Aufgaben
Vereinfache folgende Funktionen so weit wie möglich und leite sie ab.
f(x)=4xxf(x)=\sqrt{4x}\cdot\sqrt x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetze

Tipp: Nutze die Wurzelgesetze zur Multiplikation von Wurzeln.
Geschicktes Umformen kann dir hier das Ableiten erleichtern.
f(x)=4xxf(x)=\sqrt{4x}\cdot\sqrt x
Schreibe 44 als 222^2.
f(x)=22xx\phantom{f(x)}=\sqrt{2^2\cdot x}\cdot\sqrt x
Ziehe 222^2 als 22 aus der Wurzel.
f(x)=2xx\phantom{f(x)}=2\cdot \sqrt{ x}\cdot\sqrt x
f(x)=2x\phantom{f(x)}=2\cdot x
Fasse xx\sqrt{ x}\cdot\sqrt x mit Hilfe der Wurzelgesetze zur Multiplikation von Wurzeln zusammen.
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
f(x)=2f'(x)=2
Die gesuchte Ableitung ist also f(x)=2f'(x)=2.
g(t)=4t+5t3t2tg(t)=4\sqrt t+5\sqrt t - 3\sqrt t-2\sqrt t

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen

Geschicktes Umformen kann dir hier das Ableiten erleichtern.
Nutze hierfür die Wurzelgesetze zur Addition von Wurzeln und fasse die Terme zusammen.
g(t)=4t+5t3t2tg(t)=4\sqrt t+5\sqrt t - 3\sqrt t-2\sqrt t
g(t)=(4+532)t\phantom{g(t)}=(4+5-3-2)\sqrt t
g(t)=4t\phantom{g(t)}=4\sqrt t
g(t)=4t12\phantom{g(t)}=4 t^{\frac12}
Benutze die Potenzgesetze für Wurzeln.
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
g(t)=412t12=2t12g'(t)=4\cdot \dfrac12 t^{-\frac12}=2 t^{-\frac12}
Die gesuchte Ableitung ist also:
g(t)=2t12g'(t)=2t^{-\frac{1}{2}}

Wenn du möchtest, kannst du die Ableitung nun auch wieder in eine Schreibweise mit Wurzel umformen:
g(t)=2t12g'(t)=2\cdot t^{-\frac{1}{2}}
g(t)=21t12\phantom{g'(t)}=2\cdot\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}
g(t)=21t\phantom{g'(t)}=2\cdot\frac{1}{\sqrt t}
g(t)=2t\phantom{g'(t)}=\frac{2}{\sqrt t}

Vereinfache die nachfolgenden Funktionsterme möglichst geschickt und bilde die Ableitungsfunktionen.

f(x)=6x23x+93\displaystyle f(x)=\frac{6x^2-3x+9}{3}
Tipp: Klammere im Zähler den Faktor 3 aus.
Bei dieser Aufgabe solltest du den Bruch zuerst vereinfachen und anschließend ableiten.

Umformung des Funktionsterms

f(x)=6x23x+93f(x)=\dfrac{6x^2-3x+9}{3}
Klammere im Zähler den Faktor 3 aus.
f(x)=3(2x2x+3)3\phantom{f(x)}=\dfrac{3 \cdot (2x^2-x+3)}{3}
Kürze mit 3.
f(x)=2x2x+3\phantom{f(x)}=2x^2-x+3

Ableiten der Funktion

Nun kannst du mit der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen in Kombination mit der Summenregel und der Faktorregel f(x)f'(x) bestimmen.
f(x)=22x1+0=4x1f'(x)=2\cdot2x-1+0=4x-1
Die Ableitung von f(x)f(x) ist f(x)=4x1f'(x)=4x-1.
g(t)=5t3+2t14\displaystyle g(t)=\frac{5t^3+2t-1}{4}
Tipp: Ziehe den Faktor 14\frac {1}{4} vor den Bruch.
Um diese Funktion abzuleiten, bietet es sich an, dass du zunächst einen Faktor vor den Bruch schreibst und den entstehenden Term dann ableitest.

Umformung des Funktionsterms

%%\begin{align} g(t) &= \frac{5t^3 + 2t - 1}{4} \\&= \frac{1}{4} \cdot (5t^3 + 2t - 1) \end{align}%%
Nun ziehst du 14\frac{1}{4} vor den Bruch.

Ableiten der Funktion

Die Ableitung g´(t)g´(t) lässt sich nun als Polynomfunktion mit Hilfe der Faktorregel, der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktion bestimmen.
Es ergibt sich
%%\begin{align} g´(t) &= \frac{1}{4} \cdot (5\cdot 3t^2 + 2\cdot1)\\&= \frac{1}{4} \cdot (15t^2 + 2) \end{align}%%
Die Faktorregel besagt, dass man bei der Ableitung von Funktionen Konstanten vor Variablen nicht ableiten muss.
Unter Anwendung der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktion lassen sich die einzelnen Potenzfunktionen nun ableiten.
Die Ableitung von g(t)g(t) ist g´(t)=14(15t2+2)g´(t) = \frac{1}{4} \cdot (15t^2 + 2).
h(x)=2x+3x25π1\displaystyle h(x)=\frac{2x+3x^2}{5\pi-1}
Tipp: Du kannst zuerst 15π1\frac{1}{5\pi-1} vor den Bruch ziehen.
Bei dieser Aufgabe solltest du zuerst den Funktionsterm umformen und dann mithilfe der Ableitungsregeln h(x)h'(x) bestimmen.

Umformung des Funktionsterms

h(x)=2x+3x25π1h(x)=\dfrac{2x+3x^2}{5\pi-1}
Ziehe 15π1\dfrac{1}{5\pi-1} vor den Bruch.
h(x)=15π1(2x+3x2)\phantom{h(x)}=\dfrac{1}{5\pi-1}\cdot(2x+3x^2)

Ableiten der Funktion

h(x)=15π1(2+6x)h'(x)=\dfrac{1}{5\pi-1}\cdot(2+6x)
Schreibe (2+6x)(2+6x) in den Zähler.
h(x)=2+6x5π1\phantom{h'(x)}=\dfrac{2+6x}{5\pi-1}
Die Ableitung von h(x)h(x) ist h(x)=2+6x5π1h'(x)=\dfrac{2+6x}{5\pi-1}.
k(s)=6s3+422\displaystyle k(s)=\frac{6s^3+4}{2\sqrt{2}}
Tipp: Kürze den Bruch zuerst mit 2 und ziehe dann 12\frac{1}{\sqrt{2}} vor den Bruch.
Hier bietet es sich an, den Bruch zuerst zu kürzen, danach 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} vor den Bruch zu ziehen und anschließend abzuleiten.

Umformung des Funktionsterms

k(s)=6s3+422k(s)=\dfrac{6s^3+4}{2\sqrt{2}}
Klammere im Zähler den Faktor 2 aus.
k(s)=2(3s3+2)22\phantom{k(s)}=\dfrac{2\cdot(3s^3+2)}{2\sqrt{2}}
Kürze mit 2.
k(s)=(3s3+2)2\phantom{k(s)}=\dfrac{(3s^3+2)}{\sqrt{2}}
Ziehe 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} vor den Bruch.
k(s)=12(3s3+2)\phantom{k(s)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot(3s^3+2)


Ableiten der Funktion

k(s)=12(9s2+0)k'(s)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot(9s^2+0)
Schreibe 9s29s^2 in den Zähler.
k(s)=9s22\phantom{k'(s)}=\dfrac{9s^2}{\sqrt{2}}
Alternativ kannst du auch zu Beginn 122\dfrac{1}{2\sqrt{2}} vor den Bruch ziehen und dann ableiten.
Die Ableitung von k(s)k(s) ist k(s)=9s22k'(s)=\dfrac{9s^2}{\sqrt{2}}.
l(x)=4x23(2x+1)+4x+13(2x+1)\displaystyle l(x)= \frac{4x^2}{3 \cdot (2x+1)}+\frac{4x+1}{3 \cdot (2x+1)}
Tipp: Wende die 1. binomische Formel im Zähler an und kürze anschließend.

Umformung des Funktionsterms

In dieser Aufgabe solltest du zuerst die beiden Brüche addieren, um anschließend im Zähler die 1. binomische Formel anwenden zu können. Danach kannst du durch Kürzen den Bruch weiter vereinfachen.
l(x)=4x23(2x+1)+4x+13(2x+1)\displaystyle l(x)= \frac{4x^2}{3 \cdot (2x+1)}+\frac{4x+1}{3 \cdot (2x+1)}
Addiere die beiden Brüche zu einem gemeinsamen Bruch.
l(x)=4x2+4x+13(2x+1)\displaystyle \phantom{l(x)}=\frac{4x^2+4x+1}{3\cdot (2x+1)}
Wende nun die 1. binomische Formel im Zähler an.
l(x)=(2x+1)23(2x+1)\displaystyle \phantom{l(x)}=\frac{(2x+1)^2}{3\cdot (2x+1)}
Kürze den Term in Klammern.
l(x)=(2x+1)3\displaystyle \phantom {l(x)}=\frac{(2x+1)}{3}
Ziehe den Faktor 13\dfrac{1}{3} vor den Bruch.
l(x)=13(2x+1)\displaystyle \phantom{l(x)}=\frac{1}{3}\cdot (2x+1)
l(x)=23x+13\displaystyle \phantom{l(x)}=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}


Ableiten der Funktion

Leite nun deinen vereinfachten Term ab.
l(x)=23+0=23\displaystyle l'(x) =\frac{2}{3}+0=\frac{2}{3}

Die Ableitung von l(x)\displaystyle l(x) ist l(x)=23\displaystyle l'(x)= \frac {2}{3}.

%%m(z) = \left(\dfrac{z-1}{z}\right)^2%%

Umformung des Funktionsterms

Bei dieser Aufgabe bietet es sich zunächst an, wenn du den Funktionsterm mithilfe der Potenzgesetze und zweiten binomischen Formel vereinfachst bevor du diesen anschließend ableitest.

%%m(z) = \left(\dfrac{z-1}{z}\right)^2%%

Ziehe den gemeinsamen Exponenten in den Zähler und Nenner.

%%\phantom{m(z)} = \dfrac{(z-1)^2}{z^2}%%

Wende die zweite binomische Formel im Zähler an.

%%\phantom{m(z)} = \dfrac{z^2-2z+1}{z^2}%%

Spalte den Bruch in mehrere Summanden auf.

%%\phantom{m(z)} = \dfrac{z^2}{z^2} - \dfrac{2z}{z^2} + \dfrac{1}{z^2}%%

Kürze die ersten beiden Summanden.

%%\phantom{m(z)} = 1 - \dfrac{2}{z} + \dfrac{1}{z^2}%%

Schreibe die Brüche als Potenzen mit negativen Exponenten um.

%%\phantom{m(z)} = 1 - 2z^{-1} + z^{-2}%%

Ableiten der Funktion

Die letzte Äquivalenzumformung erspart es dir, die Quotientenregel anwenden zu müssen und ermöglicht die Nutzung der Regel zur Ableitung von Potenzfunktionen in Kombination mit der Summenregel und Faktorregel für die einzelnen Summanden.

%%m(z) = 1 - 2z^{-1} + z^{-2}%%

%%m'(z) = 2z^{-2} - 2z^{-3}%%

Schreibe die Potenzen mit negativen Exponenten als Brüche um.

%%\phantom{m'(z)} = \dfrac{2}{z^2} - \dfrac{2}{z^3}%%

Klammere den gemeinsamen Faktor %%\dfrac{2}{z^2}%% aus.

%%\phantom{m'(z)} = \dfrac{2}{z^2}\cdot \left( 1 - \dfrac{1}{z}\right)%%

Die Ableitung von %%\displaystyle m(z)%% ist %%m'(z) = \dfrac{2}{z^2}\cdot \left( 1 - \dfrac{1}{z}\right)%%.

Vereinfache folgende Funktionen so weit wie möglich und leite sie ab.

%%\displaystyle f(x)= \frac{(x+1)\cdot (x-1)+1}{x^3}%%

Vereinfache zunächst den Zähler, um dann die Ableitung zu bilden.

Vereinfachen des Funktionsterms

%%\displaystyle f(x)= \frac{(x+1)\cdot(x-1)+1}{x^3}%%

Wende die 3. binomische Formel im Zähler an.

%%\phantom{f(x)}\displaystyle = \frac{x^2-1+1}{x^3}%%

Fasse den Zähler zusammen.

%%\phantom{f(x)}\displaystyle = \frac{x^2}{x^3}%%

Kürze den Bruch mit %%\displaystyle x^2%%.

%%\phantom{f(x)}\displaystyle = \frac{1}{x}%%

Ableiten der Funktion

Bilde nun mit Hilfe der Potenzgesetze für negative Exponenten und der Regeln zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von %%f(x)%%.

%%f(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}%%

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%\begin{align}f'(x) &= -1 \cdot x^{-2} \\ &= -\frac{1}{x^2}\end{align}%%

Nun kannst du den Term wieder als Bruch schreiben.

Die gesuchte Ableitung ist also %%f'(x)=-x^{-2}%% bzw. %%f'(x)=-\frac{1}{x^2}%%.

%%g(z)=\dfrac{(z+3)^2-6z-9}{3z^3}%%

Vereinfach zunächst den Zähler, um dann die Ableitung zu bilden.

Vereinfachen des Funktionsterms

%%g(z)=\dfrac{(z+3)^2-6z-9}{3z^3}%%

Wende die 1. binomische Formel im Zähler an.

%%\phantom{g(z)}=\dfrac{z^2+6z+9-6z-9}{3z^3}%%

Fasse den Zähler zusammen.

%%\phantom{g(z)}=\dfrac{z^2}{3z^3}%%

Kürze den Faktor %%z^2%%.

%%\phantom{g(z)}=\dfrac{1}{3z}%%

Bringe das %%z%% aus dem Nenner durch Anwendung der Potenzgesetze zu negativen Exponenten hinter den Bruch.

%%\phantom{g(z)}=\dfrac{1}{3} \cdot z^{-1}%%

Ableiten der Funktion

Bestimme die Ableitung mit Hilfe der Regel zur Ableitung von Potenzfunktionen.

%%g'(z)=\dfrac{1}{3} \cdot (-1) \cdot z^{-2}%%

Multipliziere die Faktoren vor dem %%z^{-2}%%.

%%\phantom{g'(z)}=-\dfrac{1}{3} \cdot z^{-2}%%

Nun kannst du das %%z%% wieder in den Nenner schreiben.

%%\phantom{g'(z)}=-\dfrac{1}{3z^2}%%

Die gesuchte Ableitung ist also %%g'(z)=-\dfrac{1}{3} \cdot z^{-2}%% bzw. %%g'(z)=-\dfrac{1}{3z^2}%%.

%%h(s)=\dfrac{(s+1)^2-s^2}{(2s+1)^2}%%

In dieser Aufgabe solltest du den Funktionsterm zuerst vereinfachen, bevor du ableitest.

Vereinfachen des Funktionsterms

%%h(s)=\dfrac{(s+1)^2-s^2}{(2s+1)^2}%%

Multipliziere die Klammer im Zähler aus. Verwende dazu die 1. binomische Formel.

%%\phantom{h(s)}=\dfrac{s^2+2s+1-s^2}{(2s+1)^2}%%

Vereinfache den Zähler.

%%\phantom{h(s)}=\dfrac{2s+1}{(2s+1)^2}%%

Kürze mit %%(2s+1)%%.

%%\phantom{h(s)}=\dfrac{1}{2s+1}%%

Wende das Potenzgesetz für negative Exponenten an.

%%\phantom{h(s)}=(2s+1)^{-1}%%

Ableiten der Funktion

Jetzt kannst du %%h'(s)%% mithilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel bestimmen.

%%h'(s)=-1\cdot(2s+1)^{-2}\cdot2%%

Vereinfache den Term.

%%\phantom{h'(s)}=-2\cdot(2s+1)^{-2}%%

Die Ableitung von %%h(s)%% ist %%h'(s)=-2\cdot(2s+1)^{-2}%% bzw. %%h'(s)=-\dfrac{2}{(2s+1)^2}%%.

%%\displaystyle k(t)= \frac{(t+2)\cdot (t-2)}{(t^2-4)^3}%%

In dieser Aufgabe solltest du als erstes den Zähler vereinfachen, um dann die Ableitung zu bilden.

Vereinfachen des Funktionsterms

%%\displaystyle k(t)=\frac{(t+2)\cdot (t-2)}{(t^2-4)^3}%%

Wende die 3. binomische Formel im Zähler an.

%%\displaystyle \phantom{k(t)}=\frac{t^2-4}{(t^2-4)^3}%%

Vereinfache den Bruch durch Kürzen.

%%\displaystyle \phantom{k(t)}=\frac{1}{(t^2-4)^2}%%

Im nächsten Schritt solltest du nun die Potenzgesetze für negative Exponenten anwenden, um dann den Bruch ableiten zu können.

%%\displaystyle k(t)=\frac{1}{(t^2-4)^2}%%

%%\displaystyle \phantom{k(t)}=1 \cdot (t^2-4)^{-2}%%

Ableiten der Funktion

Jetzt kannst du durch Anwenden der Regel zur Ableitung von Potenzfunktionen, der Kettenregel und der Summenregel die Ableitung von %%\displaystyle k(t)%% berechnen.

%%\displaystyle k'(t)=-2\cdot (t^2-4)^{-3}\cdot2t%%

%%\displaystyle \phantom{k'(t)} = -4t\cdot(t^2-4)^{-3}%%

Die gesuchte Ableitung von %%\displaystyle k(x)%% ist %%\displaystyle k'(t) = -4t\cdot(t^2-4)^{-3}%%.

Vereinfache folgende Funktionen so weit wie möglich und leite sie ab.
f(x)=5x49x4103x2+4x4f(x)=\dfrac{5}{x^4}-\dfrac{9}{x^4}-\dfrac{10}{3x^2}+\dfrac{4}{x^4}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten

Tipp: Beachte, dass Brüche mit gleichem Nenner einfach zusammengefasst werden können.
In dieser Aufgabe kürzen sich einige der Brüche heraus.
f(x)=5x49x4103x2+4x4f(x)=\dfrac{5}{x^4}-\dfrac{9}{x^4}-\dfrac{10}{3x^2}+\dfrac{4}{x^4}
Bringe zunächst alle Zähler mit dem Nenner x4x^4 auf einen Bruchstrich.
f(x)=59+4x4103x2\phantom{f(x)}=\dfrac{5-9+4}{x^4}-\dfrac{10}{3x^2}
Fasse den Zähler weiter zusammen.
f(x)=0103x2\phantom{f(x)}=0-\dfrac{10}{3x^2}
Nutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.
f(x)=103x2\phantom{f(x)}=-\dfrac{10}3\cdot x^{-2}
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
f(x)=103(2)x21f'(x)=-\dfrac{10}3\cdot(-2)\cdot x^{-2-1}
f(x)=203x3\phantom{f'(x)}=\dfrac{20} {3} \cdot x^{-3}
f(x)=203x3\phantom{f'(x)}=\dfrac{20} {3x^{3}}
Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.
Die gesuchte Ableitung ist also f(x)=203x3f'(x)=\dfrac{20} {3x^{3}}
g(t)=103t33t3g(t)=\dfrac{10}{3t^3}-\dfrac{3}{t^3}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten

Tipp: Bringe beide Brüche auf einen Hauptnenner und verwende die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
In dieser Aufgabe musst du beide Brüche auf einen Hauptnenner bringen, um dir das ableiten zu vereinfachen.
g(t)=103t33t3g(t)=\dfrac{10}{3t^3}-\dfrac{3}{t^3}
Erweitere 3t3\dfrac3{t^3} mit 33.
g(t)=103t393t3\phantom{g(t)}=\dfrac{10}{3t^3}-\dfrac{9}{3t^3}
Bringe beide Zähler auf einen Bruchstrich.
g(t)=1093t3\phantom{g(t)}=\dfrac{10-9}{3t^3}
Fasse den Zähler weiter zusammen.
g(t)=13t3\phantom{g(t)}=\dfrac{1}{3t^3}
Nutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.
g(t)=13t3\phantom{g(t)}=\dfrac{1}{3}\cdot t^{-3}
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
g(t)=13(3)t31g'(t)=\dfrac{1}{3}\cdot(-3)\cdot t^{-3-1}
g(t)=1t4\phantom{g'(t)}=-\dfrac{1} {t^4}
Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.
Die gesuchte Ableitung ist also g(t)=1t4g'(t)=-\dfrac{1} {t^4}.
Leite folgende Funktionen ab.
f(x)=1xf(x)=\dfrac1x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten

Tipp: Forme erst mit den Potenzgesetzen um und verwende dann die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
Nutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.
f(x)=1x=x1f(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
%%\begin{align}f'(x) &= -1 \cdot x^{-2} \\&= -\frac{1}{x^2}\end{align}%%
Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.
Die gesuchte Ableitung ist also f(x)=x2f'(x)=-x^{-2} bzw. f(x)=1x2f'(x)=-\frac{1}{x^2}.
g(t)=34t4g(t)=\dfrac{34}{t^4}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten

Tipp: Forme erst mit den Potenzgesetzen um und verwende dann die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
Nutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.
g(t)=34t4=34t4g(t)=\dfrac{34}{t^4}=34\cdot t^{-4}
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
g(t)=34(4)t5g'(t)=34\cdot(-4)\cdot t^{-5}
phantomg(x)=136t5phantomg'\left(x\right)=-\frac{136}{t^5}
Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.
Die gesuchte Ableitung ist also g(t)=136t5g'(t)=-\frac{136}{t^5}.
h(z)=34z4h(z)=\dfrac{3}{4z^4}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten

Tipp: Forme erst mit den Potenzgesetzen um und verwende dann die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
Nutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.
h(z)=34z4=34z4h(z)=\dfrac{3}{4z^4}=\dfrac{3}{4}\cdot z^{-4}
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
%%\begin{align}h'(z) &=\dfrac{3}{4}\cdot (-4)\cdot z^{-5} \\&= -\frac{3}{z^5}\end{align}%%
Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.
Die gesuchte Ableitung ist also h(z)=3z5h'(z)=-\dfrac{3}{z^5}.
Mathematicus hat hier die Funktion f(x)=1xf(x)=\dfrac1x mehrmals abgeleitet.
Ableitungen von 1/x
Versuche ohne weitere Rechnung die nächste Ableitung zu bestimmen.
f(5)(x)=120x6f^{(5)}(x)=-\dfrac{120}{x^6}
f(5)(x)=120x6f^{(5)}(x)=\dfrac{120}{x^6}
f(5)(x)=120x5f^{(5)}(x)=-\dfrac{120}{x^5}
f(5)(x)=120x6f^{(5)}(x)=-120\cdot x^6

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

Mehrmaliges Ableiten 1x\dfrac1x

  • Wenn man sich den Nenner der einzelnen Ableitungen anschaut, erkennt man, dass sich der Exponent von xx nach jeder Ableitung um eins erhöht.Da bei der Funktion f(4)(x)f^{(4)}(x) der Exponent schon bei 55 ist, kann man folgern, dass die Funktion f(5)(x)f^{(5)}(x) im Nenner ein x6x^6 hat.
  • Du kannst also die Funktion f(5)(x)=120x5f^{(5)}(x)=-\dfrac{120}{x^5} und f(5)(x)=120x6f^{(5)}(x)=-120\cdot x^6 ausschließen.
  • Schau dir das Vorzeichen der Ableitungen an. Es variiert nach jeder Ableitung. Die Funktion f(5)(x)f^{(5)}(x) muss also ein negatives Vorzeichen haben. Deswegen kannst du auch f(5)(x)=120x6f^{(5)}(x)=\dfrac{120}{x^6} ausschließen.
  • Die gesuchte Funktion ist also f(5)(x)=120x6f^{(5)}(x)=-\dfrac{120}{x^6}.
Man kann seine Wahl nun auch rechnerisch überprüfen.
Nutze dafür das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen und leite die Funktion f(4)(x)=24x5f^{(4)}(x)=\dfrac{24}{x^5} ab.
f(4)(x)=24x5f^{(4)}(x)=24\cdot x^{-5}
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
f(5)(x)=24(5)x6f^{(5)}(x)=24\cdot (-5)\cdot x^{-6}
f(5)(x)=120x6\phantom{f^{(5)}(x)}=-\dfrac{120}{x^6}
Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.
Die gesuchte Ableitung ist also tatsächlich f(5)(x)=120x6f^{(5)}(x)=-\dfrac{120}{x^6}.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

Tipp: Du kennst die schreibweise "n!""n!" nicht? Dann schau hier.
Wird die Funktion n-mal abgeleitet, so spricht man von der "n-ten Ableitung der Funktion".

Allgemeine Formel zur Ableitung der Funktion f(x)

  • Betrachtest du die in der Aufgabe angegebenen Ableitungen und die in der Teilaufgabe a) bestimmte fünfte Ableitung, so fällt dir vielleicht auf, dass sich das Vorzeichen nach jeder Ableitung ändert.
  • Die angegebene Formel f(n)(x)=nx(n+1)f^{(n)}(x)=\dfrac{n}{x^{(n+1)}} ist somit nicht richtig, da die Variation des Vorzeichens nicht berücksichtigt wird.
  • Hinweis: Bei einer geradzahligen Ableitung steht vor dem Term ein Plus und vor einer ungeraden Ableitung ein Minus.
  • Schaust du dir den Zähler der Ableitungen genauer an, so siehst du, dass dieser nicht immer gleich ist.
  • Die Funktion f(n)(x)=(1)n1x(n+1)f^{(n)}(x)=(-1)^n\cdot\dfrac{1}{x^{(n+1)}} ist somit nicht die gesuchte Formel.
  • Untersuchst du den Zähler, so kannst du beispielsweise bei der vierten Ableitung durch Faktorisieren den Zähler wie folgt darstellen: 24=4321=4!\displaystyle 24=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4!. Genauso kannst du auch bei der fünften Ableitung vorgehen: 120=54321=5!\displaystyle 120= 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=5!.
  • Vergleichst du die Exponenten im Nenner der einzelnen Ableitungen, so bemerkst du, dass sich der Exponent von x nach jeder Ableitung um eins erhöht.
  • Mit Hilfe dieser Erkenntnis kannst du die Formel f(n)(x)=(1)nn!xf^{(n)}(x)=(-1)^n\cdot\dfrac{n!}{x} ausschließen.
  • Die gesuchte allgemeine Formel der Ableitung ist somit f(n)(x)=(1)nn!x(n+1)f^{(n)}(x)=(-1)^n\cdot\dfrac{n!}{x^{(n+1)}}.
Leite die folgenden Funktionen ab und entscheide welche der abgebildeten Graphen dem Funktionsgrahen der Ableitung der Funktion entsprechen. Fülle in den Feldern dafür den Funktionsnamen (1,2,31, 2, 3 oder 44) ein.
Achtung: Die Graphen entsprechen der Ableitung der Funktion, nicht der Funktion selber.
f(x)=4x33f(x)=\dfrac{4x^3}{3}
Graph

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten

Tipp: Beim Ableiten einer Potenzfunktion verringert sich der Grad der Funktion um eins.
Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.
f(x)=4x33f(x)=\dfrac{4x^3}{3}
f(x)=43x3\phantom{f(x)}=\dfrac{4}{3}\cdot x^3
Ziehe den Faktor vor den Bruch.
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
f(x)=433x2=4x2f'(x)=\dfrac{4}{3}\cdot 3\cdot x^2=4x^2
Das heißt, die in der Grafik gesuchte Funktion ist f(x)=4x2f'(x)=4x^2.
  • Der Graph einer Funktion zweiten Grades ist eine Parabel.
  • Deswegen kann man die Graphen 22 und 44 ausschließen, da diese beide keine Parabeln sind.
  • Der Graph 33 ist eine nach unten geöffnete Parabel. Bei einer nach unten geöffneten Parabel ist der Faktor vor dem x2x^2 negativ. Bei der Funktion f(x)f'(x) ist der Faktor vor dem x2x^2 eine 44 und damit positiv.
  • Die gesuchte Funktion ist also die 11.
g(x)=x3+6x6g(x)=\dfrac{x^3+6x}{6}
Graph

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten

Tipp: Beim Ableiten einer Potenzfunktion verringert sich der Grad der Funktion um eins.
Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.
g(x)=x3+6x6g(x)=\dfrac{x^3+6x}{6}g(x)=16(x3+6x)\phantom{g(x)}=\dfrac16\cdot(x^3+6x)
Ziehe den Faktor 16\dfrac16 vor den Bruch.
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
g(x)=16(3x2+6)g'(x)=\dfrac16\cdot(3\cdot x^2+6)
g(x)=12x2+1\phantom{g'(x)}=\dfrac12x^2+1
Multipliziere 16\dfrac16 in die Klammer.
Das heißt, die in der Grafik gesuchte Funktion ist g(x)=12x2+1g'(x)=\dfrac12x^2+1.
  • Der Graph einer Funktion zweiten Grades ist eine Parabel.
  • Deswegen kann man die Graphen 11 und 33 ausschließen, da diese beide keine Parabeln sind.
  • Der Graph 44 ist eine nach unten geöffnete Parabel. Bei einer nach unten geöffneten Parabel ist der Faktor vor dem x2x^2 negativ. Bei der Funktion g(x)g'(x) ist 12\dfrac12 der Faktor vor dem x2x^2 und damit positiv.
  • Die gesuchte Funktion ist also die 22. Dies kann man auch gut an dem +1+1 in der Funktionsgleichung sehen. Sie sorgt für eine Verschiebung der Parabel, um 11 nach oben entlang der y-Achse.
Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.
h(x)=x4+108x108h(x)=\dfrac{x^4+108x}{108}
Graphen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten

Tipp: Beim Ableiten einer Potenzfunktion verringert sich der Grad der Funktion um eins.
Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.
%%\begin{align}h(x) &=\dfrac{x^4+108x}{108}\\ &= \dfrac{1}{108} \cdot (x^4 + 108 x)\end{align}%%
Dafür bietet es sich an, dass du 1108\dfrac{1}{108} ausklammerst.
Das Ergebnis lässt sich nun mit Hilfe der Faktorregel, der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktionen ableiten.
Zuerst werden die einzelnen Potenzfunktionen abgeleitet.
%%\begin{align} h´(x) &= \dfrac{1}{108} \cdot (4\cdot x^3 + 108) \\&= \dfrac{4}{108} \cdot x^3 + \dfrac{108}{108} \\&= \dfrac{1}{27} x^3 + 1 \end{align}%%
Danach wird mit dem Faktor 1108\dfrac{1}{108} ausmultipliziert.
Du erhälst also h´(x)=127x3+1h´(x) = \dfrac{1}{27}x^3+1.
Die Ableitung h´(x)h´(x) ist eine Funktion dritten Grades.
Da es sich bei 2 und 4 um Parabeln und somit um Funktionen zweiten Grades handelt, fallen diese beiden Möglichkeiten schon mal weg.
h´(x)h´(x) hat mit 127\dfrac{1}{27} einen positiven Vorfaktor und ist somit nach oben geöffnet. Deshalb fällt die Möglichkeit 1 ebenfalls weg. Die richtige Lösung ist somit der Graph 3.
k(x)=3x510x315x15k(x)=-\dfrac{3x^5-10x^3-15x}{15}
Graph

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten

Tipp: Beim Ableiten einer Potenzfunktion verringert sich der Grad der Funktion um eins.
k(x)=3x510x315x15k(x)=-\dfrac{3x^5-10x^3-15x}{15}
Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher. Klammere also zur Vereinfachung 115\dfrac{1}{15} aus.
%%\begin{align}k(x)&=-\dfrac{3x^5-10x^3-15x}{15} \\ &= - \dfrac{1}{15} \cdot \left(-3x^5+10x^3+15x \right) \end{align}%%
Leite danach den entstandenen Term ab:
%%\begin{align} k´(x)&=-\dfrac{1}{15} \cdot ( -3 \cdot5 x^4 +10 \cdot 3 \cdot x^2 - 15) \\&= -\dfrac{1}{15} \cdot ( -15 x^4 + 30 x^2 - 15) \\&= \dfrac{15}{15} x^4 -\dfrac{30}{15}x^2 + \dfrac{15}{15} \\&= x^4 - 2x^2+1\end{align}%%
Die Ableitung von k(x)k(x) ist also k´(x)=x42x2+1k´(x)= x^4-2x^2+1 und somit eine Funktion 4. Grades.
Als Lösung fällt somit Graph 4 als Parabel (und somit Funktion 2. Grades) raus. Ebenso fällt Graph 2 als Gerade (und somit Funktion 1. Grades) raus. Die Graph 3 fällt als Funktion 3. Grades ebenso raus.
Der Graph 1 beschreibt eine Funktion, die nach unten geöffnet ist und entspricht somit (unter Verwendung der zuvor angeführten Punkte) der Lösung.
l(x)=0,375x4+13x3+115x5+2x23x6l(x)=-\dfrac{0,375x^4+\frac13x^3+\frac1{15}x^5+2x^2-3x}6
Graph

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten

Tipp: Beim Ableiten einer Potenzfunktion verringert sich der Grad der Funktion um eins.
Wenn du die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformst, ist das Ableiten einfacher.
l(x)=0,375x4+13x3+115x5+2x23x6l(x)=-\dfrac{0,375x^4+\frac13x^3+\frac1{15}x^5+2x^2-3x}6
Ziehe den Faktor 16\dfrac16 vor den Bruch.
l(x)=16(0,375x4+13x3+115x5+2x23x)\phantom{l(x)}=-\dfrac16\cdot\left(0,375x^4+\dfrac13x^3+\dfrac1{15}x^5+2x^2-3x\right)