3Arbeiten mit Funktionen - ein Handbuch

Der Term $t$ ist eine Summe:

1. Nur ein $x$ vorhanden $\Rightarrow$ nach $x$ auflösen.

2. In jedem Summanden steht x $\Rightarrow$ Ausklammern der niedrigsten $x$-Potenz. Danach die Faktoren einzeln betrachten und jeweils wieder von oben beginnen.

3. Nur ein $x^2$ und ein $x$ vorhanden $\Rightarrow$ Mitternachtsformel

4. Nur ein $x^{2k}$ und ein $x^k$ vorhanden $\Rightarrow$ Substitution mit $u=x^k$; danach Schritt 3 und Resubstitution.

5. Der Term $t$ ist ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Dann Nullstelle raten: die Nullstelle könnte ein Teiler $a$ der Konstanten des Polynoms sein, deshalb $\pm1;\pm a\ldots$ nacheinander ausprobieren $\Rightarrow$ Polynomdivision durchführen und das Ergebnis weiter untersuchen.

Der Term $t$ ist ein Produkt:

Betrachte die Faktoren einzeln und beginne jeweils wieder von oben.

Beispiele:

1. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrl}&x^2-4&=0\\\Leftrightarrow&x^2&=4\\\Leftrightarrow&x&=\pm 2\end{array} \begin{array}{lrl}&e^x-3&=0\\\Leftrightarrow &e^x&=3\\\Leftrightarrow& x&=\ln(3)\end{array}$

2. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lr}&x^3-2x^2=0\\\Leftrightarrow &x^2(x-2)=0 \end{array}$

3. $\def\arraystretch{2} \begin{array}{ll}&x^2-x-2=0\\\Rightarrow &x_{1;2}=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}\end{array}$

4. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcl}&x^6-x^3-2&=&0\\&u=x^3\\\Rightarrow &u^2-u-2&=&0\\\ldots\end{array}$

5. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll}&x^3-x^2+2=0\\\Rightarrow &x_1=-1\\\Rightarrow &(x^3-x^2+2):(x+1)= x^2-2x+2\\\Rightarrow &x^2-2x+2 =0\\\ldots\end{array}$

• Der Ausgangsdefinitionsbereich ist, wenn nichts Anderes erwähnt wird, ganz $\mathbb{R}$

• Mögliche Stellen, die für $x$ nicht zulässig sind, überprüfen:Brüche: Der Nenner darf nicht $0$ sein.$\Rightarrow$ Nenner mit $0$ gleichsetzen (siehe Abschnitt $1$).Die Wurzelfunktion: Der Radikand (Term unter dem Wurzelzeichen) darf nicht negativ sein.$\Rightarrow$ Radikand mit $0$ gleichsetzen (siehe Abschnitt $1$) und dann durch Einsetzen einer Zahl zwischen den Nullstellen und Definitionslücken des Radikanden überprüfen, wo der Radikand positiv bzw. negativ ist.Die Logarithmusfunktion: Der Term, auf den der Logarithmus angewendet wird, darf nicht $0$ oder negativ sein.$\Rightarrow$ Term im Logarithmus mit $0$ gleichsetzen (siehe Abschnitt $1$) und dann durch Einsetzen einer Zahl zwischen den Nullstellen und Definitionslücken des Terms überprüfen, wo er positiv bzw. negativ ist.

• Alle ermittelten Problemstellen für $x$ werden von $\mathbb{R}$ ausgeschlossen.

Beispiele:

Problem Brüche: $f(x)=\dfrac{2x}{x^2}$

Der Nenner darf nicht Null sein. Finde also die Nullstellen des Nenners und schließe sie aus dem Definitionsbereich aus:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll} &x^2=0\\\Leftrightarrow &x=0\\\Rightarrow &\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus \{0\}\end{array}$

Problem Wurzelfunktionen: $f(x)=\sqrt{3-x}$

Der Radikand darf nicht negativ sein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll} &3-x\ge 0\\\Leftrightarrow &x\le 3\\\Rightarrow &\mathbb{D}_f=]-\infty;3]\end{array}$

Problem Logarithmusfunktion: $f(x)=\ln(4x+2)$

Der Ausdruck im Logarithmus muss positiv sein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll} &4x+2>0\\\Leftrightarrow &x>-\frac{1}{2}\\\Rightarrow &\mathbb{D}_f=\left]-\frac{1}{2};\infty \right[\end{array}$

Grenzwerte im Unendlichen: $\displaystyle\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)$

(Ausmultiplizierte) gebrochen-rationale FunktionenZählergrad größer als Nennergrad$\Rightarrow$ Grenzwert ist je nach Vorzeichen $\pm \infty$.Zählergrad gleich groß wie Nennergrad$\Rightarrow$ Grenzwert entspricht dem Bruch der Koeffizienten der höchsten Potenzen im Zähler und Nenner.Zählergrad kleiner als Nennergrad$\Rightarrow$ Grenzwert ist 0.

--Grenzwerte gegen reelle Zahlen: $\displaystyle\lim_{x \rightarrow k\pm 0} f(x)$

Gebrochenrationale Funktionen Vorgehen bei nicht behebbaren Definitionslücken:Der Grenzwert liegt im Unendlichen, nur das Vorzeichen ist unklar.Zähler und Nenner als Linearfaktoren schreiben.Grenzwert $k$ einsetzen und bei allen Faktoren nur die Vorzeichen merken. Bei dem Faktor, der 0 wird, entscheiden, ob man sich von rechts (+0) oder von links (-0) nähert und das Vorzeichen danach wählen.Alle Vorzeichen miteinander "verrechnen" (minus mal minus ergibt plus).Das resultierende Vorzeichen ist das Vorzeichen von $\infty$ und zeigt damit den Grenzwert an.Vorgehen bei hebbaren Definitionslücken:Funktionsterm kürzenWert einsetzenAusrechnen

Beispiele:

Grenzwerte im Unendlichen:

1. $\displaystyle\lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{2x^3-14x-12}{-3x+3}=-\infty$

2. $\displaystyle\lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{2x^3-14x-12}{-3x^3+3}=-\frac{2}{3}$

3. $\displaystyle\lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{2x^3-14x-12}{-3x^4+3}=0$

Grenzwerte gegen reelle Zahlen:

nicht-hebbar:$\def\arraystretch{2} \begin{array}{ll} \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1} &\dfrac{2x^3-14x-12}{-3x+3}= \\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1}& \displaystyle\dfrac{2(x+1)(x+2)(x-3)}{-3(x-1)}\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1+0}& \dfrac{\overbrace{2(x+1)}^{+}\overbrace{(x+2)}^{+}\overbrace{(x-3)}^{-}}{\underbrace{-3}_{-}\underbrace{(x-1)}_{+}}=+\infty\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1-0}& \dfrac{\overbrace{2(x+1)}^{+}\overbrace{(x+2)}^{+}\overbrace{(x-3)}^{-}}{\underbrace{-3}_{-}\underbrace{(x-1)}_{-}}=-\infty\end{array}$

hebbar:$\def\arraystretch{2} \begin{array}{ll} \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1} &\dfrac{2x^3-14x-12}{-3x-3}= \\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1}& \dfrac{2(x+1)(x+2)(x-3)}{-3(x+1)}=\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1}& \dfrac{2(x+2)(x-3)}{-3}=4\end{array}$