 x}{4} + \frac{1}{2}$
↓
Erweitere $\frac{1}{2}$ mit $2$ , um den gemeinsamen Nenner $4$ zu erhalten.
$=$ $\frac{5 x}{4} + \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}$
↓
Verrechne den 2. Bruch.
$=$ $\frac{5 x}{4} + \frac{2}{4}$
↓
Addiere die beiden Brüche.
$=$ $\frac{5 x + 2}{4}$
Die Funktion, die du hier erhältst, ist $f (x) = \frac{5 x + 2}{4}$ .
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$g (x) = \frac{6}{x} - \frac{2}{3 x^{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erweitern von Funktionen
Bilde den gemeinsamen Nenner der beiden Brüche, um sie subtrahieren zu können.
$g (x)$ $=$ $\frac{6}{x} - \frac{2}{3 x^{2}}$
↓
Erweitere $\frac{6}{x}$ mit $3 x$ , um den gemeinsamen Nenner $3 x^{2}$ zu erhalten.
$=$ $\frac{6 \cdot 3 x}{x \cdot 3 x} - \frac{2}{3 x^{2}}$
↓
Verrechne den 1. Bruch.
$=$ $\frac{18 x}{3 x^{2}} - \frac{2}{3 x^{2}}$
↓
Subtrahiere die beiden Brüche.
$=$ $\frac{18 x - 2}{3 x^{2}}$
Die Funktion, die du hier erhältst, ist $g (x) = \frac{18 x - 2}{3 x^{2}}$ .
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$h (x) = \frac{1}{(x + 1)} - \frac{x}{(x + 1)^{2}}$

20
Vereinfache die Funktion durch Ausklammern und Kürzen.
1. $f (x) = \frac{4 x^{2} + 2 x}{2 x^{2} (2 x + 1)}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  Vereinfache die Funktion, indem du zuerst ausklammerst und danach kürzt.
  $f (x)$ $=$ $\frac{4 x^{2} + 2 x}{2 x^{2} (2 x + 1)}$
  ↓
  Klammere den Faktor $2 x$ im Zähler aus.
  $=$ $\frac{2 x \cdot (2 x + 1)}{2 x \cdot x \cdot (2 x + 1)}$
  ↓
  Kürze den Bruch mit dem Faktor $2 x$ .
  $=$ $\frac{2 x + 1}{x \cdot (2 x + 1)}$
  ↓
  Kürze den Bruch mit dem Faktor $2 x + 1$ .
  $=$ $\frac{1}{x}$
  Die vereinfachte Funktion ist $f (x) = \frac{1}{x}$ .
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2. $g (x) = \frac{2 x^{2} - 2}{6}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  Vereinfache die Funktion, indem du zuerst ausklammerst und danach kürzt.
  $g (x)$ $=$ $\frac{2 x^{2} - 2}{6}$
  ↓
  Klammere den Faktor $2$ im Zähler und Nenner aus.
  $=$ $\frac{2 \cdot (x^{2} - 1)}{2 \cdot 3}$
  ↓
  Kürze den Bruch mit dem Faktor $2$ .
  $=$ $\frac{x^{2} - 1}{3}$
  Die vereinfachte Funktion ist $g (x) = \frac{x^{2} - 1}{3}$ .
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3. $h (x) = \frac{12 x^{3} + 4 x}{4 x^{2} + 8 x}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
  Vereinfache die Funktion, indem du zuerst ausklammerst und danach kürzt.
  $h (x)$ $=$ $\frac{12 x^{3} + 4 x}{4 x^{2} + 8 x}$
  ↓
  Klammere den Faktor $4 x$ im Zähler und Nenner aus.
  $=$ $\frac{4 x \cdot (3 x^{2} + 1)}{4 x \cdot (x + 2)}$
  ↓
  Kürze den Bruch mit dem Faktor $4 x$ .
  $=$ $\frac{3 x^{2} + 1}{x + 2}$
  Die vereinfachte Funktion ist $h (x) = \frac{3 x^{2} + 1}{x + 2}$ .
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21
Kürze die Bruchterme so weit wie möglich.
Dazu kann es notwendig sein, im Zähler oder im Nenner einen Faktor auszuklammern!
1. Kürze den Bruchterm so weit wie möglich!
  $\frac{63 x}{14 x y}$
  $\frac{9}{2 y}$
  $\frac{9 x}{2 x y}$
  $\frac{63}{14 y}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme
  $\frac{63 x}{14 x y} = \frac{7 \cdot 9 \cdot x}{7 \cdot 2 \cdot x \cdot y}$
  Kürzen der gleichen Faktoren:
  $= \frac{9}{2 y}$
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  Finde Teiler, durch die sich Zähler und Nenner kürzen lassen.
2. Kürze den Bruchterm so weit wie möglich!
  $\frac{2 x^{2} + 8 x}{2 (x^{3} + 4 x^{2})}$
  $\frac{x^{2} + 4 x}{x^{3} + 4 x^{2}}$
  $\frac{1}{x}$
  $\frac{x + 4}{x^{2} + 4 x}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme
  Klammere zunächst jeweils im Zähler und im Nenner alle gleichen Faktoren aus.
  $\frac{2 \cdot x \cdot x + 2 \cdot 4 \cdot x}{2 \cdot (x \cdot x \cdot x + 4 \cdot x \cdot x)} = \frac{2 x (x + 4)}{2 x^{2} \cdot (x + 4)}$
  Kürze nun gleiche Faktoren.
  $\frac{x + 4}{x \cdot (x + 4)}$
  Die Klammer $(x + 4)$ ist ebenfalls ein gleicher Faktor in Zähler und Nenner.
  $\frac{1}{x}$
  Der Bruch lässt sich nicht weiter kürzen. Dies ist also der vollständig gekürzte Bruch.
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  Finde Teiler, durch die sich Zähler und Nenner kürzen lassen.
3. Kürze den Bruchterm so weit wie möglich!
  $\frac{72 x y + 104 x^{3}}{64 x + 72 x y - 80 x^{2} y}$
  $\frac{9 x y + 13 x^{3}}{8 x + 9 x y - 10 x^{2} y}$
  $\frac{104 x^{3}}{64 x - 80 x^{2} y}$
  $\frac{9 y + 13 x^{2}}{8 + 9 y - 10 x y}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme
  Klammere zunächst im Zähler und Nenner alle gleichen Faktoren aus.
  $\frac{9 \cdot 8 \cdot x \cdot y + 8 \cdot 13 \cdot x \cdot x^{2}}{8 \cdot 8 \cdot x + 9 \cdot 8 \cdot x \cdot y + 8 \cdot 10 \cdot x \cdot x \cdot y}$
  In allen Summanden im Zähler kommt ein x und eine 8 vor. In allen Summanden im Nenner kommt ein x und eine 8 vor:
  $\frac{8 x (9 y + 13 x^{2})}{8 x (8 + 9 y + 10 x y)}$
  Jetzt lässt sich der Faktor $8 x$ kürzen.
  $\frac{9 y + 13 x^{2}}{8 + 9 y + 10 x y}$
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  Finde Teiler, durch die sich Zähler und Nenner kürzen lassen.
22
Vereinfache beide Terme soweit wie möglich, falls dies möglich ist.
1. $\frac{9 x}{3 x - 6 x^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gebrochen-rationale Funktionen
  Klammere zuerst 3 $x$ aus.
  $\frac{9 x}{3 x - 6 x^{2}}$ $=$ $= \frac{9 x}{3 x (1 - 2 x)}$
  ↓
  Kürze 3 $x$
  $=$ $= \frac{3}{1 - 2 x}$
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2. $\frac{4}{4 + x^{2}}$
  Begründe, dass die Termwerte von b) nicht größer als 1 werden können, unabhängig davon, welche Zahl man für $x$ einsetzt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gebrochen-rationale Funktionen
  $\Rightarrow$ keine Vereinfachung möglich
  Warum können die Termwerte von Teilaufgabe b) nie größer als 1 werden?
  Egal welche Zahl man für $x$ einsetzt, $x^{2}$ ist immer positiv. Das heißt also, dass $4 + x^{2} \geq 4$ . Damit ist im Bruch $\frac{4}{4 + x^{2}}$ der Zähler immer kleiner gleich dem Nenner und der Bruch kann somit nie größer als $1$ werden.
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Gegeben ist der Term $T (x) = - \frac{1}{2} x + 5$ . Setze für $x$ die Werte $1; 2; 2,5;$ $3 \frac{1}{3}$ $; 6; 8$ ein und trage die Termwerte in einer Tabelle zusammen. Der Tabelle kannst du Wertepaare $(x | T (x))$ , z. B. $(2 | T (2))$ , entnehmen und als Koordinaten des Punktes $(2 | 4)$ deuten.

Trage für die Wertepaare aus der Tabelle die zugehörigen Punkte in ein Koordinatensystem ein.

Tabelle
$1$
$2$
$2,5$
$3 \frac{1}{3}$
$6$
$8$
$T (x) = - \frac{1}{2} x + 5$
$4,5$
$4$
$4 \frac{1}{4}$
$4 \frac{2}{3}$
$2$
$1$
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Zeichne vom Punkt $(2 | T (2))$ die Lote auf die $x$ - und $y$ -Achse; es entsteht ein Rechteck. Zeichne auch für den Punkt $(6 | T (6))$ das entsprechende Rechteck ein. Suche den Wert für $x$ , bei dem das zu $(x | T (x))$ gehörende Rechteck einen möglichst großen Flächeninhalt hat.

24
Gegeben ist der Term $T (x) = \frac{5 - 2 x}{x - 3}$ .
1. Erstelle eine Tabelle für die Werte von $x$ und $T (x)$ . Setze für $x$ die folgenden Werte in die Tabelle ein: $- 4,5$ ; $- 4$ ; $- \frac{3}{2}$ ; $0$ ; $1$ ; $2 \frac{1}{2}$ ; $3 \frac{1}{3}$ ; $4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Term
  Setze in $T (x) = \frac{5 - 2 x}{x - 3}$ die Werte
  $x = - 4,5$
  $x = - 4$
  $x = - \frac{3}{2}$
  $x = 0$
  $x = 1$
  $x = 2 \frac{1}{2}$
  $x = 3 \frac{1}{3}$
  $x = 4$
  ein.
  $x$
  $- 4,5$
  $- 4$
  $- \frac{3}{2}$
  $0$
  $1$
  $2 \frac{1}{2}$
  $3 \frac{1}{3}$
  $4$
  $T (x)$
  $- \frac{28}{15}$
  $- \frac{13}{7}$
  $- \frac{16}{9}$
  $- \frac{5}{3}$
  $- \frac{3}{2}$
  $0$
  $- 5$
  $- 3$
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2. Beschreibe, was für ein Problem an der Stelle $x = 3$ auftritt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Term
  $T (x) = \frac{5 - 2 x}{x - 3}$
  Wenn du $x = 3$ in den Term $T (x)$ einsetzt, erhältst du den Nenner $3 - 3 = 0$ . Da jedoch nie durch $0$ geteilt werden darf, ist der Term $T (x)_{}$ für $x = 3$ nicht definiert.
  Der Term $T (x)$ hat also eine Defintionslücke an der Stelle $x = 3$ .
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

	$\frac{{(\frac{6}{6} a^{2})}^{3} : (\frac{4 x}{y^{2}})}{\frac{1}{{(2 a^{2} b)}^{3} \cdot {(3 x^{2} y^{3})}^{3}}} : \frac{2 a^{3} b}{5}$
	↓ Löse die Klammern mithilfe der Potenzgesetze auf
$=$	$\frac{a^{6} : \frac{16 x^{2}}{y^{4}}}{\frac{1}{8 a^{6} b^{3} \cdot 27 x^{6} y^{9}}} : \frac{2 a^{3} b}{5}$
	↓ Multipliziere im Zähler des ersten Bruchs mit dem Kehrbruch
$=$	$\frac{\frac{a^{6} y^{4}}{16 x^{2}}}{\frac{1}{216 a^{6} b^{3} x^{6} y^{9}}} : \frac{2 a^{3} b}{5}$
	↓ Der mittlere Bruchstrich entspricht einem "Geteilt", deshalb kannst du stattdessen mit dem Kehrbruch multiplizieren. Gleiches bei dem zweiten Bruch.
$=$	$\frac{a^{6} y^{4}}{16 x^{2}} \cdot \frac{216 a^{6} b^{3} x^{6} y^{9}}{1} \cdot \frac{5}{2 a^{3} b}$
	↓ Kürze mit $8 a^{3} b x^{2}$ .
$=$	$\frac{a^{6} y^{4}}{2} \cdot \frac{27 a^{3} b^{2} x^{4} y^{9}}{1} \cdot \frac{5}{2}$
	↓ Multipliziere.
$=$	$\frac{135}{4} a^{9} b^{2} x^{4} y^{13}$

$T (u, v, w)$	$=$	$\frac{(2 u v^{2})^{3}}{18 w^{4}} \cdot \frac{(3 u w)^{2}}{4 u v^{4}}$
	↓	Berechne die Potenzen.
	$=$	$\frac{2^{3} u^{3} v^{6}}{18 w^{4}} \cdot \frac{3^{2} u^{2} w^{2}}{4 u v^{4}}$
	↓	Schreibe $18$ als $2 \cdot 3^{2}$ und $4$ als $2^{2}$
	$=$	$\frac{2^{3} u^{3} v^{6}}{2 \cdot 3^{2} w^{4}} \cdot \frac{3^{2} u^{2} w^{2}}{2^{2} u v^{4}}$
	↓	Kürze die Potenzen mit der $2$ und die Potenzen mit der $3$ .
	$=$	$\frac{u^{3} v^{6}}{w^{4}} \cdot \frac{u^{2} w^{2}}{u v^{4}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{u^{5} v^{6} w^{2}}{w^{4} u v^{4}}$
	↓	Kürze die Potenzen.
	$=$	$\frac{u^{4} v^{2}}{w^{2}}$

$\frac{a z}{z - a} : \frac{a^{2} z^{3}}{a z - a^{2}}$	$=$	$\frac{a z}{z - a} : \frac{a^{2} z^{3}}{a (z - a)}$
	↓	Division durch einen Bruch $\to$ Multiplikation mit dem Kehrwert.
	$=$	$\frac{a z \cdot a (z - a)}{(z - a) \cdot a^{2} z^{3}}$
	↓	Fasse die Faktoren mit Potenzschreibweise zusammen.
	$=$	$\frac{a^{2} \cdot z (z - a)}{(z - a) \cdot a^{2} z^{3}}$
	↓	Kürze $a^{2} z (z - a)$ .
	$=$	$\frac{1}{z^{2}}$

	$\frac{6 x^{2} + 5}{36 x^{2} - 16 x} + \frac{3 x}{8 - 18 x}$
	↓ Ausklammern in den Nennern. Es gilt $8 - 18 x = - 2 (9 x - 4)$
$=$	$\frac{6 x^{2} + 5}{4 x (9 x - 4)} + \frac{3 x}{- 2 (9 x - 4)}$
	↓ Das Rechenzeichen hat sich wegen dem " $-$ " im zweiten Nenner geändert.
$=$	$\frac{6 x^{2} + 5}{4 x (9 x - 4)} - \frac{3 x}{2 (9 x - 4)}$
	↓ Erweitere auf den Hauptnenner $4 x \cdot (9 x - 4)$ .
$=$	$\frac{6 x^{2} + 5}{4 x (9 x - 4)} - \frac{3 x 2 x}{4 x (9 x - 4)}$
	↓ Subtrahiere.
$=$	$\frac{6 x^{2} + 5 - 6 x^{2}}{4 x (9 x - 4)}$
$=$	$\frac{5}{4 x (9 x - 4)}$

$\frac{45 x - 20}{36 x^{2} - 16 x}$	$=$	$\frac{5 \cdot 9 \cdot x - 5 \cdot 4}{4 \cdot 9 \cdot x^{2} - 4 \cdot 4 \cdot x}$
	↓	Klammere im Zähler $5$ und im Nenner $4 x$ aus.
	$=$	$\frac{5 (9 x - 4)}{4 x (9 x - 4)}$
	↓	Kürze $(9 x - 4)$ aus Zähler und Nenner.
	$=$	$\frac{5}{4 x}$

$\frac{{(a b)}^{2}}{a^{3} b - a^{2} b^{3}}$	$=$	$\frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} b (a - b^{2})}$
	↓	Kürze $a^{2} b$ .
	$=$	$\frac{b}{a - b^{2}}$

$\frac{a + b}{b} - \frac{a - b}{a}$	$=$	$\frac{(a + b) \cdot a}{b \cdot a} - \frac{(a - b) \cdot b}{a \cdot b}$
	↓	Fasse die beiden Brüche zu einen zusammen.
	$=$	$\frac{(a + b) \cdot a - (a - b) \cdot b}{b \cdot a}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\frac{a^{2} + a b - a b + b^{2}}{b \cdot a}$
	↓	Berechne im Zähler $a b - a b$ .
	$=$	$\frac{a^{2} + b^{2}}{b \cdot a}$

$\frac{c}{c^{2} - 8 c + 16} - \frac{2}{c^{2} - 6 c + 8}$	$=$
	↓	Wende die 2. binomische Formel und den Satz von Vieta an
	$=$	$\frac{c}{{(c - 4)}^{2}} - \frac{2}{(c - 4) (c - 2)}$
	↓	Bilde den Hauptnenner $((c - 4)^{2} (c - 2))$
	$=$	$\frac{c (c - 2) - [2 (c - 4)]}{(c - 4)^{2} (c - 2)}$
	$=$	$\frac{c^{2} - 2 c - [2 c - 8]}{(c - 4)^{2} (c - 2)}$
	$=$	$\frac{c^{2} - 2 c - 2 c + 8}{(c - 4)^{2} (c - 2)}$
	↓	Subtraktion
	$=$	$\frac{c^{2} - 4 c + 8}{(c - 2) (c - 4)^{2}}$

$\frac{b - c}{a^{2} + a c} - \frac{a - b}{a c + c^{2}} + \frac{a^{2} + c^{2}}{a^{2} c + a c^{2}}$	$=$
	↓	Mache die Nenner übersichtlicher, um den Hauptnenner leichter zu finden.
	$=$	$\frac{b - c}{a \cdot (a + c)} - \frac{a - b}{c \cdot (a + c)} + \frac{a^{2} + c^{2}}{a \cdot c \cdot (a + c)}$
	↓	Bilde den Hauptnenner $(a \cdot c \cdot (a + c))$ und erweitere beide Brüche auf diesen.
	$=$	$\frac{c \cdot (b - c)}{a \cdot c \cdot (a + c)} - \frac{a \cdot (a - b)}{a \cdot c \cdot (a + c)} + \frac{a^{2} + c^{2}}{a \cdot c \cdot (a + c)}$
	↓	Schreibe den Term auf einen Bruchstrich
	$=$	$\frac{c \cdot (b - c) - a \cdot (a - b) + a^{2} + c^{2}}{a \cdot c \cdot (a + c)}$
	↓	Vereinfache den Zähler
	$=$	$\frac{b c - c^{2} - a^{2} + a b + a^{2} + c^{2}}{a \cdot c \cdot (a + c)}$
	$=$	$\frac{b c + a b}{a \cdot c \cdot (a + c)}$
	$=$	$\frac{b (a + c)}{a \cdot c \cdot (a + c)}$
	↓	Kürze $(a + c)$
	$=$	$\frac{b}{a c}$

$\frac{c^{2} + c - 20}{- c^{2} + c + 30}$	$=$
	$=$	$\frac{(c - 4) \cdot (c + 5)}{(c + 5) \cdot (- c + 6)}$
	$=$	$\frac{c - 4}{- c + 6}$
	$=$	$- \frac{c - 4}{c - 6}$

$\frac{7 r^{2} s}{12 (r - s)} \cdot \frac{{(2 s r - 2 r)}^{2}}{21 r s^{2}}$	$=$
	↓	Kürze zunächst alles, was man schonmal kürzen kann. Hier die $7$ mit der $21$ , $r^{2}$ mit $r$ und $s$ mit $s^{2}$ .
	$=$	$\frac{r}{12 (r - s)} \cdot \frac{{(2 s r - 2 r)}^{2}}{3 s}$
	↓	Nun kannst du in der Klammer $(2 s r - 2 r)^{2}$ die $2 r$ ausklammern.
	$=$	$\frac{r}{12 (r - s)} \cdot \frac{{(2 r (s - 1))}^{2}}{3 s}$
	↓	Löse nun die Klammer oben mithilfe der Potenzgesetze auf.
	$=$	$\frac{r}{12 (r - s)} \cdot \frac{4 r^{2} {(s - 1)}^{2}}{3 s}$
	↓	Kürze die $4$ mit der $12$ und fasse zusammen
	$=$	$\frac{r 3 {(s - 1)}^{2}}{9 s (r - s)}$

$\frac{\frac{2}{3} b^{2} + {(\frac{3 b}{2})}^{2} - \frac{5}{6} b^{2}}{{(\frac{4}{3} a^{2} b)}^{3}} : \frac{{(\frac{2 a}{3})}^{2}}{\frac{5 a^{3}}{b^{2}}}$	$=$	$\frac{\frac{2}{3} b^{2} + \frac{9 b^{2}}{4} - \frac{5}{6} b^{2}}{\frac{64}{27} a^{6} b^{3}} : \frac{\frac{4 a^{2}}{9}}{\frac{5 a^{3}}{b^{2}}}$
	↓	Multipliziere mit dem Kehrbruch.
	$=$	$\frac{b^{2} \cdot (\frac{2}{3} + \frac{9}{4} - \frac{5}{6})}{\frac{64}{27} a^{6} b^{3}} \cdot \frac{\frac{5 a^{3}}{b^{2}}}{\frac{4 a^{2}}{9}}$
	↓	Multipliziere die beiden Brüche und kürze im Zähler mit $b^{2}$ .
	$=$	$\frac{5 a^{3} \cdot (\frac{2}{3} + \frac{9}{4} - \frac{5}{6})}{\frac{64}{27} a^{6} b^{3} \cdot \frac{4 a^{2}}{9}}$
	↓	Bilde im Zähler den Hauptnenner (12) und erweitere alle Brüche auf diesen. Multipliziere im Nenner aus.
	$=$	$\frac{5 a^{3} \cdot (\frac{8}{12} + \frac{27}{12} - \frac{10}{12})}{\frac{256 a^{8} b^{3}}{243}}$
	↓	Berechne das Innere der Klammer $(\frac{25}{12})$ .
	$=$	$\frac{\frac{125 a^{3}}{12}}{\frac{256 a^{8} b^{3}}{243}}$
	↓	Der mittlere Bruchstrich entspricht einem "Geteilt", stattdessen kannst du deswegen mit dem Kehrbruch multiplizieren.
	$=$	$\frac{125 a^{3}}{12} \cdot \frac{243}{256 a^{8} b^{3}}$
	↓	Multipliziere und kürze mit $3 a^{3}$ .
	$=$	$\frac{10125}{1024 a^{5} b^{3}}$

$\frac{u}{2 v} - \frac{v}{2 u}$	$=$	$\frac{u \cdot u}{2 v u} - \frac{v \cdot v}{2 u v}$
	↓	Schreibe auf gemeinsamen Bruchstrich
	$=$	$\frac{u^{2} - v^{2}}{2 u v}$

$\frac{13}{6 h^{2}} + 1 - \frac{4}{21 h}$	$=$	$\frac{13 \cdot 7}{6 h^{2} \cdot 7} + \frac{1 \cdot 42 h^{2}}{1 \cdot 42 h^{2}} - \frac{4 \cdot 2 h}{21 h \cdot 2 h}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\frac{91}{42 h^{2}} + \frac{42 h^{2}}{42 h^{2}} - \frac{8 h}{42 h^{2}}$
	↓	Schreibe die Brüche auf einen gemeinsamen Bruchstrich.
	$=$	$\frac{42 h^{2} - 8 h + 91}{42 h^{2}}$

$v_{G e s}$	$=$	$\frac{40 km}{2,0 h + t_{}}$
	↓	Setze $v_{Ges} = 20 \frac{km}{h}$ ein.
$20 \frac{km}{h}$	$=$	$\frac{40 km}{2,0 h + t_{Tal}}$	$\cdot (2,0 h + t_{})$
$20 \frac{km}{h} \cdot (2,0 h + t_{Tal})$	$=$	$40 km$	$: 20 \frac{km}{h}$
$2,0 h + t_{Tal}$	$=$	$\frac{40 km}{20 \frac{km}{h}}$
$2,0 h + t_{Tal}$	$=$	$2,0 h$	$- 2,0 h$
$t_{Tal}$	$=$	$0 h$

$\frac{2}{x}$	$=$	$\frac{x}{2} + x$
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {0}$
	↓	Zusammenfassung zu einem Bruch
$\frac{2}{x} - \frac{x}{2} + x$	$=$
	↓	Bilde den Hauptnenner
	$=$	$\frac{4}{2 x} - \frac{x^{2}}{2 x} + \frac{2 x^{2}}{2 x}$
	$=$	$\frac{x^{2} + 4}{2 x}$
	↓	Neue Definitionsmenge bestimmen
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {0}$

$1 - \frac{2 - y}{y}$	$=$
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {0}$
	↓	Zusammenfassen zu einem Bruch; den Hauptnenner bilden
	$=$	$\frac{y - (2 - y)}{y}$
	$=$	$\frac{y - 2 + y}{y}$
	$=$	$\frac{2 y - 2}{y}$

$\frac{3}{z + 3} - \frac{3}{z - 3}$	$=$
	↓	Hauptnennerbildung und Brüche mit diesem erweitern.
	$=$	$\frac{3 \cdot (z - 3)}{(z + 3) (z - 3)} - \frac{3 \cdot (z + 3)}{(z - 3) (z + 3)}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{3 z - 9}{(z + 3) (z - 3)} - \frac{3 z + 9}{(z + 3) (z - 3)}$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\frac{3 z - 9 - (3 z + 9)}{(z + 3) (z - 3)}$
	↓	Klammer im Zähler auflösen.
	$=$	$\frac{3 z - 9 - 3 z - 9}{(z + 3) (z - 3)}$
	↓	Zähler zusammenfassen.
	$=$	$\frac{- 18}{(z + 3) (z - 3)}$

$\frac{x}{x - x^{2}} - \frac{3}{1 - x}$	$=$
	↓	Klammere $x$ aus
	$=$	$\frac{x}{x \cdot (1 - x)} - \frac{3}{1 - x}$
	↓	Lese die Definitionslücken ab.
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {1; 0}$
	↓	Bruch berechnen
$\frac{x}{x \cdot (1 - x)} - \frac{3}{1 - x}$	$=$
	↓	Kürze mit $x$
	$=$	$\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x}$
	↓	Subtrahiere die Brüche
	$=$	$- \frac{2}{1 - x}$
	↓	Lese die Definitionslücke ab
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {1}$

$\frac{t}{t - a} + \frac{2}{t} + 1$	$=$
	↓	Bilde den Hauptnenner $t \cdot (t - a)$ und erweitere alle Brüche auf diesen
	$=$	$\frac{t \cdot t}{t \cdot (t - a)} + \frac{2 \cdot (t - a)}{t \cdot (t - a)} + \frac{t \cdot (t - a)}{t \cdot (t - a)}$
	↓	Addiere
	$=$	$\frac{t^{2} + 2 \cdot (t - a) + t \cdot (t - a)}{t \cdot (t - a)}$
	↓	Multipliziere im Zähler die Klammern aus und fasse zusammen
	$=$	$\frac{2 t^{2} + 2 t - 2 a - a t}{t \cdot (t - a)}$

$\frac{a - 3}{a^{2} - 3 a} \cdot \frac{2 a}{a + 3}$	$=$
	↓	a ausklammern
	$=$	$\frac{a - 3}{a \cdot (a - 3)} \cdot \frac{2 a}{a + 3}$
	↓	Definitionslücken ablesen
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {- 3; 0; 3}$
	↓	Zusammenfassen zu einem Bruch
$\frac{a - 3}{a \cdot (a - 3)} \cdot \frac{2 a}{a + 3}$	$=$	$\frac{(a - 3) \cdot 2 a}{a \cdot (a - 3) \cdot (a + 3)}$
	↓	Bruch mit $a \cdot (a - 3)$ kürzen
	$=$	$\frac{2}{a + 3}$
	↓	neue Definitionsmenge bestimmt
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {- 3}$

$1 - \frac{x - 3}{x + 2} : \frac{3 - x}{x + 2}$	$=$
	↓	mit dem Kehrwert multiplizieren
	$=$	$1 - \frac{x - 3}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{3 - x}$
	↓	Definitionsbereich ablesen
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {- 2; 3}$
	↓	Zusammenfassen zu einem Bruch
$1 - \frac{x - 3}{x + 2} : \frac{3 - x}{x + 2}$	$=$
	↓	mit dem Kehrwert multiplizieren
	$=$	$1 - \frac{x - 3}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{3 - x}$
	↓	$(x + 2)$ kürzen
	$=$	$1 - \frac{x - 3}{3 - x}$
	↓	-1 im Zähler ausklammern
	$=$	$1 - \frac{- (3 - x)}{3 - x}$
	↓	$(3 - x)$ kürzen
	$=$	$1 - (- 1)$
	$=$	$2$
	↓	Neue Definitionsmenge bestimmen/ablesen
$D_{f}$	$=$	$ℝ$

$2 - \frac{2 x}{x - 1}$	$=$	$\frac{2 (x - 1)}{x - 1} - \frac{2 x}{x - 1}$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\frac{2 x - 2 - 2 x}{x - 1}$
	$=$	$\frac{- 2}{x - 1}$
	↓	(ggf. zur besseren Anschauung)
	$=$	$- \frac{2}{x - 1}$

$\frac{6 + 2 z}{z^{2} + 6 z + 9}$	$=$
	↓	Wende eine binomische Formel an.
	$=$	$\frac{6 + 2 z}{{(z + 3)}^{2}}$
	↓	Im Zähler die $2$ ausklammern.
	$=$	$\frac{2 (3 + z)}{{(z + 3)}^{2}}$
	↓	Kürze mit $(z + 3)$ .
	$=$	$\frac{2}{z + 3}$

$\frac{17 r^{4} s^{3} 24 s t^{2}}{54 t^{5} 85 r^{2}}$	$=$
	↓	Klammere $r^{2}$ aus.
	$=$	$\frac{r^{2} (17 r^{2} s^{3} 24 s t^{2})}{54 t^{5} 85 r^{2}}$
	↓	Kürze mit $r^{2}$ .
	$=$	$\frac{17 r^{2} s^{3} 24 s t^{2}}{54 t^{5} 85}$
	↓	Kürze mit $t^{2}$ .
	$=$	$\frac{17 r^{2} s^{3} 24 s}{54 t^{3} 85}$
	↓	Multipliziere.
	$=$	$\frac{408 r^{2} s^{4}}{4590 t^{3}}$	$: 102$
	$=$	$\frac{4 r^{2} s^{4}}{45 t^{3}}$

$\frac{7 m^{2}}{12 n^{3}} \cdot {(\frac{3 n^{2}}{7 m})}^{2}$	$=$
	↓	Quadriere den rechten Bruch.
	$=$	$\frac{7 m^{2} 9 n^{4}}{12 n^{3} 49 m^{2}}$
	↓	Kürze mit $m^{2}$ .
	$=$	$\frac{7 \cdot 9 n^{4}}{12 n^{3} \cdot 49}$
	↓	Kürze mit 7.
	$=$	$\frac{9 n^{4}}{12 n^{3} \cdot 7}$
	↓	Kürze mit $n^{3}$ .
	$=$	$\frac{9 n}{12 \cdot 7}$
	↓	Kürze mit 3.
	$=$	$\frac{3 n}{28}$

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1}$	$=$
	↓	Benutze die 1. binomische Formel im Zähler.
	$=$	$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x + 1}$
	↓	Kürze mit (x+1).
	$=$	$(x + 1)$

$\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$	$=$
	↓	Wende die 3. binomische Formel im Zähler an.
	$=$	$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1}$
	↓	Kürze $(x + 1)$ .
	$=$	$x - 1$

Aufgaben zum Rechnen mit Bruchtermen

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Nenner vereinfachen

Zähler seperat faktorisieren

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Das kgV(48;112) wird ermittelt:

Für die Formvariablen (hier f,g,h) werden die jeweils höchsten Potenzen ermittelt:

Ermittlung des Erweiterungsfaktors und Durchführung der Erweiterung

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Gebrochen-rationale Funktionen

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Neue Definitionsmenge bestimmen

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Faktorisiere den Nenner durch Ermittlung der Nullstellen.

Zähler faktorisieren

Zähler durch Nenner dürch Kürzen vereinfachen

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Tabelle

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Das kgV $(48; 112)$ wird ermittelt:

Für die Formvariablen (hier $f, g, h$ ) werden die jeweils höchsten Potenzen ermittelt:

$\frac{{(x + 3 y)}^{3}}{x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}}$	$=$
	↓	Wende im Nenner die 1. binomische Formel an.
	$=$	$\frac{{(x + 3 y)}^{3}}{{(x + 3 y)}^{2}}$
	↓	Kürze ${(x + 3 y)}^{2}$ .
	$=$	$x + 3 y$

$\frac{(x + 1) (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 4}$	$=$
	↓	Wende die 2. binomische Formel an.
	$=$	$\frac{(x + 1) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$
	↓	Kürze $(x - 2)$ .
	$=$	$\frac{x + 1}{x - 2}$

$\frac{x^{4} + 18 x^{2} + 89}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$	$=$
	↓	Der Zähler ist fast eine binomische Formel, bis auf die Zahl 89. Wäre die Zahl 81, könntest du die 1. binomische Formel anwenden.
	$=$	$\frac{x^{4} + 18 x^{2} + 81 + 8}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$
	↓	Teile den Bruch in 2 Brüche auf.
	$=$	$\frac{x^{4} + 18 x^{2} + 81}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{8}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$
	↓	Wende im Zähler des ersten Bruches die 1. binomische Formel an.
	$=$	$\frac{{(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{8}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$
	↓	Kürze.
	$=$	$1 + \frac{8}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

$36 x^{2} - 16 x$	$=$	$0$
	↓	Klammere $4 x$ aus.
$4 x \cdot (9 x - 4)$	$=$	$0$

$6 x + 1$	$=$	$0$	$- 1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$6 x$	$=$	$- 1$	$: 6$
$x$	$=$	$- \frac{1}{6}$

$\frac{\frac{J}{C}}{J}$	$=$	$\frac{J}{C} : J$
	$=$	$\frac{J}{C} \cdot \frac{1}{J}$
	$=$	$\frac{J}{C \cdot J}$
	$=$	$\frac{1}{C}$

$\frac{J}{\frac{J}{C}}$	$=$	$J : \frac{J}{C}$
	$=$	$J \cdot \frac{C}{J}$
	$=$	$\frac{J \cdot C}{J}$
	$=$	$\frac{C}{1}$
	$=$	$C$

$\frac{\frac{1}{x^{2}} - 2}{1 - \frac{1}{x}}$	$=$	$\frac{\frac{1 - 2 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x - 1}{x}}$
	↓	Dividiere.
	$=$	$\frac{1 - 2 x^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x - 1}$
	$=$	$\frac{(1 - 2 x^{2}) x}{x^{2} (x - 1)}$
	↓	Kürze durch x.
	$=$	$\frac{1 - 2 x^{2}}{x (x - 1)}$

$\frac{74 x - 34}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{74 x + 34}$	$=$	$\frac{(74 x - 34) (x^{2} + 1)}{(x + 1) (74 x + 34)}$
	↓	Klammere die $2$ aus.
	$=$	$\frac{2 (37 x - 17) (x^{2} + 1)}{(x + 1) \cdot 2 (37 x + 17)}$
	↓	Kürze die $2$ .
	$=$	$\frac{(37 x - 17) (x^{2} + 1)}{(x + 1) (37 x + 17)}$

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 2}$	$=$	$\frac{x + 2}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{x - 1}{(x - 1) (x + 2)}$
	↓	Subtrahiere.
	$=$	$\frac{x + 2 - (x - 1)}{(x - 1) (x + 2)}$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$