Arbeiten mit Funktionen - ein Handbuch

Arbeiten mit Funktionen

Funktionen kann man auf unendlich viele Arten und Weisen verändern und bearbeiten. Allerdings sind nur wenige Vorgehensweisen nützlich, wenn konkrete Fragestellungen der Mathematik zu bearbeiten sind.

Diese Übersicht kann dir als Richtlinie dienen, wie du am besten und schnellsten die geforderten Eigenschaften der Funktion überprüftst.

Aufgeführt sind ein paar generelle Aspekte der Kurvendiskussion, die immer wieder auftauchen und manchmal mehr Arbeit erfordern. Für Hilfen zu anderen Aufgaben, wie Symmetrie, klicke bitte auf den jeweiligen Link für mehr Informationen im Artikel.

Die Aufgabenstellung verlangt…

1. …einen Term %%t%% mit 0 gleich zu setzen.

Der Term %%t%% ist eine Summe:

  1. Ausklammern der höchsten %%x%%-Potenz, die in jedem Summanden steht.

    %%\Rightarrow%% Danach Faktoren einzeln betrachten

  2. Nur ein %%x%% vorhanden

    %%\Rightarrow%% nach %%x%% auflösen.

  3. Ein %%x^2%% und ein %%x%% vorhanden

    %%\Rightarrow%% Mitternachtsformel

  4. Ein %%x^{2k}%% und ein %%x^k%% vorhanden

    %%\Rightarrow%% Substitution mit %%u=x^k%%; danach Schritt 3 und Resubstitution.

  5. Nullstelle raten (da das kein Wissen oder besondere Fähigkeiten erfordert, sollte die Nullstelle eine betragsmäßig kleine Zahl sein, damit man die Lösung schnell findet: %%\pm 1; \pm 2; \ldots%% nacheinander ausprobieren

    %%\Rightarrow%% Polynomdivision durchführen und das Ergebnis weiter untersuchen.


Der Term %%t%% ist ein Produkt:

Betrachte die Faktoren einzeln und beginne von oben.

Beispiele:

  1. %%\begin{array}{lr} &x^3-2x^2=0\\ \Leftrightarrow &x^2(x-2)=0 \end{array}%%


  2. %%\begin{array}{lrl} &x^2-4&=0\\ \Leftrightarrow&x^2&=4\\ \Leftrightarrow&x&=\pm 2 \end{array}%%

    %%\begin{array}{lrl} &e^x-3&=0\\ \Leftrightarrow &e^x&=3\\ \Leftrightarrow& x&=\ln(3) \end{array}%%


  3. %%\begin{array}{ll} &x^2-x-2=0\\ \Rightarrow &x_{1;2}=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2} \end{array}%%


  4. %%\begin{array}{llcl} &x^6-x^3-2&=&0\\ &u=x^3\\ \Rightarrow &u^2-u-2&=&0\\ \ldots \end{array}%%


  5. %%\begin{array}{ll} &x^3-x^2+2=0\\ \Rightarrow &x_1=-1\\ \Rightarrow &(x^3-x^2+2):(x+1)= x^2-2x+2\\ \Rightarrow &x^2-2x+2 =0\\ \ldots \end{array}%%

2. … den Definitionsbereich einer Funktion %%f%% zu bestimmen.

  • Der Ausgangsdefinitionsbereich ist, wenn nichts Anderes erwähnt wird, ganz %%\mathbb{R}%%

  • Mögliche Stellen, die für %%x%% nicht zulässig sind, überprüfen:

    1. Brüche: Der Nenner darf nicht 0 sein.

      %%\Rightarrow%% Nenner mit 0 gleichsetzen (siehe Abschnitt 1).

    2. Die Wurzelfunktion: Der Radikand (Term unter dem Wurzelzeichen) darf nicht negativ sein.

      %%\Rightarrow%% Radikand mit 0 gleichsetzen (siehe Abschnitt 1) und dann durch Einsetzen einer Zahl zwischen den Nullstellen und Definitionslücken des Radikanden überprüfen, wo der Radikand positiv bzw. negativ ist.

    3. Die Logarithmusfunktion: Der Term, auf den der Logarithmus angewendet wird, darf nicht 0 oder negativ sein.

      %%\Rightarrow%% Term im Logrithmus mit 0 gleichsetzen (siehe Abschnitt 1) und dann durch Einsetzen einer Zahl zwischen den Nullstellen und Definitionslücken des Terms überprüfen, wo er positiv bzw. negativ ist.

  • Alle ermittelten Problemstellen für %%x%% werden von %%\mathbb{R}%% ausgeschlossen.

Beispiele:

  1. Brüche:

    %%\begin{array}{ll} &f(x)=\frac{2x}{x^2}\\ \Rightarrow &x^2=0\\ \Leftrightarrow &x=0\\ \Rightarrow &\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus \{0\} \end{array}%%


  2. Wurzelfunktionen:

    %%\begin{array}{ll} &f(x)=\sqrt{4x+2}\\ \Rightarrow &4x+2=0\\ \Leftrightarrow &x=-\frac{1}{2}\\ \Rightarrow & 4x+2<0 \ \forall x<-\frac{1}{2}\\ \Rightarrow &\mathbb{D}_f=\left[-\frac{1}{2};\infty \right[ \end{array}%%


  3. Logarithmusfunktion:

    %%\begin{array}{ll} &f(x)=\ln{(4x+2)}\\ \Rightarrow &4x+2=0\\ \Leftrightarrow &x=-\frac{1}{2}\\ \Rightarrow &4x+2 \leq0 \ \forall x\leq -\frac{1}{2}\\ \Rightarrow &\mathbb{D}_f=\left]-\frac{1}{2};\infty \right[ \end{array}%%


    %%\begin{array}{ll} &f(x)=\ln{(x^2-1)}\\ \Rightarrow &x^2-1=0\\ \Leftrightarrow &x=\pm1\\ \Rightarrow &x^2-1 \leq 0 \ \forall x\in [-1;1]\\ \Rightarrow &\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus [-1;1] \end{array}%%

3. … Grenzwerte einer Funktion %%f%% zu betrachten.

Grenzwerte werden immer dann benötigt, wenn man die Werte der Funktion %%f%% nicht direkt angeben kann. Das ist an allen Grenzen des Definitionsbereichs der Fall. So muss man bei einer Funktion %%f%% mit Definitionsbereich %%\mathbb{D}_f= \mathbb{R}^+\setminus ([1;2] \cup \{4,5\})%% die Grenzwerte gegen 0; 1; 2; 4,5 und %%\infty%% bilden.

Grenzwerte im Unendlichen: %%\displaystyle\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)%%

  • (Ausmultiplizierte) gebrochen-rationale Funktionen

    1. Zählergrad größer als Nennergrad

      %%\Rightarrow%% Grenzwert ist je nach Vorzeichen %%\pm \infty%%.

    2. Zählergrad gleich groß wie Nennergrad

      %%\Rightarrow%% Grenzwert entspricht dem Bruch der Koeffizienten der höchsten Potenzen im Zähler und Nenner.

    3. Zählergrad kleiner als Nennergrad

      %%\Rightarrow%% Grenzwert ist 0.

-- Grenzwerte gegen reelle Zahlen: %%\displaystyle\lim_{x \rightarrow k\pm 0} f(x)%%

  • Gebrochenrationale Funktionen Vorgehen bei nichtbehebbaren Definitionslücken:

    1. Der Grenzwert liegt im Unendlichen, nur das Vorzeichen ist unklar.
    2. Zähler und Nenner als Linearfaktoren schreiben.
    3. Grenzwert %%k%% einsetzen und bei allen Faktoren nur die Vorzeichen merken. Bei dem Faktor, der 0 wird, entscheiden, ob man sich von rechts (+0) oder von links (-0) nähert und das Vorzeichen danach wählen.
    4. Alle Vorzeichen miteinander "verrechnen" (minus mal minus ergibt plus).
    5. Das resultierende Vorzeichen ist das Vorzeichen von %%\infty%% und zeigt damit den Grenzwert an.

    Vorgehen bei hebbaren Definitionslücken:

    1. Funktionsterm kürzen
    2. Wert einsetzen
    3. Ausrechnen

Beispiele:

Grenzwerte im Unendlichen:

  1. %%\displaystyle\lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{2x^3-14x-12}{-3x+3}=-\infty%%


  2. %%\displaystyle\lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{2x^3-14x-12}{-3x^3+3}=-\frac{2}{3}%%


  3. %%\displaystyle\lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{2x^3-14x-12}{-3x^4+3}=0%%


Grenzwerte gegen reelle Zahlen:

nicht-hebbar: %%\begin{array}{ll} \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1} &\dfrac{2x^3-14x-12}{-3x+3}= \\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1}& \dfrac{2(x+1)(x+2)(x-3)}{-3(x-1)}\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1+0}& \frac{\overbrace{2(x+1)}^{+}\overbrace{(x+2)}^{+}\overbrace{(x-3)}^{-}}{\underbrace{-3}_{-}\underbrace{(x-1)}_{+}}=+\infty\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1-0}& \frac{\overbrace{2(x+1)}^{+}\overbrace{(x+2)}^{+}\overbrace{(x-3)}^{-}}{\underbrace{-3}_{-}\underbrace{(x-1)}_{-}}=-\infty \end{array} %%


hebbar: %%\begin{array}{ll} \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1} &\dfrac{2x^3-14x-12}{-3x-3}= \\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1}& \dfrac{2(x+1)(x+2)(x-3)}{-3(x+1)}=\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1}& \dfrac{2(x+2)(x-3)}{-3}=4 \end{array} %%

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