Aufgaben zu linearen Funktionen

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Stelle die Gleichung der Geraden durch die Punkte $\mathrm P\left(1| 3\right)$ und $\mathrm Q\left(3|-1\right)$ auf.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Gegeben sind die beiden Punkte $P(1\mid 3)$ und $Q(3\mid -1)$ .
Gesucht ist die Gleichung der Geraden, die durch die beiden Punkte geht.
Zur Ermittlung der Geradengleichung überlegst du am Besten erst die allgemeine Form der Geradengleichung:
Bestimmung der Steigung $m$
Erinnere dich zunächst an die Gleichung für die Steigung einer Geraden:
Setze die Werte $x_1, x_2, y_1, y_2$ aus den Punkten $P$ und $Q$ in die Formel ein.
$m=\frac{-1-3}{3-1}=\ \frac{-4}{2}$
Kürze den Bruch.
$m=-2$
Jetzt weißt du, dass die Gleichung der Geraden durch die Punkte $P$ und $Q$ geht folgendermaßen aussieht:
Als nächstes ermittelst du den $y$ -Achsenabschnitt ( $t$ ).
Ermittlung des $y$ -Achsenabschnitts $t$
Um $t$ zu ermitteln setzt du den $x$ - und $y$ -Wert einer der beiden Punkte in die Geradengleichung ein. Hier wird das beispielhaft mit dem Punkt $P$ ausgerechnet.
$3=-2\cdot 1+t$
$3=-2+t$
$t=5$
Der $y$ -Achsenabschnitt der Funktion ist $5$ . Damit hast du auch schon die ganze Funktionsgleichung.
$y=-2\cdot x +5$

Berechne die Steigung der Gerade durch die gegebenen Punkte.

$A(5 | 7)$ , $B(-3 | 8)$

$A(1 | 2)$ , $B(3 | 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung
$A(1 | 2), B(3 | 4)$
Setze die Punkte in den Differenzenquotient für die Gerade ein.
$\displaystyle m$ $=$ $\displaystyle \frac{4-2}{3-1}$
↓
Vereinfache Zähler und Nenner
$\displaystyle m$ $=$ $\displaystyle \frac22$
$\displaystyle m$ $=$ $\displaystyle 1$
Die Steigung der Geraden beträgt m = 1.
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Berechnen Sie den Abstand der parallelen Geraden g: $y=-\frac12x+2$ und h: $y=-\frac12x-3$ .

Rundet das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Geraden

Abstand zweier paralleler Geraden

Der kürzeste Weg zwischen zwei parallelen Geraden ist eine Normale der Geraden .

Der Abstand der Geraden entspricht dem Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten der Normale mit den Geraden .

Skizze

Fertige eine Skizze an.

Graph Geraden Parallelen Abstand zwischen den Parallelen

Geradengleichung

Stelle die Geradengleichung der Normalen d auf.

Berechne dazu zunächst die Steigung.

$\displaystyle m_d\cdot m_g$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :m_g$
$\displaystyle m_d$	$=$	$\displaystyle \frac{-1}{m_g}$
	↓	Setze die Steigung der Funktion $m_g$ (nämlich $-\frac{1}{2}$ ) ein.
$\displaystyle m_d$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1}{-\frac{1}{2}}$
	↓	Vereinfache die rechte Seite.
$\displaystyle m_d$	$=$	$\displaystyle -2$

Stelle nun die Geradengleichung auf.

Es wird ein Punkt T, der auf der Geraden liegt benötigt. Verwendet wird der y-Abschnitt von $h\left(x\right)$ : $\left(0\vert-3\right)$ .

Setze $T\left(0\vert -3\right)$ (siehe Skizze) und $m_d$ in die allgemeine Geradengleichung ein um t zu bestimmen.

$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(0\right)+t$
	↓	Multipliziere aus .
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -3$
	↓	Setze t und $m_d$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2x-3$

Bestimme den Schnittpunkt von d und g

Berechne zunächst die x-Koordinate des Schnittpunkts S.

Normale d: $y=2x-3$

Gerade g: $y=-\frac12x+2$

Setze die Funktionen gleich.

$\displaystyle 2x-3$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x+2$	$\displaystyle +3$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x+5$	$\displaystyle +\frac{1}{2}x$
$\displaystyle \frac{5}{2}x$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :\frac{5}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

Berechne nun die y-Koordinate des Schnittpunkts S.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2x-3$
	↓	Setze das gefundene x = 2 ein.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2\cdot2-3$
	↓	Rechne aus.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 1$

Gib die Koordinaten des Schnittpunktes S an.

$\;\;\Rightarrow\;\;$ $S\left(2\vert1\right)$

Bestimme den Abstand der Punkte S und T.

Bestimme den Abstand in x-Richtung.

$T\left(0\vert-3\right)$ , $S\left(2\vert1\right)$

Berechne die Differenz der x-Werte von S und T.

$\operatorname{\Delta}x=2-0=2$

Bestimme den Abstand in y-Richtung.

$T\left(0\vert-3\right)$ , $S\left(2\vert1\right)$

Berechne die Differenz der y-Werte.

$\operatorname{\Delta}y=1-(-3)=4$

Bestimme den Abstand in direkter Linie zwischen den Punkten.

$\operatorname{\Delta}x=2$

$\operatorname{\Delta}y=4$

Wende den Satz des Pythagoras an.

$\displaystyle d^2$	$=$	$\displaystyle 2^2+4^2$
	↓	Berechne die beiden Potenzen.
$\displaystyle d^2$	$=$	$\displaystyle 4+16$
	↓	Addiere.
$\displaystyle d^2$	$=$	$\displaystyle 20$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \sqrt{20}$

Wenn du $\sqrt{20}$ in den Taschenrechner eingibst und das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma rundest, erhältst du:

$d=\sqrt{20}\approx4{,}47$

Ergebnis

Der Abstand der beiden Geraden beträgt etwa 4,47.

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Eine Zeitschrift, die zum Preis von $2{,}20$  € zu kaufen ist, hat eine Auflage von $120\, 000$ Exemplaren. Mit Hilfe der Marktforschung stellt der Verlag fest, dass sich die Auflage bei einer Preissenkung um $0{,}20$  € pro Zeitschrift um $5000$ Exemplare erhöhen lässt, bei einer Preiserhöhung von $0{,}20$  € verliert man $5000$ Käufer.
1. Berechnen Sie den Preis bei einer Auflage von 140 000 Exemplaren.
  €
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
  Anstieg auf 140 000 Exemplare
  Bestimme, um wieviel sich die Auflage verändert hat.
  $\Delta N=140\,000-120\;000=20\,000$
  Bestimme die Änderungsrate a aus der Aufgabenstellung. Beachte, dass dabei die bekannte Änderung (N) im Nenner steht.
  $a=\frac{\Delta p}{\Delta N}=\frac{-0{,}2}{5000}=-0{,}00004$
  Bestimme daraus die Preisänderung.
  $\Delta p = a\cdot \Delta N=-0{,}00004\cdot 20\, 000=-0{,}8$
  Berechne damit den neuen Preis.
  $p_{neu}=p_{alt}+\Delta p=2{,}2-0{,}8=1{,}4$
  Bei einer Auflage von 140 000 beträgt der Preis also 1,40€.
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2. Welche Verkaufszahlen kann der Verlag erwarten, wenn er den Preis der Zeitschrift auf 1,50€ senkt?
  Stück
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
  Der Preis ist auf 1,50€ gefallen.
  Bestimme die Preisänderung.
  $\Delta p=p_{neu}-p_{alt}=1{,}5-2{,}2=-0{,}7$
  Bestimme Änderungsrate a aus der Aufgabenstellung. Beachte dabei, dass die bekannte Änderung (p) im Nenner steht.
  $a=\frac{\Delta N}{\Delta p}=\frac{-5000}{0{,}2}=-25\,000$
  Bestimme damit die Änderung der Auflage.
  $\Delta N=a\cdot \Delta p=(-25\,000) \cdot (-0{,}7)=17\,500$
  Bestimme die neue Auflage.
  $N_{neu}=N_{alt}+\Delta N=120\,000+17\,500=137\,500$
  Bei einem Preis von 1,50€ ist die Auflage also 137 500 Stück.
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Berechne den Abstand der Geraden zum Ursprung.

$y=\frac34x-5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung der Senkrechten

Geradensteigung und Geradengleichung

Der kürzeste Abstand zum Ursprung ist die Senkrechte auf die Gerade durch den Ursprung. Ist $g(x):y=m_1\cdot x+b$ , so berechnest du die Steigung der Senkrechten $m_2$ mit der Formel.

$\displaystyle m_2=-\frac1{m_1}$

Setz den Wert der Steigung ein.

$\displaystyle m_2=-\frac{1}{\frac34}=-\frac43$

Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $-\displaystyle\frac43$ und geht durch den Ursprung, der y-Achsenabschnitt $b$ ist also 0. Damit lautet die Geradengleichung der Senkrechte $\displaystyle h(x):y=-\frac43 x$ .

Berechne nun den Schnittpunkt $A \,(x_s|y_s)$ der beiden Geraden indem du ihre Geradengleichungen gleichsetzt.

$\displaystyle g\left(x_s\right)$	$=$	$\displaystyle h\left(x_s\right)$
	↓	Setz die Geradengleichungen ein.
$\displaystyle -\frac{4}{3}x_s$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}x_s-5$	$\displaystyle -\frac{3}{4}x_s$
	↓	Bringe die Variable $x_s$ auf die linke Seite.
$\displaystyle \displaystyle-\frac{25}{12}x_s$	$=$	$\displaystyle -5$	$\displaystyle \cdot(-1)$
$\displaystyle \displaystyle\frac{25}{12}x_s$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :\frac{25}{12}$
$\displaystyle x_s$	$=$	$\displaystyle \frac{12}{5}$
	$=$	$\displaystyle 2{,}4$

Setz nun $x_s$ in eine der Geradengleichungen ein um $y_s$ zu bestimmen.

$\displaystyle h(x_s):y_s=-\frac43x_s$

Setz $x_s=2{,}4$ ein.

$\displaystyle y_s=-\frac43\cdot2{,}4=-3{,}2$

Der Schnittpunkt der Geraden $h$ und $g$ liegt also bei $A\,(2{,}4|-3{,}2)$ .

Bestimme nun den Abstand des Ursprungs zum berechneten Schnittpunkt $A$ , dies ist genau der kürzeste Abstand der Geraden $g$ zum Ursprung.

$\displaystyle d=\sqrt{(x_s-x_0)^2+(y_s-y_0)^2}$

Setz die Werte ein.

$\displaystyle d=\sqrt{(2{,}4-0)^2+(-3{,}2-0)^2}$

Vereinfache.

$\displaystyle =\sqrt{5{,}76+10{,}24}=\sqrt{16}=4$

Der kürzeste Abstand der Geraden $g$ zum Ursprung ist also 4.

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$y=-\frac12x+2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung

Der kürzeste Abstand zum Ursprung ist die Senkrechte auf die Gerade durch den Ursprung. Ist $g(x):y=m_1⋅x+b$ , so berechnest du die Steigung der Senkrechten $m_2$ mit der Formel

$\displaystyle m_2=-\frac1{m_1}$

Setz den Wert der Steigung ein.

$\displaystyle m_2=-\frac{1}{-\frac12}=2$

Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $2$ und geht durch den Ursprung, der y-Achsenabschnitt $b$ ist also 0. Damit lautet die Geradengleichung der Senkrechte $h(x):y=2x$ .

Berechne nun den Schnittpunkt $A\,(x_s|y_s)$ der beiden Geraden, indem du ihre Geradengleichungen gleichsetzt.

$\displaystyle g\left(x_s\right)$	$=$	$\displaystyle h\left(x_s\right)$
	↓	Setz die Geradengleichungen ein.
$\displaystyle \displaystyle -\frac12x_s+2$	$=$	$\displaystyle 2x_s$	$\displaystyle -2x_s$
	↓	Bringe die Variable $x_s$ auf die linke Seite.
$\displaystyle -2{,}5x_s+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
	↓	Bringe die 2 auf die rechte Seite.
$\displaystyle -2{,}5x_s$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle :\left(-2{,}5\right)$
$\displaystyle x_s$	$=$	$\displaystyle 0{,}8$

Setz nun $x_s$ in eine der Geradengleichungen ein um $y_s$ zu bestimmen.

$h(x_s):y_s=2x_s$

Setz $x_s=0{,}8$ ein.

$y_s=2\cdot0{,}8=1{,}6$

Der Schnittpunkt der Geraden $h$ und $g$ liegt also bei $A\,(0{,}8|1{,}6)$ .

Bestimme nun den Abstand des Ursprungs zum berechneten Schnittpunkt $A$ , dies ist genau der kürzeste Abstand der Geraden $g$ zum Ursprung.

$\displaystyle d=\sqrt{(x_s-x_0)^2+(y_s-y_0)^2}$

Setz die Werte ein.

$d=\sqrt{(0{,}8-0)^2+(1{,}6-0)^2}$

Vereinfache.

$=\sqrt{0{,}64+2{,}56}=\sqrt{3{,}2}\approx 1{,}79$

Der kürzeste Abstand der Geraden $g$ zum Ursprung ist also etwa $1{,}79$ .

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6
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Welche Steigung hat die Gerade durch die Punkte $\mathrm{P}\left(0|3\right)$ und $\mathrm{Q}\left(2|-3\right)$ ? Wie lautet also die Funktionsgleichung?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Steigung
Bestimme die Steigung $\mathrm m$ .
$\mathrm m=\dfrac{\bigtriangleup\mathrm y}{\bigtriangleup\mathrm x}=\dfrac{{\mathrm y}_2-{\mathrm y}_1}{{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_1}$
Setze die beiden Punkte in die Formel für die Steigung ein.
$\mathrm m=\dfrac{3-(-3)}{0-2}=\dfrac 6 {-2}=-3$
Funktionsgleichung
Bestimme die Funktionsgleichung.
$\mathrm y=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t$
Setze m in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\mathrm y=-3\mathrm x+\mathrm t$
Setze einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung ein.
$3=-3\cdot0+\mathrm t$
$\mathrm t=3$
Setze t in die Funktionsgleichung ein.
$\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-3\mathrm x+3$
7
Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Koordinatenachsen und der Gerade $g:y=\frac23x+5$ eingeschlossen wird.
Schreibe dein Ergebnis ohne Flächeneinheiten in das Antwortfeld.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formel zur Berechnung der Dreiecksfläche
Dreiecksfläche
Da die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander stehen, können sie als Grundlinie und Höhe der Formel zur Berechnung der Dreiecksfläche benutzt werden.
Höhe ermittlen
g: $y=\frac23x+5$
Der y-Achsenabschnitt ist als t der Geradengleichung gegeben.
Die Gerade schneidet die y-Achse also in (0|5).
Mit der x-Achse als Grundline ergibt sich der Abstand des Punktes zum Ursprung als Höhe.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Höhe h = $\sqrt{5^2 - 0^2} = 5$
Grundlinie berechnen
Für die Angabe der Grundlinie muss der Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse berechnet werden. Setze y dafür 0.
$0=\frac23x+5$
Nach x auflösen. $\left|{-5}\right.$
$\frac23x=-5$
$\left|{:\frac23}\right.$
$x=-\frac{15}2=-7{,}5$
Die Gerade schneidet die x-Achse also in (-7,5|0)
Der Abstand dieses Punktes zum Ursprung ist also die Länge der Grundlinie.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Länge der Grundlinie g ist $\sqrt{(-7{,}5)^2 +0^2}=7{,}5$ .
Fläche berechnen
Setze Grundlinie und Höhe in die Formel zur Berechnung der Dreiecksfläche ein.
$\;\;\Rightarrow\;\;A=\frac{5\cdot7{,}5}2=18{,}75\mathrm{FE}$
FE steht für "Flächeneinheiten".
Skizze zur Veranschaulichung
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Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt P geht und senkrecht zur gegebenen Gerade steht.
1. $y=3x+2$
  $P(3|5)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
  Bestimme zunächst die Steigung der zu $g(x):y=3x+2$ senkrechten Geraden $h$ mit der Formel.
  $\displaystyle m_2=-\frac1{m_1}$
  Setz den Wert ein.
  $\displaystyle m_2=-\frac1{3}$
  Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $\displaystyle-\frac13$ .
  Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten $h$ mit dem gegebenen Punkt $P(3|5)$ , indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
  $h(x_p):y_p=m_2 x_p+b$
  Setze die Werte ein.
  $5=-\frac13\cdot3+b\;\;\;\left|+1\right.$
  Vereinfache und addiere $1$ .
  $6=b\Leftrightarrow b=6$
  Also lautet die gesuchte Geradengleichung $\displaystyle h(x):y=-\frac13x+6$ .
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2. $y=0{,}5x+1$
  $P(1|2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
  Bestimme zunächst die Steigung der zu $g(x):y=0{,}5x+1$ senkrechten Geraden $h$ mit der Formel.
  $m_2=\displaystyle -\frac1{m_1}$
  Setz den Wert ein.
  $\displaystyle m_2=-\frac1{0{,}5}=-\frac1{\frac12}=-2$
  Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $-2$ .
  Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten $h$ mit dem gegebenen Punkt $P(1|2)$ , indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
  $h(x_p):y_p=m_2 x_p+b$
  Setz die Werte ein.
  $2=-2\cdot 1+b$ $|+2$
  Vereinfache und addiere 2.
  $4=b\Rightarrow b=4$
  Also lautet die gesuchte Geradengleichung $h(x):y=−2x+4$ .
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3. $y=-5x+6$
  $P(-10|1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
  Bestimme zunächst die Steigung der zu $g(x):y=-5x+6$ senkrechten Geraden $h$ mit der Formel.
  $\displaystyle m_2=-\frac1{m_1}$
  Setz den Wert ein.
  $\displaystyle m_2=-\frac1{-5}=0{,}2$
  Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $0{,}2$ .
  Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten $h$ mit dem gegebenen Punkt $P(-10|1)$ , indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
  $h(x_p):y_p=m_2 x_p+b$
  Setz die Werte ein.
  $1=0{,}2\cdot(-10)+b$ $|+2$
  Vereinfache und addiere 2.
  $3=b\Rightarrow b=3$
  Also lautet die gesuchte Geradengleichung $h(x):y=0{,}2x+3$ .
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4. $y=4x+3$
  $P(2|-5)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
  Bestimme zunächst die Steigung der zu $g(x):y=4x+3$ senkrechten Geraden $h$ mit der Formel.
  $\displaystyle m_2=-\frac1{m_1}$
  Setz den Wert ein.
  $m_2=-\displaystyle\frac14=-0{,}25$
  Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $-0{,}25$ .
  Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten $h$ mit dem gegebenen Punkt $P(2|-5)$ , indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
  $h(x_p):y_p=m_2 x_p+b$
  Setz die Werte ein.
  $-5=-0{,}25\cdot2+b$ $+0{,}5$
  Vereinfache und addiere 0,5.
  $-4{,}5=b\Rightarrow b=-4{,}5$
  Also lautet die Geradengleichung $h(x):y=-0{,}25x-4{,}5$ .
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5. $y=-\frac23x+2$
  $P(4|6)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
  Bestimme zunächst die Steigung der zu $g(x):y=-\frac23x+3$ senkrechten Geraden $h$ mit der Formel.
  $\displaystyle m_2=-\frac1{m_1}$
  Setz den Wert ein.
  $\displaystyle m_2=-\frac1{-\frac23}=\frac32$
  Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $\displaystyle\frac32$ .
  Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten $h$ mit dem gegebenen Punkt $P(4|6)$ , indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
  $h(x_p):y_p=m_2x_p+b$
  Setz die Werte ein.
  $\displaystyle6=\frac32\cdot4+b$ $|-6$
  Vereinfache und subtrahiere 6.
  $0=b\Rightarrow b=0$
  Also lautet die Geradengleichung $\displaystyle h(x):y=\frac32x$ .
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6. $y=\frac13x-2$
  $P(2|5)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung und Geradensteigung
  Bestimme zunächst die Steigung der zu $\displaystyle g(x):y=\frac13x-2$ senkrechten Geraden $h$ mit der Formel.
  $m_2=\displaystyle-\frac1{m_1}$
  Setz den Wert ein.
  $m_2=\displaystyle -\frac1{\frac13}=-3$
  Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $-3$ .
  Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Senkrechten $h$ mit dem gegebenen Punkt $P(2|5)$ , indem du den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
  $h(x_p):y_p=m_2x_p+b$
  Setz die Werte ein.
  $5=-3\cdot2+b$ $|+6$
  Vereinfache und addiere 6.
  $11=b\Rightarrow b=11$
  Also lautet die Geradengleichung $h(x):y=−3x+11$ .
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9
Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch …
1. den Punkt $P(-3 | 4)$ geht und parallel ist zur $x$ -Achse.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Parallel zur $x$ -Achse, das heißt die gleiche Steigung wie die $x$ -Achse, also $m = 0$ .
  $m$ und $P$ in die allgemeine Geradengeleichung einsetzen.
  Zur Geradengleichung zusammensetzen.
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2. den Punkt $Q(2 | 5)$ geht und parallel ist zur Winkelhalbierenden des 2.Quadranten.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Parallel zur Winkelhalbierenden des 2. Quadranten bedeutet gleiche Steigung.
  Die Steigung der Winkelhalbierenden des 2. Quadranten ist -1
  $m$ in die Geradengleichung einsetzen und damit $t$ berechnen.
  $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung einsetzen.
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3. den Punkt $R(-4|2)$ geht und parallel ist zur $y$ -Achse.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Parallel zur $y$ -Achse, d.h. keine Funktionsgleichung, da einem $x$ -Wert unendlich viele $y$ -Werte zugeordnet werden. Die Gerade kann also nur als der $x$ -Wert von $R$ beschrieben werden.
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4. den Punkt $S(2 |-3)$ geht und parallel ist zur Winkelhalbierenden des 1.Quadranten.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Parallel zur Winkelhalbierenden des 1. Quadranten bedeutet die gleiche Steigung.
  Die Steigung der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten ist 1.
  Setze m und S in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach $t$ auf.
  Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
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5. den Ursprung geht und parallel ist zur Geraden $\overline{\mathrm{AB}}$ mit $A(-72|-60)$ und $B(-24|-20)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Durch den Ursprung, das heißt $y$ -Achsenabschnitt $t=0$
  Parallel zur Geraden $\overline{\mathrm{AB}}$ , bedeutet die gesuchte Gerade hat die gleiche Steigung wie $\overline{\mathrm{AB}}$ .
  Berechne die Steigung $m$ mithilfe des Differenzenquotienten .
  Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
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10
Bestimme die Gleichung der Geraden g, die parallel zur Geraden h ist und durch den Punkt P geht.
1. h: $y=3x-2$ ; P(1|0) $\;$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
  $y=3x-2$ ; P(1|0)
  Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.
  Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung.
  $m=3$
  Geradengleichung aufstellen
  Setze m (3) und P(1|0) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
  $\displaystyle 0$ $=$ $\displaystyle 3\cdot1+t$ $\displaystyle {-3}$
  ↓
  Gleichung nach t auflösen.
  $\displaystyle t$ $=$ $\displaystyle -3$
  Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Geradengleichung: $y=3x-3$
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2. h: $y=x-4$ ; P(1|2) $\;$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
  $y=x-4$ ; P(1|2)
  Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.
  Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung.
  $m=1$
  Gleichung aufstellen
  Setze m (1) und P(1|2) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
  $\displaystyle 2$ $=$ $\displaystyle 1+t$ $\displaystyle −1$
  ↓
  Gleichung nach t auflösen.
  $\displaystyle t$ $=$ $\displaystyle 1$
  Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Geradengleichung: $y=x+1$
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3. h: $y=4x$ ; P(5|18) $\;$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
  $y=4x$ ; P(5|18)
  Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.
  Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung.
  $m=4$
  Gleichung aufstellen
  Setze m (4) und P(5|18) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
  $\displaystyle 18$ $=$ $\displaystyle 4\cdot5+t$ $\displaystyle -20$
  ↓
  Gleichung nach t auflösen.
  $\displaystyle t$ $=$ $\displaystyle -2$
  Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Geradengleichung: $y=4x-2$
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4. h: $y=-2x+1$ ; P(-1|4)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung bestimmen
  $y=-2x+1$ ; P(-1|4)
  Damit die gesuchte Gerade parallel zu h ist, muss sie die selbe Steigung besitzen.
  Die Steigung einer Gerade ist m der allgemeinen Geradengleichung.
  $m=-2$
  Gleichung aufstellen
  Setze m (-2) und P(-1|4) in die allgemeinen Geradengleichung ein.
  $\displaystyle 4$ $=$ $\displaystyle −2⋅(−1)+t$ $\displaystyle -2$
  ↓
  Gleichung nach t auflösen.
  $\displaystyle t$ $=$ $\displaystyle 2$
  Setze m und t in die allgemeinen Geradengleichung ein.
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Geradengleichung: $y=-2x+2$
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Zeige rechnerisch, dass sich die drei Geraden $g_1$ : $y=0{,}5x$ ; $g_2$ : $y=x-1{,}5$ ; $g_3$ : $y=-2x+7{,}5$ in genau einem Punkt schneiden.

Berechne den Schnittpunkt der Geradenpaare.

Gib den Schnittpunkt in das Eingabefeld ein, zum Beispiel so: "S(4|-5)" oder "S(4;-5)"

Wenn es keinen Schnittpunkt gibt, gib "-" ein.

$y=3x+4$ und $\;$ $y=-2x+14$

$y=6x-3$ und $y=7x-11$

$y=8x+3$ und $y=-4x+6$

$y=7x-14$ und $y=7x-3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Geraden mit gleicher Steigung (hier 7) schneiden sich nicht, denn sie sind parallel zueinander.Setzt man die Funktionsterme gleich, so erhält man eine falsche Aussage, also keinen Schnittpunkt.
$\displaystyle 7x-14$ $=$ $\displaystyle 7x-3$ $\displaystyle -7x$
$\displaystyle -14$ $=$ $\displaystyle -3$
↓
falsche Aussage!
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$y=\frac16x-4$ und $y=\frac{1}{3}x-10$

$y=\frac12x+\frac32$ und $y=\frac12$

13
Bestimme von folgenden Geraden die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
1. $y=-2x+3{,}5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&-2x+3{,}5&|+2x\\ 2x&=&3{,}5&|:2\\x&=&1{,}75\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(1{,}75|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein.
  $y=-2\cdot0+3{,}5$
  $y=3{,}5$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0|3{,}5)$ .
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2. $y=5x-7$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&5x-7&|+7\\5x&=&7&|:5\\x&=&\frac 7 5 = 1{,}4 \end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(1{,}4|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein.
  $y=5\cdot0-7$
  $y=-7$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0|-7)$ .
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3. $y=\frac32x+2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&\frac32x+2&|-2\\\frac 3 2x&=&-2&|\cdot \frac 2 3\\x&=&-\frac 43\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(-\frac{4}{3}|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein.
  $y=\frac32\cdot0+2$
  $y=2$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0|2)$ .
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4. $y=-\frac25x+\frac52$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&-\frac25x+\frac52&|+\frac 25 x\\\frac25x&=&\frac 52&|\cdot \frac 52\\x&=&\frac{25}{4}=6{,}25\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(6{,}25|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein.
  $y=-\frac25\cdot0+\frac52$
  $y=\frac 5 2 = 2{,}5$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0|2{,}5)$ .
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5. $y=2(x-\frac23)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Klammer auflösen
  Um eine allgemeine Geradengleichung $y=m \cdot x+t$ zu erhalten, multipliziere die Klammer aus.
  $y=2(x-\frac23)$
  $y=2x-\frac43$
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&2x-\frac43&|+\frac 43\\2x&=&\frac 43&|:2\\x&=&\frac 23\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x( \frac23|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein und löse nach $x$ auf.
  $y=2\cdot0-\frac43$
  $y=-\frac 4 3$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0| -\frac43)$ .
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6. $y=-\frac43-\frac12x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Gleichung umstellen
  Um eine allgemeine Geradengleichung $y=m\cdot x+t$ zu erhalten, vertausche auf der rechten Seite beide Elemente.
  $y=-\frac43-\frac12x$
  $\phantom{y}=-\frac12x-\frac43$
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&-\frac43-\frac12x&|+\frac 12 x\\\frac 12 x &=& -\frac 43 &|\cdot 2\\x&=&-\frac 83 = -2\frac 23\end{array}$

$\displaystyle x-1{,}5$	$=$	$\displaystyle -2x+7{,}5$
	↓	Addiere zunächst 2x und anschließend 1,5.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Dividiere durch 3.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3$

$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{8-7}{-3-5}$
	↓	Vereinfache Zähler und Nenner
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{-8}$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle - \frac18$

$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{4-2}{3-1}$
	↓	Vereinfache Zähler und Nenner
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac22$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3\cdot1+t$	$\displaystyle {-3}$
	↓	Gleichung nach t auflösen.
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -3$

$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 1+t$	$\displaystyle −1$
	↓	Gleichung nach t auflösen.
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle 18$	$=$	$\displaystyle 4\cdot5+t$	$\displaystyle -20$
	↓	Gleichung nach t auflösen.
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle −2⋅(−1)+t$	$\displaystyle -2$
	↓	Gleichung nach t auflösen.
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 3x+4$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -2x+14$
	↓	Die Geraden werden gleichgesetzt, um die x-Koordinate des zu berechnen.
$\displaystyle 3x+4$	$=$	$\displaystyle -2x+14$	$\displaystyle +2x;\ -4$
$\displaystyle 5x$	$=$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Den x-Wert in eine der beiden Geraden einsetzen, um die y-Koordinate zu berechnen
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 3\cdot2+4$
	↓	Punkt vor Strich beachten
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 10$
	↓	$\;\;\Rightarrow\;\;$ Schnittpunkt: S(2\|10)

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 6x-3$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 7x-11$
	↓	Die Geraden werden gleichgesetzt, um die x-Koordinate zu berechnen.
$\displaystyle 6x-3$	$=$	$\displaystyle 7x-11$	$\displaystyle +3;\ -7x\$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle -8$	$\displaystyle :\left(-1\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	Den x-Wert in eine der beiden Geraden einsetzen, um die y-Koordinate zu berechnen.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 6\cdot8-3$
	↓	Punkt vor Strich beachten
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 45$
	↓	$\;\;\Rightarrow\;\;$ Schnittpunkt: S(8\|45)

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 8x+3$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -4x+6$
	↓	Die Geraden werden gleichgesetzt, um die x-Koordinate des zu berechnen.
$\displaystyle 8x+3$	$=$	$\displaystyle -4x+6$	$\displaystyle -3;\ +4x$
$\displaystyle 12x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle :12$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
	↓	Den x-Wert in eine der beiden Geraden einsetzen, um die y-Koordinate des zu berechnen.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 8\cdot\frac{1}{4}+3$
	↓	Punkt vor Strich beachten
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	$\;\;\Rightarrow\;\;$ Schnittpunkt: S( $\frac14$ \| $5$ )

$\displaystyle 7x-14$	$=$	$\displaystyle 7x-3$	$\displaystyle -7x$
$\displaystyle -14$	$=$	$\displaystyle -3$
	↓	falsche Aussage!

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}x-4$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}x-10$
	↓	Die Geraden werden gleichgesetzt, um die x-Koordinate zu berechnen
$\displaystyle \frac{1}{6}x-4$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}x-10$	$\displaystyle -\frac{1}{3}x;\ +4$
$\displaystyle -\frac{1}{6}x$	$=$	$\displaystyle -6$	$\displaystyle :\left(-\frac{1}{6}\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 36$
	↓	Den x-Wert in eine der beiden Koordinaten einsetzen, um die y-Koordinate zu berechnen
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot36-10$
	↓	Punkt vor Strich beachten
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	$\;\;\Rightarrow\;\;$ Schnittpunkt: S (36\|2)

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
	↓	Die Geraden werden gleichgesetzt, um die x-Koordinate zu berechnen
$\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle -\frac{3}{2}$
$\displaystyle \frac{1}{2}x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$
	↓	Den x-Wert in eine der beiden Geraden einsetzen, um die y-Koordinate zu berechnen
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
	↓	$\;\;\Rightarrow\;\;$ Schnittpunkt: S(-2 \| 0,5)

Aufgaben zu linearen Funktionen

Bestimmung der Steigung mmm

Ermittlung des yyy-Achsenabschnitts ttt

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Abstand zweier paralleler Geraden

Skizze

Geradengleichung

Bestimme den Schnittpunkt von d und g

Bestimme den Abstand der Punkte S und T.

Ergebnis

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Geradensteigung und Geradengleichung

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Steigung

Funktionsgleichung

Dreiecksfläche

Höhe ermittlen

Grundlinie berechnen

Fläche berechnen

Skizze zur Veranschaulichung

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Geradengleichung aufstellen

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Gleichung aufstellen

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Gleichung aufstellen

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Gleichung aufstellen

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Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Klammer auflösen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Gleichung umstellen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Bestimmung der Steigung $m$

Ermittlung des $y$ -Achsenabschnitts $t$