Aufgaben

Vereinfache folgende Funktionen so weit wie möglich und leite sie ab.

%%f(x)=\sqrt{4x}\cdot\sqrt x%%

Geschicktes Umformen kann dir hier das Ableiten erleichtern.

%%f(x)=\sqrt{4x}\cdot\sqrt x%%

Schreibe %%4%% als %%2^2%%.

%%\phantom{f(x)}=\sqrt{2^2\cdot x}\cdot\sqrt x%%

Ziehe %%2^2%% als %%2%% aus der Wurzel.

%%\phantom{f(x)}=2\cdot \sqrt{ x}\cdot\sqrt x%%

%%\phantom{f(x)}=2\cdot x%%

Fasse %%\sqrt{ x}\cdot\sqrt x%% mit Hilfe der Wurzelgesetze zur Multiplikation von Wurzeln zusammen.

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%f'(x)=2%%

Die gesuchte Ableitung ist also %%f'(x)=2%%.

%%g(t)=4\sqrt t+5\sqrt t - 3\sqrt t-2\sqrt t%%

Geschicktes Umformen kann dir hier das Ableiten erleichtern.

%%g(t)=4\sqrt t+5\sqrt t - 3\sqrt t-2\sqrt t%%

Nutze die Wurzelgesetze zur Addition von Wurzeln.

%%\phantom{g(t)}=(4+5-3-2)\sqrt t%%

Fasse weiter zusammen.

%%\phantom{g(t)}=4\sqrt t%%

%%\phantom{g(t)}=4 t^{\frac12}%%

Benutze die Potenzgesetze für Wurzeln.

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%g'(t)=4\cdot \dfrac12 t^{-\frac12}=2 t^{-\frac12}%%

Die gesuchte Ableitung ist also %%g'(t)=2 t^{-\frac12}%%.

Vereinfache die folgenden Funktionen so weit wie möglich und bilde eine Stammfunktion.

%%\displaystyle f(x)=\frac{7}{x^{-2}}%%

Vereinfache den Funktionsterm zuerst und bilde dann eine Stammfunktion.

Vereinfachen des Funktionsterms

%%\displaystyle f(x)= \frac{7}{x^{-2}}%%

%%\phantom{f(x)}\displaystyle = 7\cdot x^{-(-2)}%%

Vereinfache den Exponenten.

%%\phantom{f(x)}\displaystyle = 7x^2%%

Bilden einer Stammfunktion

Verwende die Regel für die Bildung einer Stammfunktion von Potenzfunktionen.

%%\displaystyle f(x)= \frac{7}{x^{-2}}=7x^2%%

%%\displaystyle F(x)= \frac{1}{3}\cdot7\cdot x^3+C=\frac{7}{3}x^3+C%%

mit %%C\in \mathbb{R}%%

Eine Stammfunktion von %%f(x)%% ist %%\displaystyle F(x)=\frac{7}{3}x^3+C \space%% mit %%C\in \mathbb{R}%%.

%%g(x)=\dfrac{6}{x^{-3}}+\dfrac{2}{x^{-1}}%%

Vereinfache den Funktionsterm zuerst und bilde dann eine Stammfunktion.

Vereinfachen des Funktionsterms

%%g(x)=\dfrac{6}{x^{-3}}+\dfrac{2}{x^{-1}}%%

%%\phantom{g(x)}=6\cdot x^{-(-3)}+2\cdot x^{-(-1)}%%

Vereinfache die Exponeten.

%%\phantom{g(x)}=6\cdot x^3+2\cdot x^1%%

%%\phantom{g(x)}=6x^3+2x%%

Bilden einer Stammfunktion

Verwende die Regel für die Bildung einer Stammfunktion von Potenzfunktionen.

%%G(x)=6\cdot \dfrac{1}{4}\cdot x^4+2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot x^2 +C%%

mit %%C\in \mathbb{R}%%

Vereinfache den Term.

%%\phantom{G(x)}=\dfrac{3}{2}x^4+x^2+C%%

Eine Stammfunktion von %%g(x)%% ist %%G(x)=\dfrac{3}{2}x^4+x^2+C\space%% mit %%C\in \mathbb{R}%%.

%%h(x)=\dfrac{4}{x^{-2}} \cdot \dfrac{3}{x^2}%%

Vereinfache die Funktion zuerst und bilde dann eine Stammfunktion.

Vereinfachen des Funktionsterms

Lösungsvariante 1

%%h(x)=\dfrac{4}{x^{-2}} \cdot \dfrac{3}{x^2}%%

Benutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten um %%\dfrac{4}{x^{-2}}%% umzuformen.

%%\phantom{h(x)}=4x^{-(-2)} \cdot \dfrac{3}{x^2}%%

Vereinfache den Exponenten.

%%\phantom{h(x)}=4x^2 \cdot \dfrac{3}{x^2}%%

Schreibe %%4x^2%% in den Zähler.

%%\phantom{h(x)}=\dfrac{4 \cdot x^2 \cdot 3}{x^2}%%

Fasse den Zähler zusammen.

%%\phantom{h(x)}=\dfrac {12 \cdot x^2}{x^2}%%

Kürze den Faktor %%x^2%%.

%%\phantom{h(x)}=12%%

Lösungsvariante 2

%%h(x)=\dfrac{4}{x^{-2}} \cdot \dfrac{3}{x^2}%%

Fasse die Brüche zu einem Bruch zusammen.

%%\phantom{h(x)}=\dfrac{4 \cdot 3}{x^{-2} \cdot x^2}%%

Vereinfache den Zähler.

%%\phantom{h(x)}=\dfrac{12}{x^{-2} \cdot x^2}%%

Berechne den Nenner mit Hilfe der Potenzgesetze.

%%\phantom{h(x)}=\dfrac{12}{x^{-2+2}}%%

Vereinfache den Exponenten im Nenner.

%%\phantom{h(x)}=\dfrac{12}{x^0}%%

Beachte: %%x^0=1%%.

%%\phantom{h(x)}=\dfrac {12}{1}%%

%%\phantom{h(x)}=12%%

Bilden der Stammfunktion

Verwende die Regel für die Bildung einer Stammfunktion von Potenzfunktionen.

%%h(x)=12%%

%%H(x)=12x+C%%

mit %%C \in \mathbb{R}%%

Eine Stammfunktion von %%h(x)%% ist %%H(x)=12x+C%% mit %%C \in \mathbb{R}%%.

%%\displaystyle k(x)= \frac{3}{x^4} \cdot \frac{2}{x^{-2}}%%

Vereinfache zuerst den Funktionsterm und bilde dann eine Stammfunktion.

Vereinfachen des Funktionsterms

Lösungsvariante 1:

%%\displaystyle k(x)= \frac{3}{x^4} \cdot \frac{2}{x^{-2}}%%

%%\displaystyle \phantom {k(x)}=\frac{3}{x^4}\cdot2x^{-(-2)}%%

Vereinfache den Exponenten.

%%\displaystyle \phantom {k(x)}=\frac{3}{x^4}\cdot2x^2%%

Schreibe %%\displaystyle 2x^2%% in den Zähler.

%%\displaystyle \phantom {k(x)}=\frac{3\cdot2x^2}{x^4}%%

Vereinfache den Zähler.

%%\displaystyle \phantom {k(x)}=\frac{6x^2}{x^4}%%

Kürze mit %%\displaystyle x^2%%.

%%\displaystyle \phantom {k(x)}=\frac{6}{x^2}%%

%%\displaystyle \phantom{k(x)}=6x^{-2}%%

Lösungsvariante 2:

%%\displaystyle k(x)= \frac{3}{x^4} \cdot \frac{2}{x^{-2}}%%

Fasse die Brüche zu einem Bruch zusammen.

%%\displaystyle \phantom {k(x)}=\frac{3\cdot 2}{x^4 \cdot x^{-2}}%%

%%\displaystyle \phantom {k(x)}=\frac{6}{x^{4-2}}%%

Vereinfache den Exponenten.

%%\displaystyle \phantom {k(x)}=\frac{6}{x^2}%%

%%\displaystyle \phantom{k(x)}=6x^{-2}%%

Bilden der Stammfunktion

Verwende die Regel für die Bildung einer Stammfunktion von Potenzfunktionen.

%%\displaystyle k(x)=6x^{-2}%%

%%\displaystyle K(x)= -6x^{-1} +C =-\frac{6}{x}+C%% mit %%\displaystyle C \in \mathbb{R}%%

Eine Stammfunktion von %%\displaystyle k(x)%% ist %%\displaystyle K(x)=- \frac{6}{x} +C%% mit %%\displaystyle C \in \mathbb{R}%%.

Vereinfache die nachfolgenden Funktionsterme möglichst geschickt und bilde die Ableitungsfunktionen.

$$f(x)=\frac{6x^2-3x+9}{3}$$

Bei dieser Aufgabe solltest du den Bruch zuerst vereinfachen und anschließend ableiten.

Umformung des Funktionsterms

%%f(x)=\dfrac{6x^2-3x+9}{3}%%

Klammere im Zähler den Faktor 3 aus.

%%\phantom{f(x)}=\dfrac{3 \cdot (2x^2-x+3)}{3}%%

Kürze mit 3.

%%\phantom{f(x)}=2x^2-x+3%%

Ableiten der Funktion

Nun kannst du mit der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen in Kombination mit der Summenregel und der Faktorregel %%f'(x)%% bestimmen.

%%f'(x)=2\cdot2x-1+0=4x-1%%

Die Ableitung von %%f(x)%% ist %%f'(x)=4x-1%%.

$$g(t)=\frac{5t^3+2t-1}{4}$$

Um diese Funktion abzuleiten, bietet es sich an, dass du zunächst einen Faktor vor den Bruch schreibst und den entstehenden Term dann ableitest.

Umformung des Funktionsterms

%%\begin{align} g(t) &= \frac{5t^3 + 2t - 1}{4} \\ &= \frac{1}{4} \cdot (5t^3 + 2t - 1) \end{align}%%

Nun ziehst du %%\frac{1}{4}%% vor den Bruch.

Ableiten der Funktion

Die Ableitung %%g´(t)%% lässt sich nun als Polynomfunktion mit Hilfe der Faktorregel, der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktion bestimmen.

Es ergibt sich

%%\begin{align} g´(t) &= \frac{1}{4} \cdot (5\cdot 3t^2 + 2\cdot1)\\ &= \frac{1}{4} \cdot (15t^2 + 2) \end{align}%%

Die Faktorregel besagt, dass man bei der Ableitung von Funktionen Konstanten vor Variablen nicht ableiten muss.

Unter Anwendung der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktion lassen sich die einzelnen Potenzfunktionen nun ableiten.

Die Ableitung von %%g(t)%% ist %%g´(t) = \frac{1}{4} \cdot (15t^2 + 2)%%.

$$h(x)=\frac{2x+3x^2}{5\pi-1}$$

Bei dieser Aufgabe solltest du zuerst den Funktionsterm umformen und dann mithilfe der Ableitungsregeln %%h'(x)%% bestimmen.

Umformung des Funktionsterms

%%h(x)=\dfrac{2x+3x^2}{5\pi-1}%%

Ziehe %%\dfrac{1}{5\pi-1}%% vor den Bruch.

%%\phantom{h(x)}=\dfrac{1}{5\pi-1}\cdot(2x+3x^2)%%

Ableiten der Funktion

Wende nun die Faktorregel, die Summenregel und die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen an.

%%h'(x)=\dfrac{1}{5\pi-1}\cdot(2+6x)%%

Schreibe %%(2+6x)%% in den Zähler.

%%\phantom{h'(x)}=\dfrac{2+6x}{5\pi-1}%%

Die Ableitung von %%h(x)%% ist %%h'(x)=\dfrac{2+6x}{5\pi-1}%%.

$$k(s)=\frac{6s^3+4}{2\sqrt{2}}$$

Hier bietet es sich an, den Bruch zuerst zu kürzen, danach %%\dfrac{1}{\sqrt{2}}%% vor den Bruch zu ziehen und anschließend abzuleiten.

Umformung des Funktionsterms

%%k(s)=\dfrac{6s^3+4}{2\sqrt{2}}%%

Klammere im Zähler den Faktor 2 aus.

%%\phantom{k(s)}=\dfrac{2\cdot(3s^3+2)}{2\sqrt{2}}%%

Kürze mit 2.

%%\phantom{k(s)}=\dfrac{(3s^3+2)}{\sqrt{2}}%%

Ziehe %%\dfrac{1}{\sqrt{2}}%% vor den Bruch.

%%\phantom{k(s)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot(3s^3+2)%%

Ableiten der Funktion

Leite nun mit der Faktorregel, der Summenregel und der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen ab.

%%k'(s)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot(9s^2+0)%%

Schreibe %%9s^2%% in den Zähler.

%%\phantom{k'(s)}=\dfrac{9s^2}{\sqrt{2}}%%

Alternativ kannst du auch zu Beginn %%\dfrac{1}{2\sqrt{2}}%% vor den Bruch ziehen und dann ableiten.

Die Ableitung von %%k(s)%% ist %%k'(s)=\dfrac{9s^2}{\sqrt{2}}%%.

%%\displaystyle l(x)= \frac{4x^2}{3 \cdot (2x+1)}+\frac{4x+1}{3 \cdot (2x+1)}%%

Umformung des Funktionsterms

In dieser Aufgabe solltest du zuerst die beiden Brüche addieren, um anschließend im Zähler die 1. binomische Formel anwenden zu können. Danach kannst du durch Kürzen den Bruch weiter vereinfachen.

%%\displaystyle l(x)= \frac{4x^2}{3 \cdot (2x+1)}+\frac{4x+1}{3 \cdot (2x+1)}%%

Addiere die beiden Brüche zu einem gemeinsamen Bruch.

%%\displaystyle \phantom{l(x)}=\frac{4x^2+4x+1}{3\cdot (2x+1)}%%

Wende nun die 1. binomische Formel im Zähler an.

%%\displaystyle \phantom{l(x)}=\frac{(2x+1)^2}{3\cdot (2x+1)}%%

Kürze den Term in Klammern.

%%\displaystyle \phantom {l(x)}=\frac{(2x+1)}{3}%%

Ziehe den Faktor %%\dfrac{1}{3}%% vor den Bruch.

%%\displaystyle \phantom{l(x)}=\frac{1}{3}\cdot (2x+1)%%

%%\displaystyle \phantom{l(x)}=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}%%

Ableiten der Funktion

Leite nun deinen vereinfachten Term ab.

%%\displaystyle l'(x) =\frac{2}{3}+0=\frac{2}{3}%%

Die Ableitung von %%\displaystyle l(x)%% ist %%\displaystyle l'(x)= \frac {2}{3}%%.

%%m(z) = \left(\dfrac{z-1}{z}\right)^2%%

Umformung des Funktionsterms

Bei dieser Aufgabe bietet es sich zunächst an, wenn du den Funktionsterm mithilfe der Potenzgesetze und zweiten binomischen Formel vereinfachst bevor du diesen anschließend ableitest.

%%m(z) = \left(\dfrac{z-1}{z}\right)^2%%

Ziehe den gemeinsamen Exponenten in den Zähler und Nenner.

%%\phantom{m(z)} = \dfrac{(z-1)^2}{z^2}%%

Wende die zweite binomische Formel im Zähler an.

%%\phantom{m(z)} = \dfrac{z^2-2z+1}{z^2}%%

Spalte den Bruch in mehrere Summanden auf.

%%\phantom{m(z)} = \dfrac{z^2}{z^2} - \dfrac{2z}{z^2} + \dfrac{1}{z^2}%%

Kürze die ersten beiden Summanden.

%%\phantom{m(z)} = 1 - \dfrac{2}{z} + \dfrac{1}{z^2}%%

Schreibe die Brüche als Potenzen mit negativen Exponenten um.

%%\phantom{m(z)} = 1 - 2z^{-1} + z^{-2}%%

Ableiten der Funktion

Die letzte Äquivalenzumformung erspart es dir, die Quotientenregel anwenden zu müssen und ermöglicht die Nutzung der Regel zur Ableitung von Potenzfunktionen in Kombination mit der Summenregel und Faktorregel für die einzelnen Summanden.

%%m(z) = 1 - 2z^{-1} + z^{-2}%%

%%m'(z) = 2z^{-2} - 2z^{-3}%%

Schreibe die Potenzen mit negativen Exponenten als Brüche um.

%%\phantom{m'(z)} = \dfrac{2}{z^2} - \dfrac{2}{z^3}%%

Klammere den gemeinsamen Faktor %%\dfrac{2}{z^2}%% aus.

%%\phantom{m'(z)} = \dfrac{2}{z^2}\cdot \left( 1 - \dfrac{1}{z}\right)%%

Die Ableitung von %%\displaystyle m(z)%% ist %%m'(z) = \dfrac{2}{z^2}\cdot \left( 1 - \dfrac{1}{z}\right)%%.

Vereinfache folgende Funktionen so weit wie möglich und leite sie ab.

%%\displaystyle f(x)= \frac{(x+1)\cdot (x-1)+1}{x^3}%%

Vereinfache zunächst den Zähler, um dann die Ableitung zu bilden.

Vereinfachen des Funktionsterms

%%\displaystyle f(x)= \frac{(x+1)\cdot(x-1)+1}{x^3}%%

Wende die 3. binomische Formel im Zähler an.

%%\phantom{f(x)}\displaystyle = \frac{x^2-1+1}{x^3}%%

Fasse den Zähler zusammen.

%%\phantom{f(x)}\displaystyle = \frac{x^2}{x^3}%%

Kürze den Bruch mit %%\displaystyle x^2%%.

%%\phantom{f(x)}\displaystyle = \frac{1}{x}%%

Ableiten der Funktion

Bilde nun mit Hilfe der Potenzgesetze für negative Exponenten und der Regeln zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von %%f(x)%%.

%%f(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}%%

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%\begin{align}f'(x) &= -1 \cdot x^{-2} \\ &= -\frac{1}{x^2}\end{align}%%

Nun kannst du den Term wieder als Bruch schreiben.

Die gesuchte Ableitung ist also %%f'(x)=-x^{-2}%% bzw. %%f'(x)=-\frac{1}{x^2}%%.

%%g(z)=\dfrac{(z+3)^2-6z-9}{3z^3}%%

Vereinfach zunächst den Zähler, um dann die Ableitung zu bilden.

Vereinfachen des Funktionsterms

%%g(z)=\dfrac{(z+3)^2-6z-9}{3z^3}%%

Wende die 1. binomische Formel im Zähler an.

%%\phantom{g(z)}=\dfrac{z^2+6z+9-6z-9}{3z^3}%%

Fasse den Zähler zusammen.

%%\phantom{g(z)}=\dfrac{z^2}{3z^3}%%

Kürze den Faktor %%z^2%%.

%%\phantom{g(z)}=\dfrac{1}{3z}%%

Bringe das %%z%% aus dem Nenner durch Anwendung der Potenzgesetze zu negativen Exponenten hinter den Bruch.

%%\phantom{g(z)}=\dfrac{1}{3} \cdot z^{-1}%%

Ableiten der Funktion

Bestimme die Ableitung mit Hilfe der Regel zur Ableitung von Potenzfunktionen.

%%g'(z)=\dfrac{1}{3} \cdot (-1) \cdot z^{-2}%%

Multipliziere die Faktoren vor dem %%z^{-2}%%.

%%\phantom{g'(z)}=-\dfrac{1}{3} \cdot z^{-2}%%

Nun kannst du das %%z%% wieder in den Nenner schreiben.

%%\phantom{g'(z)}=-\dfrac{1}{3z^2}%%

Die gesuchte Ableitung ist also %%g'(z)=-\dfrac{1}{3} \cdot z^{-2}%% bzw. %%g'(z)=-\dfrac{1}{3z^2}%%.

%%h(s)=\dfrac{(s+1)^2-s^2}{(2s+1)^2}%%

In dieser Aufgabe solltest du den Funktionsterm zuerst vereinfachen, bevor du ableitest.

Vereinfachen des Funktionsterms

%%h(s)=\dfrac{(s+1)^2-s^2}{(2s+1)^2}%%

Multipliziere die Klammer im Zähler aus. Verwende dazu die 1. binomische Formel.

%%\phantom{h(s)}=\dfrac{s^2+2s+1-s^2}{(2s+1)^2}%%

Vereinfache den Zähler.

%%\phantom{h(s)}=\dfrac{2s+1}{(2s+1)^2}%%

Kürze mit %%(2s+1)%%.

%%\phantom{h(s)}=\dfrac{1}{2s+1}%%

Wende das Potenzgesetz für negative Exponenten an.

%%\phantom{h(s)}=(2s+1)^{-1}%%

Ableiten der Funktion

Jetzt kannst du %%h'(s)%% mithilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel bestimmen.

%%h'(s)=-1\cdot(2s+1)^{-2}\cdot2%%

Vereinfache den Term.

%%\phantom{h'(s)}=-2\cdot(2s+1)^{-2}%%

Die Ableitung von %%h(s)%% ist %%h'(s)=-2\cdot(2s+1)^{-2}%% bzw. %%h'(s)=-\dfrac{2}{(2s+1)^2}%%.

%%\displaystyle k(t)= \frac{(t+2)\cdot (t-2)}{(t^2-4)^3}%%

In dieser Aufgabe solltest du als erstes den Zähler vereinfachen, um dann die Ableitung zu bilden.

Vereinfachen des Funktionsterms

%%\displaystyle k(t)=\frac{(t+2)\cdot (t-2)}{(t^2-4)^3}%%

Wende die 3. binomische Formel im Zähler an.

%%\displaystyle \phantom{k(t)}=\frac{t^2-4}{(t^2-4)^3}%%

Vereinfache den Bruch durch Kürzen.

%%\displaystyle \phantom{k(t)}=\frac{1}{(t^2-4)^2}%%

Im nächsten Schritt solltest du nun die Potenzgesetze für negative Exponenten anwenden, um dann den Bruch ableiten zu können.

%%\displaystyle k(t)=\frac{1}{(t^2-4)^2}%%

%%\displaystyle \phantom{k(t)}=1 \cdot (t^2-4)^{-2}%%

Ableiten der Funktion

Jetzt kannst du durch Anwenden der Regel zur Ableitung von Potenzfunktionen, der Kettenregel und der Summenregel die Ableitung von %%\displaystyle k(t)%% berechnen.

%%\displaystyle k'(t)=-2\cdot (t^2-4)^{-3}\cdot2t%%

%%\displaystyle \phantom{k'(t)} = -4t\cdot(t^2-4)^{-3}%%

Die gesuchte Ableitung von %%\displaystyle k(x)%% ist %%\displaystyle k'(t) = -4t\cdot(t^2-4)^{-3}%%.

Vereinfache folgende Funktionen so weit wie möglich und leite sie ab.

%%f(x)=\dfrac{5}{x^4}-\dfrac{9}{x^4}-\dfrac{10}{3x^2}+\dfrac{4}{x^4}%%

In dieser Aufgabe kürzen sich einige der Brüche heraus.

%%f(x)=\dfrac{5}{x^4}-\dfrac{9}{x^4}-\dfrac{10}{3x^2}+\dfrac{4}{x^4}%%

Bringe zunächst alle Zähler mit dem Nenner %%x^4%% auf einen Bruchstrich.

%%\phantom{f(x)}=\dfrac{5-9+4}{x^4}-\dfrac{10}{3x^2}%%

Fasse den Zähler weiter zusammen.

%%\phantom{f(x)}=0-\dfrac{10}{3x^2}%%

Nutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.

%%\phantom{f(x)}=-\dfrac{10}3\cdot x^{-2}%%

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%f'(x)=-\dfrac{10}3\cdot(-2)\cdot x^{-2}%%

%%\phantom{f'(x)}=\dfrac{20} {3x^{-2}}%%

Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.

Die gesuchte Ableitung ist also %%f'(x)=\dfrac{20} {3x^{-2}}%%

%%g(t)=\dfrac{10}{3t^3}-\dfrac{3}{t^3}%%

In dieser Aufgabe musst du beide Brüche auf einen Hauptnenner bringen, um dir das ableiten zu vereinfachen.

%%g(t)=\dfrac{10}{3t^3}-\dfrac{3}{t^3}%%

Erweitere %%\dfrac3{t^3}%% mit %%3%%.

%%\phantom{g(t)}=\dfrac{10}{3t^3}-\dfrac{9}{3t^3}%%

Bringe beide Zähler auf einen Bruchstrich.

%%\phantom{g(t)}=\dfrac{10-9}{3t^3}%%

Fasse den Zähler weiter zusammen.

%%\phantom{g(t)}=\dfrac{1}{3t^3}%%

Nutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.

%%\phantom{g(t)}=3t^{-3}%%

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%g'(t)=3\cdot(-3)\cdot t^{-2}%%

%%\phantom{g'(t)}=-\dfrac{9} {t^2}%%

Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.

Die gesuchte Ableitung ist also %%g'(t)=-\dfrac{9} {t^2}%%.

Leite folgende Funktionen ab.

%%f(x)=\dfrac1x%%

Nutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.

%%f(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}%%

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%\begin{align}f'(x) &= -1 \cdot x^{-2} \\ &= -\frac{1}{x^2}\end{align}%%

Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.

Die gesuchte Ableitung ist also %%f'(x)=-x^{-2}%% bzw. %%f'(x)=-\frac{1}{x^2}%%.

%%g(t)=\dfrac{34}{t^4}%%

Nutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.

%%g(t)=\dfrac{34}{t^4}=34\cdot t^{-4}%%

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%g'(t)=34\cdot(-4)\cdot t^{-5}%%

%%phantomg'\left(x\right)=-\frac{136}{t^5}%%

Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.

Die gesuchte Ableitung ist also %%g'(t)=-\frac{136}{t^5}%%.

%%h(z)=\dfrac{3}{4z^4}%%

Nutze das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.

%%h(z)=\dfrac{3}{4z^4}=\dfrac{3}{4}\cdot z^{-4}%%

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%\begin{align}h'(z) &=\dfrac{3}{4}\cdot (-4)\cdot z^{-5} \\ &= -\frac{3}{z^5}\end{align}%%

Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.

Die gesuchte Ableitung ist also %%h'(z)=-\dfrac{3}{z^5}%%.

Mathematicus hat hier die Funktion %%f(x)=\dfrac1x%% mehrmals abgeleitet.

Ableitungen von 1/x

Versuche ohne weitere Rechnung die nächste Ableitung zu bestimmen.

Leider nein. Probiere es doch nochmal und achte dabei auf die Potenz im Nenner.

Leider nein. Probiere es doch nochmal und achte dabei auf das Vorzeichen beim Ableiten.

Leider nein. Probiere es doch nochmal und achte dabei auf das Potenzgesetz für negative Exponenten.

Richtig!

Mehrmaliges Ableiten %%\dfrac1x%%

  • Wenn man sich den Nenner der einzelnen Ableitungen anschaut, erkennt man, dass sich der Exponent von %%x%% nach jeder Ableitung um eins erhöht. Da bei der Funktion %%f^{(4)}(x)%% der Exponent schon bei %%5%% ist, kann man folgern, dass die Funktion %%f^{(5)}(x)%% im Nenner ein %%x^6%% hat.

  • Du kannst also die Funktion %%f^{(5)}(x)=-\dfrac{120}{x^5}%% und %%f^{(5)}(x)=-120\cdot x^6%% ausschließen.

  • Schau dir das Vorzeichen der Ableitungen an. Es variiert nach jeder Ableitung. Die Funktion %%f^{(5)}(x)%% muss also ein negatives Vorzeichen haben. Deswegen kannst du auch %%f^{(5)}(x)=\dfrac{120}{x^6}%% ausschließen.

  • Die gesuchte Funktion ist also %%f^{(5)}(x)=-\dfrac{120}{x^6}%%.

Man kann seine Wahl nun auch rechnerisch überprüfen.

Nutze dafür das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen und leite die Funktion %%f^{(4)}(x)=\dfrac{24}{x^5}%% ab.

%%f^{(4)}(x)=24\cdot x^{-5}%%

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%f^{(5)}(x)=24\cdot (-5)\cdot x^{-6}%%

%%\phantom{f^{(5)}(x)}=-\dfrac{120}{x^6}%%

Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.

Die gesuchte Ableitung ist also tatsächlich %%f^{(5)}(x)=-\dfrac{120}{x^6}%%.

Mathematicus hat hier einige mögliche Formeln aufgeschrieben, wobei jeweils das %%n\in \mathbb{N}%% für die Anzahl der Ableitungen steht. Welche der Formeln beschreibt die n-te Ableitung der Funktion %%f(x)=\dfrac1x%%?

Leider nein. Probiere es doch nochmal und achte dabei auf den Exponenten im Nenner.

Leider nein. Probiere es nochmal und achte dabei auf den Zähler.

Leider nein. Probiere es doch nochmal und achte dabei auf das Vorzeichen und den Zähler.

Richtig!

Allgemeine Formel zur Ableitung der Funktion f(x)

  • Betrachtest du die in der Aufgabe angegebenen Ableitungen und die in der Teilaufgabe a) bestimmte fünfte Ableitung, so fällt dir vielleicht auf, dass sich das Vorzeichen nach jeder Ableitung ändert.
  • Die angegebene Formel %%f^{(n)}(x)=\dfrac{n}{x^{(n+1)}}%% ist somit nicht richtig, da die Variation des Vorzeichens nicht berücksichtigt wird.
  • Hinweis: Bei einer geradzahligen Ableitung steht vor dem Term ein Plus und vor einer ungeraden Ableitung ein Minus.
  • Schaust du dir den Zähler der Ableitungen genauer an, so siehst du, dass dieser nicht immer gleich ist.
  • Die Funktion %%f^{(n)}(x)=(-1)^n\cdot\dfrac{1}{x^{(n+1)}}%% ist somit nicht die gesuchte Formel.
  • Untersuchst du den Zähler, so kannst du beispielsweise bei der vierten Ableitung durch Faktorisieren den Zähler wie folgt darstellen: %%\displaystyle 24=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4!%%. Genauso kannst du auch bei der fünften Ableitung vorgehen: %%\displaystyle 120= 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=5!%%.
  • Vergleichst du die Exponenten im Nenner der einzelnen Ableitungen, so bemerkst du, dass sich der Exponent von x nach jeder Ableitung um eins erhöht.
  • Mit Hilfe dieser Erkenntnis kannst du die Formel %%f^{(n)}(x)=(-1)^n\cdot\dfrac{n!}{x}%% ausschließen.
  • Die gesuchte allgemeine Formel der Ableitung ist somit %%f^{(n)}(x)=(-1)^n\cdot\dfrac{n!}{x^{(n+1)}}%%.

Leite die folgenden Funktionen ab und entscheide welche der abgebildeten Graphen dem Funktionsgrahen der Ableitung der Funktion entsprechen. Fülle in den Feldern dafür den Funktionsnamen (%%1, 2, 3%% oder %%4%%) ein.

Achtung: Die Graphen entsprechen der Ableitung der Funktion, nicht der Funktion selber.

%%f(x)=\dfrac{4x^3}{3}%%

Graph

Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.

%%f(x)=\dfrac{4x^3}{3}%%

%%\phantom{f(x)}=\dfrac{4}{3}\cdot x^3%%

Ziehe den Faktor vor den Bruch.

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%f'(x)=\dfrac{4}{3}\cdot 3\cdot x^2=4x^2%%

Das heißt, die in der Grafik gesuchte Funktion ist %%f'(x)=4x^2%%.

  • Der Graph einer Funktion zweiten Grades ist eine Parabel.

  • Deswegen kann man die Graphen %%2%% und %%4%% ausschließen, da diese beide keine Parabeln sind.

  • Der Graph %%3%% ist eine nach unten geöffnete Parabel. Bei einer nach unten geöffneten Parabel ist der Faktor vor dem %%x^2%% negativ. Bei der Funktion %%f'(x)%% ist der Faktor vor dem %%x^2%% eine %%4%% und damit positiv.

  • Die gesuchte Funktion ist also die %%1%%.

%%g(x)=\dfrac{x^3+6x}{6}%%

Graph

Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.

%%g(x)=\dfrac{x^3+6x}{6}%% %%\phantom{g(x)}=\dfrac16\cdot(x^3+6x)%%

Ziehe den Faktor %%\dfrac16%% vor den Bruch.

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%g'(x)=\dfrac16\cdot(3\cdot x^2+6)%%

%%\phantom{g'(x)}=\dfrac12x^2+1%%

Multipliziere %%\dfrac16%% in die Klammer.

Das heißt, die in der Grafik gesuchte Funktion ist %%g'(x)=\dfrac12x^2+1%%.

  • Der Graph einer Funktion zweiten Grades ist eine Parabel.

  • Deswegen kann man die Graphen %%1%% und %%3%% ausschließen, da diese beide keine Parabeln sind.

  • Der Graph %%4%% ist eine nach unten geöffnete Parabel. Bei einer nach unten geöffneten Parabel ist der Faktor vor dem %%x^2%% negativ. Bei der Funktion %%g'(x)%% ist %%\dfrac12%% der Faktor vor dem %%x^2%% und damit positiv.

  • Die gesuchte Funktion ist also die %%2%%. Dies kann man auch gut an dem %%+1%% in der Funktionsgleichung sehen. Sie sorgt für eine Verschiebung der Parabel, um %%1%% nach oben entlang der y-Achse.

Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.

%%h(x)=\dfrac{x^4+108x}{108}%%

Graphen

Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.

%%\begin{align}h(x) &=\dfrac{x^4+108x}{108}\\ &= \dfrac{1}{108} \cdot (x^4 + 108 x) \end{align}%%

Dafür bietet es sich an, dass du %%\dfrac{1}{108}%% ausklammerst.

Das Ergebnis lässt sich nun mit Hilfe der Faktorregel, der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktionen ableiten.

Zuerst werden die einzelnen Potenzfunktionen abgeleitet.

%%\begin{align} h´(x) &= \dfrac{1}{108} \cdot (4\cdot x^3 + 108) \\ &= \dfrac{4}{108} \cdot x^3 + \dfrac{108}{108} \\ &= \dfrac{1}{27} x^3 + 1 \end{align}%%

Danach wird mit dem Faktor %%\dfrac{1}{108}%% ausmultipliziert.

Du erhälst also %%h´(x) = \dfrac{1}{27}x^3+1%%.

Die Ableitung %%h´(x)%% ist eine Funktion dritten Grades.

Da es sich bei 2 und 4 um Parabeln und somit um Funktionen zweiten Grades handelt, fallen diese beiden Möglichkeiten schon mal weg.

%%h´(x)%% hat mit %%\dfrac{1}{27}%% einen positiven Vorfaktor und ist somit nach oben geöffnet. Deshalb fällt die Möglichkeit 1 ebenfalls weg. Die richtige Lösung ist somit der Graph 3.

%%k(x)=-\dfrac{3x^5-10x^3-15x}{15}%%

Graph

%%k(x)=-\dfrac{3x^5-10x^3-15x}{15}%%

Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher. Klammere also zur Vereinfachung %%\dfrac{1}{15}%% aus.

%%\begin{align}k(x)&=-\dfrac{3x^5-10x^3-15x}{15} \\ &= - \dfrac{1}{15} \cdot \left(-3x^5+10x^3+15x \right) \end{align}%%

Leite danach den entstandenen Term ab:

%%\begin{align} k´(x)&=-\dfrac{1}{15} \cdot ( -3 \cdot5 x^4 +10 \cdot 3 \cdot x^2 - 15) \\ &= -\dfrac{1}{15} \cdot ( -15 x^4 + 30 x^2 - 15) \\ &= \dfrac{15}{15} x^4 -\dfrac{30}{15}x^2 + \dfrac{15}{15} \\ &= x^4 - 2x^2+1\end{align}%%

Die Ableitung von %%k(x)%% ist also %%k´(x)= x^4-2x^2+1%% und somit eine Funktion 4. Grades.

Als Lösung fällt somit Graph 4 als Parabel (und somit Funktion 2. Grades) raus. Ebenso fällt Graph 2 als Gerade (und somit Funktion 1. Grades) raus. Die Graph 3 fällt als Funktion 3. Grades ebenso raus.

Der Graph 1 beschreibt eine Funktion, die nach unten geöffnet ist und entspricht somit (unter Verwendung der zuvor angeführten Punkte) der Lösung.

%%l(x)=-\dfrac{0,375x^4+\frac13x^3+\frac1{15}x^5+2x^2-3x}6%%

Graph

Wenn du die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformst, ist das Ableiten einfacher.

%%l(x)=-\dfrac{0,375x^4+\frac13x^3+\frac1{15}x^5+2x^2-3x}6%%

Ziehe den Faktor %%\dfrac16%% vor den Bruch.

%%\phantom{l(x)}=-\dfrac16\cdot\left(0,375x^4+\dfrac13x^3+\dfrac1{15}x^5+2x^2-3x\right)%%

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%l'(x)=-\dfrac16\cdot \left(0,375\cdot4\cdot x^3+\dfrac13\cdot 3\cdot x^2+\dfrac1{15}\cdot 5\cdot x^4+2\cdot2\cdot x-3\right)%%

Fasst du den Term noch weiter zusammen und schreibst den Term wieder als Bruch erhälst du:

%%l'(x)=-\dfrac{1,5x^3+x^2+\frac13x^4+4x-3}6%%

%%\phantom{l'(x)}=-\dfrac{\frac13x^4+1,5x^3+x^2+4x-3}6%%

Ordne den Term auf dem Zähler nach dem Grad an.

Das heißt, die in der Grafik gesuchte Funktion ist %%l'(x)=-\dfrac{\frac13x^4+1,5x^3+x^2+4x-3}6%% und somit eine Funktion 4. Grades.

  • Der Graph %%1%% ist eine Parabel und gehört deswegen zu einer Funktion 2. Grades. Da %%l'(x)%% allerdings eine Funktion 4. Grades ist, kannst du Graph %%1%% ausschließen.

  • Der Graph %%4%% hat einen Wertebereich von %%-\infty%% bis %%+\infty%%. Daraus kannst du folgern, dass der Grad der Funktion des Graphen %%4%% ungerade ist. Da %%l'(x)%% allerdings eine Funktion 4. Grades ist und damit einen geraden Grad besitzt, kannst du Graph %%4%% ebenfalls ausschließen.

  • Die Graphen %%2%% und %%3%% sind beides Graphen von Funktionen 4. Grades. Graph %%2%% ist nach oben geöffnet und Graph %%3%% ist nach unten geöffnet. Da %%l'(x)%% ein Minus vor dem Leitkoeffizienten hat, muss der Graph von %%l'(x)%% nach unten geöffnet sein. Somit kannst du Graph %%2%% ausschließen und Graph %%3%% ist der Graph der gesuchten Funktion.

Der Graph der gesuchten Funktion ist also der Graph %%3%%.

Leite die Funktionen ab.

%%f(t)=\dfrac{2t^3}{3}%%

Das ist ein Beispiel für die Ableitung einer Funktion, bei der im Nenner keine Variable steht.

%%f(t)=\dfrac{2t^3}{3}%%

Du kannst den Bruch wie folgt aufteilen.

%%\phantom{f(t)}=\dfrac{2}{3}\cdot t^3%%

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%f'(t)=\dfrac{2}{3}\cdot 3\cdot t^2%%

Verrechne beide Faktoren vor dem %%t^2%%.

%%\phantom{f'(t)}=2t^2%%

Die gesuchte Funktion ist also %%f'(t)=2t^2%%.

%%\displaystyle g(x)=-\dfrac{x^4}{8}%%

Das ist ein Beispiel für die Ableitung einer Funktion, bei der im Nenner keine Variable steht.

%%g(x)=-\dfrac{x^4}{8}%%

Du kannst den Bruch folgendermaßen aufteilen.

%%\phantom{g(x)}\displaystyle = -\frac{1}{8}x^4%%

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%g'(x)=-\dfrac{1}{8}\cdot 4\cdot x^3%%

Verrechne beide Faktoren vor dem %%x^3%%.

%%\phantom{g'(x)}=-\dfrac{1}{2}x^3%%

Die gesuchte Funktion ist also %%g'(x)=-\dfrac{1}{2}x^3%%.

%%h(z)=\dfrac{z^6-6}{3}%%

Das ist ein Beispiel für die Ableitung einer Funktion, bei der im Nenner keine Variable steht.

%%h(z)=\dfrac{z^6-6}{3}%%

Du kannst den Bruch folgendermaßen aufteilen.

%%\phantom{h(z)}=\dfrac{1}{3}(z^6-6)%%

Multipliziere die Klammer aus.

%%\phantom{h(z)}=\dfrac{1}{3}z^6-2%%

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%h'(z)=\dfrac{1}{3} \cdot 6 \cdot z^5-0%%

Verrechne die beiden Faktoren vor dem %%z^5%%.

%%\phantom{h'(z)}=2z^5%%

Die gesuchte Funktion ist also: %%h'(z)=2z^5%%.

Vereinfache die Funktionen so weit wie möglich und leite sie ab.

%%f(z)=\dfrac{3z^2}{14}+\dfrac{2z^2}{7}%%

Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.

Lösungsvorschlag 1

Um beide Brüche verrechnen zu können, musst du diese auf einen Hauptnenner bringen.

%%f(z)=\dfrac{3z^2}{14}+\dfrac{2z^2}{7}%%

Erweitere %%\dfrac{2z^2}{7}%% mit %%2%%.

%%\phantom{f(z)}=\dfrac{3z^2}{14}+\dfrac{4z^2}{14}%%

Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.

%%\phantom{f(z)}=\dfrac{3z^2+4z^2}{14}%%

Fasse den Zähler zusammen.

%%\phantom{f(z)}=\dfrac{7z^2}{14}%%

Kürze den Bruch mit %%7%%.

%%\phantom{f(z)}=\dfrac{z^2}{2}%%

%%\phantom{f(z)}=\dfrac{1}{2}\cdot z^2%%

Ziehe den Faktor vor den Bruch.

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%f'(z)=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot z=z%%

Lösungsvorschlag 2

Da beide Brüche im Zähler ein %%z^2%% haben, kann man dieses ausklammern.

%%f(z)=\dfrac{3z^2}{14}+\dfrac{2z^2}{7}%%

Klammere %%z^2%% aus.

%%\phantom{f(z)}=\left(\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{7}\right)\cdot z^2%%

Erweitere %%\dfrac{2}{7}%% mit %%2%%.

%%\phantom{f(z)}=\left(\dfrac{3}{14}+\dfrac{4}{14}\right)\cdot z^2%%

Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.

%%\phantom{f(z)}=\dfrac{3+4}{14}\cdot z^2%%

Fasse den Zähler zusammen.

%%\phantom{f'(z)}=\dfrac{7}{14}\cdot z^2%%

%%\phantom{f(z)}=\dfrac{1}{2}\cdot z^2%%

Kürze den Bruch mit %%7%%.

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%f'(z)=\dfrac{1}{2}\cdot2 \cdot z=z%%

Beide Varianten liefern das Endergebnis %%f'(z)=z%%.

%%g(x)=\dfrac{7x^2}{12}-\dfrac{x^2}{4}%%

Wenn man die Funktion mit Hilfe der Rechenregel für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.

Lösungsvorschlag 1:

Bringe die Brüche auf einen Hauptnenner und vereinfache so weit wie möglich bevor du die Ableitung bildest.

%%g(x)=\dfrac{7x^2}{12}-\dfrac{x^2}{4}%%

Erweitere %%\dfrac{x^2}{4}%% mit %%3%%.

%%\phantom{g(x)}=\dfrac{7x^2}{12}-\dfrac{3x^2}{12}%%

Schreibe alles auf einen Bruchstrich.

%%\phantom{g(x)}=\dfrac{7x^2-3x^2}{12}%%

Fasse den Zähler zusammen.

%%\phantom{g(x)}=\dfrac{4x^2}{12}%%

Kürze den Bruch mit 4.

%%\phantom{g(X)}=\dfrac{x^2}{3}%%

Ziehe den Faktor vor den Bruch.

%%\phantom{g(x)}=\dfrac{1}{3}x^2%%

Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von %%g(x)%%.

%%g'(x)=\dfrac{1}{3} \cdot 2 \cdot x= \dfrac{2}{3}x^2%%

Lösungsvorschlag 2:

Klammere aus und vereinfache so weit wie möglich bevor du die Ableitung bildest.

%%g(x)=\dfrac{7x^2}{12}-\dfrac{x^2}{4}%%

Ziehe die Faktoren vor die Brüche.

%%\phantom{g(x)}=\dfrac{7}{12}x^2-\dfrac{1}{4}x^2%%

Klammere %%x^2%% aus.

%%\phantom{g(x)}=\left( \dfrac{7}{12}-\dfrac{1}{4} \right)\cdot x^2%%

Erweitere %%\dfrac{1}{4}%% mit %%3%%.

%%\phantom{g(x)}=\left( \dfrac{7}{12}-\dfrac{3}{12} \right) \cdot x^2%%

Schreibe es auf einen Bruchstrich.

%%\phantom{g(x)}=\dfrac{7-3}{12} \cdot x^2%%

Fasse den Zähler zusammen.

%%\phantom{g(x)}=\dfrac{4}{12} \cdot x^2%%

Kürze den Bruch mit 4.

%%\phantom{g(x)}=\dfrac{1}{3} \cdot x^2%%

Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von %%g(x)%%.

%%g'(x)=\dfrac{1}{3} \cdot 2 \cdot x= \dfrac{2}{3}x^2%%

Beide Varianten liefern das Endergebnis %%g'(x)=\dfrac{2}{3}x^2%%.

%%\displaystyle h(t)= -\frac{t^3}{3}-\frac{t^3}{6}%%

Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.

Lösungsvorschlag 1:

Bringe die zwei Brüche auf den Hauptnenner, um dann die Brüche zusammen zu fassen..

%%\displaystyle h(t)= -\frac{t^3}{3}-\frac{t^3}{6}%%

Erweitere den Bruch %%\dfrac{t^3}{3}%% mit 2.

%%\phantom{h(t)}\displaystyle = -\frac{2t^3}{6}-\frac{t^3}{6}%%

Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.

%%\phantom{h(t)}\displaystyle = \frac{-2t^3-t^3}{6}%%

Fasse den Zähler zusammen.

%%\phantom{h(t)}\displaystyle = \frac{-3t^3}{6}%%

Kürze den Bruch mit 3.

%%\phantom{h(t)}\displaystyle = -\frac{t^3}{2}%%

Ziehe den Faktor vor den Bruch.

%%\phantom{h(t)}\displaystyle = -\frac{1}{2}t^3%%

Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von %%h(t)%%.

%%\displaystyle h'(t)= -\frac{1}{2}\cdot 3\cdot t^2=-\frac{3}{2}t^2\displaystyle =-1,5t^2%%

Lösungsvorschlag 2:

Du kannst hier %%\displaystyle t^3%% ausklammern , um die Funktion zu vereinfachen.

%%\displaystyle h(t)= -\frac{t^3}{3}-\frac{t^3}{6}%%

Ziehe die Fakoren vor die Brüche.

%%\phantom{h(t)}\displaystyle = -\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{6}t^3%%

Du kann hier %%\displaystyle t^3%% ausklammern.

%%\phantom{h(t)}\displaystyle = \left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)\cdot t^3%%

Erweitere den Bruch %%-\dfrac{1}{3}%% mit 2.

%%\phantom{h(t)}\displaystyle = \left(-\frac{2}{6}-\frac{1}{6}\right)\cdot t^3%%

Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.

%%\phantom{h(t)}\displaystyle =\left(\frac{-2-1}{6}\right)\cdot t^3%%

Fasse den Zähler zusammen.

%%\phantom{h(t)}\displaystyle =-\frac{3}{6}\cdot t^3%%

Kürze den Bruch mit 3.

%%\phantom{h(t)} \displaystyle = -\frac{1}{2}t^3%%

Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von %%h(t)%%.

%%\displaystyle h'(t)= -\frac{1}{2}\cdot 3\cdot t^2=-\frac{3}{2}t^2\displaystyle =-1,5t^2%%

Beide Varianten liefern das Endergebnis %%\displaystyle h'(t)= -1,5t^2%%.

$$f(x)= \sqrt[4]{x^3}$$
Gesucht wird die Ableitung von f(x). Überlege dir zunächst, welche Hilfsmittel und Ableitungsregeln nützlich sein können und leite die Funktion anschließend ab!

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Ableiten einer Wurzelfunktion

Zum Ableiten ist es nützlich, die Funktion zunächst mithilfe der Potenzgesetze umzuschreiben und dann dem Exkurs zu rationalen Exponenten im Artikel Ableiten von Potenzfunktionen zu folgen.

Funktionsterm umschreiben mithilfe der Potenzgesetze

$$f(x)=\sqrt[4]{x^3}$$

Verwende das Potenzgesetz zum Umschreiben von Wurzeln: $$\sqrt[b]{x^a}=x^\frac a b$$

$$f(x)=x^\frac 3 4$$

Ableiten mithilfe der Ableitungsregel für Potenzfunktionen

$$f(x)=x^\frac 3 4$$

Leite die Funktion mithilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen ab:
%%f(x)=x^a%% wird zu %%f'(x)=a\cdot x^{a-1}%%.

$$f'(x)=\frac 3 4 x^{-\frac 1 4}$$

So ist die Ableitung zwar fertig gebildet, jedoch kann man für die meisten Zwecke wenig mit Brüchen als Exponenten anfangen.

Verschönerungsarbeiten

Die fertige Ableitung lässt sich nun mithilfe der Potenzgesetze in eine schönere Form bringen.

$$f'(x)=\frac 3 4 x^{-\frac 1 4}$$

Verwende: %%x^{-a}= \frac 1{x^a}%%

$$f'(x)=\frac 3{4x^\frac 1 4}$$

Verwende: %%x^\frac a b = \sqrt[b] {x^a}%%

$$f'(x)=\frac 3{4\sqrt[4]x}$$

%%f(x)= \dfrac{-2x^2}{(2-x)^2}%%

Gesucht wird die Ableitung von f(x). Überlege zunächst, welche der im folgendern genannten Hilfsmittel und Ableitungsregeln nützlich sein können und leite die Funktion anschließend ab!

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

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Quotienten- und Kettenregel anwenden

Zur Ableitung dieser Funktion benötigst du unter anderem die Quotientenregel und die Kettenregel.

Quotientenregel vorbereiten

Gerade bei den ersten Anwendungen der Quotientenregel kann es dir helfen, dir die Funktion vorab genauer anzuschauen.

%%f(x)= \dfrac{-2x^2}{(2-x)^2}%% liefert

%%u(x)=-2x^2%% und %%v(x)=(2-x)^2%%

Die Ableitung von %%u(x)%% bildest du mithilfe der Ableitungsregel für Potenzfunktionen:

%%u'(x)=-4x%%

Für die Ableitungsfunktion von %%v(x)%% brauchst du die Kettenregel, wobei die innere Funktion %%(2-x)%% und die äußere %%x^2%% ist:

%%\begin{array}{ccc} v'(x)= & 2\cdot & (2-x) & \cdot (-1) \\ & \uparrow & \uparrow & \uparrow \\ & \text{Ableitung } x^2 & \text{innere Funktion} & \text{Nachdifferenzieren:}\\ & & & \text{Ableitung } (2-x) \\ \end{array}%%

Vereinfachen liefert:

%%v'(x)=-2(2-x)%%
(Man könnte noch weiter vereinfachen, doch beim Ausrechnen der Ableitung wirst du sehen, dass diese faktorisierte Form von Vorteil ist)

Quotientenregel anwenden und vereinfachen

%%f(x)=\dfrac{-2x^2}{(2-x)^2}%%

Setze %%u,v,u'%% und %%v'%% in die Quotientenregel ein:
%%f'(x)=\dfrac {u'(x)\cdot v(x) - v'(x)\cdot u(x)}{v(x)^2}%%

%%f'(x)= \dfrac{-4x\cdot (2-x)^2 -(-2)\cdot (2-x)\cdot (-2x^2)}{(2-x)^4}%%

Klammere %%(2-x)%% im Zähler aus.

%%f'(x)= \dfrac{(2-x)(-4x\cdot (2-x) -(-2)\cdot (-2x^2))}{(2-x)^4}%%

Kürze den Bruchterm mit %%(2-x)%%.

%%f'(x)=\dfrac{-4x\cdot (2-x)-(-2)\cdot (-2x^2)}{(2-x)^3}%%

Berechne und beachte die Vorzeichen!

%%f'(x)=\dfrac{-8x+4x^2 -4x^2}{(2-x)^3}%%

Berechne im Zähler und ziehe das Minus vor den Term.

%%f'(x)=-\dfrac{8x}{(2-x)^3}%%

Zur Lösung der Aufgabe musstest du also einen Bruchterm kürzen, die Kettenregel und die Quotientenregel anwenden

%%f(x)=\ln\left ( \frac{1+x}{1-x} \right ) +4%%

Überlege zunächst, welche der genannten Hilfsmittel und Ableitungsregeln nützlich sein können und leite die Funktion anschließend ab!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

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Ableiten einer natürlichen Logarithmusfunktion

Zur Ableitung dieser Funktion musst du neben der Quotientenregel wissen, wie man den natürlichen Logarithmus mithilfe der Kettenregel ableitet.

Kettenregel vorbereiten

Die Funktion %%f%% zerteilt sich in die innere Funktion %%v(x)=\frac{1+x}{1-x}%% und die äußere Funktion %%u(x)=\ln x%%.

Wegen %%f'(x)= u'(v(x))\cdot v'(x)%% benötigst du von beiden Funktionen die Ableitung

Ableitung von %%\ln x%%

%%\ln x%% ist eine Grundfunktion, deren Ableitung du im Artikel Ableitung berechnen findest:

%%u'(x)=\dfrac 1 x%%

Ableitung der inneren Funktion mithilfe der Quotientenregel

Um die innere Funktion abzuleiten, benötigst du die Quotientenregel. Damit du einfach in die Regel einsetzen kannst, empfiehlt es sich, Zähler und Nenner vorab einzeln abzuleiten:

%%p(x)= 1+x\Rightarrow p'(x)=1%%

%%q(x)=1-x\Rightarrow q'(x)=-1%%

Die Quotientenregel lautet:

%%v'(x)=\dfrac{p'(x)\cdot q(x) - q'(x)\cdot p(x)}{q(x)^2}%%

Setze diese Bestandteile in die Formel ein

%%v'(x)=\dfrac{1\cdot (1-x) - (-1)\cdot (1+x)}{(1-x)^2}%%

Berechne im Zähler, beachte die Vorzeichen.

%%v'(x)=\dfrac{1-x +1+x}{(1-x)^2}%%

Berechne im Zähler.

%%v'(x)=\dfrac 2 {(1-x)^2}%%

Kettenregel anwenden

Nachdem du die Bestandteilte der Kettenregel berechnet hast, kannst du die Regel jetzt anwenden.

%%f(x)=\ln\left ( \frac{1+x}{1-x} \right ) +4%%

Verwende die Summen- und Konstantenregel für die Zahl 4 und die Kettenregel.

%%f'(x)= u'(v(x))\cdot v'(x)%%

Setze die Bestandteile ein. Beachte dabei:
%%\dfrac 1 {\frac a b }= \dfrac b a%%

%%f'(x)=\dfrac{1-x}{1+x} \cdot \dfrac{2}{(1-x)^2}%%

Multipliziere die Bruchterme und kürze dabei %%(1-x)%%.

%%f'(x)=\dfrac 2 {(1+x)(1-x)}%%

Insgesamt ist also die Summenregel, die Faktorregel die Kettenregel, die Quotientenregel und die Ableitungsregel des %%\ln%% zum Einsatz gekommen. Außerdem musstest du mit Bruchtermen rechnen.

Quotientenregel umgehen

Mithilfe der Rechenregeln für den Logarithmus lässt sich die Quotientenregel umgehen: %%f(x)=\ln\left( \frac {1+x}{1-x} \right ) +4= \ln(1+x)-\ln(1-x) +4%%

Hier musst du im Anschluss wissen, wie man mit Bruchtermen umgeht.

$$f(x) = \frac{\sin(3x)}{\pi}$$

Welche der folgenden Umformungen ist richtig? Leite die Funktion anschließend ab.

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

$$f(x)= \frac{\ln(x)- 2x}{70}$$

Welche der folgenden Umformungen sind richtig? Leite die Funktion anschließend ab.

Klammer nicht vergessen!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Ableiten von Brüchen

Einleitungssatz

Umformung

Welche der drei Umformungen der Funktion %%f(x)= \frac{ln(x)- 2x}{70}%% sind richtig? Schauen wir sie uns einmal genauer an:

Da im Nenner von %%f%% kein %%x%% vorkommt, können wir die %%70%% als Kehrwert vor den Zähler schreiben:

Wichtig: Vergiss die Klammer nicht, da im Zähler des Bruchs nicht nur eine Zahl, sondern der Term %%ln(x) -2x%% steht. So erhältst du:

$$f(x) = \frac{1}{70} \cdot \left[ ln(x) -2x \right]$$

Wenn du die Klammer ausmultiplizerst, erhältst du:

$$f(x) = \frac{1}{70} \cdot \left[ ln(x) -2x \right] = \frac{1}{70} \cdot ln(x) - \frac{1}{70} \cdot 2x$$

Damit sind die beiden Umformungen richtig:

  • %%f(x) = \frac{1}{70} \cdot \left[ ln(x) -2x \right]%%
  • %%f(x)= \frac{1}{70} \cdot ln(x) - \frac{1}{70} \cdot 2x%%

Die andere Umformung %%f(x) =\frac{1}{70} \cdot ln(x) - 2x%% ist aber falsch. Hier fehlt die Klammer!

Ableitung

Für die Ableitung kannst du einer der richtigen Umformungen verwenden:

Variante 1

%%f(x)= \frac{1}{70} \cdot ln(x) - \frac{1}{70} \cdot 2x%%

Bei einer Differenz kannst du jeden Teil einzeln ableiten (siehe im Artikel Ableitung berechnen unter Summenregel). Damit ist die Ableitung $$f'(x)= \frac{1}{70} \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{70} \cdot 2$$.

Variante 2

%%f(x) = \frac{1}{70} \cdot \left[ ln(x) -2x \right]%%

Du kannst direkt die Differenz direkt ableiten und den Vorfaktor %%\frac{1}{70}%% als Konstante mitnehmen (siehe im Artikel Ableitung berechnen unter Summenregel). Damit ist die Ableitung $$f(x) = \frac{1}{70} \cdot \left[ \frac{1}{x} -2 \right]$$.

$$f(x) = \frac{1}{\sin(x)+ \cos(x)}$$

Welche der folgenden Umformungen ist richtig? Leite danach die Funktion ab.

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Richtig!

Umformung

Wenn du den Funktionsterm umformst, wendest du das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an. Dabei musst du den Nenner im Ganzen betrachten und deshalb Klammern um den gesamten Nenner setzen. Die richtige Lösung ist somit %%f(x)=[\sin(x)+\cos(x)]^{-1}%%.

Die Antwortmöglichkeit %%f(x)=\sin(x^{-1})+\cos(x^{-1})%% ist falsch, weil nur das %%x%% als Potenz geschrieben wurde. Man könnte den Term umformen zu %%\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)+\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)%%. Das ist aber nicht das gleiche wie %%\dfrac{1}{\sin(x)+\cos(x)}%%.

Die Antwortmöglichkeit %%f(x)=\sin(x)^{-1}+\cos(x)^{-1}%% ist ebenfalls falsch, weil nur %%\sin(x)%% und %%\cos(x)%% als Potenz geschrieben wurden. Man könnte den Term umformen zu %%\dfrac{1}{\sin(x)}+\dfrac{1}{\cos(x)}%%. Das ist aber nicht das gleiche wie %%\dfrac{1}{\sin(x)+\cos(x)}%%.

Ableitung

Leite die Funktion %%f(x)= \frac{x^2+\sin(x)}{3}%% ab.

Ableiten eines Bruchs

Du kannst die Funktion entweder mit der Quotientenregel direkt oder mit der hier gezeigten Umformung ableiten.

Umschreiben der Funktion

Bei der Funktion %%\frac{x^2+sin(x)}{3}%% Nenner kein %%x%% vor, sondern nur eine Zahl.

Ist dies der Fall, so kannst du die Zahl als Kehrwert vor den Zähler schreiben:

$$\frac{x^2+sin(x)}{3}= \frac{1}{3} \cdot \left[ x^2 + sin(x) \right]$$

Ableiten der Funktion

Bevor du ableitest, multipliziere noch die Klammer aus:

$$\frac{1}{3} \cdot \left[ x^2 + sin(x) \right] = \frac{1}{3} \cdot x^2+ \frac{1}{3} \cdot sin(x)$$

Nun kannst du jeden Summand einzeln ableiten.

$$f' (x)= \frac{1}{3} \cdot 2x + \frac{1}{3} \cdot cos(x)$$

Das ist auch schon die Ableitung.

Wenn du möchtest, kannst du %%\frac{1}{3}%% wieder ausklammerst. Dann erhälst du als Endergebnis %%f'(x)=\frac{1}{3} \cdot \left[ 2x +cos(x) \right]%%

$$f(x)= \frac{x^3- 2x}{70}$$

Welche der folgenden Umformungen sind richtig?

Klammer nicht vergessen!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Umformung

Für diese Übung solltest du Bruchterme umformen können.

Welche der drei Umformungen der Funktion %%f(x)= \frac{x^3- 2x}{70}%% sind richtig? Schauen wir sie uns einmal genauer an:

Beachte: im Nenner von %%f%% kommt kein %%x%% vor! Um %%f%% später gut ableiten oder integrieren zu können, bietet es sich an %%f%% "bruchfrei" umzuschreiben. Das machst du, indem du die %%70%% als Kehrwert vor den Zähler schreibst:

Wichtig: Vergiss die Klammer nicht, da im Zähler des Bruchs nicht nur eine Zahl, sondern der Term %%x^3 -2x%% steht.

So erhältst du: %%\ f(x) = \frac{1}{70} \cdot \left( x^3 -2x \right)%%

Wenn du die Klammer ausmultiplizerst, erhältst du: %%\ f(x) = \frac{1}{70} \cdot \left( x^3 -2x \right) = \frac{1}{70} \cdot x^3 - \frac{1}{70} \cdot 2x%%

Damit sind die beiden Umformungen richtig:

  • %%f(x) = \frac{1}{70} \cdot \left( x^3 -2x \right)%%
  • %%f(x)= \frac{1}{70} \cdot x^3 - \frac{1}{70} \cdot 2x%%

Die andere Umformung %%f(x) =\frac{1}{70} \cdot x^3 - 2x%% ist aber falsch. Hier fehlt die Klammer!

Leite die Funktion %%f%% ab.

Du brauchst hier die Faktorregel und Summenregel .

Lösungsvorschlag 1:

%%\displaystyle f(x)=\frac{1}{70}x^3-\frac{1}{70}\cdot2 x%%

Leite ab.

%%\displaystyle f'(x)=\frac{3}{70}x^2-\frac{2}{70}%%

Kürze den Bruch %%\dfrac{2}{70}%% .

%%\phantom{f'(x)}\displaystyle =\frac{3}{70}x^2-\frac{1}{35}%%

Lösungsvorschlag 2:

%%\displaystyle f(x)=\frac{1}{70}(x^3-2x)%%

Leite ab.

%%\displaystyle f'(x)=\frac{1}{70}(3x^2-2)%%

Die Ableitung von %%f(x)%% ist %%\displaystyle f'(x)=\frac{1}{70}(3x^2-2)=\dfrac{3}{70}x^2-\dfrac{1}{35}%%.

Leite die Funktion zunächst mit der Produkt- und Kettenregel ab und dann mit der Quotientenregel.

%%\displaystyle f(x) =\frac{2x^3-5}{3x}%%

Lösungsvariante 1: Produkt- und Kettenregel

Bilde die Ableitung mit der Produktregel und der Kettenregel.

%%f(x)=\dfrac{2x^3-5}{3x}=\dfrac{u(x)}{v(x)}%%

Ursprungsfunktion:

%%f(x)=\dfrac{2x^3-5}{3x}%%

Zähler der Ursprungsfunktion:

%%u(x)=2x^3-5%%

Ableitung des Zählers:

%%u'(x)=6x^2%%

Nenner der Ursprungsfunktion:

%%v(x)=3x%%

Ableitung des Nenners:

%%v'(x)=3%%

%%\space%%

%%f(x)=\dfrac{\color{#ff6600}{u(x)}}{\color{#009999}{v(x)}}=\dfrac{\color{#ff6600}{2x^3-5}}{\color{#009999}{3x}}%%

%%\phantom{f(x)}=(\color{#ff6600}{2x^3-5})\cdot (\color{#009999}{3x})^{-1}%%

Bilde nun mit Hilfe der Produktregel und der Kettenregel die Ableitung von %%f(x)%%.

%%f'(x)=\color{#ff6600}{u'(x)}\cdot (\color{#009999}{v(x)})^{-1}+\color{#ff6600}{u(x)}\cdot (-1)\cdot (\color{#009999}{v(x)})^{-2}\cdot \color{#009999}{v'(x)}%%

Setze ein.

%%\phantom{f'(x)}=\color{#ff6600}{6x^2}\cdot (\color{#009999}{3x})^{-1}+(\color{#ff6600}{2x^3-5})\cdot (-1)\cdot (\color{#009999}{3x})^{-2}\cdot \color{#009999}{3}%%

%%\phantom{f'(x)}=\dfrac{\color{#ff6600}{6x^2}}{\color{#009999}{3x}}+\dfrac{(\color{#ff6600}{2x^3-5})\cdot (-1)\cdot \color{#009999}{3}}{(\color{#009999}{3x})^2}%%

%%\phantom{f'(x)}=\dfrac{\color{#ff6600}{6x^2}}{\color{#009999}{3x}}+\dfrac{(\color{#ff6600}{2x^3-5})\cdot (-1)\cdot \color{#009999}{3}}{\color{#009999}{3\cdot 3x^2 }}%%

Kürze den 2. Bruch mit dem Faktor 3.

%%\phantom{f'(x)}=\dfrac{\color{#ff6600}{6x^2}}{\color{#009999}{3x}}+\dfrac{(\color{#ff6600}{2x^3-5})\cdot (-1)}{\color{#009999}{ 3x^2 }}%%

Bringe die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

%%\phantom{f'(x)}=\dfrac{6x^3+(2x^3-5)\cdot (-1)}{3x^2}%%

%%\phantom{f'(x)}=\dfrac{4x^3+5}{3x^2}%%

Die Ableitung von %%f(x)%% ist %%f'(x)=\dfrac{4x^3+5}{3x^2}%%.

Lösungsvariante 2: Quotientenregel

Bilde die Ableitung mit der Quotientenregel.

%%f(x)=\dfrac{2x^3-5}{3x}=\dfrac{u(x)}{v(x)}%%

Ursprungsfunktion:

%%f(x)=\dfrac{2x^3-5}{3x}%%

Zähler der Ursprungsfunktion:

%%u(x)=2x^3-5%%

Ableitung des Zählers:

%%u'(x)=6x^2%%

Nenner der Ursprungsfunktion:

%%v(x)=3x%%

Ableitung des Nenners:

%%v'(x)=3%%

Bilde nun die Ableitung von %%f(x)%%, indem du deine Ergebnisse in die Quotientenregel einsetzt.

%%f'(x)=\dfrac{\color{#009999}{v(x)} \cdot \color{#ff6600}{u'(x)}- \color{#ff6600}{u(x)} \cdot \color{#009999}{v'(x)}}{(\color{#009999}{v(x)})^2}%%

Setze ein.

%%\phantom{f'(x)}=\dfrac{\color{#009999}{3x} \cdot \color{#ff6600}{6x^2} - (\color{#ff6600}{2x^3-5}) \cdot \color{#009999}{3}}{(\color{#009999}{3x})^2}%%

Verrechne die Faktoren %%3x%% und %%6x^2%%.

%%\phantom{f'(x)}=\dfrac{18x^3-(2x^3-5) \cdot 3}{(3x)^2}%%

Multipliziere die %%3%% in die Klammer.

%%\phantom{f'(x)}=\dfrac{18x^3-(6x^3+15)}{(3x)^2}%%

Löse die Klammern auf.

%%\displaystyle \phantom{f'(x)}=\frac{ 18x^3-6x^3+15}{9x^2}%%

Fasse den Zähler zusammen.

%%\displaystyle \phantom{f'(x)}=\frac{ 12x^3+15}{9x^2}%%

Klammere den Faktor %%\color{#ff6600}3%% im Zähler und im Nenner aus.

%%\displaystyle \phantom{f'(x)}=\frac{\color{#ff6600}3\cdot(4x^3+5)}{\color{#ff6600}3\cdot 3\cdot x^2}%%

Kürze mit den Bruch mit %%3%%.

%%\displaystyle \phantom{f'(x)}=\frac{4x^3+5}{3x^2}%%

Die Ableitung von %%f(x)%% ist %%f'(x)=\dfrac{4x^3+5}{3x^2}%%.

Berechne die Ableitung mit Summen-, Produkt und Kettenregel und überprüfe. Welches Verfahren bietet sich am ehesten an?

%%{f(x)=(-x-3)}^2%%

Ableiten von quadratischen Funktionen

In dieser Aufgabe soll an der folgenden Funktion %%f(x)=(-x-3)^2%% gezeigt werden, dass es sich lohnt zu überlegen, mit welcher Methode man am besten ableitet.

Lösen über Summenregel

%%f(x)= {(-x-3)}^2%%

Wende die 2. binomische Formel an.

%%\phantom{f(x)} = x^2+6x+9%%

Leite mithilfe der Summenregel ab.

%%f'(x)=2x+6%%

Lösen über Poduktregel

%%f(x) = {(-x-3)}^2%%

Schreibe als Produkt.

%%\phantom{f(x)} = (-x-3)\cdot(-x-3)%%

Leite mithilfe der Produktregel ab.

%%f'(x) = (-x-3)'\cdot(-x-3)+(-x-3)\cdot(-x-3)'%%

%%\phantom{f'(x)} = (-1)\cdot(-x-3)+(-x-3)\cdot(-1)%%

Multipliziere aus.

%%\phantom{f'(x)} = x+3+x+3%%

Fasse zusammen.

%%\phantom{f'(x)} = 2x+6%%

Lösen über Kettenregel

%%f(x) = {(-x-3)}^2%%

Leite mithilfe der Kettenregel ab.

%%f'(x) = 2\cdot(-x-3)\cdot(-1)%%

Multipliziere aus.

%%\phantom{f'(x)} = (-2x-6)\cdot(-1) = 2x+6%%

Fazit

Für quadratische Funktionen ist sowohl die Verwendung der Summenregel als auch der Kettenregel sinnvoll, da der Aufwand ungefähr gleich hoch ist.

Die Produktregel hat mehr Rechenschritte und somit ein höheres Fehlerpotenzial.

%%f(x)={(-x+2y)}^3%%

Ableiten von Funktionen 3.Grades

Lösen über Summenregel

%%f(x) = {(-x+2y)}^3%%

%%\phantom{f(x)} = {(-x+2y)}^2\cdot(-x+2y)%%

Wende die 1. binomische Formel an.

%%\phantom{f(x)} = (x^2-4xy+4y^2)\cdot(-x+2y)%%

Multipliziere aus.

%%\begin{align} \phantom{f(x)} = & -x^3+4x^2y-4xy^2 \\ & +2x^2y-8xy^2+8y^3 \end{align}%%

Addiere.

%%\phantom{f(x)} = -x^3+6x^2y-12xy^2+8y^3%%

Den letzten Term %%-x^3+6x^2y-12xy^2+8y^3%% leiten wir nun mithilfe der Summenregel ab:

%%f'(x) = -3x^2+12xy-12y^2%%

Lösen über Produktregel

%%f(x) = {(-x+2y)}^3%%

Schreibe als Produkt.

%%\phantom{f(x)} = (-x+2y)\cdot(-x+2y)\cdot(-x+2y)%%

Leite mithilfe der Produktregel ab.

%%f'(x) =(-x+2y)'\cdot(-x+2y)\cdot(-x+2y)+(-x+2y)\cdot(-x+2y)'\cdot(-x+2y)+(-x+2y)\cdot(-x+2y)\cdot(-x+2y)'%%

Fasse zusammen.

%%\phantom{f'(x)} = (-x+2y)'\cdot(-x+2y)\cdot(-x+2y)\cdot3%%

Leite ab.

%%\phantom{f'(x)} = (-1)\cdot(-x+2y)\cdot(-x+2y)\cdot3%%

Fasse zusammen.

%%\phantom{f'(x)} = -3{(-x+2y)}^2%%

Lösen über Kettenregel

%%f(x) = {(-x+2y)}^3%%

Leite mithilfe der Kettenregel ab.

%%\phantom{f(x)} = {3(-x+2y)}^2\cdot(-1)%%

%%\phantom{f(x)} = {-3(-x+2y)}^2%%

Fazit

Bei Funktionen 3. Grades ist die Rechnung zur Ableitung sowohl mit Hilfe der Summenregel als auch der Produktregel sehr lang, wodurch man schnell den Überblick verlieren kann und dadurch Vorzeichenfehler auftreten können.

Die Kettenregel hingegen ist leichter anzuwenden und somit die Regel, die sich bei diesen Funktionen am meisten anbietet.

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